湖北省新八校联盟2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内所对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成的角为（ ） A． B． C． D． 3．平行六面体中，为与的交点，设，，，用，，表示，则（ ） A． B． C． D． 4．某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀的概率为（ ） A． B． C． D． 5．已知，，，若能构成空间的一个基底，则不能是（ ） A．3 B．5 C．1 D．7 6．如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A．事件与事件互斥，事件与事件相互对立 B．，但事件，，两两独立 C．，且事件，，两两相互独立 D． 7．设的内角，，的对边分别为，，，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．是空间中任意一点，若互不相等的单位空间向量满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分．共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为，，，．由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为，，，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有（ ） A． B．直线不过边的中点 C． D．若，则 11．如图1，在直角梯形中，，，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图2，为的中点，是上的动点（与点、不重合），是上的动点（与点、不重合），则（ ） A． B．平面 C．不存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为 D．若点在平面内，当时，最小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知复数是关于的实系数方程的一个根，则实数的值为________． 13．已知向量，满足，，，则________． 14．的内角，，的对边分别为，，，若，且的面积为，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若点在上，满足，，求面积的最大值． 16．（本小题满分15分） 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； （2）成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； （3）已知落在内的平均成绩为67，方差是9；落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ，，；，，．记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 17．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，侧棱平面，底面四边形是矩形，，点，分别为棱，上靠近点的三等分点，点在棱上，． （1）求证：直线平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成的夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局计分规则： ①三人手势全部相同：每人各得1分；②三人只出现两种手势：赢的人得2分，输的人负1分；③三人三种手势都出现：三人均得0分． 当任意一人得分分时游戏结束，得分最高者获胜．已知三人之间及每局游戏之间互不影响． (1)求甲在一局中得分的概率； （2）求游戏经过两局后甲恰好得4分且为唯一获胜者的概率． 19．（本小题满分17分） 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为． （1）已知直线过点且方向向量为，直线过点且方向向量为，求直线与所成角的余弦值； （2）已知平面：，平面外一点．若直线过点且与平面垂直，求直线与平面的交点坐标； （3）（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ⅱ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）的夹角的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D C C D A A 题号 9 10 11 答案 ABC BD ABD 12．1 13．． 14． 15．【详解】(1)， 由正弦定理得， ，． 3分 ，，，． 4分 ． 5分 ． 6分 (2)，，， 9分 又，，， ，当且仅当时，等号成立， 的面积， 12分 即面积的最大值为． 13分 16．【详解】(1)一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05， 平均数 3分 由图可知，众数为75． 5分 以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分． 6分 (2)前4组的频率之和为，前5组的频率之和为，第分位数落在第5组，设为，则，解得．“防溺水达人”的成绩至少为84分． 10分 (3)的频率为0.15，的频率为0.30， 所以的频率与的频率之比为． 11分 的频率与的频率之比为． 12分 设内的平均成绩和方差分别为，依题意有． 13分 ， 所以内的平均成绩为71，方差为． 15分 17．【详解】(1)方法一：因为，分别为棱，的三等分点， 所以，连接，，交于点， 连接，，则， 故， 又在中，，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 4分 方法二：以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则：，，，，，， 所以，，． 记为平面的一个法向量，则，令，则， 所以，又平面，所以平面． 4分 (2)因为，所以，，，， 记为平面的一个法向量，则， 令，则． 6分 记直线与平面所成角为，则． 9分 因此，直线与平面所成角的正弦值为． 10分 (3)由(1)(2)知，为平面的一个法向量，，， 记为平面的一个法向量，则 ，令，则， 11分 记平面与平面所成角为，则． 14分 因此，平面与平面所成夹角的余弦值为． 15分 18．解：三人每局出手，总基本事件数：种，等可能． ①三人手势完全相同(同剪刀、同石头、同布)：共3种，每人分，概率； 1分 ②仅两种手势： 乙丙手势相同败于甲、甲乙手势相同胜丙、甲丙手势相同胜乙： 共9种，甲分，概率． 2分 乙丙手势相同胜甲、甲乙手势相同败于丙、甲丙手势相同败于乙： 共9种，甲分，概率． 3分 ③三种手势全部出现：种，所有人得0分，概率． 4分 (1)甲得，本局只有两种手势，甲为输家，乙丙手势相同且战胜甲，或者甲乙为输家或者甲丙为输家，共9种情况．此时概率． 8分 (2)甲两局总分等于4，单局最高得2分，故只能第一局、第二局甲都得2分． 9分 甲单局得2分的概率为，因此两局甲均得2分的概率为：． 当甲单局得2分时，乙、丙的得分有三种等可能情形： ①乙得2分，丙得分；②乙得分，丙得2分；③乙、丙均得分，每种概率． 要使甲为唯一获胜者，要求乙总分小于4且丙总分小于4． 乙总分：两局都是“乙得2分，丙得分”，概率； 11分 丙总分：两局都是“乙得分，丙得2分”，概率． 13分 乙、丙均未达到4分的概率：． 15分 两事件相互独立，因此． 17分 19．解：(1)设直线与所成角为．由题意，直线的方向向量， 直线的方向向量 ∴直线与所成角的余弦值为． 4分 (2)平面：的法向量为． ∵直线平面，∴直线的方向向量与平面的法向量平行，可取方向向量为． 又∵直线过点，设直线方程为：，令 则，，， 代入平面的方程：，整理得：， 将代入，可得交点坐标：，， ∴直线与平面的交点坐标为． 8分 (3)(ⅰ)几何体S是底面圆的半径为2，高为的圆柱， 故几何体S的体积为． 12分 (ⅱ)的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，，，得， 画出第一卦限图象，计算平面，得二面角，所以两个平面的法向量分别为，，则其二面角的夹角余弦值为， 所以几何体相邻两个面(有公共棱)的夹角的大小为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $