广西壮族自治区玉林市五校联考2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

2026年10月高二年级试题 数 学 （本卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．） 1．下列向量中与共线的是（ ） A． B． C． D． 2．直线可能是（ ） A． B． C． D． 3．点与圆的位置关系是（ ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 4．已知四面体中，D是的中点，则（ ） A． B． C． D． 5．已知两条不重合的直线和，，若，则a的值为（ ） A．-2 B．-2或1 C．1 D．-1或2 6．点，点Q是圆上的一个动点，则线段的中点M的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 7．已知动点P在直线上，过P总能作圆的两条切线，切点为A，B，且恒成立，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线，分别恒过定点A，B，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题意的．） 9．下列命题正确的是（ ） A．经过点，且与x轴垂直的直线方程是 B．斜率是-4，在y轴上的截距是7的直线方程是 C．经过，两点的直线方程是 D．在y轴上的截距是2，且与x轴平行的直线方程是 10．关于方程表示的圆，下列叙述中正确的是（ ） A．圆心在直线上 B．其圆心在x轴上 C．过原点 D．半径为 11．在棱长为4的正方体中，点P为的中点，动点M在线段（不含端点）上，动点N在正方形内（不含边界），则下列结论正确的有（ ） A．直线与直线一定是异面直线 B．当M是中点时，与平面所成角的正弦值为 C．三棱锥外接球球心到平面的距离为 D．若平面，则直线与所成角的余弦值可能是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知直线l的方程为，则该直线l的倾斜角为__________． 13．已知，，与的夹角为，则__________． 14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，则曲线C上任意一点到直线的最小距离为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）在平面直角坐标系中，点，，． （1）求直线的方程； （2）求过点A与直线垂直的直线l的方程； （3）求直线与直线l交点的坐标． 16．（15分）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．设，，． （1）用为基底表示向量，并求的长； （2）求的值． 17．（15分）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西方向处设立观测点A，在平台O的正东方向处设立观测点B，规定经过O，A，B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系． （1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离； （2）试求经过O，A，B三点的圆的标准方程； （3）某日经观测发现，在该平台O正南方向的C处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 18．（17分）如图，已知四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，，，E是的中点． （1）证明：平面； （2）求点D到平面的距离； （3）求平面与平面夹角的正弦值． 19．（17分）如图，在圆锥中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧的中点，D是的中点． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面和平面的夹角为，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026年10月高二年级试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B C B A A D D AD AC AC 12． 13． 14． 15．（1） （2） （3） 【详解】（1）直线的斜率， 2分 故直线的方程为，化简得． 4分 （2）因为直线l与直线垂直，故， 6分 所以， 8分 直线l的方程为，化简得． 9分 （3）联立， 11分 解得，即， 所以直线与直线l交点的坐标为． 13分 16．（1）， （2） 【详解】（1）记，，， 则，， ， 2分 ， 4分 ， 6分 ，即的长为； 8分 （2），故， 故， 10分 由（1）知，， 故 ， 13分 ． 15分 17．（1），， （2） （3）轮船会进入安全预警区，在安全预警区内会行驶小时 【详解】（1）由题意知：，，， ， 2分 ． 4分 （2）设经过O，A，B三点的圆的方程为：， ， 5分 解得：， 7分 ∴所求圆的一般方程为：， 则经过O，A，B三点的圆的标准方程为：． 9分 （3）由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即， 由（2）知：经过O，A，B三点的圆的圆心为，半径， 10分 ∴圆心到直线的距离， 12分 ∴直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区； 13分 设直线与圆的交点为E，F，则， 14分 则轮船在安全预警区内会行驶小时． 15分 18．（1）证明见解析 （2） （3） 【详解】（1）如图，连接，交于点F，连接， 1分 由题意可知E，F分别为，的中点，故， 2分 又平面，平面，所以平面． 4分 （2）因为平面，，平面，所以，． 5分 又，E为的中点，所以，且． 6分 又，，，，平面， 所以平面， 7分 又平面，所以． 又，且，，平面，所以平面， 9分 所以点D到平面的距离等于线段的长，即点D到平面的距离为． 10分 （3）以D为坐标原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 11分 则，，，，， ，，，， 设是平面的一个法向量， 则，． 13分 设是平面的一个法向量， 则，． 15分 设平面与平面的夹角为， 则，， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 17分 19．（1）证明：连接，，，如图所示；为的中位线，则， 而平面，平面，得平面， 1分 由是圆锥底面圆的直径，T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧的中点， 得，得， 而平面，平面，得平面， 又，，平面，得平面平面， 而平面，得平面． 3分 （2）若，则， 因为圆锥底面，在圆锥底面内，所以， 以O为原点，分别以，所在直线为y，z轴，过O垂直于的直线为x轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 不妨设，则，，，， 得，，， 4分 设平面PAT的法向量为， 得，令，得， 6分 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 8分 （3）以O为原点，分别以，所在直线为y，z轴，过O垂直于的直线为x轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 不妨设，则点T在圆上运动， 设，，且且， 而，，， 则，，， 9分 设平面的法向量为，得， 令，得， 11分 设平面的法向量为，得， 令，得， 13分 因为平面和平面的夹角为， 则 ， 15分 令，则，则，即， 则， 16分 由，得，则当时，即时，取得最大值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $