四川省南充市白塔中学2026-2027学年九年级上学期数学“摘星之旅”挑战赛

初2024级2026年（下）数学“摘星之旅”挑战赛 （全卷满分150分，时间120分钟） A卷（共100分） 一．选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．方程的解是 A． B． C．和 D．和 3．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A． B． C． D． 4．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A． B． C． D． 5．神舟十九号飞船发射圆满成功，某航天科普网站的浏览量猛增，月份该网站的浏览量为万人次，第四季度总浏览量为万人次，如果浏览量平均每月增长率为，则应列方程是（ ） A． B． C． D． 6．已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．与轴有两个交点 D．顶点坐标为 7．将抛物线向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A． B． C． D． 8．如图，二次函数的图象与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而增大 C．点的坐标为 D． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若关于的方程是一元二次方程，则的值为________． 10．设，是方程的两个根，则的值为________． 11．抛物线与轴公共点个数为________． 12．抛物线的顶点坐标为________． 13．抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是________． 三．解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（12分）解方程．（1）； （2）． 15．（8分）关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 16．（8分）综合与实践 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材 图中有一座拱桥，图是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材 为迎佳节，拟在图桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务 确定桥拱形状 在图中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 17．（10分）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）在抛物线上存在点，满足，请直接写出点的坐标． 18．（10分）如图，抛物线与轴交于、两点． （1）求抛物线的表达式． （2）点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值． B卷 （共50分） 一．填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若一个直角三角形两直角边的长分别是方程的两个实数根，则直角三角形斜边的长是________． 20．如图，正方形的边长为，与轴正半轴的夹角为，点在抛物线的图象上，则的值为________． 21．点，都在二次函数的图象上．若，则的取值范围为________． 22．二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论是________． 23．若二次函数在时的最小值为，那么的值是________． 二．解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）关于的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1）的“”点是________； （2）若关于的一元二次方程：的“”点为，求，的值； （3）关于的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 25．（10分）在实施乡村振兴战略和移动互联快速进化的大背景下，某电商平台以元/千克的价格收购一批农产品进行销售，经前期销售发现日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间满足一次函数关系，整理部分数据如下表： 销售价格（元/千克） 日销售量（千克） （1）求关于的函数表达式． （2）为了稳定物价，有关管理部门规定这种农产品利润率不得高于，该平台应如何确定这批农产品的销售价格？才能使日销售利润最大？（利润售价成本） 26．（12分）已知抛物线：经过点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）将抛物线向上平移个单位得到抛物线．若抛物线的顶点关于坐标原点的对称点在抛物线上，求的值． （3）把抛物线向右平移个单位得到抛物线，若点，在抛物线上，且，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $