精品解析：北京市北京大学附属中学预科部2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

北大附中预科部2026-2027学年度10月月考 数学 2026.10 本试卷共4页，满分150分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束，交回答题卡． 一、本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点．若将角的终边逆时针旋转得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 二十世纪中期，心理学家斯蒂文斯开创了对后来颇有影响的数量估计方法．他指出，人的心理感受强度（用表示）与物理刺激强度（用表示）可以通过如下对数形式的表达式来刻画：，其中，均为正的常数．已知当物理刺激强度从15个单位增大到60个单位时，增加4；则当物理刺激强度从60个单位增大到480个单位时，增加（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 为了得到函数图象，只需（ ） A. 把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位 B. 把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位 C. 把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D. 把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变 8. 已知函数，函数在上是奇函数，函数在上是偶函数，则“，”是“函数的图象与函数的图象有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知函数，．若的最大值为2，则的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知符号函数，，，且，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11. 函数的定义域是________ 12. 在中，，，，则______． 13. 已知命题：若，且，则．能说明命题为假命题的一个值为________． 14. 已知函数，若，则的极值点为________；若的值域为，则的取值范围为________． 15. 若定义在的函数同时满足（i）；（ii）； （iii），当时，．给出下列四个结论： ①； ②； ③在上单调递增； ④函数在上没有零点． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的取值范围． 17. 已知函数． （1）若的图象上相邻对称中心之间的距离为，求的最大值以及相应的值； （2）若将的图象以轴为对称轴翻转，得到函数的图象，且在上有且只有一个极值点，求此时的单调递增区间． 18. 已知满足且． （1）求证：； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求边上的中线长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的零点个数； （3）若关于的不等式恒成立且在某个处等号成立，直接写出的最小值． 20. 已知函数的定义域是，，导函数： （1）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值； （2）设，当时，判断函数是否存在极值点，并说明理由； （3）若时，曲线总在曲线的上方，求的最小值． 21. 已知数列：，，…，，定义变换，将数列变换成数列：，，…，，其中，，，…，．只有三行的梯形数表中第一行为数列：，，…，， 且，，，…，；第二行为：，，…，，第三行为：，，…，， 满足，．表示梯形数表中所有元素的和． （1）若中第一行数列为：，，，，求及； （2）当正整数时，若有，证明：； （3）若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北大附中预科部2026-2027学年度10月月考 数学 2026.10 本试卷共4页，满分150分．考试时长90分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束，交回答题卡． 一、本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， . 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以. 3. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义和判定方法，以及利用导数与函数的单调性的关系，结合选项，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，由函数，可得其定义域为， 且，所以函数为偶函数，所以A不符合题意； 对于B，由函数，可得其定义域为， 则定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以B不符合题意； 对于C，由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数， 又由恒成立，所以在上单调递减，所以C符合题意； 对于 D，由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数， 又由恒成立，所以在上单调递增， 所以D不符合题意. 4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点．若将角的终边逆时针旋转得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的定义，求得，再由，结合诱导公式，即可求解. 【详解】因为角以为始边，终边经过点，可得， 则， 将角的终边逆时针旋转得到角的终边，可得， 则. 5. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特殊值代入排除A、D，再分析函数在  时函数值的变化趋势，即可确定函数图象. 【详解】令 ， 则，根据选项图象可排除 A、D； 当 时，因， ，但指数函数  的增长速度远快于幂函数 ， 则 ，由图知显然 B项不满足，C项符合. 6. 二十世纪中期，心理学家斯蒂文斯开创了对后来颇有影响的数量估计方法．他指出，人的心理感受强度（用表示）与物理刺激强度（用表示）可以通过如下对数形式的表达式来刻画：，其中，均为正的常数．已知当物理刺激强度从15个单位增大到60个单位时，增加4；则当物理刺激强度从60个单位增大到480个单位时，增加（） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】结合对数运算性质，先根据已知增量求出与的关系，再代入计算目标增量即可． 【详解】由题设公式（为正的常数）， 可得当刺激强度从变化到时，的增量为：， 当从15增大到60时，，代入得：，整理得， 当从60增大到480时，代入增量公式：， 将代入，得． 7. 为了得到函数图象，只需（ ） A. 把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位 B. 把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位 C. 把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D. 把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，把函数的图象上的所有点向右平移1个长度单位，得到，故A错误； 对于B，把函数的图象上的所有点向左平移2个长度单位，得到，故B错误； 对于C，把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，故C错误； 对于D，把函数的图象上的所有点纵坐标变为原来的9倍，横坐标不变，得到，故D正确． 8. 已知函数，函数在上是奇函数，函数在上是偶函数，则“，”是“函数的图象与函数的图象有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意判断函数图像的特征，再分别判断充分性和必要性是否成立，即可得答案. 【详解】若，则 ，由分段函数定义：， 是奇函数，故； 是偶函数，故 则“，”，等价于：，即， 若，则，由分段函数定义：， 是奇函数，故； 是偶函数，故 则“，”，等价于：，即， 由此可知时，和的图象分布在x轴两侧，时，和的图象分布在x轴同侧， 而时，，即此时函数的图象与函数的图象重合，有公共点，即充分性成立； 取，，显然时，二者图象有交点， 此时“，”显然不成立，即必要性不成立， 故“，”是“函数的图象与函数的图象有公共点”的充分不必要条件. 9. 已知函数，．若的最大值为2，则的零点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由二倍角的余弦得，利用换元法结合二次函数的性质可得，求得，进而得，令，得，解三角方程可得结论. 【详解】， 令，又因为，所以， 则，因为，所以最大值在端点处取得， 即最大值为或，又， 所以最大值为，又的最大值为2，所以， 解得，所以. 令，得，所以， 解得或， 又，所以或， 所以的零点个数为3. 10. 已知符号函数，，，且，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由符号函数和题意可知函数的关系，然后讨论的不同取值得到函数的取值情况，并通过的关系作出判断即可求得实数的取值范围. 【详解】由符号函数及可知，恒成立， 在上单调递增，故函数值域为， ，而，故， 当时，，此时恒成立，等于0或1， 而此时，则恒成立，, 故此时要么等于0，要么同为1，符合题意； 当时，恒成立， 的零点，当时，， 故此时会出现情况，不符合题意； 当时，令，则，且， 而的零点， 令，则， 故在上单调递增，故，则， 故在区间上，，， 即此时存在区间使得异号，不符合题意； 当时，令，则，而， 时，，，则，符合题意； 时，，，则，符合题意； 时，，，则，符合题意； 当时，令，则，当时，， 而时，，当时，， 令，则， 故在上单调递减，故，则， 故在区间上，，，故此时不符合题意， 综上可知的取值范围为. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11. 函数的定义域是________ 【答案】 【解析】 【详解】由，得，解得. 函数的定义域是. 12. 在中，，，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】解：因为，，， 所以由正弦定理得， 因为，所以或 故答案为：或 13. 已知命题：若，且，则．能说明命题为假命题的一个值为________． 【答案】（答案不唯一，取区间内任意值均可） 【解析】 【分析】先求出在上的解集，进而取解集中不属于的数值即可． 【详解】由，则，即， 当时，，则，即，解得； 当时，，即，不符合题意； 当时，，则，即，解得， 则的解集为， 要说明命题为假命题，只需找一个满足，且，但，即取即可， 所以能说明命题为假命题的一个值为，（答案不唯一，取区间内任意值均可）． 14. 已知函数，若，则的极值点为________；若的值域为，则的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空代入分析分段函数两侧单调性，结合极值点定义求解；第二空分和两类，分别讨论两段函数的值域特征，结合值域要求列约束条件求解。 【详解】第一空：当时，， 时，，故，为单调递减函数，无内部极值点； 时，，导数，为单调递增函数，无内部极值点； 分段点处左侧单调递减、右侧单调递增，满足极小值点定义，故极值点为； 第二空：当时，第一段包含的零点，故第一段值域为； 第二段开口向上，对称轴为直线， 由于函数在区间上单调递增，， 由条件即，结合前提得； 当时， 函数在区间上的解析式为， 此时函数单调递减，值域为， 第二段开口向上，若，即时，则函数在上单调递增，无最小值，不符合题意； 若，即时，最小值为， 要求值域为，需满足最小值为， 令，即，解得或（舍去）； 验证时，最小值点，符合要求，故为解， 综上，的取值范围为. 15. 若定义在的函数同时满足（i）；（ii）； （iii），当时，．给出下列四个结论： ①； ②； ③在上单调递增； ④函数在上没有零点． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先通过赋值求出若干区间端点处的函数值，再利用条件（iii）夹定区间内的函数值；对③检验单调递增的定义，对④比较函数值与自变量的大小． 【详解】①在条件（ii）中令，得，所以，①正确． ②在条件（i）中令，得，结合①得，再由条件（ii）得． 在条件（i）中令，得，所以． 当时，由条件（iii）得，所以． 由于，所以，②正确． ③由条件（ii）及②中所得函数值，得，． 因为，但，不满足单调递增所要求的时，所以③错误． ④当时，有，由条件（iii）及③中所得函数值，得， 因此，所以函数在上没有零点，④正确． 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数 （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在上的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用和角公式与降幂公式将函数解析式化成正弦型函数，再由周期公式计算； （2）将看成整体角，借助于正弦函数的图象性质即可求得. 【小问1详解】 由 则该函数的最小正周期. 【小问2详解】 由，可得，则 ， 则 ，即， 故在上的取值范围为. 17. 已知函数． （1）若的图象上相邻对称中心之间的距离为，求的最大值以及相应的值； （2）若将的图象以轴为对称轴翻转，得到函数的图象，且在上有且只有一个极值点，求此时的单调递增区间． 【答案】（1）取得最大值，对应 （2） 【解析】 【分析】(1)三角恒等变换化简得，相邻对称中心距离求得，再利用正弦函数性质求最大值与对应； (2)由图象翻折得到，换元，结合极值点个数确定整数，再求的单调递增区间. 【小问1详解】 相邻对称中心距离为，所以周期， ，得， 最大值为，所以， 令， ，， 当时，取得最大值. 【小问2详解】 将关于轴对称翻转，则， ， 极值点即导数为的点，， 令，， ， ， ， 要求在区间上仅有一个解， 当时，， 是左端点取不到，在内无解，无极点，舍去； 当时，， 有，在区间内部；不在此区间，仅有个解，满足题意， ：区间范围更大，会出现个及以上零点，舍去，故， 此时， 求单调递增区间： 单调递增，即单调递减， 令， ， ， 故的单调递增区间为 18. 已知满足且． （1）求证：； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求边上的中线长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）在中，， 即， 也就是， 化简得， 若，则，则为最大边，与矛盾， 所以，由正弦定理得； （2）选择条件①或③，边上的中线长为 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和性质、和差角公式、二倍角的正弦公式及正弦定理角化边求解. （2）先由余弦定理得，再结合不同条件确定三角形，最后设的中点为，则求中线长. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由，， 根据余弦定理得， 化简得， 选择条件①，，则，唯一确定； 选择条件②，，由正弦定理得， 化简得恒等式，三角形不唯一； 选择条件③，，由正弦定理， 即，则，从而，唯一确定； 故选择条件①或③， 设的中点为， 则，即， 即. 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的零点个数； （3）若关于的不等式恒成立且在某个处等号成立，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）在和上各有一个零点，共2个零点 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）根据导数分析出函数的单调区间即可判断出函数零点个数； （3）由题得出，，构造函数，根据导数即可求解最小值． 【小问1详解】 ，， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 令或（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 则， 又时，，时，， 所以在和上各有一个零点，共2个零点． 【小问3详解】 不等式恒成立且在某个处等号成立，说明直线在曲线上方，且相切于点， 由得，， 切线方程为， 所以 ， 设，， ， 令， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以， 所以的最小值为． 20. 已知函数的定义域是，，导函数： （1）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值； （2）设，当时，判断函数是否存在极值点，并说明理由； （3）若时，曲线总在曲线的上方，求的最小值． 【答案】（1） （2）不存在极值点 （3） 【解析】 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程为，设，切线与的切点为，则，求解即可； （2）求出，根据的正负性得函数的单调性，求解极值； （3）由题意得在上恒成立，设，利用导数分析函数恒大于的条件. 【小问1详解】 根据题意， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 设，则， 设切线与的切点为， 则，解得； 【小问2详解】 根据题意， ， 当时， ， 当时，，则，函数单调递减， 当时，，则，函数单调递减， 所以函数不存在极值点； 【小问3详解】 由题意得在上恒成立， 设，， 则， 设，， 则， 当时，，则在上单调递增， 所以，则在上单调递增，所以， 即在上恒成立， 当时，，在上单调递增， 则存在，使得时，， 则在上单调递减，则， 则在上单调递减，所以，不符合题意， 所以的最小值为． 21. 已知数列：，，…，，定义变换，将数列变换成数列：，，…，，其中，，，…，．只有三行的梯形数表中第一行为数列：，，…，， 且，，，…，；第二行为：，，…，，第三行为：，，…，， 满足，．表示梯形数表中所有元素的和． （1）若中第一行数列为：，，，，求及； （2）当正整数时，若有，证明：； （3）若，求的最大值． 【答案】（1）， （2）因为，且（是数列，也是数列） 由且，得，即， 由且，得，即， 所以，又 而，所以，所以. （3）16. 【解析】 【分析】第一小问根据题目所给新定义及逐个计算、及.第二小问由题意得到是数列，也是数列，再进行推导.第三小问结合题目考虑完全交替序列. 【小问1详解】 由题意可知，其中， 所以，同理， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，，，需要最大化三个部分的和. 对于的最大值，对于长度为8的序列，的最大值是7（此时为完全交替序列，如） 配合的最大值，， 的最大值：完全交替序列对应模式为：，当时，（最大值）. 所以的最大值为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $