精品解析：山东日照市献唐中学2026--2027学年上学期九年级10月学情自测数学试题

山东日照市献唐中学2026—2027学年上学期九年级10月月考 数学试题 一、单选题：每小题3分，共30分． 1. 下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（ ） A. ②③⑥ B. ①③⑥ C. ①③⑤ D. ④⑤⑥ 2. 已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是（ ） A. B. 4 C. D. 3. 若抛物线的开口向上，对称轴是直线，点、、都在该抛物线上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建九块形状大小相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，停车区域之间留有宽度相等的行车通道（阴影部分），求行车通道的宽度是多少？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 反比例函数 与一次函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 0.5 8. 如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为，当水位上升时，水面的宽为( ) A. B. C. D. 9. 根据下列表格中二次函数的自变量x与y的对应值，判断关于x的一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 0 1 2 3 4 y 5 13 23 A. B. C. D. 10. 已知二次函数（为常数），当时，的最小值为5，那么的值为（ ） A. B. 5 C. 或5 D. 1或 二、填空题：每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的两根为，则的值为______． 12. 在函数（a为常数）的图象上有三点、、，且，则、、的大小关系是______（用“”表示）． 13. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是________． 14. 已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____． 15. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论的序号是______． 三、解答题：共75分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 18. 学校开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 外国语学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2025．3．1 班级人员 第三小组8名同学 地点 旺鲜生蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2．5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价1元，每天少销售50千克． 解决问题 问题1 超市想一天销售青菜获利100元，青菜的售价为多少元/千克？ 问题2 超市一天销售青菜能否获利150元？若能，请求出青菜的售价为多少元/千克；若不能，请说明理由． 19. 一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系式，测得一些数据（如下表）． 滑行时间t/s 0 1 2 3 4 滑行距离s/m 【实验猜想】 （1）为观察与之间的关系，请在方格图坐标系中描出表中数据对应的5个点，并用平滑曲线连接它们： （2）试猜想这图象应该是我们已经学过的函数图象 的一部分，因此，应该是的 函数． 【推理验证】 （3）试求出函数解析式． 【数据分析】 （4）滑雪者滑行5秒，滑行距离是多少？ （5）若滑行者在山坡上的出发点和终点的距离是，他需要多长时间才能到达终点？ 20. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，自变量x的取值范围； （3）点是轴上一点，当时，请求出点的坐标． 22. 若飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机着陆后，滑行多远才能停下来？最后将滑行多远？ 23. 已知抛物线，为实数． （1）如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． （3）点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东日照市献唐中学2026—2027学年上学期九年级10月月考 数学试题 一、单选题：每小题3分，共30分． 1. 下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，其中y是x的反比例函数的有（ ） A. ②③⑥ B. ①③⑥ C. ①③⑤ D. ④⑤⑥ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义：形如（其中且k为常数）的函数是反比例函数，据此定义判断即可． 【详解】解：由得，，故反比例函数有：①③⑥； 故选：B． 2. 已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，． 【详解】解：根据题意可得：，，， ∴， ∵该方程一个根为，令， ∴，解得：． 故选：B． 3. 若抛物线的开口向上，对称轴是直线，点、、都在该抛物线上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的对称性和增减性求解即可. 【详解】由题意得：（1）当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 （2）因为对称轴是，所以当时，；当时， 又因 则，即 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数图象的对称性和增减性，掌握理解二次函数的图象和性质是解题关键. 4. 如图，某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建九块形状大小相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，停车区域之间留有宽度相等的行车通道（阴影部分），求行车通道的宽度是多少？设行车通道的宽度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意得到停车区域的总长和总宽，再利用停车区域面积总和为，即可列出方程解题． 【详解】解：由图可知，矩形空地每条边上都有两条宽的行车通道， 又停车区域面积总和为，矩形空地长为，宽为， 停车区域的总长和总宽分别为和， 可列方程得：， 故选：A． 5. 在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与a的关系，分析得出答案． 【详解】解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大， 故选：D． 6. 反比例函数 与一次函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数图象的性质是解题的关键，把分类讨论，分别判断反比例函数与一次函数图象位置即可得到答案． 【详解】解：当时，则， ∴的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无符合选项； 当时，则， ∴的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，A 选项符合． 故选：A． 7. 双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 1.5 D. 0.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即． 如果设直线与x轴交于点C，那么的面积的面积的面积．根据反比例函数的比例系数k的几何意义，知的面积为2，的面积为1，从而求出结果． 【详解】解：设直线与轴交于点． ∵轴， ∴轴，轴． ∵点在双曲线的图象上， ∴的面积． 点在双曲线的图象上， ∴的面积． ∴的面积的面积的面积． 故选：A． 8. 如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为，当水位上升时，水面的宽为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：如图，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 点到水面的距离为米， 、点的纵坐标为， 水面宽为米， ，， 将，代入， ， ∴ ， ∴， 水位上升米就达到警戒水位， 点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 根据下列表格中二次函数的自变量x与y的对应值，判断关于x的一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 0 1 2 3 4 y 5 13 23 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查估算能力，仔细看表，可发现y的值和5最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，，即这个数是的一个根． 故关于x的一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：C． 10. 已知二次函数（为常数），当时，的最小值为5，那么的值为（ ） A. B. 5 C. 或5 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象的性质是解题关键． 二次函数顶点为，开口向上．当时，最小值为不符合题意，故分和两种情况讨论，分别令和时，解方程并舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵二次函数的顶点为，且开口向上， ∴当时，最小值为． 但题中当时，最小值， ∴和． ①若，则函数在上递增，最小值在处， ∴ ，即 ， 解得：或（舍去）， ②若，则函数在上递减，最小值在处， ∴ ，即 ， 解得：（舍去）， 综上所述，或， 故选：C． 二、填空题：每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的两根为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数关系即可解答，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴， 故答案为：． 12. 在函数（a为常数）的图象上有三点、、，且，则、、的大小关系是______（用“”表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质、比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图象位于二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点在反比例函数图象上，且， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴． 故答案为：． 13. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】先确定抛物线的解析式为直线x=2,则利用抛物线的对称性可确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为,然后根据抛物线与x轴的交点问题可判断一元二次方程的两个实数根. 【详解】抛物线（为常数)的对称轴为直线,x=-=2， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为, 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 所以关于x的一元二次方程的两个实数根是,=3. 故答案为,=3 【点睛】根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答． 14. 已知等腰三角形中，，，的长是关于的方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】应分两种情况进行讨论，分别利用根与系数的关系、三角形三边关系定理求得方程的两个根，进而求得答案． 【详解】解：∵关于x的方程， ∴，，， ∴，， ∵是等腰三角形，、的长是关于x的方程的两根， ∴①当为底时，则、均为等腰三角形的腰，有且， ∴，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则； ②当为腰时，则、中一个为腰一个为底，有，即，此时等腰三角形的三边分别为、、，根据三角形三边关系定理可知可以构成三角形，则． ∴综上所述，的值为或． 15. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握图像与字母的关系是解题关键． ①根据图像开口朝下，对称轴为直线，抛物线与轴正半轴相交可进行判断． ②根据图像与轴有两个交点，由可进行判断． ③当，有，当，有，由可进行判断． ④对称轴为直线，有，再由可进行判断． 【详解】①抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ，， 抛物线与轴正半轴相交， ， ． 故①正确． ②抛物线与轴有两个交点， ， ， 故②正确． ③当，有， 当，有， ， ， ， 故③不正确． ④对称轴为直线， ， ， ， ， 故④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题：共75分． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法进行求解； （2）因式分解法进行解方程． 【小问1详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： 或， ∴，． 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 当方程有实数根时，实数的取值范围为； 【小问2详解】 解：方程两实数根分别为，， ，． ， ， ， 整理，得：， 解得：，． ， 实数的值为1． 18. 学校开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 外国语学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2025．3．1 班级人员 第三小组8名同学 地点 旺鲜生蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2．5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价1元，每天少销售50千克． 解决问题 问题1 超市想一天销售青菜获利100元，青菜的售价为多少元/千克？ 问题2 超市一天销售青菜能否获利150元？若能，请求出青菜的售价为多少元/千克；若不能，请说明理由． 【答案】问题1：3元/千克； 问题2：超市一天销售青菜不能获利150元，理由如下： 设青菜的售价为元/千克， 整理得：， ∵ ∴方程没有实数根，故超市一天销售青菜不能获利150元． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到相等关系列出方程是解题的关键． 问题1：设青菜的售价为元/千克，根据“一天销售青菜获利100元”列出方程求解即可； 问题2：设青菜的售价为元/千克，根据“一天销售青菜能否获利150元”列出方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：问题1：设青菜的售价为元/千克， 由题意得：， 解得：，． ∵超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠， ∴青菜的售价为3元/千克， 答：超市想一天销售青菜获利100元，青菜的售价为3元/千克． 问题2：略 19. 一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系式，测得一些数据（如下表）． 滑行时间t/s 0 1 2 3 4 滑行距离s/m 【实验猜想】 （1）为观察与之间的关系，请在方格图坐标系中描出表中数据对应的5个点，并用平滑曲线连接它们： （2）试猜想这图象应该是我们已经学过的函数图象 的一部分，因此，应该是的 函数． 【推理验证】 （3）试求出函数解析式． 【数据分析】 （4）滑雪者滑行5秒，滑行距离是多少？ （5）若滑行者在山坡上的出发点和终点的距离是，他需要多长时间才能到达终点？ 【答案】 （1）如图所示： （2）抛物线；二次函数；（3）关于的函数关系式为；（4）当滑行时间为5s时，小聪在山坡上滑行的距离米；（5）他需要到达终点 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象与性质： （1）根据点和坐标的关系作图； （2）根据函数的图象进行求解； （3）根据待定系数法求解； （4）由自变量的值代入求解； （5）由函数值代入解方程． 【详解】（1）略 （2）根据图象猜想是抛物线的一部分，因此s应该是t的二次函数； 故答案为：抛物线，二次； （3）设关于的函数关系式为，将代入，得 ， 解得：， 关于的函数关系式为； （4）当时，． 当滑行时间为时，小聪在山坡上滑行的距离米． （5）由题意可知，把代入方程得：，解得，（舍去） 答：他需要到达终点． 20. 综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． （1）求方案一中与墙垂直的边的长度； （2）要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】（1）15米； （2）当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【解析】 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【小问1详解】 解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； 【小问2详解】 解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，连接，延长交反比例函数图象于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，自变量x的取值范围； （3）点是轴上一点，当时，请求出点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，将代入，求得，进而求得，将，代入，求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）设一次函数与轴的交点为，由，得到，令，求出，根据，进而得，然后得到，进而求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ， 将，代入得， 解得， ∴一次函数为； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或； 【小问3详解】 解：设一次函数与轴的交点为， 由题意可知， ， 把代入得，， 解得， ∴， ， ， ， ，即， ， 或． 22. 若飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是．飞机着陆后，滑行多远才能停下来？最后将滑行多远？ 【答案】飞机着陆后滑行才能停下来；最后将滑行 【解析】 【分析】将函数解析式写成顶点式，由于飞机着陆后滑行距离只会加大不会减小，所以当y取得最大值时飞机停止，可求得飞机停止的时间，计算即可求出最后滑行的距离． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，y取最大值，且最大值是600． 即飞机着陆滑行才能停下来； 最后，即为到， 当时，， 所以最后滑行的距离为（米）． 23. 已知抛物线，为实数． （1）如果该抛物线经过点，求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当时，的最大值为4，求的值． （3）点，点，如果该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数表达式，然后化成顶点式，从而解得答案； （2）先求出函数的对称轴为，判断函数的开口向上，判断出当时，取最大值4，代入从而求得答案； （3）当，，当时，，当交点在线段之间时，那么且，或者当时，，从而解得答案． 【小问1详解】 解：该抛物线经过点， ， 解得， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：， 对称轴为，函数图象开口向上， ， ，， 当时，取最大值4， ， 解得，； 【小问3详解】 解：， ∴当，即时，， ∴抛物线过定点，且该点在x轴的上方， 由抛物线的对称轴的不同位置，分三种情况： 第一种，当抛物线的对称轴在点的左侧，即时， ∵，抛物线的对称轴右侧的部分，y随x的增大而增大， ∴若该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，则当时，， 解得； 第二种，当抛物线的对称轴在线段上，即时， ∵抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点， 由抛物线的增减性可知，该交点为顶点，则当时，， 解得，，均不满足的前提条件，故舍去； 第三种，当抛物线的对称轴在点的右侧，即时， ∵，抛物线的对称轴左侧的部分，y随x的增大而减小， ∴若该抛物线与线段（不含端点）恰有一个交点，则当时，， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与线段的交点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $