精品解析：河南信阳市平桥中学2026-2027学年 上学期九年级数学校内调研

平桥中学（市二高初中部）第一次校内素质调研（九年级数学） 一、单选题（共30分） 1. 下列方程中，一元二次方程共有（ ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式得到不等式，联立求出参数取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴，即， 解得， 综上，的取值范围是且． 3. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由，得． 两边平方得． 展开整理得． 化简得． 4. 某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：每个站点到其余个站点各有1种去程车票，往返车票不同， 总车票数为，结合共56种往返车票， 得方程. 5. 已知a是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到，将所求代数式化简降次后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 6. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，通过比较点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点，，到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴． 7. 若抛物线y=﹣x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（　　） A. ﹣16 B. 16 C. ±16 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标公式和x轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵抛物线y=﹣x2﹣8x+c的顶点在x轴上， ∴，解得：c=﹣16． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标公式和x轴上点的坐标特征，属于基础题目，熟知抛物线的顶点坐标公式是解题的关键． 8. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴方程为，图象与x轴相交于点，则方程的根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解是解题的关键． 根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为且对称轴为直线，得抛物线与x轴的另一个交点为，从得出答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， 则抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为，，可得， 设，可得， ∴，， 由上可得，方程的两个根为，， 故选：C． 9. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数图象确定m的取值范围，再由此判断同一坐标系中的二次函数图象是否符合； 对于选项A，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项A是否符合题意；对于选项Ｂ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｂ是否符合题意；对于选项Ｃ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的开口方向，判断选项Ｃ是否符合题意；对于选项Ｄ，由一次函数的图象可知，由此分析二次函数的对称轴为，则对称轴应在y轴左侧，判断选项Ｄ是否符合题意．问题即可解答． 【详解】解：A、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向上，故A选项错误； B、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故B选项错误； C、由函数的图象可知， 则函数的图象应该开口向下，故C选项错误； D、由函数的图象可知， 则函数图象的对称轴为， 则对称轴应在y轴左侧，故D选项正确． 10. 观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：方程的解是使的值为1的． ∵当时，，当时，． ∴方程的一个解的取值范围是． 二、填空题（共15分） 11. 已知方程的两个根互为相反数，则________，方程的根为________． 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】先设两根是，根据根与系数的关系可得，而两根又互为相反数，据此易求k值，将k值代入原方程求解，即可解题． 【详解】解：设两根为 ， 由题意得， 由根与系数的关系得：， ， 方程化为 ， 则，， ． 12. 关于的一元二次方程必有一根为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 或， 则该方程必有一根为． 13. 二次函数的图象的对称轴为_______________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出二次函数图象与轴的交点坐标，利用二次函数的对称性计算对称轴. 【详解】解：∵ 二次函数 与轴相交时 ， ∴， 解得，， ∴图象与轴的交点坐标为和， ∴二次函数图象的对称轴为直线. 14. 若函数y=（k﹣3）x2+2x+1与坐标轴至少有两个不同的交点，则k的取值范围为_____． 【答案】k≤4． 【解析】 【分析】由解析式知函数图象与y轴有一交点（0，1），依据题意知函数图象与x轴还至少有一个交点，再分函数是一次函数和二次函数两种情况分别求解可得． 【详解】解：当x=0时，y=1， ∴此函数图象与y轴必有一个交点（0，1）； ①若此函数是一次函数，即k=3，其解析式为y=2x+1，其函数图象与坐标轴有两个交点； ②若此函数是二次函数，即k≠3， 由题意知4﹣4（k﹣3）≥0， 解得k≤4； 综上，k的取值范围是k≤4， 故答案为k≤4． 【点睛】本题考查了抛物线与函数的关系，利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数，做题时要认真分析，找到它们的关系． 15. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对称轴公式得到与的关系判断①，根据二次函数与x轴交点位置判断处的函数值符号判断②，根据开口方向和点到对称轴的距离比较函数值大小判断③，将方程的根转化为抛物线与直线的交点位置判断④． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 由对称轴公式可得， ， 整理得，故①正确； 抛物线过点，对称轴为， 抛物线与轴的另一个交点横坐标为， 即另一个交点为，且抛物线开口向下， 当时，， ，移项得，故②错误； 计算三个点到对称轴的距离： 点的距离， 点的距离， 点的距离， 可得， 抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，函数值越小， ，故③正确； 方程的根是抛物线与直线交点的横坐标， 抛物线过和，开口向下，， 两个交点分别在和的范围内， ，，故④正确； 综上，正确结论为． 三、解答题 16. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【解析】 【分析】（1）先移项变为然后利用开平方法求解即可； （2）直接利用配方法进行求解即可； （3）先去括号得到，整理得，然后利用因式分解的方法求解即可； （4）把看成一个整体，利用因式分解的方法求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴即， ∴即 解得，； （2）∵， ∴， ∴， ∴即， 解得，； （3）∵， ∴， ∴即， 解得，； （4）∵， ∴即， 解得，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 17. 已知抛物线如图所示，其顶点为，与轴的交点为． （1）作出抛物线关于轴对称的图象． （2）新图象的函数表达式为______． （3）设新图象的顶点为．请你连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 解：抛物线关于轴对称的图象如图． （2） （3） 解：如图，四边形为菱形．理由如下： 点关于轴对称，点关于轴对称， ， 四边形为平行四边形． 又四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）根据对称之后的图像特征求解析式即可； （3）先证明四边形为平行四边形，再根据证明菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：抛物线关于轴对称之后开口方向向下，开口大小不变，顶点坐标为， 故答案为：． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． 18. 数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．” 请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ②当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ∴原方程的解是，． （1）我们在解方程时用到的数学思想方法是（ ）． A．数形结合的思想 B．整体的思想 C．分类讨论的思想 D．特殊到一般的思想 （2）解方程：． 【答案】（1）C （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：观察题目例题的解答过程，发现分或两种情况， ∴在解方程时用到的数学思想方法是：分类讨论的思想． 【小问2详解】 解：①当，即时，原方程可化为： ，解得：（舍去），． ②当，即时，原方程可化为： ，解得：，（舍去）， ∴原方程的解是，． 19. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． （1）下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． （2）若是“好根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 【答案】（1）①③ （2）的值为或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“好根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“好根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“好根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“好根方程”的定义求解关于的方程即可． 【小问1详解】 解：①③是“好根方程” 解方程得， ，， 因为， 所以方程①是“好根方程”． 解方程得， ， 因为， 所以方程②不是“好根方程”． 解方程得， ，， 因为， 所以方程③是“好根方程”． 【小问2详解】 解方程得， ，． 因为此方程是“好根方程”， 所以或， 解得或， 所以的值为或． 【小问3详解】 解方程（为常数）得， ， 因为此方程是“好根方程”， 所以， 整理得， 所以． 20. 综合与实践 （1）观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 【实践运用】 （2）如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 【答案】（1）解：猜想，的积最大，理由如下： 由题意，两个两位数的和为，是定值，设其中一个两位数为，则另一个两位数为， 设这两个两位数的积为，则有， ， ∴当时，有最大值， 故的积最大． （2） 【解析】 【分析】（1）设其中一个两位数为，则另一个两位数为，列出二次函数解析式求最值即可； （2）根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，得到，列出二次函数求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形的对角线互相垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，为． 21. “乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】（1） （2）购买的这种乒乓球台的台数为200台 【解析】 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； 【小问2详解】 解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 22. 图①是一座形似抛物线的对称石拱桥，图②是其桥拱的示意图，测得桥拱跨径，拱顶离水面的距离． （1）请建立适当坐标系，求出桥拱所在的抛物线解析式； （2）如图③，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得．根据图②状态，货船能否通过此拱桥？请说明理由． 【答案】（1） （2） 货船能通过此拱桥，理由如下： 由题意得，点的横坐标为， 将代入， 则， ∴货船能通过此拱桥． 【解析】 【分析】（1）以点为原点，射线方向为轴正方向，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，由题意得，，，，再由待定系数法求解即可； （2）由题意得，点的横坐标为，将代入求出点的纵坐标与比较即可． 【小问1详解】 解：以点为原点，射线方向为轴正方向，射线为轴正方向建立平面直角坐标系，如图： 由题意得，，，， ∴可设桥拱所在的抛物线解析式为 代入点，则 解得 ∴桥拱所在的抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）当时，函数的最小值为1，则a的值为______； （2）在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或； （2）存在，或或 【解析】 【分析】（1）先求出时x的值，再结合二次函数的性质作答即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时， 解得：， ∵， ∴对称轴为直线，y最小值为0， 要使函数的最小值为1，则或， 即或； 【小问2详解】 解：令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时， ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 当为对角线时，则 ， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平桥中学（市二高初中部）第一次校内素质调研（九年级数学） 一、单选题（共30分） 1. 下列方程中，一元二次方程共有（ ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 3. 是下列哪个一元二次方程的根（ ） A. B. C. D. 4. 某高铁交通路线从甲站出发，最终到达乙站，若共设计了56种往返车票（往返车票不同），这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知a是方程的一个根，则代数式的值是（ ） A. 1 B. －1 C. 0 D. 2 6. 已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 若抛物线y=﹣x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（　　） A. ﹣16 B. 16 C. ±16 D. 8 8. 二次函数的部分图象如图所示，对称轴方程为，图象与x轴相交于点，则方程的根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 11. 已知方程的两个根互为相反数，则________，方程的根为________． 12. 关于的一元二次方程必有一根为__________． 13. 二次函数的图象的对称轴为_______________． 14. 若函数y=（k﹣3）x2+2x+1与坐标轴至少有两个不同的交点，则k的取值范围为_____． 15. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点、点在该函数图象上，则；④若方程的两根为和，且，则．其中正确的结论是__________． 三、解答题 16. 解方程： （1） （2） （3） （4） 17. 已知抛物线如图所示，其顶点为，与轴的交点为． （1）作出抛物线关于轴对称的图象． （2）新图象的函数表达式为______． （3）设新图象的顶点为．请你连接，判断四边形的形状，并说明理由． 18. 数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．” 请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ②当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ∴原方程的解是，． （1）我们在解方程时用到的数学思想方法是（ ）． A．数形结合的思想 B．整体的思想 C．分类讨论的思想 D．特殊到一般的思想 （2）解方程：． 19. 定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，则称这样的方程为“好根方程”． （1）下列方程中，是“好根方程”的是 ______（填序号）． ①；②；③． （2）若是“好根方程”，求的值． （3）若一元二次方程（为常数）为“好根方程”，直接写出的数值． 20. 综合与实践 （1）观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？ 【实践运用】 （2）如图，四边形的对角线互相垂直，且，求四边形的面积的最大值． 21. “乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 22. 图①是一座形似抛物线的对称石拱桥，图②是其桥拱的示意图，测得桥拱跨径，拱顶离水面的距离． （1）请建立适当坐标系，求出桥拱所在的抛物线解析式； （2）如图③，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得．根据图②状态，货船能否通过此拱桥？请说明理由． 23. 如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． （1）当时，函数的最小值为1，则a的值为______； （2）在平面直角坐标系内是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $