专题16 利用二次函数解决实际问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”构建二次函数实际应用突破体系，通过真实情境问题培养数学建模与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1|“建模-求最值-验范围”三步法，强调自变量限制与建系技巧|从函数概念到实际问题转化，突出模型思想| |题型归纳|6类/6典例+18变式|每题型设“特征+方法”模版，如销售问题“利润公式+函数配方”|按“经济生活-物理运动-几何图形”递进，覆盖中考全场景| |压轴挑战|12题|综合多知识点，训练分类讨论与动态分析|从基础应用到复杂情境，提升数学思维的系统性与严谨性|

专题16 利用二次函数解决实际问题的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、销售问题 题型二、拱桥问题 题型三、投球问题 题型四、喷水问题 题型五、图形问题 题型六、图形运动问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：源于真实情境（如利润最值、抛物线形拱桥/隧道/投篮、面积最大、增长率等），需建立二次函数模型。 - 解题方法：审题设自变量与因变量，依据等量关系列函数式；用配方法或顶点公式（x=）求最值；注意自变量的实际限制（如正整数、非负、范围约束）。 - 易错提醒：忽略自变量取值范围导致最值取不到顶点；抛物线形问题未合理建系；利润问题混淆“单件利润”与“总利润”；单位未统一。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、销售问题 典例1 （2026·山东青岛·中考真题）某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计划投资生产某种产品．投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并且生产的产品能全部售出．经调研，投产第一年该产品的总成本（万元）与产量（万件）之间近似满足二次函数关系，部分数据见下表： 产量（万件） … 15 18 20 … 总成本（万元） … 285 336 360 … （总利润=总销售额－总成本） (1)求投产第一年该产品的总成本与产量之间的函数关系式； (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为元时，总利润会随着产量的增大而增大，则的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)生产24万件时总利润最大，最大总利润是96万元 (3)m的最小值是24 【分析】（1）代入两组已知的产量与总成本的对应值，得到关于的二元一次方程组，解方程组求出二次函数的系数即可得到函数解析式； （2）根据总利润的计算公式列出利润关于产量的函数，结合二次函数的开口方向、对称轴与产量的取值范围，求出最大利润； （3）先列出总利润关于产量和售价的函数关系式，根据二次函数的单调性与对称轴的关系，结合产量的取值范围列不等式，求解得到的最小值． 【详解】（1）解：将和代入 得： 解得： 总成本与产量之间的函数关系式为． （2）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： ． 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 距离对称轴比距离对称轴远， 当时，取得最大值， ． 答：生产该产品24万件时总利润最大，最大总利润是96万元． （3）设生产该产品万件时，总利润为万元，根据题意得： 对称轴为直线． 总利润随着产量的增大而增大，且， 对称轴， 解得：． 的最小值为． 题型模版 1.特征：通过价格调整影响销量，求利润最大化的定价或销量，常列出利润=单价×销量-成本。 2.方法：设涨价或降价为x，用含x的式子表示单价和销量，建立利润的二次函数，配方求顶点得最值。 变式1-1（2026·黑龙江大庆·中考真题）某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，在确保每箱苹果的售价不低于元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于元，经市场调查发现，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系如图所示． (1)求平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并写出的取值范围； (2)求平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润；最大利润是多少元？ 【答案】(1)函数关系式为，的取值范围是． (2)函数关系式为，当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润，最大利润为元． 【分析】（1）根据图像，平均每天销售量（箱）与每箱苹果的售价（元）之间是一次函数关系，设函数解析式代入已知点求解即可，售价需满足不低于进价元，且不高于物价部门规定的元； （2）根据平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），将有关代数式代入公式中，可以得到平均每天的销售利润（元）与每箱苹果的售价（元）之间的函数关系式为开口向下的二次函数，结合的取值范围和二次函数的对称轴即可确定的最大值． 【详解】（1）解：由图像可知，与是一次函数关系， 设函数解析式为， 已知图像上两点和， 代入解析式中可得 ， 解得， 函数关系式为． 根据题目条件，售价需不低于每箱进价元，且不高于物价部门规定的元， 的取值范围是． （2）根据利润的计算公式：平均每天的销售利润（元）每箱苹果的利润平均每天的销售量（箱），即． 将（1）中得到的代入利润公式，整理得， ， 这是一个开口向下的二次函数，其对称轴为． 的取值范围是， 该区间在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，取得最大值，（元）， 当每箱苹果售价为元时，可获得最大利润元． 变式1-2（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每月产量的增长率为 . (2)应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【详解】（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 变式1-3（2026·山西阳泉·模拟预测）综合与实践 【问题情境】随着家居收纳需求不断增加，某家居生活馆销售一款环保折叠收纳箱，每个进价为25元．市场规定：销售单价不低于进价，且单个利润不超过进价的．一段时间后，该商家发现这款环保折叠收纳箱的每周销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元/个）之间的关系满足一次函数，其对应关系如下表：    销售单价x/（元／个） 30 32 34 36 38 销售量y/个 200 180 160 140 120 【问题解决】 (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (2)设每周销售这款环保折叠收纳箱获得的利润为w（单位：元）． ①求w与x的函数关系式． ②若该家居生活馆希望每周销售这款环保折叠收纳箱的利润达到1500元，求这款环保折叠收纳箱的销售单价． (3)当销售单价定为多少元时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)①；②这款环保折叠收纳箱的销售单价为35元/个； (3)当销售单价为37元/个时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大，最大利润是1560元． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式，并结合题意确定自变量x的取值范围； （2）①根据“利润单个利润 销售量”列出二次函数关系式； ②令利润函数等于，解一元二次方程，并结合自变量取值范围确定解； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，求出利润的最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：根据题意，设y与x的函数关系式为, 将，分别代入中， 得解得 ∴y与x的函数关系式为． ∵，且， ∴； （2）解：①根据题意，得； ②当时， ， 解得，， ∵， ∴， 答：这款环保折叠收纳箱的销售单价为35元/个； （3）解：， ∵， ∴抛物线开口向下． ∵对称轴为直线 ， ∴当时，w随x的增大而增大． ∴当时，w有最大值，最大值为1560． 答：当销售单价为37元/个时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大，最大利润是1560元． 题型二、拱桥问题 典例2 （25-26九年级下·陕西西安·期中）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆与具有相同的抛物线形状．如图，以桥面水平方向为轴，以两钢缆主塔为轴，建立平面直角坐标系．已知所在抛物线与所在抛物线关于轴对称，钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． (1)求钢缆所在抛物线的函数表达式． (2)为提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆的处（在的右侧）与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲梁．已知加劲梁的长为，求加劲梁与主塔的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出最低点和的坐标，代入解析式即可； （2）将的纵坐标代入即可求出与主塔的水平距离． 【详解】（1）解：钢缆的最低点到桥面的距离是，两钢缆最低点，之间的距离是，． ∴点的坐标为，即的顶点为， 又∵，在轴上， ∴，在上， 设的抛物线解析式为顶点式：， 将代入得：， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解： ∵与关于轴对称， ∴的顶点，的解析式为：，即为； ∵垂直桥面（轴），长度为， ∴点纵坐标，代入解析式得： ； 解得， 在右侧，即， ∴加劲梁与主塔的水平距离为． 题型模版 1.特征：桥拱呈抛物线形，已知跨径或拱高，求抛物线解析式或特定点的水位高度。 2.方法：建立坐标系，设抛物线顶点式或一般式，代入已知点（如跨径两端、拱顶）求解析式，再代入横坐标求高度。 变式2-1（2026·陕西西安·模拟预测）如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据得，根据桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为，可设抛物线解析式为，求解即可； （2）根据题意，得当时，，求解即可； 【详解】（1）解：根据得，桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为， 故、、， 设抛物线为      解得， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为； （2）解： ∴当时，， 解得， ∴横幅长为：米； 变式2-2（2026·陕西西安·模拟预测）“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景．已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A，B的距离为8米，桥拱最高点C到水面的距离为米．如图，以水面为x轴，的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为．若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计），当灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为时，形成的景色最美，求此时水面的宽度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）设，则，得出纵坐标为：，即，确定，再根据题意得出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：轴垂直平分，， ，， 由题意得， 设该抛物线的函数表达式为，将代入， ， 解得： 该抛物线的函数表达式为； （2）解：如图所示： 设， ∴， ∴点E的横坐标为x， ∴纵坐标为：，即， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离， ∴， ∵灯饰C与其水中倒影之间的距离与水面宽度比为，， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴． 变式2-3（2026·江苏盐城·二模）阅读下列素材，并完成任务： 背景 中国的石拱桥，是刻在大地上的诗行，每一道弧线都是古人写给山河的情诗． 素材1 已知河面上的拱桥形状为抛物线，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为3米，水位线宽为6米． 素材2 如图1，现有一艘长为10米，宽米的货船（可近似看成长方体）正从拱桥下方通过，露出水面的横截面为长方形，米．（假设船体货物接触到拱桥时，可以通过拱桥） 素材3 船行走时一般不会导致水位的变化． (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，如果上方的货物横截面为，，米，请通过计算判断此时小船能否通过拱桥？若不能，请说明理由，若能，求出水面上升高度最多不能超过多少米？ (3)船面上方装有如图3所示的货物（可近似看成直五棱柱），横截面为五边形，其中，，且E、A、B共线，F、D、C共线，已知当同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米，请求出最多能装多少体积的货物？ 【答案】(1)以的中点为原点建立平面直角坐标系： ∵水位线与拱桥最高点的距离为3米，米， ∴抛物线的顶点为，，， 设抛物线解析式为， 将代入得：，解得：， ∴抛物线解析式为． (2)能通过拱桥，水面上升高度最多不能超过米 (3) 【分析】（1）根据题意作出对应的平面直角坐标系，再结合图象和已知条件利用待定系数法即可求出结果； （2）根据已知条件结合图象作出船只通过拱桥的临界点，通过计算得出临界点的坐标，再与比较得出结果；要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A和点E需恰好在抛物线上，设，则，将点代入抛物线解析式求出t的值，从而得出最终结果； （3）通过设未知数结合图象求出五边形的面积，再得出货物的体积，根据题意列出列出方程即可得出最终结果． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，如图， 令，则， 解得：，， ∴，， ∵米， ∴， 令，则， ∴, ∵， ∴能通过拱桥， 要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A和点E需恰好在抛物线上， 如图，设，则， 将点代入抛物线得： ， 解得：， ∴， ∴水面上升高度最多不能超过（米）． （3）解：如图，当船未装货物时，点G位于抛物线的顶点，即，设与y轴交点H， ∵米， ∴，， 令，则， ∴， 设船会下沉x米， ∴，， ∴ ， ∴， ∵同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米， ∴， 解得：， ∴． 题型三、投球问题 典例3 （2026·江苏宿迁·中考真题）投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分．如图，某人掷铅球时，铅球距地面的高度与距投掷点的水平距离之间的函数表达式为． (1)当投掷的距离为时，求的值； (2)当时，铅球处于下落状态，求的取值范围； (3)当时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据可知当投掷的距离为时，铅球落地，即时，，然后将点代入二次函数解析式即可求出a的值． （2）由题意可知抛物线对称轴直线在的左侧，且当时，，然后列出不等式组求解即可． （3）根据函数图象，分三种情况求解，即对称轴在4的右侧；对称轴在2的左侧；对称轴在2和4之间，然后结合二次函数的图象和性质分别求出最大值和最小值，结合已知条件列出方程求解并进行取舍即可得出答案. 【详解】（1）解：由题意可知，当投掷的距离为时，铅球落地，即时，， 将点代入，得： ， 解得． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴直线为， ∵当时，铅球处于下落状态， ∴抛物线的对称轴直线，且当时，， 解得：． （3）解：， ∴抛物线的对称轴直线为， 分三种情况： （1）当对称轴时，即，当时，y随着x的增大而增大， 即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得， （2）当对称轴时，即，在时，y随着x的增大而减小， 此时即当时，， 当时，， 根据题意可知：， 解得，（舍去） （3）当时，即， 当时离对称轴直线较时离对称轴直线远时， 则当时，， 即当时，， 根据题意可知：， 解得(舍去)或． 当时离对称轴直线较时离对称轴直线近时， 则当时， 当时，， 根据题意可知：， 解得(舍)或（舍）． 综上：或． 题型模版 1.特征：物体（如篮球、铅球）运动轨迹呈抛物线，求落地点距离或最大高度。 2.方法：建立坐标系，设抛物线顶点式或一般式，代入出手点、最高点或落地点坐标求解析式，再求所需值。 变式3-1（26-27九年级上·北京·课后作业）发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙； 理由如下：由题意知，点的坐标为， ； 当时，， 石块能飞越防御墙． 【分析】（1）由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； （2）确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； 【详解】（1）解：由题意得，函数的最大值为10，即， 将点代入抛物线，得， 解得， 此抛物线的表达式； （2）略 变式3-2（2026·宁夏银川·三模）2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 【答案】(1) (2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米． (3)能 【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解； （2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． （3）分别计算，的函数值，进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 变式3-3（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分． 【分析】根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； （2）由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； （3）略 题型四、喷水问题 典例4 （25-26八年级下·河南开封·期末）某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 题型模版 1.特征：喷水水流呈抛物线形，求喷水最大高度或水柱落地点距离，常结合坐标系。 2.方法：以喷口为原点或合适位置建系，设抛物线顶点式或一般式，代入已知点求解析式，再求顶点纵坐标或令y=0解x。 变式4-1（2026·山西长治·三模）某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 【答案】(1) (2)①米；②需要做防水处理区域的高度为2.5米 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为．利用待定系数法求出．令，则，解方程即可得到答案；②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为．待定系数法求出．令即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，得，，顶棚所在抛物线的顶点的横坐标为4． 故可设顶棚所在抛物线的解析式为． 将，分别代入， 得 解得 顶棚所在抛物线的解析式为． （2）解：①抛物线的顶点坐标为， ． 故可设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得， 解得， ． 令，则， 解得， ， （米）． ②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得，解得， ． 令，则， 米，即需要做防水处理区域的高度为2.5米． 变式4-2（2026·河南平顶山·三模）某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】(1) (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出当时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的，比较后即可得出结论； （3）求出抛物线上时，的值，与船的高度比较后得出结论. 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． （2）略 （3）略 变式4-3（2026·山西朔州·三模）综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力，让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄． 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水柱的发射点A距离地面高度为，已知水柱在水平方向前进（即的距离）时，水柱达到最大高度为（即的高度），最终水柱在水平距离为的落地点落到地面点D处．以水柱轨迹在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： (1)求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式． (2)若小明想用水枪喷中水平距离为、高度为的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能， 理由：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得， 解得， ∴， 当时，， ∵， ∴水柱不能喷中该目标顶端． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）中函数解析式求出点M的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，然后把代入直线的解析式，求出函数值，最后与目标高度对比，即可得出结论． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式为； （2）略 题型五、图形问题 典例5 （25-26九年级上·贵州遵义·期中）某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？设米（）．下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题： (1)试用含的代数式表示线段BC的长______米； (2)若围成园地面积为640平方米，求的值； (3)请判断谁的说法正确，为什么？并求出围成园地面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)小英说得正确，围成的园地的最大面积为平方米 【分析】（1）利用栅栏总长为69米，栅栏的长度加上门的宽度再减去的长度即可得到的代数式； （2）根据“矩形面积 ”解一元二次方程即可； （3）将园地的面积表示出来得到二次函数，将二次函数转化为顶点式，根据二次函数性质求得围成园地面积的最大值，以及此时的长度，判断围成的园地的属于哪种特殊平行四边形． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴（米）， 则（米）； （2）解：由题意列式为， 解得； （3）解：设园地的面积为， 则， ∵， ∴当时，围成的园地面积最大，为平方米， 此时米，米， ∵， ∴围成的园地是矩形， ∴小英说得正确，围成的园地的最大面积为平方米． 题型模版 1.特征：用二次函数表示图形面积、周长或体积，求最值或范围，常涉及矩形、三角形。 2.方法：设几何量（如边长）为变量，用函数表示目标量，转化为二次函数求顶点或区间最值，注意取值范围。 变式5-1（2026·四川广元·二模）如图，农户家有两面垂直的院墙，墙角内侧N处有一棵果树，距两侧院墙的距离分别为10米和5米．现计划借助这两面院墙（足够长），用总长为24米的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆只围、两边），果树在围成的区域内，设为x米． (1)菜园的面积能否为119平方米？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (2)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围，并求出当x为何值时，菜园面积最大？ 【答案】(1)菜园面积能为119平方米，此时 (2)，当时，菜园面积最大 【分析】（1）设为x米，则米，根据矩形的面积公式列出方程求解； （）根据矩形的面积公式列出与的函数解析式，再根据题意求出的取值范围，进而根据二次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：设为x米，则米， 由题意得，， 即， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； ∴， 答：菜园面积能为119平方米，此时； （2）解：， ∵点N距两侧院墙的距离分别为10米和5米， ∴， 解得， ∴， ∵二次项系数， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，菜园面积S的值最大． 变式5-2（25-26九年级下·福建龙岩·阶段检测）某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面墙用篱笆围成矩形菜地，如图所示，墙最大可利用长度为米，菜地中间用篱笆隔开，在边上设计了两个宽度为米的小门，方便同学们出入，边和两扇小门不用篱笆，一共用了米长的篱笆. (1)若设菜地的宽为米，则__________米（用含的代数式表示）；且的取值范围是__________； (2)若围成的菜地面积为平方米，求此时的宽. (3)求这块菜地的最大面积？ 【答案】(1)， (2)米 (3)平方米 【分析】（1），可得米，结合，可求得的取值范围； （2）根据题意可得方程，解方程即可求得答案； （3）设菜地的面积为平方米，可得，根据二次函数的图象和性质，即可求得答案； 【详解】（1）解：根据题意可知． 根据题意可知米． 根据题意可知，即 解得． （2）解：根据题意，得． 解方程，得，（舍去）． 所以米． （3）解：设菜地的面积为平方米． 根据题意，得． 因为是的二次函数，该函数图象开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，且， 所以当时，可以取得最大值，最大值为平方米． 变式5-3（2026·湖北襄阳·一模）某渔场用长的渔网围成一个“”型区域，如图，它是由两个面积相等的矩形和组成（其中边与边的一部分重合，重合部分仅计一次），且为的中点，设． (1)用含有的式子表示的长； (2)求围成的“”型区域的最大面积； (3)在（2）的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每作为1个面积单位，现有两种出租方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部租出；若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年． 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿元用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性拿12600元用于环保升级．若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入，求的取值范围（每年净收入出租费用环保升级费用）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据矩形和面积相等，求出与之间的等量关系，再根据用长的渔网围成一个“”型区域，即可求出的长； （2）先列出关于的函数解析式，根据二次函数的最值，求面积的最大值； （3）分别求出方案一，方案二的每年净收入，再根据方案一的每年净收入大于方案二的每年净收入列不等式求解． 【详解】（1）解：为的中点， ． ∵矩形和面积相等， ， ， ． ， ， ． ． （2）解：∵矩形和面积相等， ． 当时，． （3）解：∵每作为1个面积单位， ∴为30个面积单位． 方案一每年净收入：（元）， 方案二每年净收入：（元）， 则，解得． 题型六、图形运动问题 典例6 （25-26九年级下·广西防城港·期中）综合与实践 为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动．如图1，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且均以的速度运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．连接．以为边向下作正方形，设点的运动时间为（），正方形和四边形重合部分图形的面积为． (1)【直观感知】的长为________（用含的代数式表示）． (2)【初步探究】如图2，当落在上时，求的值． (3)【深入研究】如图3．当在的下方时，求与之间函数关系式． (4)【问题解决】在点，的运动过程中，正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是多少？（直接写出结果） 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）易得为等腰直角三角形，进行求解即可； （2）易得为等腰直角三角形，得到，再根据，列出方程进行求解即可； （3）设，分别交于点，则为等腰直角三角形，四边形为矩形，求出的长，根据题意，得到重叠部分的面积即为矩形的面积，进行求解即可； （4）分两种情况，进行讨论，求出最值即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∵， ∴； （2）解：∵等腰中，，， ∴， ∵正方形，落在上 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，设，分别交于点， 则为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∵，； ∴， ∴， ∴； （4）解：当时，重叠部分的面积即为正方形的面积， ∴， ∴当时，值最大为； 当时，由（3）可知：； ∴当时，值最大为； ∵， ∴正方形和四边形重合部分图形的面积的最大值是. 题型模版 1.特征：几何图形按规律运动（如平移、旋转），面积或长度随时间变化，求最值或特殊状态。 2.方法：设运动时间为t，用含t式子表示动态边长，建立面积或长度的二次函数，求顶点或特定值。 变式6-1（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）如图，在中，，，，动点从点A开始沿边向点B以每秒的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以每秒的速度移动，如果两点分别从两点同时出发，设运动时间为，那么的面积随出发时间如何变化？ (1)用含的式子表示：___________，___________，___________． (2)写出S关于的函数解析式及的取值范围； (3)当取何值时，的面积有最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)，， (2) (3)当时，的面积有最大值，最大值为36 【分析】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，列代数式，正确列出S关于t的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意直接列式即可作答； （2）根据（1）中结果，结合三角形的面积公式即可作答； （3）将（2）的结果配成顶点式，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意有：，， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：由（1）得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴关于的函数解析式为 （3）解：∵，， ∴当时，的面积有最大值36． 变式6-2（2026·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点运动；同时点从点出发，以每秒2个单位的速度沿方向运动，以、为邻边构造平行四边形．设点运动的时间为秒，． (1)求当为何值时，？ (2)设五边形的面积为，求关于之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使得四边形为菱形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）由题意易得，，则有，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质建立方程进行求解即可； （2）分别过点作，，连接，由题意易得，则有，，，然后可得，则有，，进而根据割补法可进行求解； （3）由题意易得，，，，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意知：，，则有， ∵，，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， ． （2）解：分别过点作，，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ， ， ，， ， 同理可得， ， ， ，． ， ，， ， ， ； （3）解：当四边形为菱形时，， ，，，， ，即， ， （舍）． 变式6-3（25-26九年级下·广西河池·开学考试）如图1，在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以，为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 【初步感知】 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， ； ②S关于t的函数解析式为 ； 【深入探究】 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图2所示． ①m的值为 ； ②求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值； 【延伸探究】 （3）在（2）的条件下，当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，当，且时，求的值． 【答案】（1）①1；②；（2）①16；②（），最大值为；（3） 【分析】（1）①作于点，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；②同①法计算即可； （2）①把代入（1）②中的解析式，计算即可；②待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据当时，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）①点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．设运动时间为， 当时，，， 作于点E，如图1，    ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为：； ②由题意，得：，， ∴， ∴； （2）①由图象可知，当时，此时点P恰好运动到点C， 由（1）②可知：， 故； ②由图象和①可知，抛物线过，， 将两点坐标分别代入，得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为（）； 当时，S取得最大值，最大值为； （3）由题图2可知，点P与点C重合时，，点P与点B重合时，， ∴，， 由题意可知，， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴，， 当时，， ∴当时，的值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·天津北辰·二模）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 … y 0 6 8 n … 有下列结论： ①； ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米； ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米； ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米． 其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用待定系数法可求出二次函数解析式为，可判断①；②分别求出当时，两函数对应函数值，可判断②；联立得两函数解析式，求出x的值，可判断③；求出小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差与x的函数关系，再利用二次函数的性质，可判断④． 【详解】解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，，故①正确； ②对于，当时，， 对于，当时，， ∴当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为米，故②错误； 联立得：， 解得：， ∴小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米，故③正确； 小球在飞行的过程中与斜坡的高度差， ∵， ∴当时，h的值最大，最大值为， 即小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为米，故④错误； 综上所述，正确的有①③． 2．（2026·天津·中考真题）矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 二、填空题 3．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 4．（2026·山西长治·一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 【答案】 【分析】由题意得，，求出抛物线解析式为，得，从而求出拱架最高点距底部的高度． 【详解】解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴拱架最高点距底部的高度为米． 三、解答题 5．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，某农户准备用长24米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米．设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为平方米． (1)求关于的函数表达式； (2)山羊的活动范围的面积能否达到35平方米？ (3)求出山羊活动范围面积的最大值． 【答案】(1)（） (2)面积能达到35平方米 (3)最大值为平方米 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是正确求出函数解析式和列出一元二次方程． （1）先用表示出，再由长方形面积公式建立函数关系式； （2）令，代入整理得，再解方程即可； （3）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：长方形对边相等， ， ， . ， ， ， 解得 ， 的取值范围为. 关于的函数表达式为（）； （2）解：令，代入得， 整理得：， 解得或，均在范围内， 面积能达到35平方米； （3）解：二次函数中，， 将，代入得， 将代入函数表达式得， 最大值为平方米． 6．（2026·广东梅州·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为675平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位60个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是多少元？ 【答案】(1)道路的宽为3米 (2)当每个摊位的日租金上涨50元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是12500元 【分析】（1）设道路的宽为米，根据“铺地毯防污的面积为675平方米”列方程求解即可； （2）设日租金上涨元，美食节的日租金收入为w，根据题意表示出w，然后利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设道路的宽为米， 根据题意得，， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为3米； （2）解：设日租金上涨元，美食节的日租金收入为w， 根据题意得：， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，w有最大值12500， 答：当每个摊位的日租金上涨50元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是12500元． 7．（25-26九年级上·陕西西安·期末）某公园计划修建一个如图1所示的以为半径的圆形喷水池，喷水池中心处立着一个高为的实心石柱，喷水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，与池面的距离为．在距离池面的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流． (1)求圆形喷水池的半径． (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少？ 【答案】(1)圆形喷水池的半径为 (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质；结合题意熟练运用二次函数的性质解题是关键． （1）通过顶点坐标求得二次函数解析式；再令，解一元二次方程，得出，保留符合题意的值，即解得答案； （2）根据题意，令，解一元二次方程求出，保留符合题意的值，即解得答案． 【详解】（1）解：以为原点建立平面直角坐标系，则第一象限抛物线的顶点的坐标为． 设第一象限抛物线的函数表达式为． 将点代入，得，解得． ． 令，则， 解得或（不符合题意，舍去）， 圆形喷水池的半径为． （2）解：令，则， 解得或（不符合题意，舍去）， 为了不影响水流，小水池的半径不能超过． 8．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，在等腰直角三角形中，，边上的高．点P从点A出发，沿以的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作，交边或边于点Q，以为边向下作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为． (1)求的长； (2)直接写出点M落在边上时t的值； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）利用等腰三角形底边三线合一和直角三角形斜边中线性质可得，即可求得的长； （2）用含t的式子表示出和，建立方程求解即可； （3）分类讨论：时，正方形与重叠部分图形的面积为正方形的面积；时，重合面积为正方形的面积减去多出等腰直角三角形的面积；时，重合面积为正方形的面积的一半． 【详解】（1）解：在等腰直角三角形中，，边上的高． 是等腰直角三角形斜边上的中线， ； （2）解：是等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，     如图：点M落在边上时， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知， ，解得：； （3）由（2）知，当时，如图： 为正方形的面积，即； 当时，如图： 由题意可知：和均为等腰直角三角形， ， ； 当时，如图： ； ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、正方形的性质、实际问题与二次函数、分段函数的定义，分类讨论思想等知识点，掌握这些是解题的关键． 9．（2026·新疆喀什·一模）艾德莱斯绸是国家级非物质文化遗产．某合作社通过车间直销、线下门店、线上直播三条渠道销售艾德莱斯绸，具体情况如下： ①生产艾德莱斯绸的成本为30元/米，车间固定成本为800元/天； ②线下门店固定开支为500元/天．根据市场调研发现，售价定为40元/米时，每天可售出80米，售价每增加1元，每天售出减少2米； ③线上直播销售无固定开支，且每销售1米可获得40元的利润． (1)若合作社以50元/米的价格，通过车间直销的方式售出60米，则当日车间直销利润为______元； (2)线下门店决定提高售价来增加利润，要使线下门店每天的利润为700元，且尽量让利于顾客，售价应定为多少元/米？ (3)“文化和自然遗产日”期间，为扩大品牌影响力，将推出线上公益活动：线上每售出1米，向学校非遗社团捐赠t元（），已知线上日销售量Q（米）与捐赠额t（元）之间的关系为，当线上销售利润最大时，捐赠额为多少元/米？最大利润是多少？ 【答案】(1)400 (2)售价应定为50元/米 (3)当线上销售利润最大时，捐赠额为10元/米，最大利润为9000元 【分析】（1）根据“利润（售价成本）销量固定成本”直接求解； （2）根据“总利润单个利润数量固定开支”将关系式列出来，求解后根据要尽量让利于顾客来确定所求的值； （3）根据“总利润单个利润数量固定支出”列出二次函数，利用二次函数开口向下，顶点处取得最大值求解． 【详解】解：（1）当日车间直销获得的利润为（元）． （2）设线下门店售价提高x元/米， 由题意可列方程，， 整理可得， 解得或， ∵要尽量让利于顾客，∴， ∴售价为元． 答：售价应定为50元/米； （3）由题意，线上直播销售每米实际利润为元，设利润为元，由题意可得， ， ∵，且， ∴当时，最大，此时． 答：当线上销售利润最大时，捐赠额为10元/米，最大利润为9000元 10．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线． 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图． 设抛物线的表达式为． … … … … (1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式； (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离； (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米． 【答案】(1) (2)，投掷的距离为米 (3)改进后投掷实心球的距离能超过10米 【分析】（1）由表格分析出对称轴和顶点坐标，再将一个点坐标代入求出的值即可； （2）由（1）可得顶点坐标，令求出对应的的值即可； （3）先根据题意写出新的函数表达式，再令求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 结合表格可知，顶点坐标为， ∴，，， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米； （3）解：根据题意，改进后，， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）． ∵， 又∵， ∴， ∴． 答：改进后投掷实心球的距离能超过10米． 11．（25-26九年级上·北京·期末）某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米．以O为原点，地面所在的水平线为x轴，墙面所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)已知车棚的宽度为15米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上安装若干个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）． ①请通过计算，回答至少需要 个消防喷淋头； ②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离d的取值范围． 【答案】(1) (2)①4；②． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点． （1）由题意可知：顶点M的坐标为，点E的坐标为，然后运用待定系数法求解即可； （2）①设抛物线上横坐标为4的点为P，则，得到一个喷淋头在高度覆盖的水平宽度为4米，据此求解即可； ②由题意可设消防喷淋头N的最外层水柱所在抛物线的表达式为，当抛物线经过点或时，求得或，据此计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：顶点M的坐标为，点E的坐标为， 则可设最外层水柱所在抛物线的表达式为， 将点代入，得，解得， 最外层水柱所在抛物线的表达式为； （2）解：①∵， ∴当时，，解得或， 设抛物线上横坐标为4的点为P，则， ∴一个喷淋头在高度覆盖的水平宽度为4米， ， ∴至少需要4个消防喷淋头； ②由题意可设消防最后一个喷淋头N的最外层水柱所在抛物线的表达式为， 当抛物线经过点时，有， 解得（舍去）或， 此时米， 米． 当抛物线经过点时，有， 解得（舍去）或， 此时米， 米． 综上所述，在满足所需条件时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离的取值范围为． 12．（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系． 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线和矩形构成（如图1所示），抛物线最高点到地面的距离为5米，为中点，以所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，已知米，米． （1）求抛物线的表达式； 【应用模型】 （2）为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，，垂直地面，平行地面，点，在抛物线上，如图2所示），通过计算说明“支撑架”安装在什么位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ （3）为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线内部建两个正方形的窗户，（正方形的边和正方形的边都在上，点，都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米，如图3），求两个窗户的面积的和．（精确到1米，参考数据：，，） 【答案】（1）；（2）当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米；（3）5平方米 【分析】本题考查了二次函数的应用，求函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，点代入求解即可； （2）设点的坐标为，由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，得到，， 则 “支撑架”的长度为：，得出答案； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为，，求解即可得出答案． 【详解】解：（1）设抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）设点的坐标为， 由题意得点坐标，点坐标，点的坐标，，， “支撑架”的长度为：， ，， 当时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米． 即当“支撑架”，安装在与轴水平距离米的位置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为米； （3）设正方形窗户的边长为，根据题意得点的坐标为， 点在抛物线上， ， 整理得， 解得或（舍去）， 两个窗户的面积和（平方米）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题16利用二次函数解决实际问题的六类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，】 助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夺实解题根基 题型一、 销售问题 题型二、拱桥问题 题型三、投球问题 题型四、喷水问题 题型五、图形问题 题型六、图形运动问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：源于真实情境（如利润最值、抛物线形拱桥隧道投篮、面积最大、增长率等)，需建立二次 函数模型。 解题方法：审腿设自变量与因变量，依据等量关系列函数式：用配方法或项点公式(=一2。)求最值： b 注意自变量的实际限制（如正整数、非负、范围约束）。 ~易错提醒：忽略自变量取值范围导致最值取不到顶点：抛物线形问题未合理建系；利润问题混淆“单件 利润”与“总利润”；单位未统一。 同题型归纳一精讲典型题法，务尖解题根送 题型一、销售问题 典例1 (2026山东青岛·中考真题)某乡镇企业积极响应国家乡村全面振兴号召，依托本地特色资源，计 1/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 划投资生产某种产品.投产第一年企业需要至少生产13万件产品，受产能限制，产量不超过24万件，并 且生产的产品能全部售出.经调研，投产第一年该产品的总成本y(万元)与产量x(万件)之间近似满 =-x2+bx+c(13≤x≤24) 足二次函数关系 部分数据见下表： 产量x(万 15 20 件) 总成本y 285 336 360 （万元) (总利润=总销售额一总成本) (I)求投产第一年该产品的总成本y与产量x之间的函数关系式： (2)投产第一年，如果该产品每件售价为20元，生产该产品多少万件时，总利润最大？最大总利润是多少？ (3)投产第一年，如果该产品每件售价为m元时，总利润会随着产量x的增大而增大，则m的最小值是多少？ 题型模版 1.特征：通过价格调整影响销量，求利润最大化的定价或销量，常列出利润=单价×销量-成本。 2方法：设涨价或降价为x,用含×的式子表示单价和销量，建立利润的二次函数，配方求顶点得最值。 变式1-1(2026黑龙江大庆·中考真题)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，在确保每箱苹果的售 价不低于40元的情况下，物价部门规定，每箱苹果售价不高于55元，经市场调查发现，平均每天销售量 y(箱)与每箱苹果的售价x(元)之间的函数关系如图所示。 y/箱A 105 90 4550 x/元 (I)求平均每天销售量y(箱)与每箱苹果的售价x(元)之间的函数关系式：并写出x的取值范围： (2)求平均每天的销售利润w(元)与每箱苹果的售价x(元)之间的函数关系式；并求出当每箱苹果的售 价为多少元时，可以获得最大利润：最大利润是多少元？ 变式1-2(2026四川眉山中考真题)2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促 2/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动， (1)某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880 件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率： (2)该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元.参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可 多售出5件.问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 变式1-3(2026山西阳泉·模拟预测)综合与实践 【问题情境】随着家居收纳需求不断增加，某家居生活馆销售一款环保折叠收纳箱，每个进价为25元.市 场规定：销售单价不低于进价，且单个利润不超过进价的48%.一段时间后，该商家发现这款环保折叠收 纳箱的每周销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元个)之间的关系满足一次函数，其对应关系如 下表： 销售单价x/(元/个) 30 32 34 36 38 销售量y个 200 180 160 140 120 【问题解决】 (I)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 (2)设每周销售这款环保折叠收纳箱获得的利润为P(单位：元)· ①求W与x的函数关系式. ②若该家居生活馆希望每周销售这款环保折叠收纳箱的利润达到1500元，求这款环保折叠收纳箱的销售单 价. (3)当销售单价定为多少元时，该家居生活馆每周销售这款环保折叠收纳箱的利润最大？最大利润是多少元？ 题型二、拱桥问题 LL 典例2(25-26九年级下·陕西西安期中)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁两钢缆与具 3/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有相同的抛物线形状.如图，以桥面水平方向为x轴，以两钢缆主塔为y轴，建立平面直角坐标系.已知 所在抛物线与所在抛物线关于'轴对称，钢缆的最低点A到桥面的距离是m,两钢缆最低点， B之间的距离是40m,OD=10m mA主塔 B 桥面 E O x/m (1)求钢缆所在抛物线的函数表达式. n (②四为提升桥梁的稳定性，现需要在钢缆”的C处〈C在8的右侧)与桥面之间加装一根垂直于桥面的加劲 梁CE.已知加劲梁CE的长为5m,求加劲梁CE与主塔的水平距离. 题型模版 1.特征：桥拱呈抛物线形，己知跨径或拱高，求抛物线解析式或特定点的水位高度。 2方法：建立坐标系，设抛物线顶点式或一般式，代入已知点（如跨径两端、拱顶）求解析式，再代入横 坐标求高度。 变式2-1(2026陕西西安·模拟预测)如图为某拱桥的示意图，桥面PQ平行于水面AB，拱形桥洞可近似 看作抛物线的一部分，桥洞最高处点C与桥面PQ的距离为1米，当水面距离桥面4.6m时，拱孔横跨水面 宽度AB为12米.若以水面AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，请根据以上信 息回答问题： Y E O 笔锋所至金榜避名 H G B (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； 4/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若从桥面向下挂一条宽为1.4米的长方形横幅EFGH,横幅上边沿EF与桥面PO重合，G、H恰好落在 拱孔上，求横幅的长。 变式2-2(2026陕西西安模拟预测)“两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的《秋登宣城谢朓北 楼》，生动描绘了小桥倒映水中的美景.已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点A,B的距离 为8米，桥拱最高点C到水面的距离为2.4米.如图，以水面AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立 平面直角坐标系， (1)求该抛物线的函数表达式： (2)如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为DE.若在桥拱最高点C处有一个星形灯饰（大小忽略不计）， 当灯饰C与其水中倒影C'之间的距离CC与水面宽度DE比为1：2时，形成的景色最美，求此时水面的宽 度。 变式2-3(2026江苏盐城二模)阅读下列素材，并完成任务： 背景 中国的石拱桥，是刻在大地上的诗行，每一道弧线都是古人写给山河的情诗。 已知河面上的拱桥形状为抛物线，在正常水位时，水位线MN与拱桥最高点的 素材1 距离为3米，水位线MW宽为6米. 如图1，现有一艘长为10米，宽BC=4米的货船（可近似看成长方体）正从 拱桥下方通过，露出水面的横截面为长方形ABCD,AB=1米.（假设船体货 物接触到拱桥时，可以通过拱桥) 素材2 图1 素材3 船行走时一般不会导致水位的变化. (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的函数表达式. 5/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)如图2，如果AD上方的货物横截面为Rt△ADE，∠ADE=90°，DE=1米，请通过计算判断此时小船能 否通过拱桥？若不能，请说明理由，若能，求出水面上升高度最多不能超过多少米？ 图2 (3)船面AD上方装有如图3所示的货物（可近似看成直五棱柱），横截面为五边形ADFGE,其中 EG=FG,AE=DF,且E、A、B共线，F、D、C共线，已知当同一种货物的体积每增加50立方米时， 船会下沉01米，请求出最多能装多少体积的货物？ G 图3 题型三、投球问题 典例3(2026江苏宿迁·中考真题)投掷铅球时，铅球的运动轨迹可以看作抛物线的一部分.如图，某人 y (m) 掷铅球时，铅球距地面的高度 与距投掷点的水平距离*(m 之间的函数表达式为 y=ax+ 5x+2(a<0) ◆y/m x/m (1)当投掷的距离为8m时，求a的值： (2)当5<x<6时，铅球处于下落状态，求a的取值范围； (3)当2≤x≤4时，铅球距地面高度的最大值与最小值之差为0.4m,求a的值. 题型模版 1.特征：物体（如篮球、铅球）运动轨迹呈抛物线，求落地点距离或最大高度。 6/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2方法：建立坐标系，设抛物线顶点式或一般式，代入出手点、最高点或落地点坐标求解析式，再求所需 值。 变式3-1(26-27九年级上·北京·课后作业)发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹 操创制发石车，攻破袁绍军壁楼.如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面 为矩形ABCD,墙宽BC为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米.以点O为原点，水平 方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线"=(：-20+太 B.-C AD 图1 图2 (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）： (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由， 变式3-2(2026宁夏银川·三模)2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育 场（原阿兹特克体育场）举行，在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二 次函数抛物线.以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系 (单位：米)，已知： (0,1) ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为： ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米： ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点38m~42m,球门高度0m2.44m. 最高点 球 传球点 模拟头球点飞门 0 射门点衣 现场射门画面 ()求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式： (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离 是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离38≤x≤42的范围内，能否飞 7/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 入球门？ 变式3-3(25-26九年级上江西景德镇期末)掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙 结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手 点的水平距离一直在相应地发生变化. 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离 x(单位：米)与相对地面的竖直高度y(单位：米)的数据，部分数据如下表： 水平距离 2 3 4 5 6 x/m 竖直高度 2.7 3.15 3.3 3.15 2.7 1.95 y/m 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线 是抛物线的一部分. y/m 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是 米，实心球在空中的最大竖直高度是 米： (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度)（单位：米）与相对出手点的水平距离x(单位：米) 之间的函数关系式： (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平 距离达到或超过78米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由。 8/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四、喷水问题 典例4(25-26八年级下·河南开封期末)某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车， 为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练.如图所示，打开云梯后，消防车喷水口A离地面的 高度为OA,水流落地点为点B,喷出的水流呈抛物线型.以OB所在直线为x轴，OA所在直线为)轴， 建立平面直角坐标系.（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知OA=2lm,OB=7m,从A处喷出的水流高 度(m)与水平距离(m)之间的关系为y=-3r+r+c 0 BC (I)求b,c的值： (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点C在点B正前方1米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在C处的水流高度达到36米，则消防 车从O点沿OB方向应至少前进多少米？ 题型模版 1特征：喷水水流呈抛物线形，求喷水最大高度或水柱落地点距离，常结合坐标系。 2方法：以喷口为原点或合适位置建系，设抛物线顶点式或一般式，代入已知点求解析式，再求顶点纵坐 标或令y=0解x。 变式41(2026山西长治三模)某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面AB, CD与地面垂直，且AB=4米，CD=1米，宽度BC=12米，顶棚最高点到墙面AB的水平距离为4米. 左侧人行道OE=1米，蔬菜种植区EF=9米.以B为原点，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， A/米 个/米 M D BKO) C7米 B(O)E x/米 图1 图2 9/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求顶棚所在抛物线的解析式。 (2)如图2，喷灌喷头G安装在顶棚最高点下方05米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛 物线形，且G为水流所在抛物线的顶点 ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点E,H处.求EH的长 ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点F处，左端落在保温墙面AB上的点M处，故需要在保 温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段OM的长）· 变式42(2026河南平顶山三模)某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷 出的水柱呈抛物线形状.数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过 d(m) 测量得出如下表中所示的几组数据，其中 是水柱距喷水头的水平距离， h(m) 是水柱距湖面的高度， h/m d 图1 图2 d/m 0 0.7 2 3 4 h/m 2.0 3.484 5.2 5.6 5.2 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式： (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为 h=-0.3(d-3.5+5.7,那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由. 3)在(1)的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为4m,顶棚到湖面高度为4.2m的平顶游船， 游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险， 变式43(2026山西朔州·三模)综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力， 让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄。 10/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆y/m 发射点A 0 O B 落地点x/m 图1 图2 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在0≤x≤6 时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在6<x≤12时，即从点M开始，可以近似看作一条直线， 水柱的发射点A距离地面高度AO为l.25m,己知水柱在水平方向前进4m(即OB的距离)时，水柱达到 最大高度为4.25m(即BC的高度)，最终水柱在水平距离为12m的落地点落到地面点D处.以水柱轨迹 在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系. 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： (1)求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式. (2)若小明想用水枪喷中水平距离为10m、高度为1.25m的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说 明理由. 题型五、图形问题 典例5(25-26九年级上·贵州遵义期中)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计 划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平 行的一边留一个宽为3米的出入口， 如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？设AB=x米(x>0), 下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题： 小军：把它围成 小英：不对啦！ 个正方形，这样的 面积最大的不是 面积一定最大 正方形 (I)试用含x的代数式表示线段BC的长 米； (2)若围成园地面积为640平方米，求x的值： 11/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)请判断谁的说法正确，为什么？并求出围成园地面积的最大值， 题型模版 1.特征：用二次函数表示图形面积、周长或体积，求最值或范围，常涉及矩形、三角形。 2方法：设几何量（如边长）为变量，用函数表示目标量，转化为二次函数求顶点或区间最值，注意取值 范围。 变式5-1(2026四川广元二模)如图，农户家有两面垂直的院墙，墙角内侧N处有一棵果树，距两侧院墙 的距离分别为10米和5米.现计划借助这两面院墙（足够长），用总长为24米的篱笆围成一个矩形菜园 ABCD(篱笆只围BC、CD两边)，果树在围成的区域内，设BC为x米. B 77777777777777777777 (1)菜园的面积能否为119平方米？若能，求出x的值；若不能，请说明理由： (2)求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围，并求出当x为何值时，菜园面积最大？ 变式5-2(25-26九年级下·福建龙岩·阶段检测)某青少年活动中心计划开辟一块劳动实践基地，利用一面 墙用篱笆围成矩形菜地ABCD,如图所示，墙最大可利用长度为21米，菜地中间用篱笆隔开，在BC边上 设计了两个宽度为1米的小门，方便同学们出入，AD边和两扇小门不用篱笆，一共用了46米长的篱笆， D (I)若设菜地的宽AB为x米，则BC= 米（用含x的代数式表示）；且x的取值范围是 (2)若围成的菜地面积为180平方米，求此时的宽AB (3)求这块菜地的最大面积？ 变式5-3(2026湖北襄阳·一模)某渔场用300m长的渔网围成一个“L”型区域，如图，它是由两个面积 相等的矩形ABCD和DEFG组成（其中CD边与DG边的一部分重合，重合部分仅计一次），且C为DG 的中点，设DC=xm. 12/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B G E (I)用含有x的式子表示AD的长： (2)求围成的“L”型区域的最大面积： (3)在(2)的条件下，该渔场将所围区域划出一部分对外出租，每100m作为1个面积单位，现有两种出租 方案： 方案一：出租费用随市场状况变动，且经调查发现：每个面积单位出租费固定为500元/年，此时可以全部 租出：若每个面积单位出租费增长20元/年，则每年少租出1个面积单位； 方案二：每个面积单位出租费固定为800元/年。 渔场决定：若按照方案一，每租出1个面积单位拿m元（m>0 用于环保升级；若按照方案二，渔场一次性 拿12600元用于环保升级.若要求当租出的面积单位为20个时，方案一的每年净收入大于方案二的每年净 收入，求m的取值范围（每年净收入=出租费用一环保升级费用）· 题型六、图形运动问题 典例6(25-26九年级下·广西防城港·期中)综合与实践 为了更好地培养学生的思考与探究能力，张老师以“图形的运动”为主题来开展如下数学活动.如图1， 在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12,动点E,F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方 向匀速运动，且均以2Cm/s的速度运动.当点E停止运动时，点F也随之停止运动.连接EF.以EF为边 向下作正方形EFGH,设点E的运动时间为xs(O<x<6),正方形EFGH和四边形BEFC重合部分图 形的面积为少cm 13/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B 图1 H图2G 图3 (I)【直观感知】EF的长为 cm(用含x的代数式表示)· (2)【初步探究】如图2，当HG落在BC上时，求x的值， (3)【深入研究】如图3.当HG在BC的下方时，求y与x之间函数关系式. (4)【问题解决】在点E,F的运动过程中，正方形EFGH和四边形BEFC重合部分图形的面积y的最大值 是多少？（直接写出结果） 题型模版 1特征：几何图形按规律运动（如平移、旋转），面积或长度随时间变化，求最值或特殊状态。 2方法：设运动时间为t,用含t式子表示动态边长，建立面积或长度的二次函数，求顶点或特定值。 变式6-1(25-26九年级上·河南省直辖县级单位阶段检测)如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm, BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以每秒2mm的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点 C以每秒4mm的速度移动，如果PQ两点分别从A、B两点同时出发，设运动时间为s,那么△PBQ的面 积S随出发时间t如何变化？ (I)用含t的式子表示：AP= mm,BP= mm,BO= mm, (2)写出S关于1的函数解析式及t的取值范围： (3)当1取何值时，△PB0的面积S有最大值，最大值为多少？ 变式6-2(2026山东青岛模拟预测)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=16,BC=12,点D为边 AB的中点.点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位的速度向终点C运动：同时点Q从点C出发，以 每秒2个单位的速度沿CB方向运动，以DP、D为邻边构造平行四边形PEOD.设点P运动的时间为t 14/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 秒，0<t<6」 B (I)求当t为何值时， PQ∥AB? (2)设五边形 PEOBD 的面积为 5>0),求关于'之间的函数关系式： 3)是否存在某一时刻1，使得四边形PED为菱形？若存在，求出1的值：若不存在，请说明理由. 变式6-3(25-26九年级下广西河池开学考试)如图1，在△ABC中，∠CAB=30°，点P从点A出发以 2Cm/s的速度沿路线A→C→B运动，点Q从点A出发以lCm/s的速度沿AB运动.卫，Q两点同时出发， 当某一点运动到点B时，两点同时停止运动，以A9,P为边在AB的上方作平行四边形ADP№，设运动 时间为s,平行四边形ADPO的面积为Scm2(当点A,P,9重合或在一条直线上时，不妨设S=O)·探 究S与t的关系. 个S W B 04 10t 图1 图2 【初步感知】 (1)当点P由点A运动到点C时， ①若t=1,S=_cm2: ②S关于t的函数解析式为_； 15/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【深入探究】 =at2+bt(4≤t≤10) (2)当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为 其图象如 图2所示. ①m的值为-； ②求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值： 【延伸探究】 (3)在(2)的条件下，当点P在4C上运动时记为，运动时间记为，平行四边形 DPO 的面积记为 S,当点P在8C上运动时记为，运动时间记为，平行四边形 DPO 的面积记为5，当3∥8 且5=2.5g S 时，求的值. ◆● 同压轴桃战一支克高障压种，荧残思维上限 一、 单选题 1.(2026天津北辰二模)如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数 y=ax2+bx（a<0)刻画，斜坡可以用一次函数y=2x刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的 高度y(米)的变化规律如下表： 0 2 4 5 6 7 15 15 y 0 2 6 2 8 2 米 小球 斜坡 x/米 16/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有下列结论： ①m=3,n=6: ②当小球飞行的水平距离为2米时，小球距离斜坡的高度为6米： ③小球的落点A距离斜坡起点O的水平距离为7米： ④小球在飞行的过程中与斜坡的最大高度差为6.5米. 其中，正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2026天津中考真题)矩形ABCD中，AB=5cm,AD=7cm,动点P从点A出发，以lcm/s的速度 沿边AD、边DC向终点C运动；动点O从点A同时出发，以1m/s的速度沿边AB、边BC向终点C运动. 设运动的时间为s.当=3s时，点P,Q的位置如图所示.给出下面三个结论： B ①当t=6s时，四边形APCQ是平行四边形： 35 ②aAPO的最大面积为2cm ③当41Pg 0cm2,t=25st=10s 的面积为 时， 或 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、填空题 3.(2026甘肃天水·中考真题)如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到 捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）·图2是一次捕食中一条射水 鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点·射出，水流运动的高度 y(cm) 与水平距离(em)近似 17/22 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 满足函数关系’= 。2+≥0.若这只昆虫在点P2050),则这次射出的水流 击中昆虫.（填 “能”或“不能”) y/cm x/cm 图1 图2 4.(2026山西长治一模)某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部AB的中点0为原 点，AB所在直线为x轴，过点O且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，Y轴与抛物线交于顶点 M.已知AB=6m,现要在距离底部3m高处安装一根与AB平行的通风管CD,通风管CD的长度为3m, 则拱架最高点M距底部AB的高度为. m M C 0 O B 图1 图2 三、解答题 5.(25-26九年级上江苏徐州期末)如图，某农户准备用长24米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅 栏围成长方形羊圈ABCD和一个边长为1米的正方形狗屋CEFG.设AB=x米.设山羊活动范围即图中阴 影部分的面积为$平方米， tlllleeeeeeeeieie A 方 G (1)求S关于x的函数表达式： (2)山羊的活动范围的面积$能否达到35平方米？ 18/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)求出山羊活动范围面积$的最大值 6.(2026广东梅州模拟预测)某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示.己 知AB=48米，AD=24米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为x米的道路. 已知铺地毯防污的面积为675平方米. 出口 (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位60个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出：若每个摊位的 日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位.当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入最多， 最大收入是多少元？ 7.(25-26九年级上陕西西安·期末)某公园计划修建一个如图1所示的以OB为半径的圆形喷水池，喷水 池中心O处立着一个高为2m的实心石柱OA,喷水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状 相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合.为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱0.5m处能达到 最大高度，与池面的距离为2.25m.在距离池面125m的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池 不能影响水流. 2.25 图1 图2 (1)求圆形喷水池的半径. (2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少m？ 8.(25-26九年级上·吉林·期中)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB边上的高CD=3cm 点P从点A出发，沿AB以ICm/s的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作PO⊥AB 交边AC或边BC于点O,以PQ为边向下作正方形PQMN,设正方形POMN与△ABC重叠部分图形的面积 19/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为Scm,点P运动的时间为s. D B (I)求BD的长： (2)直接写出点M落在边BC上时t的值； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围. 9.(2026新疆喀什·一模)艾德莱斯绸是国家级非物质文化遗产.某合作社通过车间直销、线下门店、线 上直播三条渠道销售艾德莱斯绸，具体情况如下： ①生产艾德莱斯绸的成本为30元/米，车间固定成本为800元天； ②线下门店固定开支为500元天.根据市场调研发现，售价定为40元/米时，每天可售出80米，售价每增 加1元，每天售出减少2米： ③线上直播销售无固定开支，且每销售1米可获得40元的利润. (1)若合作社以50元/米的价格，通过车间直销的方式售出60米，则当日车间直销利润为一元： (2)线下门店决定提高售价来增加利润，要使线下门店每天的利润为700元，且尽量让利于顾客，售价应定 为多少元米？ (3)“文化和自然遗产日”期间，为扩大品牌影响力，将推出线上公益活动：线上每售出1米，向学校非遗 社团捐赠t元(0<1<15)，已知线上日销售量0（米）与捐赠额t(元)之间的关系为Q=200+10:,当 线上销售利润最大时，捐赠额为多少元米？最大利润是多少？ 10.(2026浙江杭州：模拟预测)【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球 运动路线近似为抛物线， 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像A虹分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录 了实心球的几组水平距离x(单位：m)和竖直高度y(单位：)的对应值，并建立直角坐标系，画出了 部分图象如图. 20/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.6 10衣 设抛物线的表达式为'=a(x-m+k 0.8 2.3 3.8 5.3 6.8 … 2.7 3.375 3.6 3.375 2.7 (I)【建立模型】求出抛物线的函数表达式 (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离： (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项 系数变为60，项点为(m-0.1,k-0.),通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米。 11.(25-26九年级上·北京·期末)某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①）， 喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线。如图②，已知车棚建在AO,BC两面墙之间，CO为水平地面， AO⊥CO,BC⊥CO.消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶AB上，其到墙面AO的水平距离AM 为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面AO上的点E处，OE=1米.以O为原点，地面C0所在的水平线 为x轴，墙面AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系 ① ② (1)求这条抛物线的解析式； (2)已知车棚的宽度C0为15米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1米高 的全部范围.工作人员计划在棚顶AB上安装若干个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋 头的位置不变). ①请通过计算，回答至少需要个消防喷淋头： 21/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离的取值范围. 12.(25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测)综合与实践 【项目主题】蔬菜大棚一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空 间.本项目主要研究蔬菜大棚的设计与安全、通风、保温之间的关系， 【建立模型】某种植基地的蔬菜大棚的横截面是由抛物线AEB和矩形ABCD构成（如图1所示），抛物线 最高点E到地面的距离为5米，O为CD中点，以CD所在直线为x轴，垂直于CD的直线EO为y轴，建立 平面直角坐标系xO少，已知CD=6米，BC=2米」 TE M B B D O 图1 图2 图3 (1)求抛物线的表达式： 【应用模型】 (2)为了安全，需对大棚进行加固，准备在大棚抛物线上安装矩形“支撑架”（即三根支架，MN,P 垂直地面，NQ平行地面，点N,旦在抛物线上，如图2所示)，通过计算说明“支撑架”安装在什么位 置时，“支撑架”的长度最长，最长长度为多少米？ (3)为了增加蔬菜大棚的通风效果，我们需要在抛物线AEB内部建两个正方形的窗户，（正方形MNKP 的边NK和正方形QRST的边RS都在AB上，点M,T都在抛物线上，两个窗户之间的水平距离为1米， 如图3)，求两个窗户的面积的和。（精确到1米，参考数据：V④≈64，V51≈71,6≈78） 22/22