专题01菱形的性质与判定期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题01菱形的性质与判定期中复习讲义 1.理解菱形定义：一组邻边相等的平行四边形，清楚菱形属于特殊平行四边形，兼具平行四边形全部性质。 2.熟记菱形核心性质：四条边相等；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；掌握轴对称、中心对称特征，会找对称轴。 3.掌握菱形面积两种计算方法：底乘高；对角线乘积的一半，能选用公式完成线段、面积、角度计算。 4.熟练掌握菱形三种判定方法，分清判定的前提条件，规范书写几何证明步骤，能添加条件判定菱形。 5.能区分菱形性质与判定，理解二者逻辑差异，可结合全等三角形知识进行简单几何推理证明。 6.会解决菱形综合题型，识别菱形基础模型，能结合勾股定理求解对角线、边长。 7.辨析易错点：注意判定时区分 “平行四边形” 和 “任意四边形” 前提；避免混淆菱形与矩形对角线性质。 题型 考察方向 难度 题型一 利用菱形的性质求角度 ★★ 题型二 利用菱形的性质求线段长 ★★ 题型三 利用菱形的性质求面积 ★★ 题型四 利用菱形的性质证明 ★★ 题型五 添一个条件使四边形是菱形 ★★ 题型六 证明四边形是菱形 ★★★ 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 ★★★ 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 ★★★ 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 ★★★ 题型十 菱形中的折叠问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:菱形定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 关键解读： 菱形是特殊平行四边形，定义既是性质来源，也是第一种判定； 两层条件：①是平行四边形 ②一组邻边相等，缺一不可。 知识点02:菱形的性质（必考重点：通用性质 + 独有性质） 1. 继承平行四边形共有性质 对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称图形。 2. 菱形独有性质 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 知识点03:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 S=BCDE 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点04:菱形三种判定定理（重难点、证明题核心） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点05易错知识点（老师课堂必强调、学生易错汇总） 错误表述 正确结论 错误原因 一组邻边相等的四边形是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 缺少平行四边形前提 对角线互相垂直的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 普通四边形对角线垂直不能判定菱形 菱形对角线相等 菱形对角线互相垂直，不一定相等 混淆菱形与矩形对角线特点 菱形 4 条对称轴 菱形只有 2 条对称轴 和正方形对称轴混淆 知识点06:菱形、矩形、平行四边形核心简易区分（便于学生对比记忆） 1.平行四边形→加直角 = 矩形；平行四边形→加邻边相等 = 菱形； 2.矩形特征：角直角、对角线相等；菱形特征：四边等、对角线垂直。 题型一：利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，对角线相交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角是解题的关键．根据菱形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 2．如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形，则菱形的较小内角的度数为________． 【答案】45 【分析】先根据正多边形每个内角度数，求得正八边形的内角度数，再根据菱形的性质求出较小内角即可． 【详解】解：如图， ∵重叠部分的形状是正八边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形的较小内角的度数为． 3．如图，四边形为菱形，点为线段上一点，若将沿所在直线翻折，使得点的对应点恰好落到的延长线上，若，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】由折叠可得，，因此．由菱形的性质得到，，，从而根据平行线的性质与等边对等角求出，从而可得到，根据三角形的内角和与折叠得到，进而根据求解即可． 【详解】解：由折叠可得，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵由折叠有， ∴． 题型二：利用菱形的性质求线段长 4．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，则的长为___________． 【答案】4 【分析】利用菱形的性质及中位线定理即可求解． 【详解】解：四边形为菱形， ，， 又点为的中点，即， 为的中位线， ． 5．如图，菱形的对角线和相交于点，，垂足为，若菱形的周长为，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据菱形的周长求出边长，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出另一条对角线的长，最后利用等面积法求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，且周长为， ，，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 6．如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质，证明为等边三角形，得出对角线的值，设，通过的角性质得到，结合的等量关系求出的值，确定和的长度，作构造直角三角形，逐步计算、和，最终在中求得的值． 【详解】解：在菱形中，，， 则， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由，得， 解得， 故，， 过P作于点M， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理可得： ， 在中，，由勾股定理可得： ． 题型三：利用菱形的性质求面积 7．如图，一款由三个菱形组成的伸缩衣帽架，记其中一个为菱形．测得此菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（     ） A．28 B．56 C．112 D．224 【答案】B 【分析】菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，此菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为． 8．如图，菱形的对角线的长分别为3和4，P是对角线上的任意一点（点P不与A、C重合），且交于点E，交于点F，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【详解】解：∵菱形的对角线的长分别为3和4， ∴，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴阴影部分的面积为． 9．如图，菱形的边长为5，对角线的长为8，延长至点平分，点G是上任意一点，则的面积为（     ） A．6 B．12 C．20 D．24 【答案】B 【分析】连接交于，由菱形的性质和勾股定理求出，得出的面积，依据，得出，进而得出的面积的面积即可解题． 【详解】解：如图所示，连接交于， ∵四边形是菱形， ，， ∴， ， ∴的面积， ∵平分， ， ∴， ∴， ∴的面积的面积． 题型四：利用菱形的性质证明 10．如图，在菱形中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∴. 11．如图，菱形的对角线相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若，，则与的面积之和为_______． 【答案】6 【分析】根据菱形的性质求出，，可求出，然后证明，即，求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，四边形是菱形，过点A作的平行线交的延长线于点E，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角． 依题意推出四边形是平行四边形，然后得出，，，即可得到结论． 【详解】如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 无法证明，故④错误； 故选C． 题型五：添一个条件使四边形是菱形 13．如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，是菱形；故选项A符合题意； B，C，D三个选项都不能推出是菱形； 故选A． 14．如图，四边形是对角线互相垂直的四边形，且，请你添加一个适当的条件__________，使四边形成为菱形．（只需添加一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】根据四边相等的四边形是菱形或对角线相互垂直平分的四边形是菱形，添加相应条件即可． 【详解】解：添加， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 添加， ∵，， ∴垂直平分线段， ∴， 又∵，， ∴四边形是菱形． 15．如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（     ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】 根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】 解：如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形） ∴当时，四边形是菱形． 题型六：证明四边形是菱形 16．张师傅应客户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形四边相等、邻角互补的性质，逐一判断选项，找出无法判定为菱形的图形． 【详解】解：A选项，四边都是，四条边相等的四边形是菱形，合格； B选项，邻角是与，由可得两对边平行，平行的两条边长度相等，可得四边形为平行四边形，又有邻边相等，则四边形是菱形，合格； C选项，邻角是与，由可得两对边平行，但并未给出两条平行的边长度相等，无法得出四边形是平行四边形，那么更无法得出该四边形是菱形，有可能是如图的情况，所以该零件有可能不合格； D选项，由给出的三个邻角可得出两组对边分别平行，则该四边形是平行四边形，又有一组邻边相等，那么该四边形是菱形，合格； 故C选项符合题意． 17．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，为上一点，连接，若四边形的面积为20，纸条的宽为，，则的长是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理，三角形的面积等知识，连接，过点A作于E，于F，过点P作于点G，证四边形是平行四边形．再证平行四边形是菱形，结合四边形的面积为20，得，然后利用三角形的面积可求得，利用勾股定理得到长，进而得出的长，再利用勾股定理即可解决问题，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，连接，过点A作于E，于F，过点P作于点G， ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．根据图中所标数据，不足以判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的判定定理，逐一分析选项； 【详解】A．已知两个相邻内角和为，仅可推出一组对边平行，因此该四边形不能判断出是平行四边形；邻边长度都为5，也无法判定四边相等或对角线垂直，因此不足以判定为菱形． B．三个内角为、、，可得第四个角，然后根据对角相等，可判定是平行四边形；又有一组邻边长度都为5，即邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定为菱形． C．四边形四条边都相等，根据“四边相等的四边形是菱形”，可判定为菱形． D．四边形对角线互相平分且垂直，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可判定为菱形． 题型七：根据菱形的性质与判定求角度 19．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 20．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出，故可得出为菱形，根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图：   ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 21．如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图可得四边形为菱形，即可解答． 【详解】解：根据题意可得， 四边形为菱形， ， ． 题型八：根据菱形的性质与判定求线段长 22．如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（   ） A． B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，含角的直角三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半，可得，证明平行四边形是菱形，继而求出，即可解答． 【详解】∵是边上的中线 ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． ∴． ∴， ∴． 故选C． 23．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接若，四边形的面积为，则的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键． 根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：根据作图，得 ， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得 故选． 24．如图，在平行四边形中，，，．点，分别为，上的动点，连接，，则当取最小值时，的长为________． 【答案】 【分析】先证明四边形是菱形，由菱形的性质得出点C关于的对称点为点A，进而可得出，则，过点A作于点，点A，N，M三点共线时，此时取最小值为，由含30度直角三角形的性质得出，进而可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，且， ∴，平分，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴点C关于的对称点为点A，， ∴， ∴， 过点A作于点， ∴点A，N，M三点共线时，此时取最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型九：根据菱形的性质与判定求面积 25．在菱形ABCD中，连接AC、BD，若，且AC＝4，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据菱形的性质和三角函数的意义，即可得到AB的长，再根据勾股定理求得BO的长，即可得到BD的长，最后根据菱形的面积计算公式，即可得到结论． 【详解】解：设AC与BD交点为O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝AC＝2， ∴∠AOB＝90°， ∵，且AO＝2， ∴， ∴AB＝3， ∴Rt△ABO中，BO＝＝＝， ∴BD＝2BO＝2， ∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和三角函数，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半． 26．如图，若，四边形的面积为，则的长为________． 【答案】 【分析】根据尺规作图得出相等的线段，证明四边形为菱形，然后利用菱形的面积公式求解． 【详解】解：通过尺规作图可知，， ∴四边形为菱形， ∴， ∴． 27．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，则四边形的面积为（    ）    A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】作于，作于，连接交于点，先证明四边形是菱形，再根据勾股定理求出的长，从而得到的长，最后由菱形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，作于，连接交于点，   ， 两条纸条的宽度相同， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、菱形的面积的计算，证明四边形是菱形是解题的关键． 题型十：菱形中的折叠问题 28．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（P为的中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到． 【详解】解：如图，连接，   四边形为菱形， ∴， ∵， 为等边三角形，， 为的中点， 为的平分线， ∴． 29．如图，在菱形中，与相交于点，，分别是，的中点．将菱形沿折叠，点恰好与点重合．若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据菱形的对角线互相平分求出，再根据翻折的定义判断出是的中位线且垂直平分，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，最后根据阴影部分的面积等于两个菱形的面积的差列式计算即可得解． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，， ∵，分别是，的中点，菱形沿折叠，点恰好与点重合， ∴是的中位线，垂直平分，，， ∴，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴阴影部分的面积： ． 即阴影部分的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，菱形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，垂直平分线的性质等知识点．解题的关键是掌握：菱形的面积等于对角线长乘积的一半． 30．如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点．若点是的中点，则的长为______． 【答案】 【分析】先证明点与点重合，三点在同一条直线上，过点作，交的延长线于点，然后根据直角三角形的性质以及勾股定理解，设，则，再对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ， 由翻折可得， 点是的中点， ， ，即点与点重合． ， 三点在同一条直线上． 过点作，交的延长线于点． ，， ， ∴， ， ∴ 由翻折可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ． 解答题 31．如图，为等腰三角形，，为中点，延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵为中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； (2)48 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，然后结合即可证明四边形为菱形； （2）设，，由菱形的性质得到，根据勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴设，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，即， 解得， ∴，， ∴菱形的面积． 32．已知：在四边形中，，，点为的中点，连接． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的四个角． 【答案】(1)证明：点为的中点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； (2) 【分析】（1）根据中点的定义以及，得到，即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得，，结合题意可推出四边形为菱形，为等边三角形，得到，，进而得到，最后根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 点为的中点， ， ， 四边形为菱形，为等边三角形， ，， ， ， 是菱形的对角线， ． 33．如图，在平行四边形中，点在对角线的延长线上，，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，与交于点，若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ． ， ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是菱形． (2) 【分析】（1）根据题意，得，证明，先证明四边形是平行四边形，结合已知证明四边形是菱形即可； （2）根据菱形的性质，结合已知证明，利用勾股定理，求得，利用直角三角形的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ，． ． ． ． ， ， 解得． ． ， ． ． ． ． 34．如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作于点，且，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求线段的长． 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形，，， ，． ， ， ． 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形． (2) 【分析】（1）由平行四边形得，，又，满足，由勾股定理逆定理得，故四边形为菱形． （2）由菱形性质得．菱形面积可用底乘高和对角线乘积两种方式表示，列方程，解得． 【详解】（1）略 （2）解：四边形为菱形， ． ， 菱形的面积，即， ． 35．综合与探究 【问题情景】 在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右作等边三角形，点的位置随着点位置的变化而变化． (1)【问题解决】如图1，当点在线段上，点在菱形的内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)【类比探究】如图2，当点在线段上，点在菱形的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． (3)【拓展延伸】当点在线段的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请画出图形，并求出的长． 【答案】(1)； (2)解：（1）中结论仍然成立，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴ (3)画出图形如下： 【分析】（1）连接证明是等边三角形，结合等边得到，用证，得到，再通过角度计算得出； （2）同（1）可证； （3）连接交于，利用菱形性质结合角所对的直角边等于斜边的一半求出，利用勾股定理求出，沿用前面结论得到、，在中利用勾股定理算出，再在用勾股定理求． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴． （2）略 （3）解：如图，当点在的延长线上时，连接交于点，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， 在中，， 同（2）可证，在中，， 同（2）可证， ∴， 在中，． 36．在菱形纸片中，点在上，将沿折叠得，点的对应点落在边上． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，连接，若，求证：； (3)如图，若是的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵将沿折叠得， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)． 【分析】由四边形是菱形，则，，，所以，通过折叠性质可知，，所以，根据等边对等角得，所以，最后由角度和差即可求解； 由四边形是菱形，则，，所以，由折叠性质可得，，，，证明，所以，可得，则，得，所以，通过平行线的判定方法即可求证； 延长，交于点，证明，所以，，设，，则，，则有，，求得，则． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵将沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）略； （3）解：如图，延长，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，，， ∵将沿折叠得， ∴，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， 设，，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01菱形的性质与判定期中复习讲义 1.理解菱形定义：一组邻边相等的平行四边形，清楚菱形属于特殊平行四边形，兼具平行四边形全部性质。 2.熟记菱形核心性质：四条边相等；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；掌握轴对称、中心对称特征，会找对称轴。 3.掌握菱形面积两种计算方法：底乘高；对角线乘积的一半，能选用公式完成线段、面积、角度计算。 4.熟练掌握菱形三种判定方法，分清判定的前提条件，规范书写几何证明步骤，能添加条件判定菱形。 5.能区分菱形性质与判定，理解二者逻辑差异，可结合全等三角形知识进行简单几何推理证明。 6.会解决菱形综合题型，识别菱形基础模型，能结合勾股定理求解对角线、边长。 7.辨析易错点：注意判定时区分 “平行四边形” 和 “任意四边形” 前提；避免混淆菱形与矩形对角线性质。 题型 考察方向 难度 题型一 利用菱形的性质求角度 ★★ 题型二 利用菱形的性质求线段长 ★★ 题型三 利用菱形的性质求面积 ★★ 题型四 利用菱形的性质证明 ★★ 题型五 添一个条件使四边形是菱形 ★★ 题型六 证明四边形是菱形 ★★★ 题型七 根据菱形的性质与判定求角度 ★★★ 题型八 根据菱形的性质与判定求线段长 ★★★ 题型九 根据菱形的性质与判定求面积 ★★★ 题型十 菱形中的折叠问题 ★★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:菱形定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 关键解读： 菱形是特殊平行四边形，定义既是性质来源，也是第一种判定； 两层条件：①是平行四边形 ②一组邻边相等，缺一不可。 知识点02:菱形的性质（必考重点：通用性质 + 独有性质） 1. 继承平行四边形共有性质 对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分、中心对称图形。 2. 菱形独有性质 项目 文字语言 几何语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 AB∥CD，AD∥BC AB=BC=CD=DA 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分且垂直每条对角线平分一组对角 OA=OC，OB=OD AC⊥BD ∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD 对称性 中心对称、轴对称（2 条对称轴） 对称中心：对角线交点 O 知识点03:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 S=BCDE 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 知识点04:菱形三种判定定理（重难点、证明题核心） 判定方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点05易错知识点（老师课堂必强调、学生易错汇总） 错误表述 正确结论 错误原因 一组邻边相等的四边形是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 缺少平行四边形前提 对角线互相垂直的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 普通四边形对角线垂直不能判定菱形 菱形对角线相等 菱形对角线互相垂直，不一定相等 混淆菱形与矩形对角线特点 菱形 4 条对称轴 菱形只有 2 条对称轴 和正方形对称轴混淆 知识点06:菱形、矩形、平行四边形核心简易区分（便于学生对比记忆） 1.平行四边形→加直角 = 矩形；平行四边形→加邻边相等 = 菱形； 2.矩形特征：角直角、对角线相等；菱形特征：四边等、对角线垂直。 题型一：利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，对角线相交于点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，两张全等的菱形纸片叠放在一起，若重叠部分的形状是正八边形，则菱形的较小内角的度数为________． 3．如图，四边形为菱形，点为线段上一点，若将沿所在直线翻折，使得点的对应点恰好落到的延长线上，若，则的度数为_________． 题型二：利用菱形的性质求线段长 4．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，则的长为___________． 5．如图，菱形的对角线和相交于点，，垂足为，若菱形的周长为，，则的长为________． 6．如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，则的长是（     ） A． B． C． D． 题型三：利用菱形的性质求面积 7．如图，一款由三个菱形组成的伸缩衣帽架，记其中一个为菱形．测得此菱形的对角线，，则这个菱形的面积为（     ） A．28 B．56 C．112 D．224 8．如图，菱形的对角线的长分别为3和4，P是对角线上的任意一点（点P不与A、C重合），且交于点E，交于点F，则阴影部分的面积为______． 9．如图，菱形的边长为5，对角线的长为8，延长至点平分，点G是上任意一点，则的面积为（     ） A．6 B．12 C．20 D．24 题型四：利用菱形的性质证明 10．如图，在菱形中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．如图，菱形的对角线相交于点，过点且与边，分别相交于点，．若，，则与的面积之和为_______． 12．如图，四边形是菱形，过点A作的平行线交的延长线于点E，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五：添一个条件使四边形是菱形 13．如图，在中，对角线，相交于点，再添加一个条件，可推出是菱形，则这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 14．如图，四边形是对角线互相垂直的四边形，且，请你添加一个适当的条件__________，使四边形成为菱形．（只需添加一个即可） 15．如果的对角线相交于点，那么在下列条件中，能判断为菱形的是（     ） A． B． C．D． 题型六：证明四边形是菱形 16．张师傅应客户要求加工4个菱形零件，在交付客户之前，张师傅需要对4个零件进行检测，根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（　　） A． B． C． D． 17．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，为上一点，连接，若四边形的面积为20，纸条的宽为，，则的长是_________． 18．根据图中所标数据，不足以判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 题型七：根据菱形的性质与判定求角度 19．如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 20．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 21．如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（     ） A． B． C． D． 题型八：根据菱形的性质与判定求线段长 22．如图，在中，，，是边上的中线，以为邻边作平行四边形．若，则AC的长为（   ） A． B．5 C．6 D． 23．如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接若，四边形的面积为，则的长为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 24．如图，在平行四边形中，，，．点，分别为，上的动点，连接，，则当取最小值时，的长为________． 题型九：根据菱形的性质与判定求面积 25．在菱形ABCD中，连接AC、BD，若，且AC＝4，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C． D． 26．如图，若，四边形的面积为，则的长为________． 27．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，则四边形的面积为（    ）    A．10 B． C． D． 题型十：菱形中的折叠问题 28．如图，在菱形纸片中，，折叠菱形纸片，使点C落在（P为的中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕，则的度数为（     ） A． B． C． D． 29．如图，在菱形中，与相交于点，，分别是，的中点．将菱形沿折叠，点恰好与点重合．若，，则图中阴影部分的面积为________． 30．如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠与重合，折痕为且交于点．若点是的中点，则的长为______． 解答题 31．如图，为等腰三角形，，为中点，延长至点，使，连接，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求菱形的面积． 32．已知：在四边形中，，，点为的中点，连接． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，连接，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为的四个角． 33．如图，在平行四边形中，点在对角线的延长线上，，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，与交于点，若，，，求的长． 34．如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点作于点，且，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)求线段的长． 35．综合与探究 【问题情景】 在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右作等边三角形，点的位置随着点位置的变化而变化． (1)【问题解决】如图1，当点在线段上，点在菱形的内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)【类比探究】如图2，当点在线段上，点在菱形的外部时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． (3)【拓展延伸】当点在线段的延长线上时，其他条件不变，连接．若，，请画出图形，并求出的长． 36．在菱形纸片中，点在上，将沿折叠得，点的对应点落在边上． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，连接，若，求证：； (3)如图，若是的中点，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $