专题1.1 一元二次方程的概念（3大知识点+6大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版九年级数学上学期

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的概念，系统梳理定义（整式、一元、最高次2）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及根的性质，构建从概念辨析到形式转化再到参数应用的学习支架。 资料以分层题型（基础必考与培优高频）为特色，通过辨析、参数求解等题型培养数学思维（推理意识、运算能力），新定义情境题（如“邻根方程”）和数学文化题提升数学语言表达能力，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

专题1.1 一元二次方程的概念 知识点 1：一元二次方程的定义   1. 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。   2. 三个必备条件（三者同时满足）   （1）是整式方程，分母、根号内不能含有未知数；   （2）只含有一个未知数；   （3）化简之后未知数最高次数等于 2。 知识点 2：一元二次方程的一般形式   1. 一般形式：（，为常数）。 名称 表达式 说明 二次项 为二次项系数， 一次项 为一次项系数，可为 0 常数项 可为 0，所有项包含前面符号 三种特殊形式   （1）：；   （2）：；   （3）：。 知识点 3：一元二次方程的解（根）   1. 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫根。   2. 把根代入方程，等式一定成立；一元二次方程可以没有实数根、有两个相等实数根、两个不相等实数根。   3. 若是方程的根，则一定满足，常用来整体代入、降次求值。 【基础必考题型】 【题型 1】一元二次方程识别辨析 1.核心知识点   一元二次方程的三个判定条件：整式方程、仅一个未知数、化简后未知数最高次数为 2；分式方程、根式方程、多元方程、高次方程均不是一元二次方程。 2.解题方法技巧   ①先把方程化简、去括号合并同类项；   ②依次核对：是否整式、未知数个数、最高次数；   ③注意，当时不再是一元二次方程。 【例题1】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 【变式题1-1】.（25-26九年级下·山东淄博·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，未知数最高次数为，不满足条件，∴A错误； 选项B中，含有两个未知数，不满足条件，∴B错误； 选项C中，只含1个未知数，未知数最高次数为，且为整式方程，满足所有条件，∴C正确； 选项D中，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，∴D错误． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山东日照·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个判断选项即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程分母含有未知数，不属于整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东济南·期末）下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断各选项即可，一元二次方程需满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程． ∵ 选项A 满足一元二次方程的所有条件，是一元二次方程； 选项B 未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求； 选项C 分母含有未知数，不是整式方程，不符合要求； 选项D 含有和两个未知数，是二元一次方程，不符合要求． 【题型 2】化为一元二次方程一般形式 1.核心知识点   一元二次方程一般形式；移项、去括号、合并同类项；各项系数包含前面正负符号。 2.解题方法技巧   ①去括号，展开多项式乘积；   ②全部项移到等号左侧，右侧等于 0；   ③按未知数降幂排列，再读取二次项、一次项、常数项。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A选项：是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； B选项：的二次项系数为1，常数项为2，故本选项不符合题意； C选项：的常数项为，故本选项不符合题意； D选项：将移项得，其中二次项系数为3，常数项为，故本选项符合题意； 故选D 【变式题2-2】.（25-26九年级上·湖南郴州·期中）关于的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 根据一元二次方程的定义直接解答即可． 【详解】解：∵ 方程是一元二次方程， ∴ ． 当时，方程为，符合定义． 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需同时满足次数和系数条件．根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2，且二次项系数不为零． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴ 且， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 【题型 3】由定义求参数的值 1.核心知识点   一元二次方程定义；最高次数等于 2，同时二次项系数不等于 0两个条件同时成立。 2.解题方法技巧   ①未知数的指数等于 2，列方程求字母；   ②二次项的系数不等于 0，排除增根；   ③两个条件联立，取公共解。 【例题3】.（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于参数的一元一次方程，解出即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程，得， 整理得， 移项得， 两边同除以，得． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 利用方程的根的定义，将代入方程即可直接求出的值． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， 即． 故选：A． 二、填空题 【变式题3-2】.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式后，即可确定一次项系数． 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·全国·期末）若关于的方程是一元二次方程，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，方程中未知数的最高次数必须为2，且二次项系数不能为零．因此，需要满足指数条件且系数条件． 【详解】解：由于方程是一元二次方程，则的最高指数， 解得或，即或． 同时，二次项系数，即． 因此，满足条件的值为． 当时，方程为，符合一元二次方程的定义． 故答案为：． 【题型 4】已知方程的根求参数 1.核心知识点   一元二次方程根的定义；代入法；二次项系数不为 0 的隐藏条件。 2.解题方法技巧   ①将已知根代入原方程，得到关于参数的等式；   ②求解参数；   ③务必回代检验二次项系数不能等于 0，舍去不符合条件的解。 【例题4】.（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义，最高次项指数必须为2且二次项系数不为零，由此确定且，求解m的值. 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， 解得或， 同时，二次项系数，即， ∴. 故答案为：. 【变式题4-1】.（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的概念得到，再把代入计算，由此得到a的值． 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，， ∴且， ∴ ． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·江苏无锡·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程，然后求的值即可，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴代入得，即， 解得：， 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2027 【分析】根据方程根的定义可推出，然后整体代入式子即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 【培优高频题型】 【题型 5】由方程的根整体代入求代数式的值 1.核心知识点   方程根的性质，整体思想，不需要求出未知数具体值。 2.解题方法技巧   ①把根代入方程，整理得到等式，把高次项用低次代数式替换；   ②观察所求代数式，凑出等式整体部分；   ③整体代入计算，避免解出未知数。 【例题5】.（2026·山东滨州·二模）已知是关于的一元二次方程的解，则________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原一元二次方程，求出的值，再对所求代数式变形计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， ． 【变式题5-1】.（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是______． 【答案】 【分析】将代入已知一元二次方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】是一元二次方程的一个解， 将代入方程得 ， 整理得 ， ． 故答案为． 三、解答题 【变式题5-2】.（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 (2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6 (3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 【详解】（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知a是方程的一个实数根，求的值． 【答案】2032 【分析】由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴． 【题型 6】新定义情境问题 1.核心知识点   一元二次方程定义、一般形式、根的综合理解；阅读理解，迁移新知。 2.解题方法技巧   ①读懂题目中新定义规则，提取条件；   ②结合一元二次方程知识点转化条件；   ③结合参数限制条件，完成求解或判断。 【题型 12】数学文化情境列一元二次方程 1.核心知识点   古文数学问题翻译，把古文描述转化为代数等量关系，建立一元二次方程模型。 2.解题方法技巧   ①翻译古文，把文字条件翻译成数学语言；   ②统一单位，设未知数，表达各个量；   ③根据等量关系列出方程。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)； 【分析】本题考查了一元二次方程的解，配方法的应用； （1）根据“方程”的定义进行判断； （2）①根据“方程”的定义把代入方程可得、的关系式； ②把代入后进行配方得到，然后根据非负数的性质解决问题． 【详解】（1）解：当时，， 一元二次方程是方程； 故答案为：是； （2）①该方程是方程， 即为方程的解， ， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． (1)判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2)m的值为0或2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，正确理解题意和熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）解方程得到，，再由“邻根方程”的定义得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：是． （2）解：， ， ∴，， 由题意得：，即或， 解得，， ∴m的值为0或2． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·安徽池州·期末）请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2028 【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果； （2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ，即 两边同时乘以得． ，； （2）解：， ， ， ， 即， ． 易错点 1、判断一元二次方程时，忽略整式方程条件，误把分式方程、根号内含未知数的根式方程当成一元二次方程；整理化简后才可以判断次数，不要直接看原始方程表面。 2、利用定义求参数，只考虑未知数次数等于 2，漏掉二次项系数不等于 0 的限制条件，导致多解。 3、读取各项系数时，漏掉系数前面的正负号，把负系数当成正数。 4、已知方程的根求出参数之后，忘记回代验证，忽略题目是一元二次方程的前提。 重点 1、掌握一元二次方程的定义，会依据三个条件识别一元二次方程。 2、掌握一元二次方程一般形式，熟练将方程化为一般形式，准确识别二次项、一次项、常数项以及对应系数。 3、理解一元二次方程根的含义，会代入根进行整体代入求代数式的值。 4、会从实际问题、数学文化情境中抽象出一元二次方程。 难点 1、降次思想：已知方程的根，对高次代数式做降次、整体代入求值。 2、整体换元：已知一个方程的根，迁移求变形后新方程的根。 3、实际问题建模：读懂复杂情境，挖掘隐藏的等量关系，正确列出一元二次方程。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程需要满足三个条件：整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故此选项符合题意； C、方程，即方程中未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题利用方程根的定义求解，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得：， 化简得， 解得． 二、填空题 3．若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为______． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得， 整理得， 解得． 4．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 5．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的解， 将代入方程得， 整理得， ． 三、解答题 6．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)．二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为 (2)．二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 【详解】（1）解：，     移项得：； 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为； （2）解：， ， 整理得：； 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． 7．判断关于x的方程是否为一元二次方程． 【答案】当时，关于x的方程是一元二次方程； 当时，关于x的方程不是一元二次方程． 【分析】先将原方程整理为整式方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义分类讨论即可． 【详解】解：， ， ， 当，即时，原方程不是一元二次方程； 当，即时，原方程是一元二次方程． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 一元二次方程的概念 知识点 1：一元二次方程的定义   1. 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。   2. 三个必备条件（三者同时满足）   （1）是整式方程，分母、根号内不能含有未知数；   （2）只含有一个未知数；   （3）化简之后未知数最高次数等于 2。 知识点 2：一元二次方程的一般形式   1. 一般形式：（，为常数）。 名称 表达式 说明 二次项 为二次项系数， 一次项 为一次项系数，可为 0 常数项 可为 0，所有项包含前面符号 三种特殊形式   （1）：；   （2）：；   （3）：。 知识点 3：一元二次方程的解（根）   1. 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫根。   2. 把根代入方程，等式一定成立；一元二次方程可以没有实数根、有两个相等实数根、两个不相等实数根。   3. 若是方程的根，则一定满足，常用来整体代入、降次求值。 【基础必考题型】 【题型 1】一元二次方程识别辨析 1.核心知识点   一元二次方程的三个判定条件：整式方程、仅一个未知数、化简后未知数最高次数为 2；分式方程、根式方程、多元方程、高次方程均不是一元二次方程。 2.解题方法技巧   ①先把方程化简、去括号合并同类项；   ②依次核对：是否整式、未知数个数、最高次数；   ③注意，当时不再是一元二次方程。 【例题1】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26九年级下·山东淄博·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·山东日照·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东济南·期末）下列关于的方程中是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【题型 2】化为一元二次方程一般形式 1.核心知识点   一元二次方程一般形式；移项、去括号、合并同类项；各项系数包含前面正负符号。 2.解题方法技巧   ①去括号，展开多项式乘积；   ②全部项移到等号左侧，右侧等于 0；   ③按未知数降幂排列，再读取二次项、一次项、常数项。 【例题2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·河南南阳·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数是3，常数项是，则这个一元二次方程可能是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·湖南郴州·期中）关于的方程是一元二次方程，则（   ） A．2或 B．2 C． D．0 【变式题2-3】.（25-26九年级上·北京·期中）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（   ）． A．1 B．－1 C． D．不存在 【题型 3】由定义求参数的值 1.核心知识点   一元二次方程定义；最高次数等于 2，同时二次项系数不等于 0两个条件同时成立。 2.解题方法技巧   ①未知数的指数等于 2，列方程求字母；   ②二次项的系数不等于 0，排除增根；   ③两个条件联立，取公共解。 【例题3】.（2026·河南·中考真题）已知是关于的方程的一个根，则的值为（     ） A．5 B． C．1 D． 【变式题3-1】.（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．4 B．2 C． D． 二、填空题 【变式题3-2】.（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·全国·期末）若关于的方程是一元二次方程，则_______． 【题型 4】已知方程的根求参数 1.核心知识点   一元二次方程根的定义；代入法；二次项系数不为 0 的隐藏条件。 2.解题方法技巧   ①将已知根代入原方程，得到关于参数的等式；   ②求解参数；   ③务必回代检验二次项系数不能等于 0，舍去不符合条件的解。 【例题4】.（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是______． 【变式题4-1】.（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【变式题4-2】.（25-26九年级上·江苏无锡·期末）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 【培优高频题型】 【题型 5】由方程的根整体代入求代数式的值 1.核心知识点   方程根的性质，整体思想，不需要求出未知数具体值。 2.解题方法技巧   ①把根代入方程，整理得到等式，把高次项用低次代数式替换；   ②观察所求代数式，凑出等式整体部分；   ③整体代入计算，避免解出未知数。 【例题5】.（2026·山东滨州·二模）已知是关于的一元二次方程的解，则________． 【变式题5-1】.（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是______． 三、解答题 【变式题5-2】.（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)． (2)． (3)． 【变式题5-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知a是方程的一个实数根，求的值． 【题型 6】新定义情境问题 1.核心知识点   一元二次方程定义、一般形式、根的综合理解；阅读理解，迁移新知。 2.解题方法技巧   ①读懂题目中新定义规则，提取条件；   ②结合一元二次方程知识点转化条件；   ③结合参数限制条件，完成求解或判断。 【题型 12】数学文化情境列一元二次方程 1.核心知识点   古文数学问题翻译，把古文描述转化为代数等量关系，建立一元二次方程模型。 2.解题方法技巧   ①翻译古文，把文字条件翻译成数学语言；   ②统一单位，设未知数，表达各个量；   ③根据等量关系列出方程。 【例题6】.（26-27九年级上·全国·课后作业）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·江苏扬州·期中）定义：如果关于的一元二次方程()有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． (1)判断：一元二次方程 (填“是”或“否”)为“方程”． (2)已知关于的一元二次方程() ①当、满足什么关系时，该方程是“方程”； ②若方程是“方程”，求代数式的最小值． 【变式题6-2】.（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如方程的两个根是，因为，所以这个方程是“邻根方程”． (1)判断：方程_____“邻根方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求的值． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·安徽池州·期末）请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值． (2)已知，求代数式的值． 易错点 1、判断一元二次方程时，忽略整式方程条件，误把分式方程、根号内含未知数的根式方程当成一元二次方程；整理化简后才可以判断次数，不要直接看原始方程表面。 2、利用定义求参数，只考虑未知数次数等于 2，漏掉二次项系数不等于 0 的限制条件，导致多解。 3、读取各项系数时，漏掉系数前面的正负号，把负系数当成正数。 4、已知方程的根求出参数之后，忘记回代验证，忽略题目是一元二次方程的前提。 重点 1、掌握一元二次方程的定义，会依据三个条件识别一元二次方程。 2、掌握一元二次方程一般形式，熟练将方程化为一般形式，准确识别二次项、一次项、常数项以及对应系数。 3、理解一元二次方程根的含义，会代入根进行整体代入求代数式的值。 4、会从实际问题、数学文化情境中抽象出一元二次方程。 难点 1、降次思想：已知方程的根，对高次代数式做降次、整体代入求值。 2、整体换元：已知一个方程的根，迁移求变形后新方程的根。 3、实际问题建模：读懂复杂情境，挖掘隐藏的等量关系，正确列出一元二次方程。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程的一个根为，则实数a的值为（） A． B． C．1 D．4 二、填空题 3．若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为______． 4．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 5．若关于x的一元二次方程的解是，则的值是______． 三、解答题 6．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)． 7．判断关于x的方程是否为一元二次方程． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $