精品解析：北京市石景山区第九中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

北京九中2026—2027学年度第一学期高三年级10月月考测试 数学试卷 考生须知 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号. 3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若全集，集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，， ． 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 4. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用不等式的性质及特值法求解. 【详解】对于A，令，所以，所以A不正确； 对于B，因为，所以，所以由不等式的可加性知：，所以B正确； 对于C，令，所以，所以C不正确； 对于D，令，所以，所以D不正确. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. 为奇函数，且在上单调递增 B. 为奇函数，且在上单调递减 C. 为偶函数，且在上单调递增 D. 为偶函数，且在上单调递减 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，令， 则可转化为， 可得，即在上单调递增， 即在上单调递增，而， 可得， 则为奇函数，故A正确. 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，解得或，即函数有两个零点和； 当时，，，则； ， 时，. 对于A，当时，，无零点，不符合题意，故A错误； 对于B，当时，函数有两个零点；且当时，， 时，，符合题意，故B正确； 对于C，当时，函数有1个零点，不符合题意，故C错误； 对于D，当时，函数有两个零点；当时，， 但时，，不符合题意，故D错误. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先化简“”和“”，再利用充分必要条件的定义分析判断得解. 【详解】由得， 由得， 所以“”不能推出“”， 所以“”是“”的非充分条件； 因为“”不能推出“”， 所以“”是“”的非必要条件. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选D 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 8. 自然对数的底数e的提出与连续复利问题有关.十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是1，银行年利率是100％，n是计息次数，则一年后本金与利息之和为，当n趋于无穷大时，本利和将趋于e.当计息次数时，一年后本利和约为（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入本利和公式得，两边取自然对数，利用、化为已知数据，算得对数约为，从而确定选项. 【详解】当时，一年后本金与利息之和为. 对取自然对数得. 代入参考数据得， 所以. 9. 函数的图象与直线的交点个数的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数图象分析即可. 【详解】由函数，如图所示： 由图可知函数的图象与直线的交点个数的最大值为3. 10. 已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数单调性及基本不等式求解即可. 【详解】当时，，当且仅当时取等号. 当时，在上单调递减，此时的值域为， 因为在定义域内有最小值，所以. 故实数的取值范围为. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式的定义结合对数单调性计算求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 函数的定义域为 12. 若关于的不等式的解集为，则________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为等式的解集为,所以为方程的根, 即,故填. 考点：绝对值不等式 绝对值方程 13. 已知定义在上的函数，的图象如图所示，其导数为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】由图象可知，在内，图象上升，； 在内，图象下降，； 在内，图象上升，； 则不等式的解集为． 14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围________. 【答案】 【解析】 【分析】 由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得的范围． 【详解】∵，，且， ∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为8， 由解得， 故答案为：． 【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题第一步是利用基本不等式求得的最小值，第二步是解不等式． 15. 已知函数的定义域为，值域为，函数具有下列性质：（1）若，，则；（2）若，，则．下列结论正确的是__________． ①函数可能是奇函数； ②函数可能是周期函数； ③存在，使得； ④对任意，都有． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】利用函数奇偶性、周期性的定义以及函数所满足的两个性质对①②③④逐一分析可解. 【详解】对①：若为奇函数，则， 令，由（2）知，而与（1）矛盾，所以①错误. 对于②，令，，，则是周期函数， 则的值域为，任取， 则，，则，，符合题意，故②正确； 对于③，令，由题知，则， 即存在，使得，所以， 同理，均属于， 故存在，，使得，， 所以，由性质（1）可得，使得，故③正确； 对④：令，则由（1）知，从而， 所以，所以④正确. 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16. （1）若不等式的解集为，求不等式的解集. （2）解关于x的不等式(). 【答案】（1）； （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求出参数，再代入求解目标不等式； （2）对参数进行分类讨论，结合因式分解和根的大小关系确定不等式的解集. 【详解】（1）不等式的解集为， 得、是一元二次方程的两个根， 则，解得. ，即，解得； 不等式的解集为. （2）当时，，解得； 当时，. 令，解得，. 当时，，由，解得； 当时，，由，解得或； 当时，，由，解得； 当时，，由，解得或； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）求函数在上的最大值． 【答案】（1） （2）函数在上单调递增，证明如下： 任取，且， 则， 又，则，， 又，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增，证毕． （3） 【解析】 【分析】（1）根据分母不能为即可求出的定义域； （2）根据函数单调性的定义即可证明； （3）结合（2）中函数的单调性即可求解． 【小问1详解】 由函数，则，即， 所以函数的定义域为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 结合（2）有在上单调递增， 则在上也单调递增， 所以函数在上的最大值为． 18. 已知函数 （1）若，求曲线的斜率为的切线方程； （2）求函数的单调递增区间； （3）若函数在上恰有1个零点，直接写出a的取值集合． 【答案】（1）和； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设斜率为的直线与相切于，求导得，令，解得或，求出切点坐标，再利用点斜式即可得切线方程； （2）求导得，令，即可得函数的单调递增区间； （3）将问题转化为直线与的图象在上只有一个交点，利用导数求出的单调区间、最值，作出图象，结合图象求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以，， 设斜率为的直线与相切于， 令，解得或， 当时，切点为， 此时切线方程为； 当时，切点为, 此时切线方程为：， 即； 综上，所求切线方程为：和； 【小问2详解】 解：因为， 所以， 令，得或， 所以函数的单调递增区间为； 【小问3详解】 解：令， 则， 令， 则， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，又，， 又因为函数在上恰有1个零点， 即直线与的图象在上只有一个交点， 如图所示： 由此可得或， 解得或， 所以实数a的取值集合为 19. 已知函数. （1）判断0是否为的极小值点，并说明理由； （2）证明：. 【答案】（1） 0是的极小值点，理由如下： 定义域为， ，其中， 当时，，故， 当时，，故， 故在上单调递减，在上单调递增， 故0是的极小值点； （2） 等价于， 即， 令， 则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 故当时，，当时，， 则恒成立， 故. 【解析】 【分析】（1）求的定义域，求导，得到，且时，，时，，故0是的极小值点； （2）对不等式变形得到，令，求导，得到其单调性，从而得到g(x)正负，故恒成立，结论得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知函数． （1）若在上单调递增，求a的最大值； （2）若，是否存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1） （2）存在，理由如下： 时，，则， 令，则 若存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直， 则存在，，使得， 令， 当当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 即时，，故存在，，使得， 例如，，符合题意. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，将原问题转化为不等式恒成立问题，分离参数，即可求解； （2）求出函数导数，将问题转化为求解导函数的取值范围，看能否成立，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 由于在上单调递增，故在时恒成立， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 故， 故，即a得最大值为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于第二问，要判断是否存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直，只需求出导函数的取值范围，看能否成立. 21. 设是定义在的可导函数，且不恒为，记（）．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）． （1）判断函数（）是否既是“阶负函数”又是“阶不减函数”，并说明理由； （2）若（）既是“阶负函数”，又是“阶不减函数”，求实数的取值范围； （3）对任给的“阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“阶负函数”？并说明理由． 【答案】（1）（）既是“阶负函数”又是“阶不减函数”． 理由：因为（），所以． ， 所以（）既是“阶负函数”又是“阶不减函数”． （2） （3）不一定为“阶负函数”. 理由如下：（1）构造反例说明存在反例，构造函数， 对应，即， 显然函数在上处处可得， 当时，；当时，，所以函数在处可导. 因此函数在上处处可导，且不恒为. 当时，，单调递增； 当时，，为常函数； 因此对，，所以是“阶不减函数”. 取常数，因为，所以对所有恒成立，满足条件. 又当时，，不满足“对任意，”的定义，因此不是“阶负函数”. （2）再构造函数，，， 所以为“阶不减函数”， 对任意，，取常数，则恒成立. 又对任意，，所以为“阶负函数”. 综上所述，既存在满足条件但不是“阶负函数”的函数，也存在满足条件且是“阶负函数”的函数， 因此，函数不一定为“阶负函数”. 【解析】 【分析】（1）根据“阶负函数”、 “阶不减函数”的定义求解判断即可； （2）根据“阶负函数”、 “阶不减函数”的定义求解即可.； （3）分别构造两个函数及，进而可说明函数不一定为“阶负函数”. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为（）是“阶负函数”， 所以，因为，得， 令，在上单调递增，所以， 要对成立，故. ②又是“阶不减函数”， 所以对所有恒成立， 得对所有恒成立，所以． 综上①②，实数的取值范围． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京九中2026—2027学年度第一学期高三年级10月月考测试 数学试卷 考生须知 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号. 3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若全集，集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 25 B. 5 C. D. 4. 若，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 为奇函数，且在上单调递增 B. 为奇函数，且在上单调递减 C. 为偶函数，且在上单调递增 D. 为偶函数，且在上单调递减 6. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 自然对数的底数e的提出与连续复利问题有关.十七世纪数学家伯努利在研究复利时，设本金是1，银行年利率是100％，n是计息次数，则一年后本金与利息之和为，当n趋于无穷大时，本利和将趋于e.当计息次数时，一年后本利和约为（参考数据：，）（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象与直线的交点个数的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为______. 12. 若关于的不等式的解集为，则________. 13. 已知定义在上的函数，的图象如图所示，其导数为，则不等式的解集为______． 14. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围________. 15. 已知函数的定义域为，值域为，函数具有下列性质：（1）若，，则；（2）若，，则．下列结论正确的是__________． ①函数可能是奇函数； ②函数可能是周期函数； ③存在，使得； ④对任意，都有． 三、解答题（本大题共6小题，共85分） 16. （1）若不等式的解集为，求不等式的解集. （2）解关于x的不等式(). 17. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）求函数在上的最大值． 18. 已知函数 （1）若，求曲线的斜率为的切线方程； （2）求函数的单调递增区间； （3）若函数在上恰有1个零点，直接写出a的取值集合． 19. 已知函数. （1）判断0是否为的极小值点，并说明理由； （2）证明：. 20. 已知函数． （1）若在上单调递增，求a的最大值； （2）若，是否存在，，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由．（参考数据：，） 21. 设是定义在的可导函数，且不恒为，记（）．若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）． （1）判断函数（）是否既是“阶负函数”又是“阶不减函数”，并说明理由； （2）若（）既是“阶负函数”，又是“阶不减函数”，求实数的取值范围； （3）对任给的“阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是否为“阶负函数”？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $