山东聊城市教育联盟共同体 2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期第一次学情调研 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 第I卷（选择题共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面各组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程：①②③④⑤⑥，是一元二次方程的有_________个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，在矩形中，在上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的点F处，，若四边形与矩形相似，则的长为（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 或2 5. 已知a，b，4是等腰三角形的三边长，且a，b是关于x的方程的两个实数根，则m的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 6. 关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（　　） A. 2或﹣2 B. 2 C. ﹣2 D. 0 7. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 9. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （ ） A. 82﹢x2 = (x﹣3)2 B. 82﹢(x+3)2= x2 C. 82﹢(x﹣3)2= x2 D. x2﹢(x﹣3)2= 82 10. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题共5个空，每空3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 12. 如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么___________． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 14. 如图，线段上的一点P把分割为两条线段，当满足时，则称点P是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为x米），则所列方程为____________． 15. 如图，在中，，点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿，方向向点C匀速运动（到点C为止），它们的运动速度都是．经过____秒的面积为面积的一半． 三、简答题（共8题，共75分） 16. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 18. 配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，我们可以通过以下方法求代数式的最值． 解：． ， 当时，有最小值，无最大值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则________；________； （2）求代数式的最值． 19. 如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目．某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售150条，6月份销售216条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该跳绳销售量的月增长率； （2）若此种跳绳的进价为30元／条．经过市场调研，当售价为40元／条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该跳绳的实际售价． 21. 如图，在中，点在边上，、的延长线交于点，连接，已知． （1）求证：； （2）求证：． 22. 若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． （1）方程的“关联值”为_________； （2）若关于的一元二次方程的“关联值”为1，求的值； （3）求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 23. 【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．     【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：．表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整； 第一步：将原方程变形为x（________）； 第二步：利用四个长为_______，宽为_______（用x表示）的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步：方程的一个正根为 ． 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．那么此方程的系数____，_____．求得方程的一个正根为_________． 2026—2027学年第一学期第一次学情调研 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 第I卷（选择题共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题共5个空，每空3分，共15分） 【11题答案】 【答案】且 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、简答题（共8题，共75分） 【16题答案】 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【17题答案】 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的值为，方程的另一个实数根为． 【18题答案】 【答案】（1）， （2）最小值，无最大值 【19题答案】 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， 又， ， ， ； （2） 【20题答案】 【答案】（1）跳绳销售量的月增长率为； （2）该跳绳的实际售价为50元条． 【21题答案】 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：由（1）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【22题答案】 【答案】（1） （2）无解 （3） 证明：∵， ∴， ∴ ∵为整数， ∴关于的一元二次方程的两根均为整数， 依题意，， ∵为整数， ∴一元二次方程的“关联值”为， ∴关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 【23题答案】 【答案】[类比迁移] 第一步： ； 第二步：，， 利用四个面积可用表示为长为，宽为的全等矩形构造“空心”大正方形，    画四个长为，宽为的矩形，按如图所示的方式拼成如图，拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， ∵表示边长， ∴，即， 第三步：； [拓展应用] ，5，1或5 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $