黑龙江海林市朝鲜族中学2026-2027学年高二上学期第一次考试数学试卷

2026-2027学年度 第一学期 高二年级数学第一次考试(人教A版选择性必修1第1~2章) 命题人:韩福淑 审核人:姜磊 班级:姓名: 一、单项选择题(每小题5分 共60分) 1.直线的倾斜角是( ) A.30 B.60 C.120 D.150 2.已知空间向量和实数,则下列说法正确的是( ) A.若,则或 B.若,则或 C.若,则或 D.若,则 3.若直线与平行,则m的值为( ) A.-2 B.-1或-2 C.1或-2 D.1 4.若向量,,则平面的一个法向量可以是( ) A. B. C. D. 5.已知,是空间两个不共线的向量,,那么必有( ) A.,共线 B.,共线 C.,,共面 D.,,不共面 6.设直线,的方向向量分别为,,若,则实数m等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知平面内两向量,若为平面的法向量且,则的值分别为( ) A. B. C.1,2 D. 8.已知直线与直线垂直,垂足为,则过点,且斜率为的直线方程为( ) A. B. C. D. 二、多选题(每小题6分,部分选对无错选得2分,共18分) 9.给出下列命题,其中正确的有( ) A.空间任意三个向量都可以作为一个基底 B.已知向量,则、与任何向量都不能构成空间的一个基底 C.已知是空间向量的一个基底,则也是空间向量的一个基底 D.A、B、M、N是空间四点,若、、不能构成空间的一个基底,则A、B、M、N共面 10.(多选题) 关于四面体P-ABC的下列四个说法中正确的是 ( ) A.若= + ,则=3 B.若Q为 ABC的重心,则=++ C.若 =0, =0,则 =0 D.若四面体P-ABC的各棱长都为2,M,N分别为PA,BC的中点,则||=1 11.在空间直角坐标系中,,,,则( ) A. B. C.异面直线与所成角的余弦值为 D.点到直线的距离是 三、填空题(每小题5分,共20分) 12.已知几何体ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,给出下列四个说法:①-=;②=++;③=;④+++=.其中正确说法的序号是 . 13.已知平面 的一个法向量为n=(2,1,2),点A(-2,3,0)在 内,则P(1,1,4)到 的距离。 14.如图,在正方体OABC-O1A1B1C1中,点G为 ACO1的重心,若=a,=b,=c,=xa+yb+zc,则x+y+z= . 四、解答题(17题10分,其他每小题12分,共70分) 15.(1)已知直线,.若,求的值; (2)已知直线,点,求点关于直线的对称点的坐标; 16.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥b,b∥c. (1)求|a+b|; (2)求向量a+b与2a+b-c夹角的大小. 17.如图,在棱长为2的正方体中,,分别为棱,的中点. (1)求证:平面; (2)求二面角的余弦值; (3)求直线与平面所成角的余弦值 18.如图,在直三棱柱中,所有棱长均为4,D是的中点. (1)求证:平面; (2)求直线与平面的距离. 19.如图,在四棱锥P—ABCD中,已知PC⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2,AD=CD=1,E是PB上一点. (1)求证:平面EAC⊥平面PBC; (2)若E是PB的中点,且二面角P—AC—E的余弦值是,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值. 答案 1.答案:C 2.答案:B解析:对于选项A,若,则或或,故A错误;对于选项C,由,得,即可得其模相等,但方向不确定,故C错误;对于选项D,由,得,则或或,故D错误;对于选项B,由,可得或,故B正确,故选B. 3.C【分析】利用两直线平行的判定有,即可求参数值. 【详解】由题设,,可得或.经验证不重合,满足题意, 故选:C. 4.C【分析】设平面的法向量为,根据向量垂直的坐标表示求解可得答案. 【详解】解:设平面的法向量为,因为向量,, 所以,取,得,故选:C. 5.答案:C 解析:由共面向量定理知,,,共面. 6.答案:B解析:因为,所以,则,解得,故选B. 7.答案:A 解析:.由为平面的法向量,得,即,解得. 8.答案:A解析:.解得直线的方程为.又点在直线上,,即.又点在直线上,.解得所求直线的斜率为,其方程为,即,故选A. 9.BCD 【分析】根据空间向量基底的概念,结合向量的共面定理,空间点共面的知识对选项进行分析,从而确定正确答案. 【详解】对于A项,空间任意的三个不共面的向量才可以作为一个基底,故A错误; 对于B项,若,则、与任何向量都共面,故不能构成空间的一个基底,故B正确; 对于C项,若共面,则,则共面, 这与为空间的一个基底相矛盾,故可以构成空间向量的一个基底,故C正确; 对于D项,若不能构成空间的一个基底,则共面, 又过相同的点B,则A、B、M、N四点共面,故D正确. 故选:BCD. 10.ABC [解析] 对于A,由=+,得3=+2,则可得2-2=-,所以2=,故2=-,所以=3,故A正确;对于B,因为Q为 ABC的重心,所以++=0,所以3+++=3,整理得=++,故B正确;对于C,由 =0, =0,得 + =0,所以 + (+)=0,整理得(-) + =0,所以 + =0,即 + =0,整理得 =0,故C正确;对于D,由题可知,四面体P-ABC的各个面均为正三角形,则||=||=||=2,,,两两之间的夹角均为60 ,连接PN,因为=-=(+)-=(+-),且 |+-|==2,所以||=,故D错误.故选ABC. 11.BD【分析】首先根据选项分别求向量的坐标,再代入数量积,模长和向量夹角公式,以及点到直线的距离公式,即可判断选项. 【详解】,,,故A错误; ,所以,故B正确; ,设异面直线与所成角为, 则,故C错误; 到直线的距离为,故D正确.故选:BD 12.①②③ [解析] -=+=,①正确;++=++=,②正确;③显然正确;+++=(+)+(+)=,④不正确.故填①②③. 13.[解析] 连接AP,=(1,1,4)-(-2,3,0)=(3,-2,4),则P(1,1,4)到平面 的距离d===4. 14.1 [解析] 易知 ACO1为正三角形,如图,连接BO交AC于点M,连接O1M,显然点G在线段O1M上,且满足=2,即-=2(-),整理得=+,所以有 = (+)+=a+b+c,所以x=y=z=,则x+y+z=1. 15.【详解】(1)由,得,解得或; (2)设,则, 解得,即. 16.解:(1)由x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥b,b∥c,可得x+y+1=0, = = ,解得x=1,y=-2,则a=(1,1,1),b=(1,-2,1),所以a+b=(2,-1,2),故|a+b|==3. (2)因为2a+b-c=(1,4,1),所以(a+b) (2a+b-c)=2 1+(-1) 4+2 1=0,故向量a+b与2a+b-c的夹角为. 17.(1)证明见解析(2)(3) 【分析】(1)通过取的中点为,再利用线线平行即可证明线面平行; (2)利用空间向量法可直接求出二面角的余弦值; (3)利用空间向量法可先求出线面角的正弦值,再利用同角关系求出余弦值即可. 【详解】(1)取的中点为,又由于为棱的中点,则在正方体中可得: 则四边形是平行四边形,所以; 又由于为棱的中点,又可得 则四边形是平行四边形,所以; 由平行的传递性可知:,又因为平面,平面, 所以平面; (2) 如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,在棱长为2的正方体中,,,, 则,, 设平面的法向量为, 则,即 令,则,所以, 由于平面与轴垂直,则平面的法向量可取, 所以, 由图可看出二面角一定是锐角,所以可设它为,则, 所以二面角的余弦值为; (3)由(2)得,平面的法向量可取, 则, 设直线与平面所成角为,则, 所以 即直线与平面所成角的余弦值为. 18.(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用直三棱柱的性质结合线面平行判定定理证明结论; (2)结合直三棱柱的性质建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,再利用点到平面的距离公式计算. 【详解】(1) 直三棱柱中,所有棱长均为4, 上下底面为边长为4的正三角形,侧面为边长为4的正方形, 连接,交于点,则为,的中点, 在中,分别为边的中点, , 又平面,平面, 平面. (2)取中点,则,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立如图所示空间直角坐标系, 则, , 设平面的法向量为,则 ,令,则, , 为上的点,平面, 到平面的距离即为直线与平面的距离, , 直线与平面的距离为:. 19.(1)证明见解析(2) 【分析】(1)设AB的中点为G,连接CG,易得四边形ADCG为边长为1的正方形,得到,再由,从而证得平面PBC,再利用面面垂直的判定定理证明; (2)建立空间直角坐标,设 ,易知 为 平面 PAC的一个法向量,再求得平面EAC的一个法向量 ,由,求得 ,从而得到 求解. 【详解】(1)证明:如图所示: 因为PC⊥底面ABCD,AC底面ABCD, 所以,又,在中,, 设AB的中点为G,连接CG,则四边形ADCG为边长为1的正方形, 所以,且, 则,所以,又, 所以平面PBC,又平面EAC, 所以平面EAC⊥平面PBC; (2)建立如图所示空间直角坐标系: 则, 设 ,则 , 所以 , 因为 , 所以 平面PAC,则 为 平面 PAC的一个法向量, 设平面EAC的一个法向量为 , 则 ,即 , 令 ,则 , 所以 , 解得 ,则 , 设直线PA与平面EAC所成的角为 , 则 , 所以 直线PA与平面EAC所成的角的正弦值为. ( 1 ) 学科网(北京)股份有限公司 $