精品解析：黑龙江绥化市安达市高级中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

高二学期月考试卷（数学试题） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出斜率即可得倾斜角. 【详解】直线的方程为，即， 方程斜率为，所以倾斜角为. 故选：D. 2. 若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程标准形式可得，从而得解. 【详解】若曲线表示椭圆， 则，解得且， 所以实数的取值范围是． 故选： B． 3. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若，，直线可以在平面内，不一定满足，因此A错误； 对于B，若，，直线可以在内，可以，不一定满足，因此B错误； 对于C，若，则平面的法向量与平面的法向量垂直；又，，则的方向向量就是的法向量，的方向向量就是的法向量，因此，故C正确； 对于D，若，，，直线和可以相交、异面，不一定平行，因此D错误. 4. 经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有相同的渐近线可设所求双曲线为，把点代入，解得：的值，进而求出答案． 【详解】解：由题意可得：设所求双曲线为， 把点，解得， 所求的双曲线方程为，即． 故选：A． 5. 已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】求圆心到直线的距离，得到圆上到直线距离的最大值. 【详解】该圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，所以该圆上任意一点到该直线距离的最大值为2+3=5. 6. 若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】中点弦的问题，利用点差法求解即可. 【详解】易知点在椭圆内部，则弦所在直线与椭圆必然有两个交点， 设过点与椭圆相交于，两点， 则， 两式相减，得， 又，， 所以，即直线的斜率为. 所以直线的方程为：，即. 故选：A 7. 已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为，则，再由已知可得四边形为矩形，则可得，再由，得到关系，即可求得离心率. 【详解】如图，设在右支上， 设双曲线的左焦点为，则，且， 所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 所以. 8. 已知，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心和半径，设，则，由题可知直线与该圆有交点，得到圆心到该直线的距离小于等于半径，计算得解. 【详解】方程化为， 表示以为圆心，半径为1的圆. 设，则，由题可知直线与该圆有交点， 所以，如图， 整理得，，解得， 则，即， 所以的最小值为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 圆：，圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆的半径为2 B. C. 直线与两圆都相切 D. 两圆公共弦所在直线的方程为 【答案】AC 【解析】 【详解】圆：，圆心，半径， 圆：，即， 圆心，半径，故选项A正确； ，故选项B错误； 直线与两圆都相切， 直线与圆相切圆心到直线距离等于半径， 点到直线距离：， 对：，相切， 对：，相切， 直线和两圆都相切，故选项C正确； 两圆公共弦所在的直线的方程： ，化简得：， 公共弦方程是，故选项D错误. 10. 已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（ ） A. 当时，直线与双曲线只有一个公共点 B. 直线与双曲线只有一个公共点时，或 C. 当或时，直线与双曲线没有公共点 D. 当时，直线与双曲线有两个公共点 【答案】AC 【解析】 【分析】联立直线与双曲线得到关于x的一元二次方程，应用判别式并结合双曲线性质判断不同参数范围对应直线与双曲线的交点个数，即可得答案. 【详解】由直线方程知，直线过，双曲线的渐近线为，所以时一个交点， 联立直线与双曲线，得，则， 当，即时直线与双曲线相切， 当，即或时没有公共点， 当且，即或或时两个公共点. 所以A、C对，B、D错. 故选：AC 11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 若 ，则的面积为 C. 记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D. 若M是圆 上任一点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：得到以为直径的圆的方程后，联立椭圆方程，得到是否有解即可得；对B：法一：可借助椭圆定义与余弦定理得到的值，再利用面积公式计算即可得；法二：利用焦点三角形面积公式计算即可得；对C：设，结合斜率公式计算即可得；对D：借助椭圆定义及圆的性质计算即可得. 【详解】对A：由椭圆 可得、， 则以为直径的圆的方程为 ， 联立，解得， 即以为直径的圆与椭圆存在交点， 故存在点，使得 ，故A正确； 对B：法一：设 、 ，则由椭圆定义可得， 则由余弦定理可得 ，即 ， 又 ，故， 则的面积为； 法二：，故B错误； 对C：由题意可得，设，则，且 ， 则， 即直线 与的斜率之积为，故C正确； 对D：由椭圆定义可得， 圆 的圆心坐标为，半径， 又 ，故在椭圆外， 则 ， 当且仅当、、、四点共线，且在、之间时成立， 故的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 无论为何值，直线恒过一定点，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将直线方程整理后可得定点的坐标. 【详解】由题设，直线方程可化为： 令，故，故点的坐标为， 故答案为：. 13. 圆与圆的公共弦长为_________． 【答案】 【解析】 【详解】圆，圆的圆心为，半径， 圆，圆的圆心，半径， 因为，所以圆与圆相交， 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为， 则圆心到公共弦所在直线的距离为， 故所求弦长为． 14. 如图，已知，分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左支交于、两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用双曲线的定义和，得到，再根据为等腰三角形，求得，如何在中，利用余弦定理求解. 【详解】解：设， 由双曲线的定义可得， 由，得， 即， 因为为等腰三角形， 所以， 解得（负值舍去）， 在中， ，即， 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，． （1）求中边上中垂线的一般方程； （2）求点关于直线：对称的点的坐标． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）先求中点坐标和斜率，得到中垂线斜率后用点斜式化简为一般式； （2）利用对称点连线与对称轴垂直、连线中点在对称轴上两个条件列方程组求解. 【小问1详解】 由，，得中点坐标为， 的斜率，故中垂线的斜率为， 由点斜式得中垂线方程， 即边上中垂线的一般方程为； 【小问2详解】 设对称点为，则线段的中点在直线l上且， 有，解得，， 所以点关于直线：对称的点的坐标为. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据长轴长及焦点列式结合计算求解椭圆方程； （2）法一：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可；法二：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可. 【小问1详解】 由题知，则，又因为， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为， 联立，消去，得， 因为恒成立，所以， 则， 所以的面积， 化简得，解得，所以或， 所以直线的方程为或． 法二：设直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 所以的面积， 解得或． 所以直线的方程为或． 17. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； （3）已知是圆上动点，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）计算线段的垂直平分线，再计算线段的垂直平分线与直线交点得到圆心，再计算半径得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案； （3）设，原问题转化为求的最大值，当直线与圆相切时，能取得最值，再结合点到直线的距离公式得解. 【小问1详解】 因为，， 所以，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，解得，所以圆心的坐标为， 又圆的半径为， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以，满足条件； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 又，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； 【小问3详解】 设，则求的最大值即求的最大值， 当直线与圆相切时，能取最值， 此时圆心到该直线的距离为，即， 解得或， 所以的最大值为，即的最大值为 18. 在长方体中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）以为原点，、、分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题设，，，，，，， 点在上，且，所以，则， 点在上，且，所以，得到点， 所以，， ，所以， ，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面； （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法证明、，再由线面垂直的判定定理证明结论； （2）根据（1）写出平面的法向量、直线的方向向量，再应用向量法求其夹角的正弦值； （3）由三角形面积公式求，向量法求点到平面的距离，最后应用棱锥的体积公式求体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，可取作为平面的法向量， 直线的方向向量，设直线与平面的夹角为， 则， 所以直线与平面的夹角的正弦值为； 【小问3详解】 由（1）知，，， 所以，则， 而点到平面的距离，则， 所以三棱锥的体积为. 19. 已知双曲线：（，）的离心率为2，双曲线经过点．过点的直线，分别与双曲线交于不同的两点，（，不与点重合），且直线，的倾斜角互补． （1）求双曲线的标准方程； （2）试证明直线的斜率为定值； （3）若线段的中点为，设，求点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）证明：显然直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的斜率为， 直线的方程为，将其与双曲线方程联立得， 化简得（，且）． 设，由韦达定理，，得， 将代入直线的方程，解得，则． 同理可得． 故直线的斜率. （3）或 【解析】 【分析】（1）把点代入双曲线方程结合离心率公式以及的关系即可求解； （2）设直线的方程为，与双曲线联立根据韦达定理解出点的坐标，同理可得点的坐标，再根据两点斜率公式即可证明； （3）根据的坐标可求出点的坐标，然后消去参数即可求解. 【小问1详解】 由题意，则,∵点在双曲线上， ∴，解得，则， ∴双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，， ∴的中点的坐标为， 即，整理得：，又因为， 所以点的轨迹方程为：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二学期月考试卷（数学试题） 一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方程为，则该直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若曲线表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题一定成立的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则圆上任意一点到直线的距离的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 6. 若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 圆：，圆：，则下列说法正确的有（ ） A. 圆的半径为2 B. C. 直线与两圆都相切 D. 两圆公共弦所在直线的方程为 10. 已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（ ） A. 当时，直线与双曲线只有一个公共点 B. 直线与双曲线只有一个公共点时，或 C. 当或时，直线与双曲线没有公共点 D. 当时，直线与双曲线有两个公共点 11. 已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 若 ，则的面积为 C. 记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D. 若M是圆 上任一点，则的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 无论为何值，直线恒过一定点，则点的坐标为__________． 13. 圆与圆的公共弦长为_________． 14. 如图，已知，分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左支交于、两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在坐标平面中，三个顶点坐标分别为，，． （1）求中边上中垂线的一般方程； （2）求点关于直线：对称的点的坐标． 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 17. 已知圆经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； （3）已知是圆上动点，求的最大值. 18. 在长方体中，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角的正弦值； （3）求三棱锥的体积． 19. 已知双曲线：（，）的离心率为2，双曲线经过点．过点的直线，分别与双曲线交于不同的两点，（，不与点重合），且直线，的倾斜角互补． （1）求双曲线的标准方程； （2）试证明直线的斜率为定值； （3）若线段的中点为，设，求点的轨迹方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $