专题3.6 正多边形与圆（3大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上学期

专题3.6 正多边形与圆 知识点1 ：正多边形及有关概念 　　1. 定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 　　2. 圆内接正多边形：把圆分成（）等份，依次连接各等分点得到的多边形，就是圆的内接正边形，这个圆叫做这个正边形的外接圆。 　　3. 与正多边形有关的概念： 　　　（1）中心：正多边形的外接圆的圆心； 　　　（2）半径：正多边形的外接圆的半径； 　　　（3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角； 　　　（4）边心距：中心到正多边形一边的距离。 　　4. 注意：正多边形的每个中心角相等，都等于。 知识点2 ：正多边形的有关计算 　　设正边形的半径为，边长为，边心距为，则： 项目 公式 说明 中心角 每个中心角相等 每个内角 各内角相等 每个外角 等于中心角 半径、边长、边心距关系 构造直角三角形（半径、半边长、边心距） 周长 边数乘以边长 面积 边心距乘以周长的一半 　　1. 半径、边长、边心距关系：过中心作边的垂线，连接中心与顶点，构成以为斜边、和为直角边的直角三角形。 　　2. 正六边形特例：正六边形的边长等于它的半径，即，边心距。 　　3. 正三角形特例：正三角形的边心距。 　　4. 正四边形特例：正方形的边长，边心距。 知识点3 ：正多边形的画法 　　画正多边形的关键是等分圆周，主要有两种方法： 　　1. 用量角器等分： 　　　（1）特点：可以画出任意正多边形；边数很大时，容易产生较大误差； 　　　（2）步骤：先画圆心角等于，在圆上依次截取相等弧，顺次连接各等分点。 　　2. 用尺规等分： 　　　（1）特点：只能等分一些特殊的正多边形（如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等），作图比较准确； 　　　（2）作正六边形：作直径，分别以、为圆心、长为半径画弧交圆于，顺次连接各点即得。 【基础必考题型】 【题型1】求正多边形的中心角 1.核心知识点 　　正边形的中心角为。 2.解题方法技巧 　　①中心角； 　　②知道边数求中心角，知道中心角反求边数； ③正多边形旋转与自身重合的角度是中心角的整数倍。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等．相邻两齿与圆心连线的夹角为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？ 【变式题1-1】.（2026·江苏·一模）第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为______． 【题型2】正多边形与圆中的角度计算 1.核心知识点 　　中心角、圆周角与正多边形内角的综合计算。 2.解题方法技巧 　　①利用中心角求圆周角（圆周角为中心角一半）； 　　②正多边形内角； ③结合等腰三角形、三角形内角和求角。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是正五边形的外接圆，P为上的一点，则的度数为_______． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，图②所示的是其部分示意图．已知司南中心为圆形，圆心为，根据八个方位将圆形八等分（图②中点）且顺次连接点构成正八边形，连接，，求的度数． 【变式题2-3】.（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型3】正多边形的边心距计算 1.核心知识点 　　边心距。 2.解题方法技巧 　　①构造由半径、半边长、边心距组成的直角三角形； 　　②用勾股定理求边心距； ③熟记正三角形、正方形、正六边形的特殊关系。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正六边形内接于．若的半径为，则点到的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形是的内接正方形，若，则正方形的边心距的长为________． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）若正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是_____，半径是_____，周长是_____，面积是________ 【变式题3-3】.（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）正方形内接于，若的半径为，则该正方形边心距的长是（     ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型4】正多边形与圆中的边长、周长与面积 1.核心知识点 　　正多边形边长 、半径 、边心距 ：。 周长 ，面积 （分割成 个全等三角形）。 2.解题方法技巧 　　①由半径和中心角求边长 ； 　　②构造直角三角形用勾股定理； 　　③正六边形 ，正方形 ； 　　④先求边长再乘边数得周长； ⑤面积用 或分割求各三角形面积； 【例题4】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，六边形是的内接正六边形，若，则这个正六边形的边长为（    ） A．24 B．6 C．4 D． 【变式题4-1】.（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，有一个亭子，它的地基是周长为的正六边形，则地基的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【题型5】作正多边形 1.核心知识点 　　用量角器或尺规作正多边形（等分圆周）。 2.解题方法技巧 　　①作正四边形：作两条互相垂直的直径； 　　②作正六边形：以直径为半径画弧等分； ③尺规作图要保留痕迹，说明依据。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知和上的一点A，求作的内接正六边形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求作图： (1)在图1中画的内接正三角形； (2)在图2中画的内接正八边形． 【变式题5-2】.（2026九年级上·江苏·专题练习）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【变式题5-3】.（2026·河南安阳·二模）如图，用尺规作圆内接正六边形、内接正三角形、内接正方形． 【题型6】正多边形与平面直角坐标系的综合 1.核心知识点 　　正多边形在坐标系中的顶点坐标、旋转。 2.解题方法技巧 　　①利用正多边形的对称性、中心角求坐标； 　　②结合旋转、三角函数求顶点坐标； 　　③注意旋转次数与坐标的变化规律。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，正六边形的中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为2，求其各个顶点的坐标． 【变式题6-1】.（2026·河南三门峡·三模）定义：如图，在平面直角坐标系中，原点是正方形的中心，且轴，正八边形的顶点均在正方形的边上，我们称该正八边形内嵌于正方形．已知点的坐标为，将点绕点顺时针旋转，每次转，则旋转2027次后，点的坐标为（     ）    A． B． C． D． 【变式题6-2】.（2026·广东广州·二模）如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式题6-3】.（2026·河南平顶山·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点G．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【压轴素养题型】 【题型7】正多边形与圆的证明 1.核心知识点 　　正多边形性质的证明（角、边、弧的关系）。 2.解题方法技巧 　　①利用中心角相等推弧相等、弦相等； 　　②结合等腰三角形、全等三角形证明； ③综合圆周角定理、切线性质等。 【例题7】.（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【变式题7-1】.（2025九年级·全国·专题练习）如图，若折线ABCD是的内接正十边形的三条边，AD分别交OB，OC于点M，N．求证：． ∵折线是的内接正十边形的三条边， 【变式题7-2】.（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，的内接正五边形的对角线与相交于点M． (1)写出图中所有的等腰三角形（不添加其他线段）； (2)求证：． 【变式题7-3】.（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）图中正五边形内接于中，连接，，，交于点F． (1)求证：； (2)求证：F点为的黄金分割点． 【题型8】割圆术与数学文化 1.核心知识点 　　祖冲之割圆术、刘徽割圆术与圆周率估计。 2.解题方法技巧 　　①内接正多边形面积逼近圆面积； 　　②利用正多边形面积求圆周率近似值； 　　③结合历史文化情境理解数学思想。 【例题8】.（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，将半径为的圆进行等分分割，拼接成如图所示图形．连接，交于点，则的面积为______． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（    ） A． B．3 C．3.14 D．3.13 【变式题8-2】.（2026·安徽·模拟预测）南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）根据以下素材，回答问题： 素材1：在魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长与面积无限接近圆的周长与面积，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．” 素材2：“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和即有，其中a，b，c，d为正整数，则是x的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，可得，之后可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． (1)任务1：①如图①，已知圆的内接正六边形可分为六个全等的等边三角形，每个三角形的边长均为圆的半径若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，则可得的估计值为 ． ②如图②，已知圆的内接正十二边形可分为十二个全等的等腰三角形，且等腰三角形的顶角为若将圆内接正十二边形的面积等同于圆的面积，则可得的估计值为 ． (2)任务2：约公元前240年，阿基米德算得，已知，请在此基础上使用两次“调日法”得到的更为精确的近似分数． 易错点 　　1、误认为“各角相等的多边形是正多边形”，忽略各边也必须相等。 　　2、混淆中心角、内角、外角，中心角与每个外角相等、不等于内角。 　　3、构造直角三角形时，误把边长当作直角边，忽略应取半边长。 　　4、求面积时忘记中的系数。 　　5、尺规作正多边形时步骤不规范或边数搞错。 　　6、正六边形边长等于半径，误与其他正多边形混淆。 重点 　　1、掌握正多边形的定义及中心、半径、中心角、边心距等概念。 　　2、掌握正多边形中心角、内角、周长、面积的计算。 　　3、掌握半径、边长、边心距的关系。 　　4、掌握正多边形的尺规作图方法。 难点 　　1、正多边形与圆的综合计算与证明。 　　2、正多边形与坐标、最值问题的综合。 　　3、利用正多边形面积逼近圆面积（割圆术）的理解与应用。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 正多边形与圆 知识点1 ：正多边形及有关概念 　　1. 定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 　　2. 圆内接正多边形：把圆分成（）等份，依次连接各等分点得到的多边形，就是圆的内接正边形，这个圆叫做这个正边形的外接圆。 　　3. 与正多边形有关的概念： 　　　（1）中心：正多边形的外接圆的圆心； 　　　（2）半径：正多边形的外接圆的半径； 　　　（3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角； 　　　（4）边心距：中心到正多边形一边的距离。 　　4. 注意：正多边形的每个中心角相等，都等于。 知识点2 ：正多边形的有关计算 　　设正边形的半径为，边长为，边心距为，则： 项目 公式 说明 中心角 每个中心角相等 每个内角 各内角相等 每个外角 等于中心角 半径、边长、边心距关系 构造直角三角形（半径、半边长、边心距） 周长 边数乘以边长 面积 边心距乘以周长的一半 　　1. 半径、边长、边心距关系：过中心作边的垂线，连接中心与顶点，构成以为斜边、和为直角边的直角三角形。 　　2. 正六边形特例：正六边形的边长等于它的半径，即，边心距。 　　3. 正三角形特例：正三角形的边心距。 　　4. 正四边形特例：正方形的边长，边心距。 知识点3 ：正多边形的画法 　　画正多边形的关键是等分圆周，主要有两种方法： 　　1. 用量角器等分： 　　　（1）特点：可以画出任意正多边形；边数很大时，容易产生较大误差； 　　　（2）步骤：先画圆心角等于，在圆上依次截取相等弧，顺次连接各等分点。 　　2. 用尺规等分： 　　　（1）特点：只能等分一些特殊的正多边形（如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等），作图比较准确； 　　　（2）作正六边形：作直径，分别以、为圆心、长为半径画弧交圆于，顺次连接各点即得。 【基础必考题型】 【题型1】求正多边形的中心角 1.核心知识点 　　正边形的中心角为。 2.解题方法技巧 　　①中心角； 　　②知道边数求中心角，知道中心角反求边数； ③正多边形旋转与自身重合的角度是中心角的整数倍。 【例题1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示的齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等．相邻两齿与圆心连线的夹角为多少度？如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有多少次和原图形重合？ 【答案】，20次 【分析】由一个圆的圆心角为 ，可得相邻两齿间的圆心角α的度数，根据旋转角为α即可解答； 【详解】解：∵齿轮有20个齿，相邻两齿之间的间隔相等， ∴此图形可以看成正二十边形， 相邻两齿与圆心连线的夹角． 如果让这样的齿轮旋转1周，那么在旋转过程中有20次和原图形重合． 【变式题1-1】.（2026·江苏·一模）第四套人民币中1角硬币采用了圆内接九边形的独特设计．九边形设计呼应了中国传统文化中“九”为尊数的概念，这个正九边形的中心角等于_____°． 【答案】 【分析】根据正多边形中心角度数公式计算即可． 【详解】解：正九边形中心角度数为． 【变式题1-2】.（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是_______． 【答案】/60度 【分析】本题考查求正多边形的中心角．根据正n边形中心角的公式直接求解即可． 【详解】解：正六边形的圆心角等于一个周角，即为，正六边形有6个中心角，所以每个中心角． 故答案为：． 【变式题1-3】.（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】本题考查正多边形与圆的关系，圆心角的计算，掌握圆心角的计算公式是解题关键． 利用正多边形内接于圆时顶点等分圆周的性质，用除以边数，即可求得圆心角 的度数． 【详解】解：正八边形内接于， 其个顶点将圆等分， 整个圆周角为， 每条边所对的圆心角为． 故答案为：． 【题型2】正多边形与圆中的角度计算 1.核心知识点 　　中心角、圆周角与正多边形内角的综合计算。 2.解题方法技巧 　　①利用中心角求圆周角（圆周角为中心角一半）； 　　②正多边形内角； ③结合等腰三角形、三角形内角和求角。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，是正五边形的外接圆，P为上的一点，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】先计算正五边形的内角的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 【变式题2-1】.（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，正五边形内接于，点在上，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正五边形性质求出每条边所对弧的度数，确定所对的弧，根据圆周角定理求解． 【详解】解：五边形是正五边形， 弧与弧的度数均为， 弧的度数为， 是弧所对的圆周角， ． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）图①所示的司南是中国古代辨别方向的一种仪器，图②所示的是其部分示意图．已知司南中心为圆形，圆心为，根据八个方位将圆形八等分（图②中点）且顺次连接点构成正八边形，连接，，求的度数． 【答案】 【分析】连接，由图及其对称性可知为的直径，，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接． ∵八边形是正八边形， ∴由图及其对称性可知为的直径，， ． 【变式题2-3】.（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 【题型3】正多边形的边心距计算 1.核心知识点 　　边心距。 2.解题方法技巧 　　①构造由半径、半边长、边心距组成的直角三角形； 　　②用勾股定理求边心距； ③熟记正三角形、正方形、正六边形的特殊关系。 【例题3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正六边形内接于．若的半径为，则点到的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，根据正六边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，于是利用勾股定理得到结论． 【详解】 解：过作于， 在正六边形中：， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质和勾股定理，解决本题的关键是要正确的作出辅助线和熟练掌握含30°角直角三角形的性质和勾股定理． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形是的内接正方形，若，则正方形的边心距的长为________． 【答案】 【分析】利用圆内接四边形的性质求出，然后分别在、中，根据勾股定理求出、即可． 【详解】解：∵正方形是半径为R的⊙O内接四边形， ， ∵， ， ． 在中，，， ， ， 在中，， ， ， 即正方形的边心距为． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）若正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是_____，半径是_____，周长是_____，面积是________ 【答案】 4 4 24 【分析】正六边形可被中心与顶点的连线分为6个全等的等边三角形，作边心距构造直角三角形，利用勾股定理即可计算求解． 【详解】解：∵正六边形的中心角为，正六边形的半径等于边长，且半径、边心距、边长的一半构成直角三角形， 设正六边形的边长为，则半径也为，边长的一半为， 根据勾股定理得， 整理得， 故， 解得或（舍去）， 故正六边形的边长是4，半径是4，周长是，面积是． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）正方形内接于，若的半径为，则该正方形边心距的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先连接圆心与正方形相邻顶点，得到等腰直角三角形，利用圆半径和勾股定理求出正方形边长；再借助三角形面积的两种表达形式，通过等面积法，求出边心距． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点，则为边心距， ∵正方形内接于，的半径为， ∴，， 在中， ， ∵， ∴ 解得． 【培优高频题型】 【题型4】正多边形与圆中的边长、周长与面积 1.核心知识点 　　正多边形边长 、半径 、边心距 ：。 周长 ，面积 （分割成 个全等三角形）。 2.解题方法技巧 　　①由半径和中心角求边长 ； 　　②构造直角三角形用勾股定理； 　　③正六边形 ，正方形 ； 　　④先求边长再乘边数得周长； ⑤面积用 或分割求各三角形面积； 【例题4】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，六边形是的内接正六边形，若，则这个正六边形的边长为（    ） A．24 B．6 C．4 D． 【答案】C 【分析】证明是等边三角形，得出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵六边形为正六边形， ，， ∴是等边三角形， ， 即这个正六边形的边长为4． 【变式题4-1】.（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正六边形的性质得出正六边形可以分成面积相等的6个等边三边形，过点O作，则，根据勾股定理求出，求出，进而可得出正六边形的面积，最后根据正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正六边形如下图： ，又， ∴是等边三角形， 同理可知：正六边形可以分成面积相等的6个等边三角形， 过点O作， 则， ∴， ∴， 正六边形的面积为：， 六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：． 【变式题4-2】.（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，有一个亭子，它的地基是周长为的正六边形，则地基的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得一个等边三角形的面积即可求得正六边形的面积． 【详解】解：连接，作， ∵地基是周长为的正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴地基的面积为． 【变式题4-3】.（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，利用中心角和边的关系求解是解题的关键；根据中心角是，得到等边三角形即可求解． 【详解】解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B ． 【题型5】作正多边形 1.核心知识点 　　用量角器或尺规作正多边形（等分圆周）。 2.解题方法技巧 　　①作正四边形：作两条互相垂直的直径； 　　②作正六边形：以直径为半径画弧等分； ③尺规作图要保留痕迹，说明依据。 【例题5】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知和上的一点A，求作的内接正六边形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图，正六边形ABCDEF即为所求． 【详解】解：连接并延长交于点，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，交分别于点、、、，进而构造内接正六边形即可． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）按要求作图： (1)在图1中画的内接正三角形； (2)在图2中画的内接正八边形． 【答案】(1)解：以圆的半径长为半径，在圆周上依次截取得到6个等分点，先画的内接正六边形，再在正六边形的基础上，选择不相邻的三个顶点，顺次连接，即可作正三角形．如图，是的内接正三角形． (2)解：先画圆的两条互相垂直的直径，4个端点顺次连接，画出圆的内接正方形，再在正方形的基础上，用圆规分别作的垂直平分线，交圆于点，依次连接8个点，即可作正八边形．如图，八边形是的内接正八边形． 【分析】（1）利用正六边形的每个角都是，每段弧所对应的圆周角是，间隔选取这两个点，则能保证圆弧所对应的圆周角是，即可作出正三角形． （2）先作出互相垂直的两条直径，是为了将每段弧等于，再利用垂直平分得到的弧，即可得到圆周上的8个等分点，依次连接即可作出正八边形． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题5-2】.（2026九年级上·江苏·专题练习）作图与证明：如图，已知和上的一点A，请完成下列任务： (1)作的内接正六边形； (2)连接，．判断四边形的形状并加以证明． 【答案】(1)解：如图，正六边形即为所求； (2)解：四边形是矩形，理由如下， 如图，连接， 六边形是正六边形， ，． ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ，， 是等边三角形， ， ． ， ， ， 平行四边形是矩形． 【分析】（1）由正六边形的中心角为，可得是等边三角形，继而可得正六边形的边长等于半径，则可画出的内接正六边形； （2）连接，由六边形是正六边形，则，故，则可得，证得四边形是平行四边形，然后由，，求得，则可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题5-3】.（2026·河南安阳·二模）如图，用尺规作圆内接正六边形、内接正三角形、内接正方形． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的判定和性质、正方形的判定定理，圆的相关知识作图即可． 【详解】解：如图，任作一条直径，再分别以点B，E为圆心，半径的长为半径画弧，分别交圆O于点A，C，D，F，连接，则正六边形即为所求． 证明：由作图可知， 如图，连接， 则为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 同理可证， 即六边形为圆内接正六边形； 如图，任作一条直径，再作半径的垂直平分线，交圆O于点B，C，连接，则正三角形即为所求． 证明：由垂径定理可知，， 即， 如图，连接，设， 由作图可知是的中点，则 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 即三角形为圆内接正三角形； 如图，任作一条直径，再过圆心O作线段AB的垂线，交圆O于点C，D，连接，则正方形即为所求． 证明：∵， ∴四边形是正方形， 即四边形是圆内接正方形． 【题型6】正多边形与平面直角坐标系的综合 1.核心知识点 　　正多边形在坐标系中的顶点坐标、旋转。 2.解题方法技巧 　　①利用正多边形的对称性、中心角求坐标； 　　②结合旋转、三角函数求顶点坐标； 　　③注意旋转次数与坐标的变化规律。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，正六边形的中心为原点，顶点A，D在x轴上，半径为2，求其各个顶点的坐标． 【答案】，，，，， 【分析】过点作轴于点，连接，先求出，，再根据等边三角形的判定与性质可得，利用勾股定理可得，然后根据点坐标与轴对称变换规律求解即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， ∵正六边形的中心为原点，半径为， ∴，，正六边形关于轴和轴对称， ∴是等边三角形，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又∵点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称、点与点关于轴对称， ∴，，，， 综上，正六边形各个顶点的坐标分别为，，，，，． 【变式题6-1】.（2026·河南三门峡·三模）定义：如图，在平面直角坐标系中，原点是正方形的中心，且轴，正八边形的顶点均在正方形的边上，我们称该正八边形内嵌于正方形．已知点的坐标为，将点绕点顺时针旋转，每次转，则旋转2027次后，点的坐标为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设与y轴正半轴交于点，与x轴正半轴交于点，首先，根据题意得出每旋转4次为一个循环，然后，得出旋转2027次后点的坐标与旋转3次后点的坐标相同，即为点F的坐标，再由点的坐标得的长，接着，证得四边形是正方形及，得，，即可得出点F的坐标及结论． 【详解】解：， 每旋转4次为一个循环． ， 旋转2027次后点的坐标与旋转3次后点的坐标相同，即为点F的坐标． 如图，连接，设与y轴正半轴交于点，与x轴正半轴交于点，    ∵点的坐标为， ∴， ∵原点是正方形的中心，且轴，正八边形的顶点均在正方形的边上， ∴，原点也是正八边形的中心， ∴四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴点的坐标为，即旋转2027次后，点的坐标为． 【变式题6-2】.（2026·广东广州·二模）如图，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，顶点C，F在x轴上，将正六边形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点A的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质求出旋转的周期，确定第2026次旋转结束时点的位置相当于初始位置顺时针旋转，再利用正六边形的性质和三角函数（或勾股定理）求出坐标即可． 【详解】解：每次旋转，， 旋转8次为一个循环周期． ， 第2026次旋转结束时，点的位置与第2次旋转结束时点的位置相同，即相当于将初始位置的点绕点顺时针旋转． 如图，设第二次旋转后的正六边形为． 六边形是边长为4的正六边形， ∴中心角为， ∴， ∴是正三角形， ， 顺时针旋转， ∴， 点C在轴正半轴上，， ∴．点在第一象限， ∵，， ∴垂直于x轴，设垂足为点． 在中，，， ， ． 点的坐标为． ∴第2026次旋转结束时，点A的坐标为． 【变式题6-3】.（2026·河南平顶山·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正六边形的中心与原点O重合，轴，交y轴于点G．将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点B的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转规律及中心角得到第4次旋转结束时点B的对应点为点D，连接，根据等边三角形的判定和性质得到是等边三角形，根据三角函数求出，，即可得到答案． 【详解】解：∵每次旋转，，， ∴第2026次旋转结束时点B的对应点与第4次旋转结束时点B的对应点相同， ∵正六边形中心角为， ∴第4次旋转结束时点B的对应点为点D， 如图，连接， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 即点B的对应点的坐标为． 【压轴素养题型】 【题型7】正多边形与圆的证明 1.核心知识点 　　正多边形性质的证明（角、边、弧的关系）。 2.解题方法技巧 　　①利用中心角相等推弧相等、弦相等； 　　②结合等腰三角形、全等三角形证明； ③综合圆周角定理、切线性质等。 【例题7】.（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，正方形内接于，M为上的一点，连接． (1)若，求证：M为的中点． (2)若正方形的面积为4，请直接写出的半径． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴M为的中点 (2) 【分析】本题考查正方形的性质、正多边形与圆等知识，推导出是解题的关键． （1）由正方形得，可得，由得，由得，从而可得结论； （2）由正方形的面积为4得正方形的边长为2，连接得是等腰直角三角形，可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵正方形的面积为4， ∴正方形的边长为2， 连接， ∴是等腰直角三角形， ∴，即圆的半径为． 【变式题7-1】.（2025九年级·全国·专题练习）如图，若折线ABCD是的内接正十边形的三条边，AD分别交OB，OC于点M，N．求证：． 【答案】 证明：如图，连接，． ∵折线是的内接正十边形的三条边， ∴ ，， ， ． 又， ， ． 【分析】本题考查了正多边形与圆、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平行线的判定等知识点，解题的关键是掌握平行线的判定． 连接，，先计算出正十边形的中心角得到，再根据三角形内角和定理结合等边对等角计算出，然后根据三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理结合等边对等角计算出，最后根据平行线的判定即可得到结论． 【详解】略 【变式题7-2】.（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，的内接正五边形的对角线与相交于点M． (1)写出图中所有的等腰三角形（不添加其他线段）； (2)求证：． 【答案】(1)，， (2)证明：∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 【分析】（1）根据正五边形的边角关系进行解答即可； （2）证明，则，由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵五边形为正五边形， ∴, ∴，都是等腰三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴都是等腰三角形． （2）略 【变式题7-3】.（24-25九年级下·湖南湘潭·自主招生）图中正五边形内接于中，连接，，，交于点F． (1)求证：； (2)求证：F点为的黄金分割点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正五边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及黄金分割点的证明；解题的关键是利用正五边形的弧与角的关系，通过等腰三角形性质和相似三角形（正确的是）推导黄金分割关系． （1）利用正五边形内角和与等腰三角形性质，求出和的度数，证明两角相等，从而得到； （2）通过证明，得到比例式，结合，推导出，证明为的黄金分割点． 【详解】（1）证明：∵ 五边形是正五边形， ∴ 每个内角为， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵的度数 ， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ． （2）证明：∵ 五边形是正五边形， ∴ ，， ∴ ，即， ∵的度数为度数与度数之和，为， ∴， 同理，， ∴ ，即， 又， ∴ ， ∴ ，即， ∵ ， ∴ ， ∴ 点为的黄金分割点． 【题型8】割圆术与数学文化 1.核心知识点 　　祖冲之割圆术、刘徽割圆术与圆周率估计。 2.解题方法技巧 　　①内接正多边形面积逼近圆面积； 　　②利用正多边形面积求圆周率近似值； 　　③结合历史文化情境理解数学思想。 【例题8】.（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图，将半径为的圆进行等分分割，拼接成如图所示图形．连接，交于点，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，平行四边形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设其中一个等分分割的三角形为，过点作于点，根据题意可得，，，，推出四边形是平行四边形，利用含角的直角三角形的性质计算出，从而得到，最后利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：如图，设其中一个等分分割的三角形为，过点作于点， 由题意得，，，， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ． 故答案为：． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·江苏盐城·期中）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（    ） A． B．3 C．3.14 D．3.13 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质． 根据正十二边形的性质求出中心角的度数，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出三角形的面积，求出正十二边形的面积即是圆的面积即可． 【详解】解：如图，设是正十二边形的一边，过点A作，垂足为M， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， 即的面积为3， 此时． 故选：B． 【变式题8-2】.（2026·安徽·模拟预测）南北朝数学家祖冲之用“割圆术”首次将“圆周率”精算到小数第七位，割圆术是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，以此可求得圆周率的近似值．如图，若的半径为1，则圆的面积与其内接正十二边形面积的差为_____． 【答案】/ 【分析】利用圆面积公式，根据已知半径求出圆的面积，把圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，通过正十二边形中心角求出为等边三角形，得到相关边长和高，求出单个等腰三角形面积，乘以12得到正十二边形面积，用圆的面积减去正十二边形的面积，得出面积差． 【详解】解：如图，将圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，点A，B，C为顺次三个分点，连接，交于点D， ∵圆的半径， ∴， ∵正十二边形的中心角为， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴正十二边形的面积为12个这样的等腰三角形面积之和，即：， ∴． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）根据以下素材，回答问题： 素材1：在魏晋时期，数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的周长与面积无限接近圆的周长与面积，进而求得较为精确的圆周率．刘徽形容“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣．” 素材2：“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和即有，其中a，b，c，d为正整数，则是x的更为精确的近似值．例如：已知，则利用一次“调日法”后可得到的一个更为精确的近似分数为；由于，可得，之后可以再次使用“调日法”得到的更为精确的近似分数． (1)任务1：①如图①，已知圆的内接正六边形可分为六个全等的等边三角形，每个三角形的边长均为圆的半径若将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，则可得的估计值为 ． ②如图②，已知圆的内接正十二边形可分为十二个全等的等腰三角形，且等腰三角形的顶角为若将圆内接正十二边形的面积等同于圆的面积，则可得的估计值为 ． (2)任务2：约公元前240年，阿基米德算得，已知，请在此基础上使用两次“调日法”得到的更为精确的近似分数． 【答案】(1)3；3 (2)3.1412 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，圆周长和面积，无理数的估算， 对于（1），根据圆的周长公式计算，再根据圆的面积公式可得估计值； 对于（2），根据“调日法”的理解，两次使用即可得出近似值. 【详解】（1）解：①根据题意可知， 解得； 故答案为：3； ②如图，过点B作，交于点C， ∵， ∴， ∴. ∵正十二边形的面积等同于圆的面积， ∴， 解得. 故答案为：3； （2）解：∵，即， 利用一次“调日法”可得的精确的近似分数为； 由于，得， 再利用一次“调日法”可得的精确的近似分数为. 易错点 　　1、误认为“各角相等的多边形是正多边形”，忽略各边也必须相等。 　　2、混淆中心角、内角、外角，中心角与每个外角相等、不等于内角。 　　3、构造直角三角形时，误把边长当作直角边，忽略应取半边长。 　　4、求面积时忘记中的系数。 　　5、尺规作正多边形时步骤不规范或边数搞错。 　　6、正六边形边长等于半径，误与其他正多边形混淆。 重点 　　1、掌握正多边形的定义及中心、半径、中心角、边心距等概念。 　　2、掌握正多边形中心角、内角、周长、面积的计算。 　　3、掌握半径、边长、边心距的关系。 　　4、掌握正多边形的尺规作图方法。 难点 　　1、正多边形与圆的综合计算与证明。 　　2、正多边形与坐标、最值问题的综合。 　　3、利用正多边形面积逼近圆面积（割圆术）的理解与应用。 【对应练习题】 第 1 页 共 1 页 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