精品解析：湖北襄阳市襄州区两校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026-2027九年级数学学情自测卷（十月） 一、单选题．（本小题30分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的判定条件是解题关键． 根据一元二次方程的定义对选项依次判断即可． 【详解】解：选项：∵方程分母含未知数，不是整式方程，∴不是一元二次方程； 选项：∵方程含两个未知数，∴不是一元二次方程； 选项：∵方程中，若，则变为一次方程，∴不一定是一元二次方程； 选项：∵方程只含一个未知数，且最高次数为，是整式方程，∴一定是一元二次方程． 故选：． 2. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程两边同时加上1，然后根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ 即 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键． 3. 已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，则该抛物线与x轴另一个交点坐标为（　　） A. （﹣3，0） B. （﹣2，0） C. （2，0） D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】设抛物线与x轴另一交点的坐标为（a，0），再直接根据中点坐标公式解答即可． 【详解】解：设抛物线与x轴另一交点的坐标为（a，0）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴＝﹣1，解得a＝﹣3， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（﹣3，0）． 故选A． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系是解答此题的关键． 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以逐一判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数， A、该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； B、对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意； C、顶点坐标是，故选项C正确，符合题意； D、当时，方程无解，即该函数图象与轴无交点，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 5. 影片《哪吒2》让观众感受到科技赋能与传统文化展现的非凡魅力．首日票房约4.87亿，上映仅三天，在中国内地票房已达15.86亿．设日平均增长率为，则可以列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与增长率的计算方法，根据题目数量关系，运用一元二次方程与增长率的计算方法列方程求解即可． 【详解】解∶根据题意，得， 即， 故选∶D． 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设比赛组织者应邀请x个队参赛，则每个队参加场比赛，共有场比赛，可列出一个一元二次方程，再进行求解即可得出答案.； 【详解】解：∵设比赛组织者应邀请个队参赛，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛， ∴． 7. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解答此题的关键．先向右平移3个单位，x 替换为；再向下平移1个单位，整体减去1 【详解】解：∵原函数为 ，向右平移3个单位：，再向下平移1个单位：； ∴ 所得函数表达式为 ， 故选：D 8. 抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 9. 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ） A. 20 B. 40 C. 100 D. 120 【答案】D 【解析】 【分析】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，由长方形的周长公式得出宽为（40÷2﹣x）cm，根据长方形的面积公式列出方程x（40÷2﹣x）=a，整理得x2﹣20x+a=0，由=400﹣4a≥0，求出a≤100，即可求解． 【详解】设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（40÷2﹣x）cm，依题意，得 x（40÷2﹣x）=a，整理，得 x2﹣20x+a=0， ∵=400﹣4a≥0， 解得a≤100， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及根的判别式，找到等量关系并列出方程是解题的关键． 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根． 【详解】解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确． ②， 当时，由图象可得， 当时，，由图象可得， ，即， 故②正确． ③，， ， 点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离， ， 故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根． 故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系． 二、填空题．（本小题15分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再利用整体代入法计算所求式子的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， 整理得 ， ∴． 12. 如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小，关于称轴是直线的对称点是， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 13. 抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________ 【答案】，. 【解析】 【分析】由题意可得关于a、b、c的方程组，解方程组用含a的式子表示出b、c，然后把b、c代入到一元二次方程组进行求解即可得. 【详解】依题意，得：， 解得：， 所以，关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx为：， 即：， 化为：， 解得：，， 故答案为，. 【点睛】本题考查了抛物线上点的坐标特征，解方程组，解一元二次方程等，综合性较强，正确把握抛物线上的点的坐标一定满足抛物线的解析式，得到用含a的式子表示出b和c是解题的关键. 14. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”．若一元二次方程是“倍根方程”，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解“倍根方程”的概念是解题关键． 设这个方程的两个根分别为和，再根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题意可设：与是方程的两个根， ，， 解得：，， 故答案为：． 15. 已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 【答案】的值为8或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当时，即时， ，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值为6， ， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最大值为6， ， 解得：， ， （不合题意，舍去）， ③当时，即时， ，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，有最大值为6， ， 解得：， 综上所述，的值为8或． 三、解答题． 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得，． 【小问3详解】 解：， ， ， 解得，． 17. 某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 【答案】（1） （2）会超过 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握病毒传播问题的数量关系是解题的关键． （1）设每轮感染中平均一台电脑感染台电脑，第一轮感染后有台被感染，第二轮感染是在第一轮的基础上，每台又感染台，所以两轮后被感染的电脑数为，据此列方程求解． （2）根据（1）的结果，计算三轮感染后的电脑数，再与700比较． 【小问1详解】 解：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． ， ， ，（舍）， 答：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑． 【小问2详解】 解：， ∴经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台， 答：经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台． 18. 我市旅游业以楚文化和三国文化为核心，近年来不断提档升级，文旅产业呈高质量发展态势．据统计，今年“十一”长假期间，某网红景区第一天的游客人数为1.5万人次，第三天的游客人数达到2.16万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率； （2）该景区内某文创小店推出了一款楚式漆器，每件漆器的成本为12元．根据销售经验，每件漆器定价为38元时，平均每天可售出200件．若每件漆器的售价每降低1元，平均每天可多售出20件．若该文创小店想通过售出这批漆器每天获得6400元的利润，为了尽快减少库存，每件漆器应降价多少元？ 【答案】（1）游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为 （2）为了尽快减少库存，每件漆器应降价10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的日平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （2）设每件漆器应降价元，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍）， 答：游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为； 【小问2详解】 设每件漆器应降价元，根据题意得 ， 解得（舍），， 答：为了尽快减少库存，每件漆器应降价10元． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有实数根； （2）若方程两根均不小于1，求的取值范围． 【答案】（1） 证明： ∵，， ∴， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，，根据方程两根均不小于1，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：原方程可化为，即 解得：，， ∵方程两根均不小于1， ∴， ∴． 20. 已知函数是关于x的二次函数． 求： （1）满足条件的m值； （2）当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大？ 【答案】（1）﹣3或2； （2）当时，，该函数的最低点的坐标为，当时，y随x的增大而增大． 【解析】 【分析】（1）根据函数是关于x的二次函数．可以求得m的值； （2）根据（1）中的结果，可以得到当m为何值时，抛物线有最低点，并求出最低点的坐标，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大 【小问1详解】 ∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得，， 即m的值是﹣3或2； 【小问2详解】 由（1）知，或2， 故或， ∴当时，该抛物线开口向上，有最低点， 当时，，该函数的最低点的坐标为，当时，y随x的增大而增大． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 21. 已知二次函数． x … 0 1 2 3 4 … 3 0 0 3 （1）二次函数顶点坐标是___________； （2）完成下列表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象； （3）根据图象直接回答：当x_______时，y随x的增大而减小； （4）当时，y的取值范围是___________． 【答案】（1） （2） x … 0 1 2 3 4 … 3 0 0 3 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）化作顶点式即可解答； （2）利用描点法画图即可； （3）利用二次函数的性质解答； （4）可得时，函数取得最小值，再计算当，时的函数值，从而可得答案． 【小问1详解】 解：根据解析式可得抛物线的顶点为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据图象可得当时，y随x的增大而减小； 【小问4详解】 解：当时，函数取得最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，． 22. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求抛物线的解析式． （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点坐标为、 【解析】 【分析】（1）利用交点坐标求出抛物线解析式即可； （2）三角形底边在轴上，长度固定，由面积求出点纵坐标的绝对值，再代入函数解析式求横坐标． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过，， 抛物线交点式：， 展开得：． 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：， ， 设， 的面积 ， 解得， 即或． 当时，， 即，，方程无实数解，舍去； 当时，， 即， 解得． 点坐标为、． 23. 已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； （2）拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 【答案】（1）7，1，7 （2）1 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是构建一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解． （1）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，P为x轴上方的抛物线上一动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．过点P作轴于H，交直线于点Q，线段的长为d． （1）求抛物线的解析式 （2）当点P在第一象限运动时，m的取值范围为__________，写出此时d与m的函数解析式为__________ （3）①当时，求m的值； ②当时，则直接写出m的取值范围__________． 【答案】（1） （2）， （3）① 或1或4 ② 或或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，利用函数图象解一元二次不等式等知识点． （1）由待定系数法即可求解函数解析式； （2）根据点P在第一象限运动，而即可求解取值范围；先求出直线，则， ，那么； （3）①当时，即，然后解方程，再进行舍解即可； ②先得到且，再分类讨论，画图分析，利用二次函数的图象解一元二次不等式即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象交x轴于两点， ∴， ∴ ∴解析式为； 【小问2详解】 解：∵ ∴当点P在第一象限运动时，m的取值范围为; 对于，， ∴， 设直线， ∴ 解得， ∴直线， ∵，轴， ∴， ∴， ∴d与m的函数解析式为； 【小问3详解】 解：①当时，即， 解得或或或， ∵P为x轴上方的抛物线上一动点， ∴， ∴（舍）， ∴或或； ②∵P为x轴上方的抛物线上一动点（不与点C重合）， ∴且， 当在轴左侧时，即，如图： 由题意得：， 即， 利用二次函数图象解不等式，则解集为， 而， ∴； 当在轴右侧时，即，如图： ， ∴， 利用二次函数图象解不等式，则解集为或， 而，， ∴或， 综上：m的取值范围为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027九年级数学学情自测卷（十月） 一、单选题．（本小题30分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，则该抛物线与x轴另一个交点坐标为（　　） A. （﹣3，0） B. （﹣2，0） C. （2，0） D. 无法确定 4. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与x轴有两个交点 5. 影片《哪吒2》让观众感受到科技赋能与传统文化展现的非凡魅力．首日票房约4.87亿，上映仅三天，在中国内地票房已达15.86亿．设日平均增长率为，则可以列方程为（　　） A. B. C. D. 6. 组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm2的长方形，a的值不可能为（ ） A. 20 B. 40 C. 100 D. 120 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题．（本小题15分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值是__________． 12. 如果三点，和在抛物线的图象上，那，，之间的大小关系是______ ． 13. 抛物线经过点、两点，则关于的一元二次方程的解是___________ 14. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是“倍根方程”．若一元二次方程是“倍根方程”，的值为______． 15. 已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 三、解答题． 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） 17. 某种电脑病毒传播非常快，如果有一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染. （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台？ 18. 我市旅游业以楚文化和三国文化为核心，近年来不断提档升级，文旅产业呈高质量发展态势．据统计，今年“十一”长假期间，某网红景区第一天的游客人数为1.5万人次，第三天的游客人数达到2.16万人次． （1）求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率； （2）该景区内某文创小店推出了一款楚式漆器，每件漆器的成本为12元．根据销售经验，每件漆器定价为38元时，平均每天可售出200件．若每件漆器的售价每降低1元，平均每天可多售出20件．若该文创小店想通过售出这批漆器每天获得6400元的利润，为了尽快减少库存，每件漆器应降价多少元？ 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，方程总有实数根； （2）若方程两根均不小于1，求的取值范围． 20. 已知函数是关于x的二次函数． 求： （1）满足条件的m值； （2）当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大？ 21. 已知二次函数． x … 0 1 2 3 4 … 3 0 0 3 （1）二次函数顶点坐标是___________； （2）完成下列表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象； （3）根据图象直接回答：当x_______时，y随x的增大而减小； （4）当时，y的取值范围是___________． 22. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求抛物线的解析式． （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标． 23. 已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； （2）拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 24. 如图，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，P为x轴上方的抛物线上一动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．过点P作轴于H，交直线于点Q，线段的长为d． （1）求抛物线的解析式 （2）当点P在第一象限运动时，m的取值范围为__________，写出此时d与m的函数解析式为__________ （3）①当时，求m的值； ②当时，则直接写出m的取值范围__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $