精品解析：广东中山市第一中学2026-2027学年高三上学期第一次阶段考试数学试题

中 山 一 中2027届 高 三 第 一 次 统 考 数 学 命题人：郑军强 审题人：宋春宇 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合A,B,然后取交集即可. 【详解】, 则, 故选：A 2. 设，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，解得，由，可知“”是“”的充分不必要条件，选A. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得函数定义域为，图象关于轴对称，结合选项一一判断即可． 【详解】根据图象得函数定义域为，图象关于轴对称，即为偶函数． 对于A选项，，排除； 对于B选项，函数定义域为，排除； 对于C选项，函数定义域为，，故函数为非奇非偶函数，排除； 对于D选项，函数符合图象要求． 故选：D 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，从函数的值域判断图象的上下位； (2)从函数的单调性判断； (3)从函数的奇偶性判断； (4)从函数的特征点排除不合要求的选项. 4. 已 知 函 数是偶函数，当 时，恒成立，设 ，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性定义与奇偶性定义，即可比较函数值大小. 【详解】当 时 ，，则， 所以函数在单调递增， 又因为是偶函数，所以， 即， 所以 即． 5. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合指数与对数函数的单调性分别确定，，的范围，进而比较大小即可． 【详解】由，，， 所以，，的大小关系是． 故选：D． 6. 中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，其中雪上项目金牌为5枚，冰上项目金牌为4枚.现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则不同的报名方案有（ ） A. 35 B. 50 C. 70 D. 100 【答案】B 【解析】 【分析】根据要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，可将6名同学分为和两类，通过分步乘法计数原理，分别求出每一类组合有多少种，再由分类加法计数原理可得答案. 【详解】由题干可知，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则组合为：和两类， （1）若为“”组合，将6名同学分为两组，一组2人，另一组4人，有种分组方式；将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种； （2）若为“”组合将6名同学分为两组，一组3人，另一组也为3人，有种分组方式，将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全排列有种，由分步乘法计数原理，则该组合有种； 由分类加法计数原理，则不同的报名方式有种； 故选：B. 7. 国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在 生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率．若生产状态正常，有如下命题： 甲： ； 乙：的取值在内的概率与在内的概率相等； 丙：； 丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则， (参考数据：若， 则，，； ) 其中假命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】根据可判断甲；根据两个区间长度相等，对称轴落在区间可判断乙；根据概率的对称性可判断丙；求出1只口罩的过滤率大于的概率，再由二项分布的概率以及对立事件的概率即可判断丁，进而可得正确答案． 【详解】由知，， 对于甲：由正态分布曲线可得：， 故甲为真命题； 对于乙：两个区间长度均为1个σ， 但，由正态分布性质知， 落在内的概率大于落在内的概率，故乙是假命题； 对于丙：由知，丙正确； 对于丁：1只口罩的过滤率大于的概率 ，， 所以， ，故丁是真命题． 8. 已知函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】函数，均有有两个零点，分类讨论每部分的零点个数，结合零点分布处理． 【详解】∵，则二次函数有两个零点 若恰有两个零点，则，得 此时无零点，则，解得 则 若无零点，则，得 此时有两个零点，则，得 则 若有且仅有一个零点，则得， 或，得或，经检验不合题意 则 此时有且仅有一个零点，则，解得且 则且 综上所述： 故选：B． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错得0分，部分选对的得部分分．） 9. 下列叙述中不正确的是（ ） A. 若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”； B. 若，则“”的充要条件是“”； C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D. “”是“”的充分不必要条件. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于AB，举例判断即可，对于C，当方程有一正根和一负根时，求出的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于D，由求出的范围，然后根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】对于A，当时，若，则恒成立，所以A错误， 对于B，当时，由推不出，所以B错误， 对于C，当方程有一个正根和一个负根时，有，解得， 因为能推出，而不一定有， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，所以C正确， 对于D，由，得，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以D正确， 故选：AB 10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（ ） A. 事件B与事件相互独立 B. ，，是两两互斥的事件 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意，，是两两互斥的事件，由条件概率公式求出， ，对照四个选项进行判断即可． 【详解】解：由题意，，是两两互斥的事件，故B正确； 又，，，，由此知，C正确； 同理可得，， 而，故D错误． 因为，即，所以事件B与事件不相互独立，故A错误； 故选：BC． 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的前项和 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意分析出数列为等比数列，再求其前项和，再对各项逐一分析即可． 【详解】从第一行开始，每一行的数依次对应的二项式系数， 所以，所以为等比数列，， 所以，故A错误； ， 故的前项和为， 故B正确； 去掉每一行中的1以后，每一行剩下的项数分别为0，1，2，3…，构成一个等差数列， 项数之和为，则的最大整数为11，此时, 杨辉三角中取满了第11行，第12行首位为1， 取的就是第12行中的第3项，，故C正确； 是中去掉22个1，再加上第12行中的第2项和第3项， 所以，故D正确. 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题考查“杨辉三角”与数列求和问题，解题的关键是将数列与“三角数阵”联系起来，结合二项式系数的性质与等比数列求和公式求解. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分．） 12. 的展开式中的系数为___________.（用数字作答） 【答案】-162 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解的通项公式，进而求出答案. 【详解】4属开式的通项公式为.当时，x4的展开式中的系数为；当时的展开式中的系数为，故—的展开式中的系数为-162. 故答案为：-162 13. 若实数，满足，且，则的最大值为______. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】令，对不等式变形得到，利用基本不等式进行求解. 【详解】令，则， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为 故答案为： 14. 从标有的张卡片中依次抽出两张，则在第一次抽到数字为的倍数的条件下，第二次抽到的数字大于第一次的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件：第一次抽到的数字为的倍数；事件：第二次抽到的数字大于第一次； 则，，. 故答案为：. 四 、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某西红柿种植户将一批西红柿批发给当地一家超市，超市根据西红柿的品质将其分为一级品、二级品和三级品，批发单价分别为6元/、5元/和4元/． （1）根据以往的经验，该种植户的西红柿为一级品、二级品和三级品的比例分别为20%，50%，30%，估计这批西红柿批发单价的平均值； （2）为了对西红柿进行合理定价，超市对近5天的日销量y 和单价(i=1,2,3,4,5 )进行了统计，得到一组数据如表所示： 销售单价 (元/kg) 5 6 7 8 9 日销量 (kg) 150 135 110 95 75 根据表中所给数据，用线性回归模型拟合y 与 x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测当西红柿单价为12元/时，该超市西红柿的日销量． 参考公式：线性回归方程中 ，，. 参考数据：，， 【答案】（1）元/ （2）， 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用平均数的定义列式求解. （2）求出，再利用最小二乘法求出回归方程，进而估计出超市西红柿的日销量. 【小问1详解】 估计这批西红柿批发单价的平均值为（元/）. 【小问2详解】 由数表得， 则，， 所以y关于x的线性回归方程为； 当时，（）， 所以当西红柿单价为12元/时，预测该超市西红柿的日销量为. 16. 已知等差数列的前n 项和为，且，，数列为等比数列，且. （1）求数列和的通项公式； （2）求； （3）求证：. 【答案】（1），； （2） （3）证明：， 所以 . 【解析】 【分析】（1）求出公差和首项，得到等差数列的通项公式，进而求出首项和公比，求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和. （3）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设等差数列公差为，由，得，整理得， 由，得，整理得， 联立解得，因此数列的通项公式； 由，得，， 则等比数列的公比，所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）得，， ， 两式相减得， 所以 【小问3详解】 略 17. 某厂生产两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中． （注：收益率） 等级 一等品 二等品 三等品 指标值 产品收益率 （1）求的值； （2）将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体． ①从产品中随机抽取3件，求其中一等品件数的分布列及数学期望； ②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品或产品，试分析投资哪种产品收益更大． 【答案】（1）； （2）①分布列见解析，；②投资产品的收益更大. 【解析】 【分析】（1）利用直方图可得，即求； （2）①由题可得，即求；②分别计算收益，比较即得. 【小问1详解】 由题可得， 解得. 【小问2详解】 ①由直方图知：产品为一等品的概率是，二等品概率是，三等品概率是， 由题知随机抽取3件是一等品的件数X可能的取值是0，1，2，3，且，，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 ∴. ②由题可得，产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为， 产品为一等品的概率为，二等品的概率为，三等品的概率为， 产品的收益：, 产品的收益：, ∴， 因为， 所以，即， 故投资产品的收益更大． 18. 定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界已知函数 （1）当，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由； （2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 【答案】（1）值域为(3，＋∞)；不是有界函数，理由如下： 当a＝1时，f(x)＝1＋ 因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)， 故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立， 所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立． －3≤f(x)≤3，－4－≤a·≤2－， 所以－4·2x－≤a≤2·2x－在[0，＋∞)上恒成立． 所以≤a≤， 设2x＝t，h(t)＝－4t－，p(t)＝2t－，由x∈[0，＋∞)得t≥1， 设1≤t1<t2，h(t1)－h(t2)＝>0，p(t1)－p(t2)＝<0， 所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5， p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5，1]． 19. 设函数，曲线在处的切线与轴交于点； （1）求； （2）若当时，，记符合条件的的最大整数值､最小整数值分别为，，求.注：为自然对数的底数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义求出在处的切线方程，根据切线与轴交于点，即可求得； （2）法一：由（1）知，则不等式可化为，构造函数，利用导数并讨论导数的正负，从而求得存在，，分离参数，表示出，构造新函数，结合导数求得，进而求得答案； 法二：讨论x的取值范围，从而分离出参数b，在，的情况下，分别构造函数，利用导数判断单调性求的最值，最后确定，由此可得答案； 法三：令，由可解得，从而取，证明证当时，不等式在时恒成立，令，由，解得，故取，再证当时，不等式在时恒成立，由此求得答案. 【小问1详解】 依题意得：， 所以. 又因为， 所以在处的切线方程为， 因为曲线在处的切线与轴交于点， 所以， 解得. 【小问2详解】 解法一:由（1）知，则不等式可化为， 设， 则， 设，则， 因为，所以， 所以在单调递增，即在单调递增， 所以， ①若，则， 所以在单调递增， 所以， 解得， 所以； ②若，则， 因为在单调递增， 当时，， 则存在使得， 当时，取，则， 所以存在，使得， 综上，当时，存在，使得，即， 故当时，， 则在单调递减， 当时，， 则在单调递增， 所以,（*） 由，得， 代入（*）得， 设， 则， 因为，所以由得， 当时，， 所以在上单调递增， 当时，， 所以在单调递减， 又因为，，， 所以当时，， 所以满足的的取值范围是， 又因为， 设，则， 所以在单调递增， 所以， 综上所述， 又因为， 所以，，所以. 解法二： 由（1）知：，则， ①当时，左边等于恒成立，此时； ②当时，原不等式可化为对任意恒成立. 设，则. 设，则. 因为，所以， 所以在上单调递增. 又因为， 所以是在上的唯一零点， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以. ③当时，原不等式可化为， 此时对于②中函数的导函数，， 可知当时，， 所以在单调递减，且， 所以当时，， 所以当时，， 所以在上单调递减， 所以， 所以， 综上所述， 又因为， 所以，，所以. 解法三： 令，由得， 解得， 取，下证当时，不等式在时恒成立， 设，则，由可得， 当时，， 所以单调递减， 当时，， 所以单调递增， 所以，所以符合题意； 令，由得， 解得， 取，下证当时，不等式在时恒成立， 设，则， 令，则， 所以当时，， 则在上单调递减， 当时，， 则在上单调递增， 所以， 所以当时，恒成立. 当时，， 所以， 所以， 设，则， 设，则， 所以在单调递增，且， 所以当时，， 则在单调递减， 当时，， 则在单调递增， 所以， 所以， 所以， 综上当时，不等式在时恒成立， 所以. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性､导数､导数的几何意义及其应用､不等式等基础知识，考查推理论证能力､运算求解能力､创新意识等，考查分类与整合思想､数形结合思想､一般与特殊思想，涉及的核心素养有直观想象､数学抽象､数学运算､逻辑推理等，体现综合性与创新性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中 山 一 中2027届 高 三 第 一 次 统 考 数 学 命题人：郑军强 审题人：宋春宇 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已 知 函 数是偶函数，当 时，恒成立，设 ，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，其中雪上项目金牌为5枚，冰上项目金牌为4枚.现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则不同的报名方案有（ ） A. 35 B. 50 C. 70 D. 100 7. 国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在 生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率．若生产状态正常，有如下命题： 甲： ； 乙：的取值在内的概率与在内的概率相等； 丙：； 丁：记表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于的数量，则， (参考数据：若， 则，，； ) 其中假命题是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 已知函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错得0分，部分选对的得部分分．） 9. 下列叙述中不正确的是（ ） A. 若，则“不等式恒成立”的充要条件是“”； B. 若，则“”的充要条件是“”； C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件； D. “”是“”的充分不必要条件. 10. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以事件，和表示从甲罐取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，以事件B表示从乙罐取出的球是红球，则下列结论中正确的是（ ） A. 事件B与事件相互独立 B. ，，是两两互斥的事件 C. D. 11. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列.从第1行开始，第n行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，依次去掉每一行中所有的1构成的新数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，...，记为，的前项和记为，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的前项和 C. D. 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分．） 12. 的展开式中的系数为___________.（用数字作答） 13. 若实数，满足，且，则的最大值为______. 14. 从标有的张卡片中依次抽出两张，则在第一次抽到数字为的倍数的条件下，第二次抽到的数字大于第一次的概率为_____. 四 、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某西红柿种植户将一批西红柿批发给当地一家超市，超市根据西红柿的品质将其分为一级品、二级品和三级品，批发单价分别为6元/、5元/和4元/． （1）根据以往的经验，该种植户的西红柿为一级品、二级品和三级品的比例分别为20%，50%，30%，估计这批西红柿批发单价的平均值； （2）为了对西红柿进行合理定价，超市对近5天的日销量y 和单价(i=1,2,3,4,5 )进行了统计，得到一组数据如表所示： 销售单价 (元/kg) 5 6 7 8 9 日销量 (kg) 150 135 110 95 75 根据表中所给数据，用线性回归模型拟合y 与 x 的关系，求出y 关于x 的线性回归方程，并预测当西红柿单价为12元/时，该超市西红柿的日销量． 参考公式：线性回归方程中 ，，. 参考数据：，， 16. 已知等差数列的前n 项和为，且，，数列为等比数列，且. （1）求数列和的通项公式； （2）求； （3）求证：. 17. 某厂生产两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中． （注：收益率） 等级 一等品 二等品 三等品 指标值 产品收益率 （1）求的值； （2）将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体． ①从产品中随机抽取3件，求其中一等品件数的分布列及数学期望； ②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品或产品，试分析投资哪种产品收益更大． 18. 定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界已知函数 （1）当，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由； （2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围． 19. 设函数，曲线在处的切线与轴交于点； （1）求； （2）若当时，，记符合条件的的最大整数值､最小整数值分别为，，求.注：为自然对数的底数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $