精品解析：甘肃省张掖市第二中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题B卷

张掖市第二中学2026-2027学年度高二10月月考试卷 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点到直线的距离是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 2. 记为等差数列的前项和，，则（ ）． A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 3. 已知点，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 数列满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 4 D. 6. 已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 已知数列满足．给出下列四个结论： ①，有； ②若，，则； ③当时，数列为递减数列； ④当时，数列是等比数列． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 直线与直线之间的距离是 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 10. 已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. D. 使得成立的最小自然数 11. 已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是单调递减数列 C. 若对任意，都有，则 D. 若为数列的前项和，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的前项和为，且，则__________. 13. 已知直线：，：，则下列说法中：①恒过点；②若，则；③若，则或，正确的有________________________．（把正确结论的序号填在横线上） 14. 在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点，，. （1）求边上的中线所在的直线方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求的面积. 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知等比数列中，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若函数，满足，求的前n项和. 18. 已知直线经过点. （1）若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； （2）设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 19. 已知数列中，，且满足. （1）证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）若不等式，对恒成立，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张掖市第二中学2026-2027学年度高二10月月考试卷 数学 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 点到直线的距离是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点到直线的距离是. 2. 记为等差数列的前项和，，则（ ）． A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式，通项公式求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则， 即，且，则， 所以，公差，所以. 3. 已知点，则线段的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算的中点坐标，线段的垂直平分线的斜率求解. 【详解】中点为，直线的斜率为， 则线段的垂直平分线的斜率为：， 线段的垂直平分线的方程是：，即. 4. 数列满足，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由数列的递推公式和首项，依次代入即可计算求解. 【详解】由题意得，. 5. 已知数列为正项等比数列，，是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比中项的性质计算即得. 【详解】因为，为方程的两根，所以， 又因为，的等比中项，所以， 因，故. 6. 已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式得到直线方程. 【详解】因直线的一个方向向量为，则直线的斜率， 又因直线过点， 故直线的方程为． 故选：C 7. 过定点A的直线与过定点的直线交于点与不重合），则面积的最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，可知定点， 又 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为2. 故选：C. 8. 已知数列满足．给出下列四个结论： ①，有； ②若，，则； ③当时，数列为递减数列； ④当时，数列是等比数列． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】① 配方后利用平方非负性，直接得下界；② 常数列需满足递推方程，解不唯一； ③ 作差后根据a_n与2的大小关系判断增减性，并非始终递减；④ 换元后取对数，可证新数列是公比为2的等比数列. 【详解】①由递推式： ，所以，有，① 正确； ② 若数列是常数列，则 ，代入递推式，解得或，并非只有，②错误； ③由，当，，可知，此时，数列递增； 当，，此时，数列递减，③错误； ④ 令，则，代入递推式，化简得，则， 因为，所以，即是以为首项，2为公比的等比数列，④ 正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线经过第一、二、三象限 C. 直线与直线之间的距离是 D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得， 直线方程为，故D错误. 10. 已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当时，最大 C. D. 使得成立的最小自然数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据前项和的大小关系推导得，再结合等差数列性质逐一判断选项. 【详解】选项A，由题意得，，所以公差，A错误； 选项B，由可知为递减数列，由A得，故时最大，B正确； 选项C，因为为递减数列且，所以， 由得，所以 ，， 因为，所以，即，C正确； 选项D，， 所以使得成立的最小自然数，D错误. 11. 已知数列满足：，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是单调递减数列 C. 若对任意，都有，则 D. 若为数列的前项和，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据累乘法可得，即可判断A；根据即可求解B；根据单调性，分奇偶即可判断C；利用错位相减法求得可判断D. 【详解】由，可得， 故， 也符合， 故，A正确； 由于，故， 因此是单调递增数列，B错误； 由可定， 当为偶数时，则恒成立， 由于单调递增，故， 当为奇数时，则恒成立，由于单调递增， 故，故对任意，都有， 则，故C正确； 由，可得， ， ， 两式相减得： ， ，故D正确. 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的前项和为，且，则__________. 【答案】39 【解析】 【详解】由等比数列满足， 可得等比数列的公比， 根据等比数列的性质，可得也成等比数列， 即， 得， 解得. 13. 已知直线：，：，则下列说法中：①恒过点；②若，则；③若，则或，正确的有________________________．（把正确结论的序号填在横线上） 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据两直线平行或者垂直列出等式，判断即可. 【详解】对于①，将点代入直线的方程左侧：. 计算结果与方程右侧相等，因此点在直线上，①正确； 对于②，因为，所以， 展开整理得，解得. 当时，，两直线重合，不符合平行要求，舍去； 当时，，两直线平行，符合要求， 因此仅时两直线平行，②错误； 对于③，因为，所以，展开整理得. 解得或，代入验证均满足垂直要求，③正确. 14. 在平面直角坐标系中，若动点到两直线和的距离之和为，则的最大值为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】由已知可知两直线，取在的右侧时，分别过作两直线的垂线，结合几何性质确定点轨迹，即可求得的最大值,其他位置同理可得． 【详解】若动点到两直线和的距离之和为， 交点为的斜率分别为，则， 在的右侧时，过分别向引垂线， 垂足分别为，那么， 过作轴的平行线，与交点为如图， 则，所以， 其它位置同理，那么点轨迹为正方形， 当在时，取得最大值，即取得最大值8. 故答案为：8． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点，，. （1）求边上的中线所在的直线方程； （2）求过点且与直线平行的直线的方程； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出边上的中点的坐标，即可求出，再由点斜式计算可得； （2）求出，即可求出所求直线方程； （3）首先求出所在直线方程，再求出点到的距离，以及，即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以边上的中点，又，所以， 所以边上的中线所在的直线方程为，即； 【小问2详解】 因为， 所以过点且与直线平行的直线的方程为，即； 【小问3详解】 依题意直线的方程为，即， 所以点到的距离， 又， 所以. 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式列出方程组，解出首项与公差从而得出通项公式； （2）利用裂项相消法将各项拆分化简即可求解. 【小问1详解】 设数列的公差为d， 由得， 由得，即， 所以有，解得， 所以. 【小问2详解】 由题意得， 则 . 17. 已知等比数列中，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）若函数，满足，求的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再结合等比数列的通项公式代入即可求解； （2）利用分组求和法结合等差等比的前项公式即可求解. 【小问1详解】 设等比数列公比为q， 因为， 所以，， 因为，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 . 18. 已知直线经过点. （1）若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的点斜式方程； （2）设的斜率与两坐标轴的交点分别为、B，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的点斜式方程，利用截距和为零建立斜率的方程，求解斜率即可写出点斜式方程； （2）先利用截距表示的面积，然后利用基本不等式求解最值，即可得到所求直线的方程. 【小问1详解】 由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为，则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立，的点斜式方程为，即， 所以的斜截式方程为. 19. 已知数列中，，且满足. （1）证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式； （2）若不等式，对恒成立，求的范围. 【答案】（1） ，两边同除以，，， 又，是以为首项，公差为的等差数列， ，， 数列的通项公式为：. （2） 【解析】 【分析】（1）、利用递推关系求通项公式. （2）、将原不等式转化为，设求出，即可求出的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， ，， ，设，， 当时，； 当时，； 当时，； 当或时，取最大值，,,的范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $