第一章《特殊平行四边形》期中考点总结与练习——考点3《矩形（性质与判定·斜边中线·中位线·折叠）》2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第一章 考点 3｜矩形（性质与判定·斜边中线·中位线·折叠） ——第 1 章〈特殊平行四边形〉考点 3—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考 性质·判定·斜边中线·折叠 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 ① 本资料共 24 题，全部为各地中考真题（原卷或教辅双源收录），题面未作任何改动；每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，供学生对照订正； ② 填空题的答案已嵌在题面空格中（红色显示），方便教师讲解时即时核对，学生自测时可先遮住红色部分； ③ 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材； ④ 本考点是期中计算与证明的主力（★★☆~★★★）：矩形性质记牢、判定用对、斜边中线与中位线融会贯通——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 3 保持一致） 考点范围：矩形的定义（平行四边形＋一个直角）、边角性质（四个角都是直角、对边平行且相等）、对角线性质（相等且互相平分）、判定（定义＋对角线相等＋三个直角三条路）、面积（长×宽），以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半、中位线定理在矩形与直角三角形背景中的综合应用。 一、矩形的定义与边角性质 ◆ 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；反过来，矩形的四个角都是直角——定义既是性质也是判定（有三个角是直角的四边形是矩形）。 ◆ 边角性质：对边平行且相等；四个角都是直角（90°）；邻角互补（平行四边形性质照常可用）。 二、矩形的对角线与面积 ◆ 对角线：相等且互相平分——相等使对角线把矩形分成两个全等的直角三角形（勾股、斜边中线的用武之地），平分使每条半对角线可由整条取一半。 ◆ 面积：长×宽（高由勾股或已知给出）；对角线已知时也可用四个直角三角形面积之和。 三、矩形的判定 ◆ 判定三条路：①有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形。前两条前提都是平行四边形——“前提缺失”是判定类假命题的固定陷阱。 矩形性质与判定速记表 项目 内容（边·角） 内容（对角线·面积） 易混点 矩形的性质 对边平行且相等；四个角都是直角 对角线相等且互相平分；面积＝长×宽 与菱形对比：矩形对角线“相等”不“垂直” 判定一（定义） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 前提：平行四边形 最常用，证明题首选 判定二（对角线） 对角线相等的平行四边形是矩形 前提：平行四边形 缺前提即假命题 判定三（直角） 有三个角是直角的四边形是矩形 适用于任何四边形 三个直角即可，不需先证平行四边形 计算三件套 勾股定理：半对角线→边长 斜边中线＝斜边的一半；中位线＝第三边的一半 见“中点＋直角”想斜边中线，见“双中点”想中位线 ◆ 判定速记：从平行四边形出发，加“一个直角”或“对角线相等”任一条件即成矩形；从一般四边形出发，先证平行四边形再升级，或直接用三个直角证矩形。 四、斜边中线与中位线 ◆ 斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半——见“中点＋直角”就想到它；中位线：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半——见“双中点”想中位线。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 性质与计算必考：矩形的边角对角线性质＋勾股、斜边中线、中位线三件套是计算类选择填空的主力，分值 3~10 分； 判定证明是解答题主力：定义与两条判定定理常与全等三角形、勾股定理串联，先证平行四边形、再升级矩形是标准骨架； 失分集中在三处：判定跳步（前提缺失）、斜边中线条件用错（非直角三角形误用）、折叠压轴找不到对称关系与方程突破口。 答题方法（三步法） 第一步·定性质：矩形五张牌——对边平行相等、四角直角、对角线相等平分，按题意选牌； 第二步·选工具：直角＋已知两边想勾股，中点＋直角想斜边中线，双中点想中位线，对角线已知想“相等且平分”； 第三步·验前提：判定前先问一句“平行四边形有了吗”——有了加 1 个条件升级，没有先补平行四边形。 注意事项（易错警示） 斜边中线的前提是“直角三角形＋斜边中点”，两条缺一不可——矩形恰好提供了直角； “对角线相等且平分”是矩形独有，菱形只有“垂直平分”，两条性质最易互换； 折叠问题抓住两个不变：折叠前后对应边相等、对应角相等；折痕是对称轴，垂直平分对应点的连线； 中位线找“双中点”：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半，常与矩形对角线互相平分配合出现。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 边长·周长·面积计算 对角线相等平分＋勾股；长×宽 “矩形的边长/周长/面积为” ★★☆ 斜边中线与中位线 直角三角形斜边中线、中位线 “DE/CM 的长为” ★★☆ 判定与证明 定义与两个判定定理 “求证：四边形×是矩形” ★★☆ 折叠与最值 折叠性质、对称、方程 “最小值/最大值为” ★★★ 坐标与旋转 矩形顶点坐标、旋转规律 “点的坐标为” ★★☆ 命题边界：本考点考矩形的定义、性质、判定与计算综合；推理工具仅用平行四边形性质、全等三角形（SAS·ASA·AAS·HL）、勾股定理（含逆定理）、直角三角形斜边中线、中位线、含 30° 角的直角三角形、轴对称——均属九上第一章及之前界内内容，未使用相似、三角比、韦达定理等未学工具。 PART 03 例题精讲（6 题·全部真题） 例题覆盖：矩形对角线性质辨析 → 对角线与等边三角形综合 → 斜边中线＋中位线 → 斜边中线转移中位线 → 矩形判定条件辨析 → 矩形判定＋面积计算。变式覆盖：斜边中线刻度尺 → 斜边中线求 CM → ASA 证矩形 → 等边三角形与矩形角 → 折叠勾股方程 → 等腰＋矩形判定＋面积法 → SAS 证相等 → 旋转坐标 → 判定探究填空＋证明 → 尺规作图＋斜边中线定理。拔高覆盖：折叠一线三垂直 → 矩形对角线相等＋垂线段最短 → 矩形外作图面积法 → 折叠分类讨论 → 折叠最值双空 → 中位线最大值 → 轴对称＋菱形＋勾股 → 折叠分类讨论三解。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1、例 2 是矩形性质辨析与计算：对角线相等且平分 → 等边三角形 → 边长/角度，性质记牢即可； ◆ 例 3、例 4、变 1、变 2 是斜边中线主场：直角＋中点在斜边上 → 中线＝斜边一半，一步出答案； ◆ 例 5、变 3、变 4 是判定证明：先找平行四边形，再加直角或对角线相等升级矩形； ◆ 例 6、变 5、变 6、变 7 是综合证明：全等（SAS/ASA/AAS）→ 平行四边形 → 加条件升级矩形 → 面积/长度计算； ◆ 变 8、变 9、变 10 是坐标旋转与尺规作图：旋转坐标变换、判定探究、斜边中线定理证明。 例 1　选择题　　26-27·四川月考 如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（  ） A. B. C. D. 例 2　选择题　　26-27·四川月考 如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（    ） A. B. C. D. 例 3　选择题　　2025·湖北·中考模拟 （26-27同步）图1是某脚手架的实物图，图2是其示意图，，是的中点，若，则支撑杆的长为（        ） A. B. C. D. 例 4　填空题　　25-26·浙江宁波·一模 如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则________． 例 5　解答题　　2025·四川·中考 如图，菱形的对角线、交于点，且，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 例 6　解答题　　2024·贵州·中考真题 如图，在矩形中，将沿着折叠，使点A与点E重合，过点E作交线段于点F，连接和． （1）求证：； （2）求证：四边形为菱形； （3）连接交于点M，若，，求线段的长． PART 04 变式练习（10 题·全部真题） 与例题同考点、同方法，换图形、换背景、换设问角度，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1、变 2 与例 3、例 4 同练斜边中线：先找直角，再确认“中点在斜边上”； ◆ 变 3、变 4、变 7 是判定与证明：全等 → 平行四边形 → 升级矩形，标准三步骨架； ◆ 变 5 是折叠勾股方程：折叠全等移位 → 设元 → 勾股列方程 → 解方程； ◆ 变 6 是等腰＋矩形判定＋面积法：三线合一给直角 → 矩形判定 → 面积法求高； ◆ 变 8 是旋转坐标：顺时针旋转 90° 规律 (x,y)→(y,-x)； ◆ 变 9、变 10 是探究与定理证明：判定填空＋证明、尺规作图＋斜边中线定理证明。 变式 1　选择题　　25-26·河北开学 如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为 A. B. C. D. 变式 2　选择题　　25-26·山东月考 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是（       ） A. B. C. D. 变式 3　选择题　　25-26·辽宁月考 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（ ） A.2 B. C. D. 变式 4　选择题　　26-27·广西月考 如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（     ） A. B.9或6 C.9或 D.3或 变式 5　填空题　　24-25·河南期末 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是________________． 变式 6　填空题　　2026·山西模拟 如图，在中，，E，F分别为，边的中点，过点A作，交的延长线于点D，连接，．若，则的长为________． 变式 7　填空题　　26-27·广东月考 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为________． 变式 8　解答题　　25-26·辽宁期中 如图，四边形是矩形，为边上的一点，作于点，连接为的中点．连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 变式 9　解答题　　2026·河南模拟 如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． （1）求证：； （2）求证：四边形为菱形； （3）连接交于点，若，，求线段的长． 变式 10　解答题　　26-27·四川月考 如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． PART 05 拔高巩固（8 题·全部真题） 矩形综合与压轴——期中卷选择填空压轴与解答题后段的来源题型 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1 折叠一线三垂直：折叠全等 → 对应边相等 → 一线三垂直全等 → 勾股方程； ◆ 拔 2 矩形对角线相等＋垂线段最短：PECD 是矩形 → DE＝PC → PC 最小＝斜边上的高； ◆ 拔 3 矩形外作图面积法：同底等高 → S−S₁−S₂＝△ABC 面积，与矩形高无关； ◆ 拔 4 折叠分类讨论：∠BB′C＝90° 与 ∠BCB′＝90° 两种落点，勾股分别求解； ◆ 拔 5 折叠最值双空：垂线段最短求最小值 → 垂直平分线＋勾股求最大值； ◆ 拔 6 中位线最大值：GH 为△BEF 中位线 → F 与 D 重合时 BF 最大＝BD； ◆ 拔 7 轴对称＋菱形＋勾股：对称得 DF＝DE → 菱形四边相等 → 勾股求比值； ◆ 拔 8 折叠分类讨论三解：B′ 在对角线 AC 上、延长线上、P 在 BC 延长线上三类情形，勾股逐一求解。 拔高 1　选择题　　25-26·甘肃月考 如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点，分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（       ） A. B. C. D. 拔高 2　选择题　　26-27·山东月考 如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，， 与矩形周长相等， 的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（       ） A. B. C. D. 拔高 3　选择题　　2026·黑龙江中考 如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（       ） A. B. C. D. 拔高 4　填空题　　26-27·四川月考 如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为________． 拔高 5　填空题　　2026·福建中考 （）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形 恰好为矩形，点E，F分别在 ， 上，则等于________度． 拔高 6　填空题　　2026·山东中考 如图，在四边形中，，，．取的中点，连接，，将和分别沿，折叠，若和恰好都能与重合，线段的长为________． 拔高 7　解答题　　2026·福建中考 如图，四边形是矩形，，点在的延长线上． （1）求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 拔高 8　解答题　　2025·黑龙江·中考模拟题 【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 （1）如图1，已知，垂足为．求证：； （2）如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 （3）如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错误原因 订正完成 例 1 矩形的判定 例 2 利用矩形性质求线段长 例 3 直角三角形斜边的中线 例 4 直角三角形斜边中线、三角形中位线 例 5 矩形的性质与判定综合 例 6 矩形的性质与判定综合 变式 1 矩形性质、三角形中位线 变式 2 矩形的判定 变式 3 矩形的判定、直角三角形斜边中线 变式 4 矩形的折叠 变式 5 矩形的判定 变式 6 直角三角形斜边中线、三角形中位线 变式 7 利用矩形性质求面积 变式 8 利用矩形性质求角度 变式 9 矩形的折叠 变式 10 矩形性质的应用 拔高 1 利用矩形性质求角度 拔高 2 坐标系中的矩形性质的应用 拔高 3 直角三角形斜边中线 拔高 4 中点四边形 拔高 5 利用矩形性质求角度 拔高 6 矩形的判定和性质的应用 拔高 7 矩形性质与尺规作图 拔高 8 矩形折叠综合 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。例题教师精讲、变式限时独立完成、拔高供学有余力者挑战；填空题的答案嵌在题目空格中（红色），自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第一章 考点 3｜矩形（性质与判定·斜边中线·中位线·折叠） ——第 1 章〈特殊平行四边形〉考点 3—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考 性质·判定·斜边中线·折叠 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 ① 本资料共 24 题，全部为各地中考真题（原卷或教辅双源收录），题面未作任何改动；每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，供学生对照订正； ② 填空题的答案已嵌在题面空格中（红色显示），方便教师讲解时即时核对，学生自测时可先遮住红色部分； ③ 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材； ④ 本考点是期中计算与证明的主力（★★☆~★★★）：矩形性质记牢、判定用对、斜边中线与中位线融会贯通——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 3 保持一致） 考点范围：矩形的定义（平行四边形＋一个直角）、边角性质（四个角都是直角、对边平行且相等）、对角线性质（相等且互相平分）、判定（定义＋对角线相等＋三个直角三条路）、面积（长×宽），以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半、中位线定理在矩形与直角三角形背景中的综合应用。 一、矩形的定义与边角性质 ◆ 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；反过来，矩形的四个角都是直角——定义既是性质也是判定（有三个角是直角的四边形是矩形）。 ◆ 边角性质：对边平行且相等；四个角都是直角（90°）；邻角互补（平行四边形性质照常可用）。 二、矩形的对角线与面积 ◆ 对角线：相等且互相平分——相等使对角线把矩形分成两个全等的直角三角形（勾股、斜边中线的用武之地），平分使每条半对角线可由整条取一半。 ◆ 面积：长×宽（高由勾股或已知给出）；对角线已知时也可用四个直角三角形面积之和。 三、矩形的判定 ◆ 判定三条路：①有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形。前两条前提都是平行四边形——“前提缺失”是判定类假命题的固定陷阱。 矩形性质与判定速记表 项目 内容（边·角） 内容（对角线·面积） 易混点 矩形的性质 对边平行且相等；四个角都是直角 对角线相等且互相平分；面积＝长×宽 与菱形对比：矩形对角线“相等”不“垂直” 判定一（定义） 有一个角是直角的平行四边形是矩形 前提：平行四边形 最常用，证明题首选 判定二（对角线） 对角线相等的平行四边形是矩形 前提：平行四边形 缺前提即假命题 判定三（直角） 有三个角是直角的四边形是矩形 适用于任何四边形 三个直角即可，不需先证平行四边形 计算三件套 勾股定理：半对角线→边长 斜边中线＝斜边的一半；中位线＝第三边的一半 见“中点＋直角”想斜边中线，见“双中点”想中位线 ◆ 判定速记：从平行四边形出发，加“一个直角”或“对角线相等”任一条件即成矩形；从一般四边形出发，先证平行四边形再升级，或直接用三个直角证矩形。 四、斜边中线与中位线 ◆ 斜边中线：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半——见“中点＋直角”就想到它；中位线：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半——见“双中点”想中位线。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 性质与计算必考：矩形的边角对角线性质＋勾股、斜边中线、中位线三件套是计算类选择填空的主力，分值 3~10 分； 判定证明是解答题主力：定义与两条判定定理常与全等三角形、勾股定理串联，先证平行四边形、再升级矩形是标准骨架； 失分集中在三处：判定跳步（前提缺失）、斜边中线条件用错（非直角三角形误用）、折叠压轴找不到对称关系与方程突破口。 答题方法（三步法） 第一步·定性质：矩形五张牌——对边平行相等、四角直角、对角线相等平分，按题意选牌； 第二步·选工具：直角＋已知两边想勾股，中点＋直角想斜边中线，双中点想中位线，对角线已知想“相等且平分”； 第三步·验前提：判定前先问一句“平行四边形有了吗”——有了加 1 个条件升级，没有先补平行四边形。 注意事项（易错警示） 斜边中线的前提是“直角三角形＋斜边中点”，两条缺一不可——矩形恰好提供了直角； “对角线相等且平分”是矩形独有，菱形只有“垂直平分”，两条性质最易互换； 折叠问题抓住两个不变：折叠前后对应边相等、对应角相等；折痕是对称轴，垂直平分对应点的连线； 中位线找“双中点”：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半，常与矩形对角线互相平分配合出现。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 边长·周长·面积计算 对角线相等平分＋勾股；长×宽 “矩形的边长/周长/面积为” ★★☆ 斜边中线与中位线 直角三角形斜边中线、中位线 “DE/CM 的长为” ★★☆ 判定与证明 定义与两个判定定理 “求证：四边形×是矩形” ★★☆ 折叠与最值 折叠性质、对称、方程 “最小值/最大值为” ★★★ 坐标与旋转 矩形顶点坐标、旋转规律 “点的坐标为” ★★☆ 命题边界：本考点考矩形的定义、性质、判定与计算综合；推理工具仅用平行四边形性质、全等三角形（SAS·ASA·AAS·HL）、勾股定理（含逆定理）、直角三角形斜边中线、中位线、含 30° 角的直角三角形、轴对称——均属九上第一章及之前界内内容，未使用相似、三角比、韦达定理等未学工具。 PART 03 例题精讲（6 题·全部真题） 例题覆盖：矩形对角线性质辨析 → 对角线与等边三角形综合 → 斜边中线＋中位线 → 斜边中线转移中位线 → 矩形判定条件辨析 → 矩形判定＋面积计算。变式覆盖：斜边中线刻度尺 → 斜边中线求 CM → ASA 证矩形 → 等边三角形与矩形角 → 折叠勾股方程 → 等腰＋矩形判定＋面积法 → SAS 证相等 → 旋转坐标 → 判定探究填空＋证明 → 尺规作图＋斜边中线定理。拔高覆盖：折叠一线三垂直 → 矩形对角线相等＋垂线段最短 → 矩形外作图面积法 → 折叠分类讨论 → 折叠最值双空 → 中位线最大值 → 轴对称＋菱形＋勾股 → 折叠分类讨论三解。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1、例 2 是矩形性质辨析与计算：对角线相等且平分 → 等边三角形 → 边长/角度，性质记牢即可； ◆ 例 3、例 4、变 1、变 2 是斜边中线主场：直角＋中点在斜边上 → 中线＝斜边一半，一步出答案； ◆ 例 5、变 3、变 4 是判定证明：先找平行四边形，再加直角或对角线相等升级矩形； ◆ 例 6、变 5、变 6、变 7 是综合证明：全等（SAS/ASA/AAS）→ 平行四边形 → 加条件升级矩形 → 面积/长度计算； ◆ 变 8、变 9、变 10 是坐标旋转与尺规作图：旋转坐标变换、判定探究、斜边中线定理证明。 例 1　选择题　　26-27·四川月考 如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（  ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，然后逐项判断即可. 【解答】 解：四边形ABCD是平行四边形，AC BD， 平行四边形ABCD是菱形， A项不符合题意， 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC， 平行四边形ABCD是菱形， B项不符合题意， 四边形ABCD是平行四边形，， 平行四边形ABCD是矩形， C项符合题意， ，无法判定平行四边形ABCD是矩形， D项不符合题意. 故选：C. 例 2　选择题　　26-27·四川月考 如图，在矩形中，，连接，，若，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 利用矩形的性质得出 ，，再根据含角的直角三角形性质求出的长，即可求解. 【解答】 解：四边形是矩形， , . 在Rt 中，，， , . 例 3　选择题　　2025·湖北·中考模拟 （26-27同步）图1是某脚手架的实物图，图2是其示意图，，是的中点，若，则支撑杆的长为（        ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，即可求解. 【解答】 解：，D是AB的中点，， ， 支撑杆CD的长为40cm. 例 4　填空题　　25-26·浙江宁波·一模 如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则_____4___． 【答案】 4 【解析】 本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键。根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，进而得到，即可得出结果. 【解答】 解：， ， 点为的中点， ， ， ， ， 又点为的中点， ； 故答案为：4. 例 5　解答题　　2025·四川·中考 如图，菱形的对角线、交于点，且，连接、． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】 见解答 【解析】 （1）根据菱形的性质得到 ，得到四边形AEBO是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形AEBO是矩形； （2）根据菱形的性质得到 ，求得 ，得到OB=1，根据勾股定理得到 ，根据矩形的面积公式得到四边形AEBO的面积 【解答】 （1）证明： 四边形ABCD是菱形， AC BD ：四边形AEBO是平行四边形 四边形AEBO是矩形. （2）解： 菱形ABCD， 设AB、EO交于点N， 四边形AEBO是矩形， 为等边三角形， 四边形 AEBO的面积 例 6　解答题　　2024·贵州·中考真题 如图，在矩形中，将沿着折叠，使点A与点E重合，过点E作交线段于点F，连接和． （1）求证：； （2）求证：四边形为菱形； （3）连接交于点M，若，，求线段的长． 【答案】 见解答 见解答 【解析】 （1）由题意易得 ，则有 ，由翻折的性质可得 ，然后可得 ，进而问题可求证； （2）由（1）结合菱形的判定进行求证即可； （3）利用勾股定理进行求解 【解答】 （1）证明： 四边形ABCD是矩形， 由翻折的性质可得 （2）证明： 四边形ABEF是平行四边形， 又 平行四边形ABEF是菱形. （3）解：如图，连接AE交BD于M， 四边形ABEF是菱形， BM=FM, 根据勾股定理得 BM= PART 04 变式练习（10 题·全部真题） 与例题同考点、同方法，换图形、换背景、换设问角度，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中（红色），建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1、变 2 与例 3、例 4 同练斜边中线：先找直角，再确认“中点在斜边上”； ◆ 变 3、变 4、变 7 是判定与证明：全等 → 平行四边形 → 升级矩形，标准三步骨架； ◆ 变 5 是折叠勾股方程：折叠全等移位 → 设元 → 勾股列方程 → 解方程； ◆ 变 6 是等腰＋矩形判定＋面积法：三线合一给直角 → 矩形判定 → 面积法求高； ◆ 变 8 是旋转坐标：顺时针旋转 90° 规律 (x,y)→(y,-x)； ◆ 变 9、变 10 是探究与定理证明：判定填空＋证明、尺规作图＋斜边中线定理证明。 变式 1　选择题　　25-26·河北开学 如图，在矩形中，，分别是，的中点，连接，，且，分别是，的中点，已知，则的长为 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据矩形的性质得到，，从而根据勾股定理得到，，即，最后根据三角形的中位线定理即可解答． 【解答】 解：连接， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ，分别是，的中点， ，， 在中，， ， 且，分别是，的中点， ． 故此题答案为 变式 2　选择题　　25-26·山东月考 如图，在平行四边形中，、是上两点，，连接、、、，添加一个条件，使四边形是矩形，这个条件是（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由平行四边形的性质可知：，，再证明即可证明四边形是平行四边形． 【解答】 四边形是平行四边形，，， 对角线上的两点、满足， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 故选：． 变式 3　选择题　　25-26·辽宁月考 如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（ ） A.2 B. C. D. 【答案】 B 【解析】 先求证四边形AEPF是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得AP最短时的长，然后即可求出PM的最小值. 【解答】 解：连接 AP，如图所示： 四边形 AEPF是矩形， ，EF与AP互相平分， 是EF的中点， 为EF的中点， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短即 AP BC时，AP最短，同样PM也最短， 当AP BC时， AP最短时，AP=4.8, 当PM最短时，PM 变式 4　选择题　　26-27·广西月考 如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（     ） A. B.9或6 C.9或 D.3或 【答案】 C 【解析】 本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当 或 ，再结合图形进一步求解即可. 【解答】 解：连接AC，如图， 在矩形ABCD中，AD=9，AB=12， 当D'落在对角线AC上时， 设DE=D'E=x，则CE=12-x， 解得： 即 图，当 时， 同理可得： ， 四边形 ADED为正方形， 综上：当 为直角三角形，则DE的长为 或9 故选：C 变式 5　填空题　　24-25·河南期末 如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求（即门框是否为矩形），在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是_____对角线相等的平行四边形为矩形___________． 【答案】 对角线相等的平行四边形为矩形 【解析】 本题考查了矩形的判定，根据对角线互相相等的平行四边形是矩形进行作答即可． 【解答】 解：依题意，两组对边分别相等， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 则只要测量出对角线的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是对角线相等的平行四边形为矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形为矩形． 变式 6　填空题　　2026·山西模拟 如图，在中，，E，F分别为，边的中点，过点A作，交的延长线于点D，连接，．若，则的长为__5______． 【答案】 5 【解析】 由直角三角形的性质可得 ，从而得出 ，再由三角形中位线定理计算即可得出结果. 【解答】 解： ，点E为AB边的中点， ，F分别为AB，AC边的中点， 是 的中位线， 变式 7　填空题　　26-27·广东月考 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为____16____． 【答案】 16 【解析】 过点P作 MN // AB，利用矩形对角线将矩形分成面积相等的两部分这一性质，证明 ，再结合矩形对边相等求出DF的长，即可求解. 【解答】 解：如图所示，过点P作MN $ // AB交AD于点M，交BC于点N， 四边形ABCD是矩形，EF BC， 四边形AEPM，四边形MPFD，四边形EBNP，四边形PNCF都是矩形. AC是矩形ABCD的对角线， 同理可得 即 四边形AEPM是矩形， 四边形MPFD是矩形， 变式 8　解答题　　25-26·辽宁期中 如图，四边形是矩形，为边上的一点，作于点，连接为的中点．连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】 见解析 【解析】 （1）根据矩形的性质及直角三角形斜边中线的性质即可证明； （2）根据等边对等角得出，，再由三角形外角的定义确定，，结合题意求解即可． 【解答】 （1）解：证明：四边形是矩形，， ， 为的中点， ； （2）由得， ，， ，， ， ，即， ． 变式 9　解答题　　2026·河南模拟 如图，在矩形中，将沿着折叠，使点与点重合，过点作交线段于点，连接和． （1）求证：； （2）求证：四边形为菱形； （3）连接交于点，若，，求线段的长． 【答案】 见解析 见解析 【解析】 （1）根据矩形的性质得到 AB CD，进而得到AB EF，可知 ，由翻折的性质可得 ，AB=BE，根据等角对等边得到 BE=FE，可知 FE=AB； （2）证明四边形ABEF是平行四边形，根据 可知平行四边形ABEF是菱形； （3）连接AE交BD于M，根据菱形的性质得到 ，BM=FM，根据等面积法求出 ，根据勾股定理计算即可. 【解答】 （1）证明： 四边形ABCD是矩形， 由翻折的性质可得 （2）证明： AB=FE， 四边形ABEF是平行四边形， 又 平行四边形ABEF是菱形； （3）解：如图，连接 交BD于M. 四边形ABEF是菱形， 根据勾股定理得 BM= 变式 10　解答题　　26-27·四川月考 如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】 证明： 四边形ABCD是矩形， (1)证明： 四边形ABCD是矩形， 在 和 中， （ASA）， 【解析】 （1）因为矩形对边平行，所以可得内错角相等，结合已知 ，可通过证明 和 全等，得到 （2）连接OB，因为等腰三角形BEF中OE=OF，所以根据等腰三角形三线合一可得BO EF，结合（1）可知，AO=CO，根据斜边上的中线等于斜边的一半，则有OA=OB，进而得到 .结合 ，利用直角三角形两锐角互余的性质，可推出 的度数．最后结合勾股定理，即可求出AB的长. 【解答】 （1）证明： 四边形ABCD是矩形， (1)证明： 四边形ABCD是矩形， 在 和 中， （ASA）， ； （2）解：如图，连接BO， , OE=OF, ， ， ，即 . 设 ，则 , ，即 ， , 四边形ABCD是矩形，AD=1， ，BC=AD=1， 由 得OA=OC，即O是矩形对角线AC的中点， ， ，即 在Rt 中， ，即 , 解得 ，即 由勾股定理得： PART 05 拔高巩固（8 题·全部真题） 矩形综合与压轴——期中卷选择填空压轴与解答题后段的来源题型 拔高组闯关要点 ◆ 拔 1 折叠一线三垂直：折叠全等 → 对应边相等 → 一线三垂直全等 → 勾股方程； ◆ 拔 2 矩形对角线相等＋垂线段最短：PECD 是矩形 → DE＝PC → PC 最小＝斜边上的高； ◆ 拔 3 矩形外作图面积法：同底等高 → S−S₁−S₂＝△ABC 面积，与矩形高无关； ◆ 拔 4 折叠分类讨论：∠BB′C＝90° 与 ∠BCB′＝90° 两种落点，勾股分别求解； ◆ 拔 5 折叠最值双空：垂线段最短求最小值 → 垂直平分线＋勾股求最大值； ◆ 拔 6 中位线最大值：GH 为△BEF 中位线 → F 与 D 重合时 BF 最大＝BD； ◆ 拔 7 轴对称＋菱形＋勾股：对称得 DF＝DE → 菱形四边相等 → 勾股求比值； ◆ 拔 8 折叠分类讨论三解：B′ 在对角线 AC 上、延长线上、P 在 BC 延长线上三类情形，勾股逐一求解。 拔高 1　选择题　　25-26·甘肃月考 如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点，分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【解答】 解：四边形是矩形， ，， ， ， ，为的中点， ， ， ， ， 故选：． 拔高 2　选择题　　26-27·山东月考 如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，， 与矩形周长相等， 的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（       ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查了矩形的性质和面积公式，平行四边形的性质和面积公式，勾股定理等知识点，掌握这些是解题的关键.根据题意可得D点的纵坐标是C点纵坐标的一半， ，过D点作DF x轴，交x轴于F点，用勾股定理求出AF长即可 【解答】 解：过D点作 DF x轴，交x轴于F点，如图： 与矩形OABC周长相等， 的面积是矩形OABC面积的一半， 由勾股定理得： 点D的坐标为 故选：A. 拔高 3　选择题　　2026·黑龙江中考 如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 连接AE，先根据含 角的直角三角形性质求出 和BC的长，再由勾股定理可得AB的长，再证明 是等边三角形，利用三线合一得到 ，最后在Rt 中利用斜边中线定理求出EF的长. 【解答】 如图，连接 在Rt 中， 由勾股定理得： 是等边三角形， 是CD的中点， 即 在Rt 中，F是AB的中点， 拔高 4　填空题　　26-27·四川月考 如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为____10____． 【答案】 10 【解析】 本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，先证明 ， ， ，再进一步利用勾股定理计算即可. 【解答】 解： 矩形 ， ， ， ， ， , ， ， ， 分别是矩形 各边的中点， ， . ， 同理可得： ， 四边形 的周长为 ； 故答案为：10 拔高 5　填空题　　2026·福建中考 （）某数学兴趣小组成员把一副三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，四边形 恰好为矩形，点E，F分别在 ， 上，则等于___75_____度． 【答案】 75 【解析】 根据矩形性质可得 ，进而求出 ， ，再根据三角形内角和求出 . 【解答】 解： 四边形ABCD为矩形， 又 拔高 6　填空题　　2026·山东中考 如图，在四边形中，，，．取的中点，连接，，将和分别沿，折叠，若和恰好都能与重合，线段的长为________． 【答案】 【解析】 根据题意作图，得到 ， ， ， ， ，如图所示，过点C作CF DE于点F，得到矩形BCFD，由勾股定理得到EF=4，设 ，则 ，由此列式得到 ，则 ，再根据勾股定理即可求解. 【解答】 解：将 和 分别沿AC，AE折叠，点B，D的对应点为 ，若BC和DE恰好都能与EC重合，则点 重合，如图所示，且点A是BD的中点， 如图所示，过点C作CF DE于点F， 四边形BCFD是矩形， 设 ，则 ， 解得， 在Rt 中， 拔高 7　解答题　　2026·福建中考 如图，四边形是矩形，，点在的延长线上． （1）求作点 ，使点 在边上，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，求的长． 【答案】 如图，点F即为所求. 3 【解析】 （1）利用尺规作图作 ， 的边BF与AD的交点即为所求作的点F； （2）由矩形的性质、平行线的性质、等边对等角可得 ，即可求得AE的长；设AF=x，则 ，在Rt 中，利用勾股定理列方程求解即可. 【解答】 （1） 解：作 ， 的边BF与AD的交点即为所求作的点F； 如图，点F即为所求. （2） 四边形ABCD是矩形， 即点F即为所求. （2）解： 四边形ABCD是矩形，BC=6, AD=BC=6. 设 ，则 在Rt 中， ，AB=4, 由勾股定理得 解得x=3， 即 拔高 8　解答题　　2025·黑龙江·中考模拟题 【问题背景】已知正方形，点分别是边上的点． 【问题解决】 （1）如图1，已知，垂足为．求证：； （2）如图2，已知点，分别在，边上，连接，，且，垂足为，，交于点I，若，求的长度； 【深入探究】 （3）如图3，若将正方形折叠，使得点恰好落在边上的点F处，点的对应点为点，折痕分别交，于点，．若正方形的边长为10，，求的长度． 【答案】 证明： 四边形ABCD为正方形， 10 【解析】 （1）根据正方形性质得出 ， ，证明 ，得出 即可； （2）先证明四边形AHEG为平行四边形，得出 ，再证明 ，最后根据（1）同理可得： （3）连接BF，交ME于点H，过点M作 MG BC于点G，证明四边形ABGM为矩形，得出MG=AB，证明 （ASA），得出BF=ME=11，最后根据勾股定理求出结果即可. 【解答】 （1）略 （2）解：四边形ABCD为正方形， 四边形AHEG为平行四边形， 根据解析（1），同理可得： （3）解：连接BF，交ME于点H，过点M作 于点G，如图所示： 则 四边形ABCD为正方形， 四边形ABGM为矩形， 根据折叠可得：ME BF， 在Rt 中，根据勾股定理得： 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错误原因 订正完成 例 1 矩形的判定 例 2 利用矩形性质求线段长 例 3 直角三角形斜边的中线 例 4 直角三角形斜边中线、三角形中位线 例 5 矩形的性质与判定综合 例 6 矩形的性质与判定综合 变式 1 矩形性质、三角形中位线 变式 2 矩形的判定 变式 3 矩形的判定、直角三角形斜边中线 变式 4 矩形的折叠 变式 5 矩形的判定 变式 6 直角三角形斜边中线、三角形中位线 变式 7 利用矩形性质求面积 变式 8 利用矩形性质求角度 变式 9 矩形的折叠 变式 10 矩形性质的应用 拔高 1 利用矩形性质求角度 拔高 2 坐标系中的矩形性质的应用 拔高 3 直角三角形斜边中线 拔高 4 中点四边形 拔高 5 利用矩形性质求角度 拔高 6 矩形的判定和性质的应用 拔高 7 矩形性质与尺规作图 拔高 8 矩形折叠综合 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。例题教师精讲、变式限时独立完成、拔高供学有余力者挑战；填空题的答案嵌在题目空格中（红色），自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $