精品解析：山东省日照市经济技术开发区实验中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试卷

2024-2025学年度上学期九年级数学阶段质量检测（三） （内容：第26章反比例函数；第27章相似） （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 直线与双曲线（，）的一个分支相交，则该分支的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据直线和双曲线的性质，确定的符号和图象的位置，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵直线与双曲线（，）的一个分支相交， ∴， ∵， ∴图象是第一象限的那一支， 故选：D． 2. 已知点在反比例函数的图象上．其中．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的图象性质． 依据反比例函数为可得函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减，进而得到，，的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数为 ∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减， 又， ∴， ∴ 故选：D． 3. 若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 A. m＜﹣2 B. m＜0 C. m＞﹣2 D. m＞0 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】∵函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大， ∴m+2＜0， 解得：m＜﹣2． 故选A． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键． 4. 如图，反比例函数与的图象上的四个点A、B、C、D构成正方形，它的各边与坐标轴平行．若正方形的对角线长为，则a的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，正方形的面积，反比例函数的几何意义，正方形的面积得出，求解即可，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：A． 5. 如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则依次判断即可，掌握相似三角形的判定法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故A选项不符合题意； ∵，， ∴，故B选项不符合题意； ∵，， ∴，故C选项不符合题意； ∵，， ∴无法证明，故D选项不符合题意； 故选：D． 6. 下列各组条件中不能使与相似的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，，，， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则即可得出答案，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键． 【详解】解：A、，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵，，， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵， ∴与的夹角为，与的夹角为， 而给出的条件为， ∴不能判断，故选项符合题意； 故选：D． 7. 如图所示，直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例和比例的性质，掌握相关的知识是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，利用比例的性质求的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：D． 8. 在中，，，平分，则与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理推出、、是钝角三角形，而是锐角三角形，因此和不相似，由平行线的性质推出和的两角对应相等，因此和相似． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故A不符合题意； ∵平分 ∴， 又∵， ∴，故B符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∵是锐角三角形， ∴和不相似， 故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴是钝角三角形， ∴和不相似， 故D不符合题意． 故选：B． 9. 如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，轴，且A为轴上任一点，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，由的几何意义得，再由三角形同底等高面积相等即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 由题意可得： ， ∵轴， ∴， 故选：B． 10. 如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设A点坐标为（），则C点坐标为（），利用坐标求面积即可． 【详解】解：∵正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点， ∴A，C两点关于原点对称，设A点坐标为（），则C点坐标为（）， S△ABC=， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义和对称性，解题关键是通过设坐标求三角形面积． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图所示，添加一个条件_________，△ADB ∽△ABC． 【答案】∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或） 【解析】 【分析】根据两个三角形有公共角，添加条件即可． 【详解】解：∵∠A=∠A． ∴添加∠ABD=∠ACB 或∠ADB=∠ABC，利用两个角相等的两个三角形相似可判定； 添加，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定； 故答案是：∠ABD=∠ACB （∠ADB=∠ABC或） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是明确相似三角形的判定定理，准确添加条件． 12. 如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________． 【答案】4 【解析】 【详解】试题分析：解：连接BC， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝＝＝6， ∵BD切⊙O于点B， ∴∠DBA＝90°， ∴∠ABC＋∠DBC＝90°， ∵∠A＋∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠DBC， 又∠ACB＝∠BCD＝90°， ∴△ACB∽△BCD， ∴， ∴DC＝＝＝4.5． 故答案为4.5． 点睛：此题主要考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质和勾股定理的综合应用，题目有一定的综合性，找出其中的相似三角形是解决此题的关键． 13. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，分情况进行分析，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设另外两边长为，，根据题意得： 或或 解得：或或， 故答案为：或或． 14. 如图，是的中线，交于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证得为的中位线，可得，从而得到，进而得到，可得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点F为的中点， ∵是的中线， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线性质，掌握相似三角形的判定和性质，三角形中位线性质的应用是解题关键． 15. 函数的图象与直线有两个交点，那么的取值范围是__________． 【答案】且． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，由题意联立方程得，再根据根的判别式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：将函数的图象与直线联立，得： ， 整理得：， ， ∵函数的图象与直线有两个交点， ∴， 解得：， 又∵， ∴， ∴的取值范围为：且． 故答案为：且． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形如图放置，反比例函数的图象经过点B，当点A的坐标为时，k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握正方形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据正方形的性质以及全等三角形的判定和性质得到，，进而求出点B的坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点B作于点D，过点C作于点F，交y轴于点G， ∵点， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， 同理， ， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点B， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8个小题，共72分） 17. 在平面直角坐标系中，已知点在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经过点和点． （1）求正比例函数的解析式； （2）点是否在反比例函数的图象上？ （3）若是坐标轴上一点，且满足，直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2） 解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴点， 把代入反比例函数中，得：， ∴点不在反比例函数的图象上； （3）点的坐标为或或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，求函数解析式，两点间的距离等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用点在反比例函数上求出，再代入正比例函数即可求解； （2）先求出点的坐标，再验证是否满足反比例函数关系即可； （3）先计算出的长度，分两种情况利用距离公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 经检验，是方程的解， ∴ ∴， 把代入中，得：， ∴， ∴正比例函数解析式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点， ∴点到原点的距离为：， 当点在轴上时，设， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴点或， 当点在轴上时，设， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴点或， 综上，点的坐标为或或． 18. 如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D， ∠BAD=∠CAE， 求证：△ABC∽△ADE． 【答案】证明：如图，∵∠BAD=∠CAE， ∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE， 即∠DAE=∠BAC． 又∵∠B=∠D， ∴△ABC∽△ADE． 【解析】 【详解】试题分析：利用“两角对应相等的两三角形相似”来证：△ABC∽△ADE. 试题解析： 略 19. 如图，平行四边形ABCD，AE⊥BC交点E，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE＝∠B＝60°． （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AE＝3，AD＝4，求EF的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠AFE＝∠B＝60°， ∴∠AFD＝∠C＝120°，AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DEC， ∴△ADF∽△DEC． （2）. 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质结合等角的补角相等，可得出∠AFD=∠C=120°、AD∥BC，利用平行线的性质可得出∠ADF=∠DEC，进而即可证出△ADF∽△DEC； （2）由AE及∠B的值可求出BE、CE的长度，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出DE的长度，由△ADF∽△DEC利用相似三角形的性质即可求出DF的长度，再将其代入EF=DE-DF中即可求出EF的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵AE＝3，∠B＝60°， ∴BE＝，CE＝4﹣． 在Rt△ADE中，AE＝3，AD＝4， ∴DE＝=5． ∵△ADF∽△DEC， ∴，即， ∴DF＝， ∴EF＝DE﹣DF＝． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据平行四边形的性质结合等角的补角相等，找出∠AFD=∠C=120°、∠ADF=∠DEC；（2）利用相似三角形的性质求出DF的长度． 20. 如图，半圆O中的直径，于D，求证： 【答案】证明：连接AC，BC， ∵， ∴． 又是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【解析】 【分析】连接， 由垂直的定义得到，根据圆周角定理及余角的性质得到，证明，根据相似三角形的性质即可得到答案． 此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，证明是解题的关键． 【详解】略 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E．已知C点的坐标是，． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）先由点C的坐标求出反比例函数的解析式，再将点D的坐标代入反比例函数的解析式，点D的坐标．将点C，点D的坐标代入一次函数关系式求出k，b即可求一次函数的解析式； （2）一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值，即一次函数图象位于反比例函数图象上方时x的取值范围，根据图象即可求解． 【小问1详解】 （1）把C（6，－1）代入，得， 则反比例函数的解析式为， 把＝3代入，得， ∴D点坐标为（－2，3）． 将C（6，－1）、D（－2，3）代入， 得，解得， 则一次函数的解析式为； 【小问2详解】 （2）根据函数图象可知，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是利用坐标求出函数的解析式． 22. 如图，四边形内接于，是直径，过点C作于点D，连接 （1）求证：； （2）若的半径为5，是的切线，且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴，又， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，可得，由，可得，再由四边形是的内接四边形，可得，即可求证； （2）连接，过作于点，根据切线的性质可得，从而得到四边形为矩形，可得，再由勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，过作于点， ∵是的切线， ∴，即， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵的半径为5， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和矩形的判定是解题的关键． 23. 如图，某人对地面的压强p（单位：）与这个人和地面接触面积S（单位：）满足反比例函数关系． （1）图象上点A坐标为，求函数解析式； （2）如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？ （3）如果某沼泽地面能承受的最大压强为，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？ 【答案】（1）函数解析式为 （2） （3）此人应站立在面积至少大的木板上才不至于下陷 【解析】 【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，反比例函数与实际问题，能够通过函数图象判断函数类别以及正确求解函数解析式是解题的关键． （1）由图象可知压强与接触的受力面积成反比，故可得到对应的反比例函数，再将点代入解析式即可求得反比例函数的解析式，由反比例函数的解析式可分析得到人的体重． （2）首先换算单位，根据，带入解析式即可求得此人双脚站立时对地面的压强大小． （3）根据得：，将地面能承受的最大压强代入解析式即可求得至少多大的木板才不至于下陷． 【小问1详解】 解：由题可设， ∵点在函数图象上， ∴． 解得． ∴函数解析式为； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：将代入函数解析式，得： ． 24. 如图，点E，F在正方形的对角线上，． （1）求证：； （2）如图2延长交于点G，连接．判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外角性质掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质和三角形外角的性质得到，即可得出结论； （2）证明，得到，再证明，得到，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期九年级数学阶段质量检测（三） （内容：第26章反比例函数；第27章相似） （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 直线与双曲线（，）的一个分支相交，则该分支的图象大致是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在反比例函数的图象上．其中．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是 A. m＜﹣2 B. m＜0 C. m＞﹣2 D. m＞0 4. 如图，反比例函数与的图象上的四个点A、B、C、D构成正方形，它的各边与坐标轴平行．若正方形的对角线长为，则a的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 5. 如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组条件中不能使与相似的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，，，， D. ， 7. 如图所示，直线，直线分别交直线，，于点，，，直线分别交直线，，于点，，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，平分，则与相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点B在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，轴，且A为轴上任一点，则的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 6 10. 如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y＝﹣相交于A，C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于B点，连接BC，则△ABC的面积等于（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图所示，添加一个条件_________，△ADB ∽△ABC． 12. 如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________． 13. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别为__________． 14. 如图，是的中线，交于点，则__________． 15. 函数的图象与直线有两个交点，那么的取值范围是__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形如图放置，反比例函数的图象经过点B，当点A的坐标为时，k的值为______． 三、解答题（本题共8个小题，共72分） 17. 在平面直角坐标系中，已知点在反比例函数的图象上，正比例函数的图象经过点和点． （1）求正比例函数的解析式； （2）点是否在反比例函数的图象上？ （3）若是坐标轴上一点，且满足，直接写出点的坐标． 18. 如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D， ∠BAD=∠CAE， 求证：△ABC∽△ADE． 19. 如图，平行四边形ABCD，AE⊥BC交点E，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE＝∠B＝60°． （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AE＝3，AD＝4，求EF的长． 20. 如图，半圆O中的直径，于D，求证： 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点，轴于点E．已知C点的坐标是，． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ 22. 如图，四边形内接于，是直径，过点C作于点D，连接 （1）求证：； （2）若的半径为5，是的切线，且，求的长． 23. 如图，某人对地面的压强p（单位：）与这个人和地面接触面积S（单位：）满足反比例函数关系． （1）图象上点A坐标为，求函数解析式； （2）如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？ （3）如果某沼泽地面能承受的最大压强为，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？ 24. 如图，点E，F在正方形的对角线上，． （1）求证：； （2）如图2延长交于点G，连接．判断线段与的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $