精品解析：辽宁葫芦岛市龙港区2026-2027学年上学期九年级数学10月学情自测试题

2026—2027学年度第一学期九年级阶段检测 数学试卷 （本试卷共23小题试卷；满分120分；考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 3. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 顶点坐标为 C. 有最小值3 D. 与轴有两个交点 5. 若等腰三角形的某两边的长是方程的两根，则它的周长为（ ） A. 9或12 B. 9 C. 5或2 D. 12 6. 据统计，某款软件首日在某平台的下载量为万次，第二天、第三天连续增长，第三天下载量达到了万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 若点，点，点在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 下列表格中数据是二次函数的几组对应值： 根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线（为常数）与轴负半轴交于，两点，与轴负半轴交于点，那么关于的一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是二次函数图象的一部分，经过点，且与轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是关于的一元二次方程，则的值为__________． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 13. 在某校“科技点亮未来”活动中，火箭模型弹射这一充满巧妙构思的作品吸引了同学们的目光，火箭模型从地面弹出．模型在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当火箭模型达到最高点时，其最大高度为__________米． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 15. 已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 17. 毕业前夕，舞蹈社团每位同学都给本社团的其余成员各写了一份毕业留言，一共写了份．该舞蹈社团共有多少名同学？ 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 19. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点在轴下方的抛物线上，求当时点的坐标． 20. 为布置国庆会展，某公园规划修建花圃，用于种植花卉．根据公园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度不限），用总长为的栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏），门宽为． 设与墙垂直的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息： （1）求与的函数表达式（结果写成一般式）． （2）与墙垂直的边长为多少时，花圃的面积有最大值？最大值为多少？ 21. 问题情境： 打铁花，又叫打树花，是流传于河南开封地区的一种民间烟火（社火），表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落点的水平距离为． 数学建模： 用如图所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： （1）求该抛物线的表达式． （2）铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ 22. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是2个单位，连接、、，设点P、Q的运动时间为． （1）当　　　　　时，四边形为菱形； （2）是否存在某一时刻使得．如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由； （3）在运动过程中，沿将翻折，翻折后点D的对应点恰好落在线段上（端点除外）．请求出此时的值． 23. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若点为抛物线上线段上方一点，过点作，垂足为点，求线段的最大值． （3）将抛物线沿轴折叠得到抛物线，抛物线的部分与抛物线的部分构成新的图象．当时，图象上的最高点与最低点的高差为3．请直接写出值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期九年级阶段检测 数学试卷 （本试卷共23小题试卷；满分120分；考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项：未说明，不一定是二次函数，不符合． B选项：，不是二次函数，不符合． C选项：是二次函数，符合． D选项：分母含有未知数，不是二次函数，不符合． 2. 若是方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程根的定义，代入已知根构造关于的一元一次方程求解. 【详解】解：把代入方程，得， 整理得， 解得. 3. 下列一元二次方程中，无实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，分别计算各选项的判别式，根据时方程无实数根的规则选出正确选项； 【详解】解：对于一元二次方程（），根的判别式为， 选项A：方程中，，，，，方程无实数根，符合题意； 选项B：方程中，，，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； 选项C：方程中，，，，，方程有两个相等的实数根，不符合题意； 选项D：方程中，，，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 4. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 顶点坐标为 C. 有最小值3 D. 与轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线顶点式可对A，B，C选项进行判断；通过计算，得，得方程无实数根，可对 D选项进行判断． 【详解】解：中， ，抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，且函数有最小值，故A、B选项错误，C正确； 令，得，即，，方程无实数根，抛物线与轴无交点，故D选项错误． 5. 若等腰三角形的某两边的长是方程的两根，则它的周长为（ ） A. 9或12 B. 9 C. 5或2 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】需分腰长的两种情况讨论，验证能否构成三角形后再计算周长． 【详解】解：解方程， 因式分解得， ∴或， ∴，． 当腰长为2时，三边长为2，2，5， ∵， ∴不能构成三角形，舍去． 当腰长为5时，三边长为5，5，2， ∵， ∴周长为． 6. 据统计，某款软件首日在某平台的下载量为万次，第二天、第三天连续增长，第三天下载量达到了万次．设这三天的日平均增长率为．根据题意，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：首日下载量为150万次，日平均增长率为x． ∴ 第二天下载量为万次， ∴ 第三天下载量为万次． ∵ 第三天下载量为260万次， ∴ 可列方程． 7. 若点，点，点在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴与开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 又∵， ∴． 8. 下列表格中数据是二次函数的几组对应值： 根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由表格得，当时，的取值范围是， ∵在该范围内， ∴方程的一个解的范围是． 9. 如图，抛物线（为常数）与轴负半轴交于，两点，与轴负半轴交于点，那么关于的一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线与轴交点位置确定的符号，根据对称轴位置确定的符号，进而判断一次函数图象经过的象限. 【详解】解：由抛物线与轴负半轴交于点， ， ∵由抛物线对称轴在轴左侧， ，即， 在一次函数中，，，  一次函数图象经过第一、二、四象限. 10. 如图，是二次函数图象的一部分，经过点，且与轴的交点在点与之间，函数图象的对称轴为直线，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，得到，故C选项错误；根据对称轴得到，故B选项错误；抛物线x与轴的另一个交点为，得到，故A选项错误；当，，得，，由于抛物线与y轴的交点在点与之间，得到，解不等式，得D选项正确． 【详解】解：对称轴为直线，经过点， 抛物线与x轴的另一个交点为， ，即，故C选项错误； 当时，，故A选项错误； ， ，，故B选项错误； 当，， ， ， ， ， 抛物线与y轴的交点在点与之间， ， ，故D选项正确． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是关于的一元二次方程，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴且， 解，得，即或， 由，得， ∴． 12. 已知是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，对所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程得， 即， ∴． 13. 在某校“科技点亮未来”活动中，火箭模型弹射这一充满巧妙构思的作品吸引了同学们的目光，火箭模型从地面弹出．模型在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当火箭模型达到最高点时，其最大高度为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】求火箭模型的最大高度，即求二次函数的最大值，可通过配方得到顶点式，结合二次函数性质求解． 【详解】解：对函数关系式配方，得， ∵， ∴二次函数开口向下，顶点为最高点，的最大值为． 即最大高度为米． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 15. 已知二次函数，当时，函数的最大值与最小值的差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次函数配方得到对称轴和开口方向，对称轴在给定区间内，开口向下时顶点处取最大值，离对称轴更远的端点处取最小值，计算最值后求差即可． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，二次函数取得最大值， 当时，， 当时，， ， 二次函数的最小值为， 最大值与最小值的差为． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）用配方法解一元二次方程； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 或 ， 17. 毕业前夕，舞蹈社团每位同学都给本社团的其余成员各写了一份毕业留言，一共写了份．该舞蹈社团共有多少名同学？ 【答案】该舞蹈社团共有13名同学 【解析】 【分析】根据每个人只能给除自己以外的人写毕业留言，即每个人写份，据此列一元二次方程解题． 【详解】解：设该舞蹈社团共有名同学， ∵每个人只能给除自己以外的人写毕业留言， ∴每个人写份留言， 据此列得方程， 解得， （舍去）， ∴该舞蹈社团共有13名同学． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） 的取值范围为 （2） 的值为 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式进行计算； （2）利用根与系数的关系得到，求解一元二次方程，同时需要满足（1）所求的k的取值范围． 【小问1详解】 解：在一元二次方程中， ，，， 方程有两个实数根，， ， 整理得：， 解得：， 【小问2详解】 一元二次方程有两个实数根，， ，， ， 即， ， 整理得：， 即， ，， ， ． 19. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点在轴下方的抛物线上，求当时点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）根据已知设，，再由，得出平行于轴，，然后根据列方程求出的值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点在轴下方的抛物线上， ∴可设，， ∵，， ∴平行与轴，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 当时，，符合； 当时，，符合； ∴点的坐标为或． 20. 为布置国庆会展，某公园规划修建花圃，用于种植花卉．根据公园平面图情况，设计围成矩形花圃，花圃一边靠墙（墙的长度不限），用总长为的栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个进出的门（此处不用栅栏），门宽为． 设与墙垂直的边的长度为，花圃的面积为，根据以上信息： （1）求与的函数表达式（结果写成一般式）． （2）与墙垂直的边长为多少时，花圃的面积有最大值？最大值为多少？ 【答案】（1）； （2）与墙垂直的边长为时，花圃的面积有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】（1）求出与墙平行的边的长度，进而列函数表达式，根据边长为正的实际意义求出的取值范围即可； （2）将二次函数化为顶点式，进而作答即可． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， ， 根据边长为正的实际意义可知且， 解得， ∴； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∵在范围内， ∴与墙垂直的边长为时，花圃的面积有最大值，最大值为． 21. 问题情境： 打铁花，又叫打树花，是流传于河南开封地区的一种民间烟火（社火），表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型，经验证，该模型能较好地吻合实际路径． 实验数据： 铁水从水平地面上的表演台中心被击打后飞出，最终落在水平地面上．铁水运动路径的最高点距地面，表演台中心与铁水落点的水平距离为． 数学建模： 用如图所示的抛物线表示铁水运动路径，其顶点为，对称轴为直线，铁水落地点为．以表演台中心为原点，水平向右为轴正方向，过点且竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系． 问题解决： （1）求该抛物线的表达式． （2）铁水在飞行过程中，距离地面高度不低于的水平飞行距离有多长？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设顶点式，再代入原点即可得解； （2）先求出距离地面高度不低于的x的范围，进而得解. 【小问1详解】 解：根据题意，该抛物线的顶点N的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， 该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，． 解得：， ， 当时，铁水在飞行过程中距离地面高度不低于， 距离地面高度不低于的水平飞行距离为． 22. 如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是2个单位，连接、、，设点P、Q的运动时间为． （1）当　　　　　时，四边形为菱形； （2）是否存在某一时刻使得．如果存在，请求出值；如果不存在，请说明理由； （3）在运动过程中，沿将翻折，翻折后点D的对应点恰好落在线段上（端点除外）．请求出此时的值． 【答案】（1）； （2）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （3） 【解析】 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （2）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，根据勾股定理列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （3）根据折叠的性质得到，，进而得到，根据等角对等边得到，过点作于，在中，由勾股定理：，求解后舍去不合要求的解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ∴，即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴， 解得， 故当时，四边形为菱形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， ∵沿将翻折，翻折后点D的对应点恰好落在线段上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于， 同（2）可知，． 在中，由勾股定理：， ∴ 解得（此时与重合，是端点，舍去），． 23. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若点为抛物线上线段上方一点，过点作，垂足为点，求线段的最大值． （3）将抛物线沿轴折叠得到抛物线，抛物线的部分与抛物线的部分构成新的图象．当时，图象上的最高点与最低点的高差为3．请直接写出值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）先根据待定系数法求出直线的解析式，过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先根据轴对称的性质、二次函数的性质求出新的图像L的表达式为，然后画出草图，再分；；三种情况求解即可. 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：对于， 当时，， ∴ 设直线的解析式为， 将点、代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：， ∴顶点坐标为， ∴点关于轴的对称点为点， ∴抛物线沿轴折叠得到抛物线的表达式为， ∴新的图像L的表达式为， 草图如下： 当，即时， 由图象知：， 解得； 当时， 由图象知：， 解得； 当时，由图象知：最高点的纵坐标为， ∴最低点的纵坐标为， ∴当时， 解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）， 当时， 解得（不符合题意，舍去），（不符合题意，舍去）， 综上，符合题意的值为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $