精品解析：吉林大学附属中学2026-2027学年九年级上学期10月数学大练习

吉林大学附属中学九年级上学期大练习数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况为（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 已知，相似比为，若的面积为，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 5. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 1 6. 某超市一月份营业额为200万元，三月份营业额为288万元，若每月增长率相同，设月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知、，把绕点A逆时针旋转后得到，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在格点上，连接、，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 二次根式有意义，则的取值范围是____________． 10. 已知是方程的一个根，则____________． 11. 如图是自动扶梯的截面．的长为米，与的夹角为，则高为___________米．（用的三角函数和表示） 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长之比是____________． 13. 在中，，于点，，，则的长为____________． 14. 对于一元二次方程（）， ①若方程的两个根为和，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两个实数解一定互为相反数． 上述说法正确的是____________．（填序号） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，． （1）求点，的坐标； （2）求四边形的面积． 17. 解方程：． 18. 如图，是的角平分线，在边上取点，使． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 19. 某文具店销售一款笔记本，进价为每本4元，售价为每本6元时，每天可卖出200本．经调查发现，售价每上涨1元，每天销量减少10本．若该文具店每天获利1200元，且尽量减少库存，求笔记本的售价． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若方程的两根为、，且，求的值． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； （2）在图②中的边上找到点，连结，使； （3）在图③中的边上找到点，连结，使． 22. 在中，，，，将绕点旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． （1）如图，点在上时， ①求的值．②求的长． （2）当直线与垂直时，的长是 ． 23. 如图①，中，，，．动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向终点运动，连接，作点关于的对称点，连结、，设点的运动时间为（秒）． （1）线段的长是 ． （2）当点在内部时，则的取值范围是 ． （3）当线段与的某条边平行时，求此时的值． （4）如图②，作，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，直线与直线交于点，当时，请直接写出的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点和点，过点的直线交轴于点，点为线段上一动点，过点作轴垂线，垂足为点，以为边在右侧作正方形，连结、． （1）的面积是 ． （2）设正方形与重叠部分图形为． ①当为五边形时，长的取值范围是 ． ②当点在线段的延长线上时，若图形的面积是面积的时，求的长． （3）当与相似时，点的坐标为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林大学附属中学九年级上学期大练习数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质以及最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不是最简二次根式； B．，故该选项不是最简二次根式； C．，故该选项不是最简二次根式； D．不能再化简，是最简二次根式． 2. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】为的邻边与斜边的比，斜边已知，需先求邻边的长度． 【详解】解：∵在中，，，， ， ． 3. 一元二次方程根的情况为（ ）． A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】直接运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根． 4. 已知，相似比为，若的面积为，则的面积为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 如图，直线，分别交直线，于点，，，，，．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 6. 某超市一月份营业额为200万元，三月份营业额为288万元，若每月增长率相同，设月平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平均增长率问题解法，明确一月到三月经过两次增长，用含的式子表示三月营业额后，由等量关系列方程即可． 【详解】解：∵一月份营业额为200万元，月平均增长率为， ∴二月份营业额为万元，三月份营业额为万元， ∵三月份营业额为288万元， ∴． 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知、，把绕点A逆时针旋转后得到，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转的性质得出相等的边和角，然后根据点的坐标得出线段的长度，即可求解． 【详解】解：根据旋转的性质得，，， ∵、， ∴， 则， ∴点C坐标为， 又∵， ∴点D坐标为， 故选：A． 8. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在格点上，连接、，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，连接，证明，再进一步求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 根据网格得到，， ∴， ∴， ∴ ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 二次根式有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数需为非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：二次根式有意义时，被开方数必须是非负数， ， 解得． 10. 已知是方程的一个根，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：是方程的一个根， 将代入原方程， 得：， ， 解得． 11. 如图是自动扶梯的截面．的长为米，与的夹角为，则高为___________米．（用的三角函数和表示） 【答案】 【解析】 【分析】将实际问题转化为直角三角形模型，已知斜边和一个锐角，求对边，利用正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：由题意可知，，则为直角三角形，且． 在中，． ，， ． 故高为米． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的周长之比是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据位似图形的性质可知，且相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即；结合图形可知、、共线且在上，利用求出的值，根据相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形 ，且相似比等于 与的周长之比等于 设，（） 与的周长之比是． 13. 在中，，于点，，，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用公共角和直角相等证明三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例计算的长度． 【详解】解： 在中，，， ， ， ， ， 代入，，得， 解得． 14. 对于一元二次方程（）， ①若方程的两个根为和，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两个实数解一定互为相反数． 上述说法正确的是____________．（填序号） 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】结合一元二次方程根的定义、根与系数的关系、判别式逐一判断即可． 【详解】解：逐个判断每个结论： 对于①，∵方程的两个根为和， ∴，化简得， ，化简得， ∴，故①正确； 对于②，∵， 将代入方程左边，得， ∴是方程的根，因此方程一定有解，故②正确； 对于③，，说明和都是方程的根， 一元二次方程可以有两个不相等的根，例如方程的根为和时，取，满足等式，但，因此③错误； 对于④，，因式分解得， ∵， ∴，与异号，， ∴，且， ∵，即， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，两根之和为， ∴方程的两个实数解一定互为相反数，故④正确； 综上，说法正确的是①②④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，． （1）求点，的坐标； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）、 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了平移、平行四边形的判定、平行四边形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平移的性质解题即可； （2）根据平行四边形的面积计算即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，； 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 且， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；因此此题可根据公式法求解方程． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，是的角平分线，在边上取点，使． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：是的角平分线， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由得出，即可判定； （2）先由三角形外角的定义及性质得出，由角平分线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再由相似三角形的性质得出，最后由三角形内角和定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 19. 某文具店销售一款笔记本，进价为每本4元，售价为每本6元时，每天可卖出200本．经调查发现，售价每上涨1元，每天销量减少10本．若该文具店每天获利1200元，且尽量减少库存，求笔记本的售价． 【答案】笔记本的售价为14元 【解析】 【分析】先设笔记本售价上涨元，用含的代数式分别表示出涨价之后每本笔记本的单件利润和每日销售量，依据总利润等于单件利润乘销售量列出一元二次方程，整理化简方程后因式分解求出两个的解，结合尽量减少库存的条件，要选择销售量更大也就是涨价更少的值，最后计算出笔记本对应的售价． 【详解】解：设笔记本售价上涨了元． 每本进价 4 元，原售价 6 元，涨价后： 每本利润：元． 每天销量：本． 根据：总利润=单件利润×销售量，列方程： ． 整理方程： 因式分解：． 解得：． 涨价时，销量：本， 涨价时，销量：本， ，销量更大，库存减少更快，所以选， ， 答：笔记本的售价为 14 元． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若方程的两根为、，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系列不等式求解即可； （2）由一元二次方程根与系数关系得到，代入已知条件得到关于的一元二次方程，求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得； 【小问2详解】 解：由题意可得， ， ，即， 则，解得或（不满足，舍去）． 21. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点均是格点．的顶点在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上找到点，连结，使为中边上的中线； （2）在图②中的边上找到点，连结，使； （3）在图③中的边上找到点，连结，使． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 如图所示，点F即为所求； 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接即为所求； （2）取格点D，F，连接交于点，连接，得到，可得，即可得； （3）取格点D，E，G，H，M，N，连接，交于点O，连接，交于点P，连接并延长交于点Q，连接，交于点F即为所求；首先根据题意得到点Q是的中点，然后利用勾股定理的逆定理得到，进而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴ 设点C到的距离为h ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 ∵四边形，是矩形 ∴点O和点P是矩形和的对称中心 ∴点Q是的中点 ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了网格作图，三角形中线的概念，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角函数，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22. 在中，，，，将绕点旋转得到，点的对应点是点，点的对应点是点，连接． （1）如图，点在上时， ①求的值．②求的长． （2）当直线与垂直时，的长是 ． 【答案】（1）①② （2）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转得，即可得出，进而解答①；先根据勾股定理求出，过点C作，交于点H，再根据面积相等求出，然后根据勾股定理求出，接下来结合等腰三角形的性质可得，最后由（1）①可得答案； （2）分两种情况顶点在的异侧，先求出，再结合（1）求解；顶点在的同侧，先求出，再结合（1）求解． 【小问1详解】 解：①根据旋转得， ∴， ∴， ∴； ②， 根据勾股定理，得． 过点C作，交于点H， ∴， 解得， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：当顶点在的异侧时，如图所示，连接，H为、的交点，此时， 则， 由（1）得， ∴． 根据勾股定理，得． 同理（1）得， ∴； 当顶点在的同侧时，直线垂直于，垂足为H， 则， 根据题意可知， ∴． 根据勾股定理，得． 同理（1）得， ∴． 所以或． 23. 如图①，中，，，．动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向终点运动，连接，作点关于的对称点，连结、，设点的运动时间为（秒）． （1）线段的长是 ． （2）当点在内部时，则的取值范围是 ． （3）当线段与的某条边平行时，求此时的值． （4）如图②，作，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，直线与直线交于点，当时，请直接写出的值． 【答案】（1）10 （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）先根据题意可知点D在以点C为圆心，6为半径的圆上，，再分两种情况：当点D落在边上时，此时，然后根据面积相等求出，最后根据勾股定理求出，即可得出；当点D落在边上时，此时，作，再说明，可得，然后根据求出，进而得出答案； （3）先根据不能与平行可知有两种情况：当时，延长，交于点M，再说明，即可表示出，进而得出，接下来根据勾股定理求出答案；当时，交于点N，则，可说明，即可表示出，最后根据勾股定理求出答案； （4）分两种情况：作，根据题意得，再设，则，根据勾股定理得，然后由上可知，再说明，可得，接下来说明，根据比例式可得答案； 作，交的延长线于点F，交直线于点O，过点O作，交于点T，则，再根据题意得，下面说明，可得，然后结合题意表示出，根据勾股定理得，最后说明根据比例求出答案． 【小问1详解】 解：在中，， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意可知点D在以点C为圆心，6为半径的圆上， 当点D落在边上时，此时， ∴， 即， 解得． 根据勾股定理，得， ∴； 当点D落在边上时，此时， 过点P作，交于点H， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得． 所以当点D在内部时，； 【小问3详解】 解：不能与平行， 则有两种情况：当时，延长，交于点M， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 即， 解得； 当时，交于点N，则， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， 综上所述，或； 【小问4详解】 解：过点O作，交于点L， 根据题意，得， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得． 由上述可知． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 过点E作，交的延长线于点F，交直线于点O，过点O作，交于点T，则， 根据题意，得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 则， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 所以或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点和点，过点的直线交轴于点，点为线段上一动点，过点作轴垂线，垂足为点，以为边在右侧作正方形，连结、． （1）的面积是 ． （2）设正方形与重叠部分图形为． ①当为五边形时，长的取值范围是 ． ②当点在线段的延长线上时，若图形的面积是面积的时，求的长． （3）当与相似时，点的坐标为 ． 【答案】（1）15 （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）对于一次函数，分别令和，求出直线与坐标轴的交点，即可求解三角形的面积； （2）①先求出直线，由题意设，求出，，，然后找出两个临界状态，即点落在直线上和点与点重合，求出此时的值即可； ②设边与直线交于点，表示出，则，而，再由面积关系建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接，通过证明，求出，则，再分两种情况，写出比例式求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴，轴分别交于点和点， ∴当时， ∴，即 当时，，解得 ∴，即 ∵， ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：设直线， 则代入点可得， 解得 ∴直线 由题意设， ∵四边形是正方形 ∴轴，轴， ∴，， ∴，， 当点落在直线上时，如图： 把代入， 可得 解得， 此时 ∴当时，为五边形，如图： 当点与点重合时，如图： 此时，解得， ∴此时 ∴当时，为五边形； ②点在线段的延长线上时，即，解得 设边与直线交于点，此时图形是梯形，如图： ∵轴， ∴ 将代入直线可得， 解得， ∴ ∴ 而 ∵ ∴ 整理得， 解得或 由于，故舍去， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由上可得，，，， ∵四边形是正方形 ∴，， 在轴负半轴取点，连接，如图： ∴此时， 而 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当与相似时，分两种情况： ①当时 ∴ ∴ 解得 ∴； 当时， ∴ ∴ 解得， ∴， 综上：当与相似时，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $