精品解析：黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学校2026-2027学年高二上学期10月考试数学试题

哈师大青冈实验中学校2026-2027学年度10月份考试 高二数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 2. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 4. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A. 1或 B. 1或 C. D. 1 8. 在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（   ） A. B. 5 C. 10 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 11. 在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则平面与平面夹角的余弦值为 B. 若，则平面平面 C. 若，则点到直线的距离的最小值为 D. 存在唯一有序实数对，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 13. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 14. 如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的顶点为，，，求： （1）边AC所在直线的方程； （2）边AC的垂直平分线的方程； （3）△ABC的面积. 16. 如图，在三棱锥中，两两垂直， （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 17. 在三角形中，，且边的中点D在x轴上，边的中点E在y轴上， （1）求顶点C的坐标； （2）求所在直线的方程； （3）若经过点的直线与轴正半轴和轴的负半轴交于两点，且，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是等边三角形，二面角为，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知正三棱柱如图，各棱长均为1，D为上的动点. （1）当时，求与的夹角余弦值； （2）棱是否存在点D，使得二面角的平面角的余弦值为，若存在说明点D的位置，若不存在，请说明理由； （3）记过点D与侧面对角线的截面为，与底面ABC和三个侧面，，，所成的二面角依次为，，，，若，求截面三角形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学校2026-2027学年度10月份考试 高二数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知直线经过点，则直线的斜率为（ ） A. -3 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线经过点， 则直线的斜率为. 2. 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直线可化为，斜率为， 所求直线与已知直线平行，故斜率也为， 又所求直线经过点，由点斜式得，整理即. 3. 已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（ ） A. 14 B. -14 C. 6 D. -14或6 【答案】D 【解析】 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 4. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示即可. 【详解】由题意，得. 5. 在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】易得，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则点到平面的距离为. 6. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 7. 已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（ ） A. 1或 B. 1或 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的方程为，根据所过的点得，再根据点到直线的距离公式求出或. 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. 8. 在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（   ） A. B. 5 C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出关于直线和轴的对称点坐标，然后根据对称的性质计算的周长即可. 【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于​， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，​四点共线， 则的周长等于. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 10. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 11. 在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则平面与平面夹角的余弦值为 B. 若，则平面平面 C. 若，则点到直线的距离的最小值为 D. 存在唯一有序实数对，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据题意建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，进而根据二面角的向量求法即可判断选项A；利用空间向量证明面面平行即可判断选项B；根据点到直线距离的向量求法即可判断选项C；根据题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上，再数形结合可判断D． 【详解】依题意，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 由正方体的棱长为，且点为棱的中点， 则，，，，，，， 对于A，若，，则，即点与点重合，即， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为，故A错误； 对于B，若，则，即， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，即， 结合选项A知平面的法向量为， 所以，即，即平面平面，故B正确； 对于C，若，则，与三点共线，即在线段上， 设，，则， 则，， 所以点到直线的距离为， 所以当，即为线段的中点时，点到直线的距离取最小值，且最小值为，故C正确； 对于D，易知与均垂直于平面，连接，， 则，，若，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 若，则，则点在以为圆心，为半径的圆上（均为侧面内部）， 两圆的圆心距，故两圆弧相交（如图所示）， 故符合条件的点有两个，对应的有两组，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】求出直线在两坐标轴上的截距，再建立方程并求解. 【详解】依题意，，直线在轴上的截距分别为， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，所以或. 13. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【解析】 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 14. 如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接EO，证明OB，OD，OE两两垂直，再建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答. 【详解】连接EO，因，则，而平面，且平面平面， 平面平面，于是得平面，又平面，平面， 即有，，而四边形BCDO是边长为1的正方形， 以O为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 因，，则， 则， 设，，， 设平面BMN的一个法向量，则，令，得， 设平面ABE的一个法向量，则，令，得， 因为平面平面ABE，则有，即，解得， 所以线段AN的长为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的顶点为，，，求： （1）边AC所在直线的方程； （2）边AC的垂直平分线的方程； （3）△ABC的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线上的点求出斜率，再由点斜式求解即可； （2）求出中垂线的斜率及AC中点坐标即可得解； （3）求出，再由点到直线的距离求出高即可得解. 【小问1详解】 由，可得, 故边AC所在直线的方程为， 即. 【小问2详解】 由（1）知，边AC的垂直平分线的斜率， 又边AC的中点为， 故边AC的垂直平分线的方程为， 即. 【小问3详解】 因为, 点到直线的距离， 所以. 16. 如图，在三棱锥中，两两垂直， （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量公式可得答案； （2）求出两个半平面的法向量，利用向量夹角公式可求二面角. 【小问1详解】 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系； ，,； 设平面的一个法向量为，则， 令，得，即， 设直线与平面所成角为，则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知平面的一个法向量为， 易求平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，易知为锐角，则， 所以二面角的余弦值为. 17. 在三角形中，，且边的中点D在x轴上，边的中点E在y轴上， （1）求顶点C的坐标； （2）求所在直线的方程； （3）若经过点的直线与轴正半轴和轴的负半轴交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）设出顶点的坐标，利用中点坐标公式结合已知列式求解； （2）由（1）得的坐标，求出斜率，进而求出直线方程； （3）设，，由列式求出，进而求得直线的斜率和方程. 【小问1详解】 设点，则，， 所以，解得， 所以顶点的坐标为. 【小问2详解】 由（1），，，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 设，，且， 由，得， ，解得， 所以，，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，侧面是等边三角形，二面角为，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取中点，连接， 因为为中点，四边形为正方形，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 由三角形中位线性质可得∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为，且平面，平面， 所以平面∥平面， 因为平面，所以∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，通过平面∥平面，证明∥平面； （2）建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，再利用求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取中点，中点，连接， 因为，所以，又，所以， 屏幕平面,平面,平面， 所以为二面角的平面角， 则，以为原点，直线为轴，直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，, ， 所以， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量，则，即， 取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知正三棱柱如图，各棱长均为1，D为上的动点. （1）当时，求与的夹角余弦值； （2）棱是否存在点D，使得二面角的平面角的余弦值为，若存在说明点D的位置，若不存在，请说明理由； （3）记过点D与侧面对角线的截面为，与底面ABC和三个侧面，，，所成的二面角依次为，，，，若，求截面三角形的面积. 【答案】（1）； （2）存在，； （3）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量，即可计算线线夹角； （2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，计算法向量，即可根据二面角计算坐标； （3）根据射影面积定理列出等式，即可求解. 【小问1详解】 依题意作正三棱柱如图，设AC的中点为O，建立空间直角坐标系如图， 由，得，，，， ，， 设与的夹角为，. 【小问2详解】 假设存在点D满足题意，由，则，，，， 设面的法向量为，，， ，，令，得，，从而， 设面的法向量为，， ，，令，解得，， 从而， 当时，，解得， 所以D为的中点时，二面角为直二面角. 时，二面角的平面角为钝角；时，二面角的平面角为锐角， 设二面角的平面角为， 则，解得，， 因为二面角的平面角为锐角，故舍去， 综上得，存在满足题意的点D，此时. 【小问3详解】 假设存在点D满足题意，且， 则，，，，设面的法向量为， ，，，， 则点D到的距离为， ，， 又在底面和三个侧面，，上的射影面积分别为，,，， 所以由面积射影定理得，， ，， 得， 解得，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $