精品解析：甘肃省庆阳第二中学2026-2027学年度第一学期高二数学第一次月考试卷

庆阳二中2026－2027学年度第一学期高二数学第一次月考卷 命题人：张正君 审题人：裴志德 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解即可. 【详解】由题意得，，所以. . 故选：B. 2. 已知数列为等比数列，为的前项和，且，，则（ ） A. 8 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等比数列前n项和求出公比，再列式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，，解得， 所以. 故选：A 3. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用累加法结合可求答案. 【详解】因为，所以，，，， 以上各式相加可得，即. 因为，所以. 故选：A 5. 在等比数列中，，则的值为（ ） A. 9 B. C. D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据等比数列的性质计算即可. 【详解】因为为等比数列，所以． 所以，即． 因为在等比数列中，奇数项(或偶数项)的符号相同， 所以同号， 故． 故选：A. 6. 数列前n项和为，且，则关于及叙述正确的是（ ） A. ， 都有最小值 B. ， 都有最大值 C. ， 都无最小值 D. ， 都无最大值 【答案】A 【解析】 【分析】利用数列通项的单调性和正负即可判断出答案． 【详解】因为，所以当时，且单调递减； 当时，，且单调递减，故当时，为最小值； 又因为当时，；当时，，故可得最小， 综上可知，都有最小值． 故选：A 7. 在等比数列 中，成等差数列，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的等差中项的定义及等比数列的通项公式计算即可． 【详解】设等比数列 的公比为，则， 故， 由成等差数列，得， 即由于等比数列 中，， 故可得，解得：或， 由于，故即得， 故． 故选：D. 8. 过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，先求出动直线经过定点，再结合垂直条件应用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直，P又是两条直线的交点， 有， 故,当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为 故选: 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 直线l过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意结合截距式方程列式求解即可. 【详解】因为直线在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 设直线l的在轴上的截距分别为，则方程为，且， 又因为直线l过点，所以， 即，解得或， 故所求直线的方程为或， 即或. 故选：BC. 10. 设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，分，讨论可得；对于B、C，借助，得为递减数列，即，结合，得；对于D，由BC知当时，，当时，，即可得的最大项. 【详解】对于A，由等比数列性质可得， 若，因为，所以，不满足， 若，因为，所以，不满足， 所以，故A正确； 对于B、C，因为，为递减数列，所以， 又，所以，故B错误、C正确； 对于D，由B，C可得当时，，当时，， 所以的最大值为，故D正确． 故选：ACD. 11. 对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ） A. 若数列是递减数列，则为常数列 B. 若数列是递增数列，则有 C. 若数列的各项均为正整数，则满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8 D. 若，记为的前n项和，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定新数列定义，利用数列单调性求解判断AB；求出数列的个数判断C；求出数列的通项，再利用等比数列前项和公式求解判断D. 【详解】对于A，若数列是递减数列， 则是，，…，中最大值（）（）， 因此， 为常数列，A正确； 对于B，若数列是递增数列， 则是，，…，中最大值（）（）， 因此，即，B正确； 对于C，满足为2，3，3，5，5，则，， 可以取1，2，3，，可以取1，2，3，4，5， 所有数列的个数为，C错误； 对于D，若，则数列中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负数， 则有，，D正确. 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 数列中，，，则数列的前项和等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用累加法可得，再利用分组求和法即可得解. 【详解】由题意可得， 所以， 则数列的前项和为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用累加法求数列通项公式以及利用分组求和法求数列的前项和，考查了运算求解能力，属于中档题. 13. 已知为等差数列，为数列的前n项和，且，，则数列的前n项和______． 【答案】 【解析】 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式求解即可. 【详解】解析 设等差数列的公差为d，则． ∵，，∴即解得 ∴，∴， ∴数列是等差数列，且其首项为，公差为． ∴． 故答案为：. 14. 直线和与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解出直线与坐标轴的正半轴交点坐标，然后求解出两直线的交点坐标，结合割补法求解出四边形面积. 【详解】令中，得，所以与轴交于， 令中，得，所以与轴交于， 由可得，所以两直线交于， 所以围成的四边形面积为， 故答案为：. 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共5小题77分） 15. 已知数列前项和满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系即可求解； （2）用裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 当时，， 时，也满足上式， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可知，，所以， 则. 16. 已知坐标平面内两点. （1）当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； （2）若直线的方向向量为，求的值. 【答案】（1）直线的倾斜角为锐角时，为钝角时或； （2） 【解析】 【分析】（1）由斜率为正或为负求解； （2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论． 【小问1详解】 直线的倾斜角为锐角时，，解得， 直线的倾斜角为钝角时，，解得或， 所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或； 【小问2详解】 由已知，又直线的方向向量为， 所以，解得． 17. 已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线在轴上的截距． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由题可得，，利用斜率公式求解即可； （2）设，由中点坐标公式可得，代入直线方程可得，，结合点斜式方程求出直线方程，令即可求解. 【小问1详解】 因为点在直线上，所以设， 由题可得，所以，解得， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 因为点在直线上，所以设， 所以的中点，即， 又因为点在直线上，所以，解得， 所以，所以， 所以直线的方程为：， 令，可得，所以直线在轴上的截距为. 18. （1）已知数列是等比数列，若，求及； （2）在（1）的条件下，若数列的通项公式为，求它的前n项和． 【答案】(1) ，. (2) . 【解析】 【分析】（1）利用等比数列通项公式列出关于公比的方程求出，再代入通项公式和前项和公式求解； （2）将数列拆分为等差数列与等比数列，利用分组求和法分别求和后相加. 【详解】(1)设等比数列的公比为，由等比数列通项公式得，代入得，解得， 因此通项公式，前项和; (2)由，前项和可分组为等差数列的和与等比数列的和之和， 即. 19. 已知数列满足，，且对，都有． （1）设，证明数列为等差数列； （2）求数列的通项公式． （3）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明：，， ，即，则数列为等差数列； （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由得，根据等差数列的定义可得； （2）由（1）可得时，，利用累加法可得，验证即可； （3）利用错位相减法求和可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，，， ，又， 当时，，，，， 累加有，则． 也符合上式，所以数列的通项公式为，. 【小问3详解】 ， ①， ②， ①②得 ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庆阳二中2026－2027学年度第一学期高二数学第一次月考卷 命题人：张正君 审题人：裴志德 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 16 2. 已知数列为等比数列，为的前项和，且，，则（ ） A. 8 B. 5 C. 6 D. 7 3. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 在等比数列中，，则的值为（ ） A. 9 B. C. D. 18 6. 数列前n项和为，且，则关于及叙述正确的是（ ） A. ， 都有最小值 B. ， 都有最大值 C. ， 都无最小值 D. ， 都无最大值 7. 在等比数列 中，成等差数列，则 （ ） A. B. C. D. 8. 过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 直线l过点，且在两坐标轴上的截距之和为12，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大项为 11. 对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ） A. 若数列是递减数列，则为常数列 B. 若数列是递增数列，则有 C. 若数列的各项均为正整数，则满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8 D. 若，记为的前n项和，则 三、填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 数列中，，，则数列的前项和等于__________. 13. 已知为等差数列，为数列的前n项和，且，，则数列的前n项和______． 14. 直线和与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为______． 四、解答题（第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共5小题77分） 15. 已知数列前项和满足 （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知坐标平面内两点. （1）当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围； （2）若直线的方向向量为，求的值. 17. 已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线在轴上的截距． 18. （1）已知数列是等比数列，若，求及； （2）在（1）的条件下，若数列的通项公式为，求它的前n项和． 19. 已知数列满足，，且对，都有． （1）设，证明数列为等差数列； （2）求数列的通项公式． （3）求数列的前n项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $