广西壮族自治区玉林市第一中学2025-2026学年高二上学期11月月考数学试题

2025年11月高二月考试题（数学) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求的.) 1.圆2+2+6一8+1=0的圆心坐标为() A.(3,-4) B.(6,-8) C.(-3,4) D.(-6,8) 2.若抛物线P=2x(p>0)的焦点是椭圆+上=1的一个焦点，则p() 3p p A.2 B.3 C.4 D.8 3.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底 面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面 ABCD,且PE=}PC,若AB=a,AD=五，AP=c,则BE=() 4 A.-5a-165 a--b+- B.3a+165 -d+-b- 4 44 4 44 C.3a+163 4a+16+3c 44 n.-- 4.已知一条光线从点(4,0)发出被直线+-10=0反射，若反射光线过点(0,1)，则 反射光线所在的直线方程为() A.x-2y-2=0 B.x-2y+2=0 C.x+2y-2=0 D.x+2y+2=0 5.双曲线C:二=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上，0为坐标原点，若 42 PO=PF,则△PF0的面积为() A.32 B.32 C.22 D.3W2 4 6.已知曲线C:+上=1，直线1与曲线C交于A,B两点，且点P2,1)是线段AB的中 169 点，则直线1的斜率为() A.8 B. c. D. 7.一动圆与圆2+2+6+5=0外切，同时与圆2+2-6-91=0内切，则动 圆圆心的轨迹方程是() 22 22 A.36-27=1 B.+=1 C.i6+7=1 D.=1 高二数学试卷，第1页，共4页 8.设F为双曲线C:二为(a>0,6>0)的石焦点，0为坐标原点，以OF为直径 的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若PQ=OF到，则C的离心率为() A.√2 B.5 C.2 D.5 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M,N、Q是所在棱的中 点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是() N B D M 10.已知直线1：ax+(a+1)y+2=0,圆O:x2+y2=9,则下列说法正确的是() A.存在实数a,使圆O关于直线1对称 B.直线1过定点(2，-2) C.对任意实数a,直线l与圆O有两个不同的公共点 D.当a=时，直线1被圆o所截弦长为2 11.己知抛物线E:x2=2Py(p>0)的焦点为F,准线交y轴于点P,抛物线E上一点T(x,4) 到点F的距离为6，点A,B是抛物线C上的两点，点M是AB的中点，则下列说法正 确的是() A.p=4 B.若中点M的横坐标为4，则直线AB的斜率为2 C.若OA⊥OB,则AB恒过点(0,8) D.若直线AB过点F,则kAP+kP=O 高二数学试卷，第2页，共4页 三、填空题（本题共3小题.，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线后号=1上一点P到左焦点的距离为12，那么点P到右焦点的距离 为 13.如图，在一个45°的二面角的棱上有两个点A,B,线段，分别在 这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，且=2， =1, B BD=2√2，则的长为 14.已知直线l:ax-y+5=0与直线l2:x+ay-a+4=0(a∈)的交点为P,则点P到直 线：y=x-3距离的最大值为 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤） 15.(13分) 已知圆心为的圆经过点(3，-1)和(2,6)，且圆心在直线+-1=0上. (1)求圆的标准方程： (2)过点(4,1)作圆的切线，求切线方程. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 是菱形，∠=60°且PA=AB=2, ⊥平面 ,为PD的中点 (1)证明： 平面； (2)求EC与平面 所成的角： (3)求点到平面 的距离。 B 高二数学试卷，第3页，共4页 收：(I5分)已知双曲线C。a>0.b>0的石焦点为P,点M2,V2②)在C上，A MF⊥x轴， (1)求C的方程； (2)若过点Q(0,2)的直线1与双曲线交于E,F两点，△OEF的面积为22，求直线I的方 程 18.(17分)在四棱锥P-ABCD中，已知侧面 是边长为2的正三角形，是PD的中 点，底面 为矩形，且侧面 上底面 ,与平面 所成角的正切值为西 (1)求证： ⊥平面 (2)求平面 与平面 夹角的余弦值 19.(17分)已知椭圆的两个焦点为(-1,0)和F(1,0),点为椭圆的上顶点， △12为等腰直角三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)己知点为椭圆上一动点，求点到直线：3+4-12=0距离的最值： (3)分别过E,F2作平行直线，，若直线与曲线交于A,B两点，直线与曲线交于 C,D两点，其中点，在轴上方，求四边形12的面积的取值范围. 高二数学试卷，第4页，共4页2025年11月高二月考试题（数学）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C B D A AC BCD ACD 12.2或22 13.3 14.62 1.C因为圆2+2+ =0的圆心坐标为(-2一) 所以圆2+2+6一8+1=0的圆心坐标为(-3,4) 2.D因为抛物线焦点兮0)是椭圆的一个焦点，所以3p-P=(,解得P=8,故选D 3.C BE-BP+PE-AP-AB+PC-AP-AB+(C-AP AP-AB+B+AD-AP) b+ 4. 4.B设点(4,0)关于直线+-10=0的对称点为(，)，则 2+2-10= + 4=1 0解得三0 因此反射光线所在直线过点(10,6)，方程为=0品+1，即-2+2=0 5.A由a=2,b=2,c=a+=6,P0=Pr1x,=6,又P在C的一条渐近线上， 2 不纺设为在，号上，m6号9 2 24 6D因为后)，放点P在椭圆内，所以直线a与裤圆相交，设（小，M5小： [足+片=1回 因为A,B两点在曲线C名+)1上，所以有 169 3+点=1(2) 169 用1)式减去(2)式可得s-x++-+为-0， 16 答案第1页，共8页 +X2=2 根据中点坐标公式可得 2 ,即x+x2=4,y+y2=2. y+y2=1 2 代入上式，可得业=9 x-x38 7.B设动圆圆心为(，)，半径为R,设已知圆的圆心分别为1、2， 将圆2+2+6+5=0的方程配方得：(+3)2+2=4，圆心1(-3,0)，半径为2， 圆2+2-6-91=0同理化为(-3)2+2=100，圆心2(3,0)，半径为10， 当动圆与圆1相外切时，有11|=+2① 当动圆与圆2相内切时，有|2|=10-② 将①②两式相加，得11|+|21=12>|12 ∴动圆圆心(，)到点1(-3,0)和2(3,0)的距离和是常数12， 所以点的轨迹是焦点为点1(-3,0)、2(3,0)，长轴长等于12的椭圆， 22 故=6，=3,2=27，“36+27=1 8.A设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴，又 ~PQH0F,PA作号PH为以oF为直径的圆的半径，A为 圆心01P传，又P点在图r+g上 ..cc 44 a=a2,即=a,·e2c =a=2.e=V2,故选A. 9,AC所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M,N、 Q是所在棱的中点，故可设棱长为2，在正三棱柱中建立如图所示的 空间直角坐标系：对于A,AW3,0,0),Q(0,0,0),M(0,1,1),N(0,0,2),故 A0=(-V3,0,0),MN=(0,-1,1), 则A0·MN=(-V3,0,0)(0,-1,1)=0,故A⑨⊥M,即AQ⊥MN,故A正确： 对于R400@号Mr5专n号政0-9a项-0m, 答案第2页，共8页 则0-92010-号故Q,w不直，放B不正确 对于c,450,e0u,wm-lN9-放0=(-5u-95, 侧0.N=BL-,=0,故0上派，即40LW,故C正确g 222M51 对于D,401,0,e5,- 学00-0，放0-2-(5 220, 则0.-怎2(5》-2，放40.不直，放D不正确放选：AC 10.BCD对A:因为圆O的圆心为(0,0)，因为a×0+(a+1)×0+2=2≠0，所以不存在a,使 得直线l经过圆心，即不存在实数a,使圆O关于直线1对称.故A错误； 对B:因为2a-2(a+1)+2=0恒成立，所以直线1过定点(2，-2)，故B正确： 对C:因为22+(-2)=8<9，所以点(2，-2)在圆0：x2+y2=9内部，又直线1过定点(2，-2)， 所以直线1与圆O必有两个不同的公共点，故C正确： 对D:当。时，直线1：宁宁少+2=04=0 0到直线1的距离为：d5=2W2,所以弦长为：2R2-d=29-8=2,故D 11.ACD对于A,点T(x,4)到点F的距离为4+=6，解得p=4,故A正确： 对于B,设A(x,),B(x,2),则 下=81，两式作差得号-号=80-乃， x=8y, 所以直线4B的斜率为片-上-十5=1，故B错误： 七-x28 对于对于C,设AB:y=cx+b(b>O),联立直线和抛物线 y=kx+b =8y”，则2-86-8贴=0， +%=8账，=-8助，所以%-=.因为0110B,所以+5=0，所以-8+公=0， 64 解得b=8,所以直线AB恒过点(O,8),故C正确： 对于D,由A得F(0,2),P(0,-2),可设AB:y=c+2,联立直线和抛物线 y=k+2 x2=8y’ 答案第3页，共8页 则r-8%-16=0,名+5=8k,=-16,所以kp+k=+2+凸+2_(05+2到+x(+2 x x2 X X2 （2 -2+2x+2X-2%0?故D正确. XX2 XX2 12.2或22.易知=5，设点P到右焦点的距离为， |12-|=10,解得=2或=22，经验证均符合题意。 13.因为=++”，所以2= 2 2十 2+2 +2 21 .，由题意，。1 ,1,则.=0， =0, 所以2=2+2+2+2 因为线段， 分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱， 且二面角大小为45，所以<，”>=135°， 而AB=2,=1,BD=2V2,于是2=1+4+8+2×2W2×(-)=9, 所以1=3 14.直线，12分别过定点A(0,5),B(-4,1),且互相垂直， 所以点P的轨迹是以AB为直径的圆（不含点(0，）)， 这个圆的圆心坐标为(-2,3)，半径为22.圆心到直线1距离为d=-2-3-3=42, 2 因此圆上的点到直线1距离最大值为62 15.（1)由题意设圆心(，一十1)，…1分 “11=|即V(-3)2+(-+1+1)z=√(-2)2+(-+1-6)2，…2分 解得=-1，即(-1,2)，…3分 半径=||=√(-1-3)2+2-(-1)]2=5，…5分 所以圆的标准方程为（十1）2十(-2)2=25；…6分 答案第4页，共8页 (2)当切线的斜率不存在时，则切线方程为=4， …7分 此时圆心(-1,2)到直线=4的距离为5=，符合条件； …8分 当切线的斜率存在时，设过(4,1)的切线方程为-1=（一4)，…9分 即 --4+1=0, 则圆心(-1,2)到切线的距离 =上-2-4+=5， √2+(-1)z 解得号 …11分 此时切线的方程为：写 12 --4×号+1=0，即12-5-43=0，…12分 综上所述：过的切线方程为=4或12一5一43=0.……13分 16.(1)连接BD交AC于O,连接OE. 易得O为BD中点，又为PD的中点，则PB/OE,…2分 又￠平面 ,OEc平面，则 平面 ;…4分 (2)如图作 ⊥， …5分 因⊥平面 c平面 ,则 …6分 又 c平面 =,则 1平面 …7分 连接，则∠为EC与平面 所成的角。 由题可得=3， =1, …8分 则ㄥ =一=V3→∠ =3 …9分 (3)如图，取CD中点为H,连接AH,易得⊥ …10分 则以A为原点，AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，AH所在直线为y轴建立空间 直角坐标系.(2.0,0)，(00,0)，（1V3,0),(00,2)，(-1V3.0),(-1 =(-2,0,0), =（2), =(1,3,0). …11分 法向量为=(，，)，则 +3 设平面 +=0 =+3=0 令=V3,则=-1，=V3,故取=(V3,-1,3.…13分 则点到平面 的距离为=什-=网 …15分 11 答案第5页，共8页 7.(因为点M2②在C上，所议4是1，…1分 又F为C的右焦点，MF1x轴，则c=2…2分 故c2=a2+b2=4…3分 所以a2=2,b2=2…4分 此C的方程为y=1.5 22 (2)根据题意可知直线1的斜率存在，又直线1过点Q(0,2), 所以直线l的方程为y=c+2,…6分 2 所以原点O到直线l的距离d= 2+i ，…7分 y=kx+2 联立 x2-y2=2’得k2-0x2+46+6=0, …8分 所以k2≠1且△=16k2-24K2-1)=24-8k2>0, 所以k2<3,且k2≠1…9分 所以EF卡+店.4-4-0x6-N+E.226-E …11分 1k2-10 k2-1 所以0r的面积为d兮1，F2 .2=22…12分 1k2-1川Vk2+1 所以3--1，解得=2，所以k=士2…14分 1k2-1 所以直线l的方程为y=√2x+2或y=-√2x+2.…15分 18.（1)因为底面 为矩形，则 y 又因为侧面 ⊥底面 ,侧面 n底面 c平面 所以⊥平面 …3分 而AMc平面 ,所以CD⊥AM, …4分 又侧面 为正三角形，M是PD的中点，所以 ,…5分 又n =,PD, c平面，所以 ⊥平面 .…6分 (2)取 中点O,连接，则 …7分 又因为侧面 ⊥底面 ,侧面 n底面 c平面 所以⊥平面 …8分 答案第6页，共8页 以O为原点，过O平行于的直线为x轴， 为y,z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设=(>0)，则(，一1,0)， (0,0,V3,(0,-1,0),(0,1,0),（,1,0),…10分 由平面 的一个法向量是=(0,0,1)， 因为与平面 所成角的正切值为雪，所以其正弦值为9 B 所以 1(,川=- 5=6,解得三2，川分 则=(2,1，-V3),=(0,1,-V3),…12分 设平面 的一个法向量是=（1,1,1)， 2a。 取1=3，则x=0,1=1, 所以=(0,3,1)为平面的一个法向量， 由(2,1,0)，(2，-1,0)，=(-2,1，V3）, =(0,2,0), 设平面的一个法向量是=(2,2,2)， 则·=-22+2+32=0 ·=22=0 取2=3，则2=0,2=2， 所以=(V3,0,2)为平面 的一个法向量 …15分 <，>=而=品= > …16分 设平面 与平面 所成夹角为，则 所以平面 与平面 所成夹角的余弦值为 …17分 19.(1)由题意得=1，因为点为椭圆的上顶点，△12为等腰直角三角形， 所以==1，…1分 所以2=2十2=2，…2分 所以椭圆的标准方程为2十2=1；…3分 答案第7页，共8页 (2)设与直线：3+4-12=0平行且与椭圆相切直线方程为3+4+=0， 3+4+=0 联立 )+2三1’消得172+6+2-16=0，…5 2 则=362-4×17(2-16)=0，解得=士V34,…6分 平行直线3+4+=0与3+4-12=0的距离=+12， …7分 5 所以 =12-V34 5 =12+V34 5 所以点到直线：3+4-12=0距离的最大值为12+v3网，最小值为12-3， …9分 5 5 (3)由题意可得直线，的斜率不为零， 设直线的方程为=一1，则直线的方程为=+1，…10分 -1 联立 +2=1消得(2+2)2-2-1=0，…11分 2 设(，山.（22少，则1+2=212=-2…12分 1 则11=V1+2.√(1+2)2-412= 1+7.+- 2+2 2 直线，之间的距离=则四边形 的面积1=11：=中，…14分 2+2 令=V+1,1+m.则2=2-1，放=经=≤g=22, 21 当且仅当=二，即=1时取等号，又≥1，所以‘>0，所以'∈(0,2V2]…16分 由椭圆的对称性可得四边形12的面积=支'∈(0，V②， 所以四边形12的面积的取值范围为(0，V2].…17分 答案第8页，共8页