精品解析：浙江嘉兴市清华附中嘉兴实验高级中学2026-2027学年高一第一学期第一次月考数学试卷

2026－2027学年第一学期第一次月考 高一年级数学 试题卷（A卷） 2026.10 本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名，考号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题纸规定的位置上. 2答题时，请按照答题纸上“考生须知”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则的最小值为（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 若，，则有（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. “”是“一元二次方程有两个根”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系正确的是（ ） A. ∈R B. 2⊆Q C. D. N⊆Z 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 11. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，.每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则____________. 13. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________． 14. 设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，全集，求： （1） （2）. 16. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）当时，集合有且只有一个元素，求实数的集合. （2）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. （3），，若时，有，求的最小值. 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 19. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）对于二次函数 ①当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； ②若函数y有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年第一学期第一次月考 高一年级数学 试题卷（A卷） 2026.10 本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 考生注意： 1.答题前，请务必将自己的姓名，考号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题纸规定的位置上. 2答题时，请按照答题纸上“考生须知”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合，，则集合是集合的真子集. 对于选项A：，使得，例如，则且，故A正确； 对于选项B：因为集合是集合的真子集，则，均有，故B错误； 对于选项C：例如，则，但，故C错误； 对于选项D：例如，则，但，故D错误. 2. 设集合，．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在，此时但，不满足； 若，则对任意，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 4. 已知，且，则的最小值为（    ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9， 故选：D 5. 若，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质直接判断即可． 【详解】解：， ，， 所以A选项正确，B选项错误 又， ，， 所以C选项，D选项错误； 故选：A. 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解. 【详解】设函数， 因为不等式的解集为，即在上恒成立， 则满足，解得，所以， 即实数的取值范围为. 7. “”是“一元二次方程有两个根”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】若一元二次方程有两个根， 记,则，解得， 由于，故“”是“一元二次方程有两个根”的必要不充分条件， 故选：B 8. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关系正确的是（ ） A. ∈R B. 2⊆Q C. D. N⊆Z 【答案】ACD 【解析】 【详解】是实数，所以∈R，A项正确； 元素和集合的关系不能用⊆表示，B项错误； 空集是任何集合的子集，C项正确； 自然数都是整数，所以自然数集是整数集的子集，D项正确. 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三个二次的关系，结合韦达定理用表示，再逐项判断即得. 【详解】由不等式的解集为或， 得是方程的两个实根，且， 则，即，ACD正确； 不等式，解得，B错误. 11. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，.每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 13. 若关于的不等式的解集为，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解. 14. 设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，根据“集合”的定义分2个元素，3个元素，4个元素讨论求解. 【详解】解方程，解得，结合， 因此：，集合共9个元素. （1）2个元素的“集合”：设为， 当时，可取5，6，7，8，9，共5个； 当时，可取6，7，8，9，共4个； 当时，可取7，8，9，共3个； 当时，可取8，9，共2个； 当时，可取9，共1个；当时，无满足条件的. 则2个元素的“集合”总数：. （2）3个元素的“集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4. 最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9. （3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围， 因此不存在4个及以上元素的“TB集合”. 综上，“集合”总数个元素的数量个元素的数量：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，全集，求： （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的并集运算即可求解； （2）先求，再求交集即可. 【小问1详解】 由得，所以， ； 【小问2详解】 由题意得：，所以. 16. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. 【小问1详解】 由，可得， 因为， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，. 故实数的取值范围为． 【小问2详解】 由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是． 17. 已知函数． （1）当时，集合有且只有一个元素，求实数的集合. （2）若关于的不等式的解集为，求不等式的解集. （3），，若时，有，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3）4 【解析】 【分析】（1）分和，根据方程只有1解求的值. （2）先根据已知不等式的解集求的值，再解一元二次不等式. （3）确定的关系，利用基本不等式求的最小值. 【小问1详解】 问题转化为：方程有且只有1解，求实数的值. 当时，方程可化为：.方程有且只有1解； 当时，方程有且只有1解，所以. 综上可知：或. 所以实数的集合为：. 【小问2详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以. 所以不等式即为：， 所以或. 所以所求不等式的解集为：或. 【小问3详解】 由题意：，即. 所以， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为：4. 18. 某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米． （1）当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ （2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围． 【答案】（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元 （2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功 【解析】 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数可得对任意的恒成立，分类常数结合基本不等式求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 因为体育馆前墙长为米，地面面积为， 所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米， 设甲工程队报价为元， 所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元； 【小问2详解】 根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 19. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）对于二次函数 ①当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围； ②若函数y有两个不相等的不动点，且，求的最小值. 【答案】（1）和 （2）①或或；② 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程可得函数的不动点； （2）①根据一元二次方程根的分布可求实数的取值范围； ②先根据一元二次方程根的分布确定实数的取值范围，并结合韦达定理表示，再结合基本不等式可求的最小值. 【小问1详解】 由题意得：令，解得或， 所以二次函数的不动点为和； 【小问2详解】 ①由，令， 即，即 所以或， 由在内有唯一的解， 所以或或， 解得或或； ②函数y有两个不相等的不动点，即有两个不等的正实根， 所以，解得，即， 所以 ， 令，则， 原式， 当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $