精品解析：广东深圳市福田区红岭教育集团园岭中学2026-2027学年八年级上学期数学10月学情自测试卷

红岭教育集团2026—2027学年度第一学期 八年级第一次形成性练习 数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在下列各数中，无理数是（　　） A. B. C. D. ﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】A.＝2，2是整数，属于有理数，故本选项不合题意； B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意； C.是无理数，故本选项符合题意； D．﹣是分数，属于有理数，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征进行作答即可． 【详解】解：依题意，小手盖住的是第四象限的点，其点坐标特征为：横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴小手盖住的点的坐标可能为， 选项符合题意． 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，被开方数23是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式条件，该选项符合题意； 故选：D． 4. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. C. D. 2，3，4 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【分析】解：A.∵，∴不能构成直角三角形，故选项不合题意； B. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意； C. ∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意； D. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不合题意． 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 已知点，则点M到x轴的距离是2 B. 平方根等于本身的数有0和1 C. 平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D. 已知点，，则直线轴 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根的性质、坐标与象限的关系、点到坐标轴的距离以及平行于坐标轴的直线的特点来判断结论的正确性． 【详解】解：选项A：点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即，故A错误； 选项B：平方根等于本身的数只有，的平方根为，故B错误； 选项C：点在坐标轴上，则或，∴，故C正确； 选项D：点与纵坐标相同，∴直线轴，故D错误． 6. 若正比例函数的图像经过第一、三象限，则一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象及性质即可求出k的取值范围,然后根据一次函数的图象及性质即可判断． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴ ∵一次函数中，， ∴一次函数经过一、二、四象限 故答案选C 【点睛】此题考查的是正比例函数的图象及性质和一次函数的图象及性质，掌握一次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键． 7. 如图，一棵大树在台风中于离地面米处折断倒下，树的顶端落在离树干米远处，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，由题意得米，米，由勾股定理求出（米）即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得米，米， ∴（米）， ∴这棵大树在折断前的高度为（米）， 故选：． 8. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书中，记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程（单位：里）关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①良马的速度比劣马的速度快80里/日；②劣马比良马早出发12日；③点表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，理解题意，看懂图象，从图象上获取准确信息是解答的关键．从图象中找到两马的起始时间可判断①；根据图象的交点可判断②；求出两马的速度可判断③，进而可得答案． 【详解】解：①良马的速度为（里/日）， 劣马的速度为（里/日）， （里/日）， ∴良马的速度比劣马的速度快90里/日，原结论错误，不符合题意， ②由图象知，劣马比良马早出发12日，正确，符合题意； ③两图象的交点坐标为，则点A表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马，正确，符合题意． 故正确的是②③． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 16的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】求16的平方根，根据平方根定义，寻找平方等于16的数即可． 【详解】解：∵， ∴ 16的平方根是． 10. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握y轴上的点的特点是解题的关键，根据在y轴上的点，横坐标为0，求出m的值，再求点坐标即可． 【详解】解：点在轴上， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如果将直线向上平移3个单位，那么所得直线的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图像平移的“上加下减”原则计算即可． 【详解】解：将直线向上平移3个单位后， 所得直线的表达式为， 化简得． 12. 由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的面积是10，，则正方形的面积是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，根据正方形的面积可得，再根据勾股定理求出的值，从而得四个直角三角形的面积之和，进而即可求解． 【详解】解：∵正方形的面积为10，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴正方形的面积． 故答案为：4． 13. 如图所示，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是的中点，D，E分别是直线和y轴上的动点，则周长的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，由轴对称的性质，可得，，故当点，，，在同一直线上时，的周长，此时周长最小，依据勾股定理即可得到的长，进而得到周长的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG， 直线与两坐标轴分别交于、两点， ∴令，则；令，则，解得， ，， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∵点C与点G关于对称， ∴，， ∴， ∵，， ， 又∵点C与点F关于对称， ，，， ， ∵，， ∴的周长， 当点，，，在同一直线上时，的周长最小，为的长， ∵在中，， 周长的最小值是． 三、解答题（共7小题） 14. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】  解： 【小问2详解】  解 ： 【小问3详解】  解 ： 【小问4详解】  解 ： 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； （3）在x轴上找一点P，使得周长最小，请在图中标出点P，并直接写出点P的坐标．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图所示： （2） （3） 点P如图所示： 点P坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，坐标与图形，两点之间，线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，根据轴对称的性质分别找出点，依次连接，即可得； （2）根据关于y轴的对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，即可作答． （3）由（1）得点关于x轴对称的点，再连接，与x轴的交点即为点，连接，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴点C关于y轴的对称点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 16. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路?（即问：与是否垂直?）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 【答案】（1） 是为从村庄到河边的最近路，理由如下： ，千米，千米，千米， ， 是直角三角形，且， ， 是从村庄到河边的最近路； （2）千米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理． （1）由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，则，然后由垂线段最短即可得出结论； （2）设千米，则千米，千米，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设千米，则千米， 千米， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：原来的路线的长为千米． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标． （2）求的面积． （3）若点C在直线上，且，求点C的坐标． 【答案】（1）； （2）1 （3）或. 【解析】 【分析】（1）分别令，求出两点的坐标即可； （2）直接利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）设出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，；当时，； ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：； ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：∵点C在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴或. 18. 某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按元/分计；B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按元/分计．设应交费用为元，每月通话时间为分钟． （1）分别写出，两类收费，与通话时间的函数关系式． （2）若每月平均通话时间为300分，你选择哪类收费方式？ （3）每月通话多长时间，按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等？ 【答案】（1）A类：，B类： （2）选择A类收费方式 （3）每月通话时间为240分钟时，所缴话费相等 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，涉及解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）根据一次函数定义，由题意直接可以写出A类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间之间的关系式及类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间之间的关系式； （2）将分别代入与中计算，得到相应的函数值，然后比较大小即可解题； （3）根据（1）中的函数关系式，令与的值相等，结合解一元一次方程即可解题． 【小问1详解】 解：由题意可得：，， 即类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间之间的关系式是类收费标准每月应缴费用（元）与通话时间之间的关系式是； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴每月平均通话时间为，选择类收费方式． 【小问3详解】 解：令， 解得：， 即每月通话240分钟时，按、两类收费标准缴费，所缴话费相等． 19. 请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 7 … （1）表格中： ， ． （2）在直角坐标系中画出该函数图像． （3）观察图象： ①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ； ②观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 【答案】（1）3；5 （2） 如图函数图像即为所求作： （3） ①； ②观察函数的图像，该图像的性质有： 关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． 【解析】 【分析】（1）分别将和代入函数解析式，即可解答； （2）根据表格数据，先描点，再连线画出函数图像即可； （3）直接根据函数图像解答即可． 【小问1详解】 解：当时，；当时，， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）①直线为，②不变，；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据，过点作交于点，过点作交于点，得出，证明，即可证出． （2）①当时，则直线为直线，先求出，，则，过点E作于，如图所示：证明，得出，求出点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为． ②根据当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动，得出，过点作于，证明，得出，再根据，即可求解； （3）根据点C的位置分两种情况：①如图，过作轴交于点，过作轴于点，先求出点的坐标是，点的坐标是，得出，根据，得出，则，证明，则，求出，待定系数法求出直线的解析式为，再令，即可求出； ②如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点，根据，得出，证出，证明，则，设，则，得出，根据点在直线的图象上，代入求解即可． 【详解】解：（1）． 证明：，过点作交于点，过点作交于点， ， ， 在和中 ， ， ∴． （2）①当时，则直线为直线， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， 过点E作于，如图所示： ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把与代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． ②当变化时，的面积是定值，， 理由如下： ∵当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）①如图，过作轴交于点，过作轴于点， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则，解得：， 则； ②如图， 如图，过作交于点，过作轴，过作交于点，过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴． 综上，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、一次函数解析式求解、坐标与图形、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭教育集团2026—2027学年度第一学期 八年级第一次形成性练习 数学试卷 （说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在下列各数中，无理数是（　　） A. B. C. D. ﹣ 2. 如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. C. D. 2，3，4 5. 下列说法正确的是（ ） A. 已知点，则点M到x轴的距离是2 B. 平方根等于本身的数有0和1 C. 平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D. 已知点，，则直线轴 6. 若正比例函数的图像经过第一、三象限，则一次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一棵大树在台风中于离地面米处折断倒下，树的顶端落在离树干米远处，这棵大树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 元朝朱世杰的《算学启蒙》一书中，记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走路程（单位：里）关于行走时间（单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①良马的速度比劣马的速度快80里/日；②劣马比良马早出发12日；③点表示的实际意义是劣马出发32日时，良马追上劣马．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①② 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 16的平方根是______． 10. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是______． 11. 如果将直线向上平移3个单位，那么所得直线的函数表达式是______． 12. 由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的面积是10，，则正方形的面积是_______． 13. 如图所示，直线与两坐标轴分别交于A，B两点，点C是的中点，D，E分别是直线和y轴上的动点，则周长的最小值是_______． 三、解答题（共7小题） 14. 计算： （1） （2） （3） （4） 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； （3）在x轴上找一点P，使得周长最小，请在图中标出点P，并直接写出点P的坐标．（保留作图痕迹） 16. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． （1）问是否为从村庄C到河边的最近路?（即问：与是否垂直?）请通过计算加以说明； （2）求原来的路线的长． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求A，B两点的坐标． （2）求的面积． （3）若点C在直线上，且，求点C的坐标． 18. 某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按元/分计；B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按元/分计．设应交费用为元，每月通话时间为分钟． （1）分别写出，两类收费，与通话时间的函数关系式． （2）若每月平均通话时间为300分，你选择哪类收费方式？ （3）每月通话多长时间，按A，B两类收费标准缴费，所缴话费相等？ 19. 请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 7 … （1）表格中： ， ． （2）在直角坐标系中画出该函数图像． （3）观察图象： ①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ； ②观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 20. 【基础知识】 将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就可以得到两个全等的直角三角形． （1）如图1，等腰直角中，，过点作交于点，过点作交于点．直接写出与的数量关系__________． 【基本技能】 （2）已知：直线的图象与轴交于点，与轴交于点． ①如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，求直线的表达式； ②如图3，当的取值变化，点随之在负半轴上运动，在第二象限构造等腰直角，，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【应用拓展】 （3）如图4，直线的图象与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $