第1-3章阶段巩固卷2026-2027学年数学九年级上册北师大版

第1-3章阶段巩固卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 一、单选题 1．在四边形中，，若要使该四边形是正方形，则添加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中有实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（     ） A．1，2，4，6 B．2，3，5，8 C．2，3，6，9 D．1，，， 4．在菱形中，如图，，，则（     ） A． B． C． D． 5．已知，是方程的两个实数根，则的值是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知，那么下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 8．某商品原价为每件2000元，连续两次降价后的价格为每件1280元．设平均每次降价的百分率为，可列方程为（     ） A． B． C． D． 9．如图，边长为1的正方形中，点是对角线上的一点，且，点在上，于，于，则（     ） A． B． C． D．3 10．如图，已知和分别是和的高，，则的值为（     ） A．1 B． C． D． 二、填空题 11．已知关于的一元二次方程的其中一个根为，则另一个根为________． 12．如图，点E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，当与满足条件________时，四边形是菱形． 13．如图，是矩形的对角线的中点，是的中点，若，，则四边形的周长为_________________． 14．如图，一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，绿地面积缩小到原来的，则小路宽度是___________． 15．如图， 在中，， 点D以每秒2个单位长度的速度由点 B向点A运动，同时点 E以每秒1个单位长度的速度由点 C向点 B运动，当点 D停止运动时，点E也随之停止．设运动时间为 t秒，当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，则_________． 16．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则与的面积之比为____________． 三、解答题 17．请用规定的方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法）． 18．如图，在中，，平分，点是线段的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)当的边或角满足：________（填一个条件）时，四边形是正方形？请说明理由． 19．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：． (2)若，求的度数． 20．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、、设点、运动的时间为． (1)当________时，四边形是矩形； (2)连接，当时，求的值； (3)当点在的角平分线上时，求的值； 21．某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 22．观察下列一组方程：①；②；③；④…它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”． (1)若也是“连根一元二次方程”，求出实数的值． (2)请写出第个方程和它的根． 23．已知，四边形中，，，连接，平分． (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，当时，点F为线段上一点，连接，以为边长作等边（点E与点C在直线同侧），连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，若，，求线段的长． 24．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，正方形的边、分别在轴和轴的正半轴上，且． (1)如图1，设正方形的面积为，与之间的函数关系式为________；（不要求写出自变量的取值范围）； (2)如图2，点为第一象限内一点，连接、、，，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，取的中点，连接，若，，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1-3章阶段巩固卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A B C D B C C 1．D 【分析】由题意可知四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可判断． 【详解】解：在四边形中， ， 四边形是矩形， 邻边相等的矩形是正方形， 可判断是正方形． 2．D 【详解】解：选项A：，因此该方程没有实数根． 选项B：，因此该方程没有实数根． 选项C：，因此该方程没有实数根． 选项D：，因此该方程有两个不相等的实数根． 3．C 【分析】计算前两条线段之比与后两条线段之比，若二者相等，则这组线段是成比例线段，否则不是． 【详解】解：A、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； B、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意； C、∵， ∴这组线段是成比例线段，符合题意； D、∵， ∴这组线段不是成比例线段，不符合题意． 4．A 【分析】根据菱形的性质可知，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在菱形中，， ∴平分 ∴， ∵ ∴． 5．B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴． 6．C 【分析】根据，可以求得的度数，再根据矩形的性质和三角形内角和，即可得到的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， 即的度数为． 7．D 【详解】解：∵， ∴， ∴； 无法得到，； 故只有选项D正确. 8．B 【分析】设平均每次降价百分率为x，根据等量关系式：原售价连续两次降价后售价，列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，由题意得． 9．C 【分析】连接，把分成和两个小三角形，利用边长、写出两个小三角形面积，得到面积等于；再求出，算出边上的高，用底乘高求出面积，等量代换计算出的结果是． 【详解】解：连接，过点作于． 正方形边长为，，，所以． 正方形对角线． 三角形的面积可以拆成与面积相加． ， 因为，代入得： 在等腰直角中，是斜边上的高， ． ． 联立两个面积算式： 两边同时乘，得到 ． 10．C 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，解答即可； 【详解】解：∵，对应边和的比值， ∴两个三角形的相似比为， ∵、是这对相似三角形的对应高， ∴． 11． 【分析】由根与系数关系可得两根之和，即可得解． 【详解】解：由根与系数关系可得， ∵其中一个根为， ∴另一个根为． 12． 【分析】连接，根据三角形中位线定理说明四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可解答． 【详解】解：连接，，        ，分别为，的中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形， ，分别为，的中点， ， ， ， 是菱形． 13． 【分析】根据矩形的性质可知，，，根据勾股定理可以求出，根据三角形中位线的性质可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，再根据四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， ， 点是的中点，是的中点， ，是的中位线， ，，， 四边形的周长为. 14．/ 【分析】先用含的代数式表示长方形绿地的长和宽后，利用长方形的面积列出方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽为，绿地的长可表示为，宽表示为， 可列方程为， 整理得， 因式分解得， 解得， 由于（超出绿地宽度），舍去， 得， 故小路的宽度为． 15． 【分析】分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：由题意，，， ∴， 点运动到点所用时间为（秒）， ∵， ∴当以B，D，E为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②当时，则， ∴， 解得； 综上. 16． 【分析】根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ∴， ∴， 则与的面积之比为． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ． 18．(1)证明：∵， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴； 在和中， ， ∴； (2)解：当再具备条件时，四边形是正方形，理由如下： ∵在中，平分， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． ，， ， 矩形是正方形． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由线段中点的定义可得，即可证得结论； （2）由三线合一定理得到，可得，结合全等三角形的性质可得，由已知可得，可得四边形是平行四边形，结合可证平行四边形是矩形，再证明，即可证明矩形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 19．(1)证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由平分，可得，由，可得，即可证得结论； （2）由，可得，则，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 20．(1)3 (2) (3)1或3 【分析】（1）先表示出，再根据矩形的判定定理得出答案； （2）先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理得出答案； （3）先说明，再根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，则， 当时，四边形是矩形， 则， 解得； （2）解：∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 当时，四边形是菱形， ∴． 在中，， 即， 解得； （3）解：如图所示，过点P作，于点E， 则四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点A在的角平分线上， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得或． 21．(1)10米 (2)解：饲养场（矩形）的面积不能达到170平方米．理由如下： 设木栏的长为x米，则矩形的长米， 依题意，得：， 即， ∵， ∴没有实数根， ∴饲养场（矩形）的面积不能达到170平方米． 【分析】（1）设木栏的长为x米，则矩形的长米，依题意，得：，解方程即可； （2）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：设木栏的长为x米，则矩形的长米， 依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，，同时，符合题意， 答：饲养场面积为160平方米时，此时边的长为10米． （2）解：略． 22．(1) (2)；或 【分析】（1）根据“连根一元二次方程”可设两个实数根分别为，且t为自然数，根据根与系数的关系可得，解方程即可得到答案； （2）解前面4个方程可推出第n个方程的解为或，再由根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵是“连根一元二次方程”， ∴可设方程的两个实数根分别为，且t为自然数， 由根与系数的关系可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； （2）解：解方程得或， 解方程得或， 解方程得或， 解方程得或， ， 以此类推可知，解第n个方程得或， 设第个方程为， ∴由根与系数的关系可得， ∴， ∴第个方程为． 23．(1)证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． (2)证明：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 即． (3)7 【分析】（1）由已知条件先证得四边形是平行四边形，再由角平分线的性质证得，进一步得出，从而得证结论； （2）由菱形的性质结合已知条件证得是等边三角形，进一步证得，利用全等三角形的性质得出，从而得证结论； （3）延长至点K，使，连接，由（2）的结论先证得点D，C，E三点共线，再证明，结合等边三角形的性质得出，设，通过倒角得出，证出，再进一步证得，利用相似三角形对应边成比例求得，进一步得到最终结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长至点K，使，连接， 由（2）知，， ∴，， ∵， ∴， ∴点D，C，E三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴． 24．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形面积公式即可建立函数表达式； （2）过点作交延长线于点，然后证明即可； （3）过点作交延长线于点，连接，先证明，求出，，延长至点，使得，过点作，并使得，连接，然后证明点三点共线，根据三角形中位线定理可得，再证明，推出，最后再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵设正方形的面积为， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：过点作交延长线于点，则 ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：∵四边形是正方形 ∴， 过点作交延长线于点，连接 ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， 同（2）可得， ∴ ∴ ∴ ∴ 延长至点，使得，过点作，并使得，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴点三点共线， ∵点为的中点 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $