精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试卷

2026-2027牛栏山一中高三年级10月小结 数学试卷 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合M，再利用交集的定义求解作答. 【详解】解不等式得：，即，而， 所以. 故选：B 2. 下列函数中，与函数的奇偶性和值域都相同的函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定基准函数的奇偶性与值域两个特征，再对每个选项，依次判断函数定义域、奇偶性，分析单调性或取值范围得到值域，对照两个条件同时满足即为答案. 【详解】∵函数 ，定义域为， ，故为奇函数， 单调递增，值域为， 选项A： 为非奇非偶函数，A 错误； 选项B：令 ，可知定义域为， ∵，∴ 为奇函数， 当，当，∴ ，B正确； 选项C：令 ， 的定义域为， ∵，∴ 为非奇非偶函数，C错误； 选项D：，∴是偶函数，D错误. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】等差数列的性质和基本量计算. 【详解】设等差数列的公差为. 由等差数列性质：， 已知，则，得， 已知，由， 代入得：，解得， ， 综上，. 故选：C 4. 设，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用对数性质取特殊值可排除A，根据单调递减判断B不成立，再取特殊平方值否定C，最后由在上单调递增，结合得，确定D成立. 【详解】选项A：，取特殊值，，则，，原不等式不成立，故A错误. 选项B：指数函数在上单调递减，由，得，即，故B错误. 选项C：.取特殊值，，则，，，不等式不成立，故C错误. 选项D：正弦函数在上单调递增，由，得，即，不等式恒成立，故D正确. 5. 已知的展开式中的常数项为20，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理写出通项公式，通过令的指数为0确定的值，结合常数项为20即可求解. 【详解】由题意得， 则有， 令，即，则常数项为， 解得. 6. 已知函数，若存在，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数，，则， 设， ，则， 因为，得，所以，且， 所以，所以，得 所以. 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦函数性质得出的关系，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】由， 可得或， 即或， 所以由“”推不出“”，由“”可推出“”， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（ ）（附：） A. 20% B. 23% C. 28% D. 50% 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比为5000比信噪比为1000时提升了多少即可． 【详解】依题意，，， 则， 所以大约增加了23%. 故选：B 9. 我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是．已知某音是由3个不同的纯音合成的，其函数为，则（ ） A. B. 的最大值为6 C. 的最小正周期为 D. 在上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】首先代入，即可判断A；再分别根据函数，，的性质，判断B、C、D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，当，时，函数取得最大值1， ，当，时，函数取得最大值， ，当，时，函数取得最大值，由， 但三个函数不能同时取得最大值，所以函数的最大值小于，故B错误； 对于C：的最小正周期为，的最小正周期为， 的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C错误； 对于D：当时，，， 所以函数，，在都是单调递增函数， 则函数在上是增函数，故D正确. 故选：D 10. 设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出的图象，将恰有5个不同零点转化为与有5个交点即可. 【详解】由题知， 零点的个数可转化为与交点的个数， 当时， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 如图所示： 所以时有最大值： 所以时，由图可知必有两个交点； 当时，因为，， 所以， 令，则 则有且，如图所示： 因为时，已有两个交点， 所以只需保证与有三个交点即可， 所以只需，解得. 故选：D 【点睛】思路点睛：函数零点问题往往可以转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合方便分析求解. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为______. 【答案】且 【解析】 【分析】由函数的解析式，可列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意可知有意义需满足且， 故函数的定义域为且， 故答案为：且 12. 已知，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算出的值，然后根据两角和的正切公式求解出结果. 【详解】因为，所以， 所以， 又， 故答案为：. 13. 已知函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意，求出的一个值后代入验证即可求解. 【详解】的图象关于直线对称， ，即，. 令，得， ， 符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 已知函数，若关于x的方程恰有三个互不相同的实数解，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据和的大致图象，利用数形结合即可求解. 【详解】解：函数和的大致图象如下图所示 当与，相切时， 即 整理得： 则 解得：或 当时，方程为解得不符合题意 当时，方程为解得符合题意 所以与，相切时 由图知，要使方程恰有三个互不相同的实数解 则 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用数形结合找到与，相切时的临界位置，进而得到直线与曲线有三个交点时斜率的范围. 15. 对定义在区间上的函数和，如果对任意，都有成立，那么称函数在区间上可被替代，称为“替代区间”．给出以下问题： ①在区间上可被替代； ②可被替代的一个“替代区间”为； ③在区间可被替代，则； ④（），（），则存在实数（），使得在区间上被替代； 其中真命题有________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据题干中的定义，计算的值可判断①，构造函数，利用导数求解函数的最值，可判断②，构造函数，利用导数求解函数的最值，根据题干列不等式组，可判断③，分类讨论的取值范围，是否存在使恒成立，可判断④. 【详解】对于①，，所以①为真命题； 对于②，， 令,， ∴当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，， 所以，所以②为真命题． 对于③，由题意在区间恒成立． 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递减． 又， 所以，又， 所以，所以，所以该命题为真命题． 对于④，若，则，解得或， 可取，则， 可取，则 ， 所以不存在实数，使得在区间上被替代； 若，则，解得， 可取，，则， 则，∴，， ∴不存在，使得恒成立， 所以不存在实数，使得在区间上被替代． 综上得，不存在实数，使得在区间上被替代，所以④为假命题． 所以真命题有①②③. 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查的是命题的真假判断，替代定义的理解，函数导数判断函数单调性，求函数在闭区间上最值的方法，综合性较强，有一定的难度，最主要是对的理解，那么此时需要构造函数，然后对其值域进行判断，看是否在满足题意，这个过程主要用到的方法就是求导的方法去求最值，正确构造函数，利用单调性求值域是解决这类问题的关键. 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 已知函数在时取得极小值4. （1）求实数，的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）， （2）最大值为，最小值为 【解析】 【小问1详解】 由得，， 因为函数在时取得极小值4，所以，即，解得. 【小问2详解】 由（1）题知，，令，得，， 令，得或，所以在上单调递增， 令，得，所以在上单调递减，如图所示， 因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 17. 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，记点的横坐标为，其中． （1）求锐角的值； （2）若，求的值； （3）求函数的最值． 【答案】（1） （2） （3）最小值；最大值． 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解即可； （2）利用诱导公式及同角三角函数关系求得， ，然后利用二倍角正弦公式求解即可； （3）结合换元法利用余弦函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 由于锐角的终边与单位圆相交于点，因此， 又因为为锐角，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，故由题意，， 因为， 由，， 所以． 【小问3详解】 由（2）知，，． 因为，所以， 所以即时，； 即时，． （易知在上单调递减，在上单调递增， ；；； 所以在处取得最小值；在处取得最大值．） 18. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. ①函数（，）的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称； ②函数； ③函数； 问题：已知________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）若，，求的值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 【解析】 【分析】 分别选择①，②，③求出函数， （Ⅰ）根据正弦函数的增区间列式可求出的递增区间； （Ⅱ）代入，根据的范围可求出结果. 【详解】因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．所以， 选择①，则，得，所以， 所以， 因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以， 所以，所以，，所以，， 因为，所以，所以， 选择②，， 所以，所以，所以， 选择③， ， 所以，所以，所以， （Ⅰ）由，， 得，， 所以的单调递增区间为，. （Ⅱ）若，，则，即， 因为，所以， 所以或，得或. 【点睛】关键点点睛：根据三角函数的性质求出的解析式是解题关键. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：存在极大值点； （3）求的零点个数. 【答案】（1） （2） ， 令，则， 故在上单调递增， 又，， 故存在，使得， 当时，，当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故是的极大值点； （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后结合零点存在性定理分析可得函数单调性，即可得其极值情况； （3）结合函数单调性与零点存在性定理分析即可得. 【小问1详解】 ， 则，又， 则曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得在、上单调递增，在上单调递减， 则， 又， 故在上有一零点，在上无零点， 故的零点个数为. 20. 已知椭圆的离心率为，并且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由可得答案； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立利用韦达定理可得点坐标，及直线的方程然后令得、，由可得答案. 【详解】（1）由已知解得所以椭圆：． （2）证明：由已知斜率存在 以下给出证明： 由题意，设直线的方程为，，，则，由 得， 所以， ， ，， 所以，即， 直线的方程为， 令得所以， 令由得所以， 所以=. 【点睛】本题考查了椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系，关键点是利用韦达定理表示出点坐标，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力. 21. 设数表是一个由0和1构成的行列的数表，且中所有数字之和不小于，所有这样的数表构成的集合记为.记为的第行各数之和为的第列各数之和为的最大值. （1）对如下数表，求的值. 1 1 0 0 0 0 1 1 （2）设数表，求的最小值: （3）已知为正整数，存在，若，且的任意两行中最多有2列各数之和为2，求的值. 【答案】（1）2 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）计算出的值，根据题中定义可得出的值； （2）由题意知，中所有数字之和不小于，则中至少有8个1，只有当每行或每列都放2个1，才能使得取到最小值，然后就某行某列分别放0个1、1个1、2个1，列举出其他3行（或3列）1的个数，得出的最小值； （3）先计算出数表中的所有数字之和为，由题意定义得出，可得出，然后分别就时就的任意两行中数字之和为2的列数进行分析，可得出的值. 【小问1详解】 数表的行和为：， 列和为：， 因此. 【小问2详解】 由题意知，中所有数字之和不小于， 即至少有8个1，要使得取到最小值，则中只有8个1， 如下表： 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 由上表可得 的最小值为 2， 下面说明： ①当某行某列全都是0时，则其它3行（或3列）1的个数分别为： ，此时； ②当某行某列只有1个1时，则其它3行（或3列）1的个数分别为： ，此时； ③当某行某列只有2个1时，则其它3行（或3列）1的个数分别为： ，此时； 由上可知，. 【小问3详解】 ，故中的所有数字之和为， 由题意定义得出，可得出， ①当时，每行中仅有1列为0，任意两行中至多有5列和为2，舍去； ②当时，每行中仅有2列为0，任意两行中至多有3列和为2，舍去； ③当时，如下表所示， 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 每行中仅有3列为0，任意两行中至多有2列和为2，合乎题意； ④当或时，无法满足“任意两行中最多有2列各数之和为2的条件”，故不成立. 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027牛栏山一中高三年级10月小结 数学试卷 一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，与函数的奇偶性和值域都相同的函数为（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 4. 设，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的展开式中的常数项为20，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 已知函数，若存在，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（ ）（附：） A. 20% B. 23% C. 28% D. 50% 9. 我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是．已知某音是由3个不同的纯音合成的，其函数为，则（ ） A. B. 的最大值为6 C. 的最小正周期为 D. 在上单调递增 10. 设函数若恰有5个不同零点，则正实数的范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域为______. 12. 已知，则___________. 13. 已知函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______． 14. 已知函数，若关于x的方程恰有三个互不相同的实数解，则实数的取值范围是___________. 15. 对定义在区间上的函数和，如果对任意，都有成立，那么称函数在区间上可被替代，称为“替代区间”．给出以下问题： ①在区间上可被替代； ②可被替代的一个“替代区间”为； ③在区间可被替代，则； ④（），（），则存在实数（），使得在区间上被替代； 其中真命题有________． 三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 已知函数在时取得极小值4. （1）求实数，的值； （2）求函数在区间上的最值. 17. 在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，记点的横坐标为，其中． （1）求锐角的值； （2）若，求的值； （3）求函数的最值． 18. 在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答. ①函数（，）的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称； ②函数； ③函数； 问题：已知________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为． （Ⅰ）求的单调递增区间； （Ⅱ）若，，求的值． 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：存在极大值点； （3）求的零点个数. 20. 已知椭圆的离心率为，并且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于点，求证：为定值． 21. 设数表是一个由0和1构成的行列的数表，且中所有数字之和不小于，所有这样的数表构成的集合记为.记为的第行各数之和为的第列各数之和为的最大值. （1）对如下数表，求的值. 1 1 0 0 0 0 1 1 （2）设数表，求的最小值: （3）已知为正整数，存在，若，且的任意两行中最多有2列各数之和为2，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $