精品解析：湖北武汉市第三中学2026-2027学年高二上学期10月素养调研数学试题

武汉市第三中学2026-2027学年度上学期10月素养调研 高二数学 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 从到的正整数中，任取一个数，得到的数是的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为（　　） A. B. C. 或 D. 0或 6. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，，，满足，，，则2 的最大值为（ ） A. B. 8+ C. D. 10+ 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 某校开学初组织新生进行数学摸底测试，现从1000名考生中，随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为，，，，，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 估计这次考试的75%分位数为82.4 C. 在该样本中，若采用分层随机抽样的方法，从成绩低于60分和90分及以上的学生中共抽取10人，则应在中抽取2人 D. 若成绩在60分及以上算合格，估计该校新生成绩合格的人数为860人 10. 圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（　　） A. 直线与圆相交 B. 的最小值是 C. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 11. 在长方体中，分别是棱的中点，是的中点，直线与平面交于点，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值是 B. 点到平面的距离是 C. 三棱锥的体积为 D. 四面体外接球的表面积是 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 椭圆的焦距为4，则m的值为___________. 13. 已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 _________． 14. 2024年新高考数学Ⅰ卷多选题的计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，共18分；②每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对的得6分，有选错或不选的得0分；③部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．考生甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，第二小题选了两个选项，第三小题选了一个选项，则他多选题的所有可能总得分（相同总分只记录一次）的第80百分位数为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共60分. 15. 一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． （1）若，求第二次取到红球的概率； （2）若取出的2个球都是红球的概率为，求． 16. 已知直线l经过点，且点到直线l的距离为1． （1）求直线l的方程； （2）O为坐标原点，点C的坐标为，若点P为直线上的动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标． 17. 已知椭圆：的右顶点为，离心率为． （1）求的焦距； （2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 18. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，二面角的大小为，，分别为和的中点. （1）求证平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，分别交，于，两点，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，说明理由. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市第三中学2026-2027学年度上学期10月素养调研 高二数学 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 从到的正整数中，任取一个数，得到的数是的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从到的正整数中是的倍数有共个数，概率是 2. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，知，得，又，所以， 所以椭圆的标准方程为. 3. 设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 对直线的倾斜角分锐角和钝角进行讨论，再结合正切函数的性质，即可得答案； 【详解】解：∵直线，的斜率和倾斜角分别为，和，， 当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“”，则“”， 若“”，则“”， 当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“”，则“与”的大小不能确定， 若“”，则“与”的大小也不能确定， 故则“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 【点睛】直线的斜率，将斜率视为倾斜角的函数，再利用正切函数的性质进行求解. 4. 已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量定理列等式，解方程即可. 【详解】∵，，三向量共面， ∴存在实数，，使得，即， ∴，解得，，． 故选：B. 5. 已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为（　　） A. B. C. 或 D. 0或 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用直线的截距的定义求得m的值，再利用两条平行线之间的距离公式，求得结果． 【详解】∵直线l1：mx+2y-4-m=0（m＞0）在x轴、y轴上的截距相等， ∴，∴m=2，故直线l1即：2x+2y-4-2=0，即 x+y-3=0， 则直线l1与直线l2：x+y-1=0间的距离为， 故选B． 【点睛】本题主要考查直线的截距的定义，两条平行线之间的距离公式，属于基础题． 6. 已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】设点，则，， 所以，则， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为3， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：A. 7. 设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且，球体O表面上动点P满足，则点P的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距，对应圆的半径为，再计算周长得到答案. 【详解】以所在的平面建立直角坐标系，为轴，的垂直平分线为轴， ，则，，设，， 则，整理得到， 故轨迹是以为圆心，半径的圆， 转化到空间中：当绕为轴旋转一周时，不变，依然满足， 故空间中的轨迹为以为球心，半径为的球， 同时在球上，故在两球的交线上，为圆. 球心距为， 为直角三角形，对应圆的半径为， 周长为. 故选：D 8. 已知实数，，，满足，，，则2 的最大值为（ ） A. B. 8+ C. D. 10+ 【答案】C 【解析】 【分析】设，是单位圆上的两点，且，利用点到直线的距离公式，推导出2 等于MN的三等分点C（靠近M）到直线的距离的倍，结合 算出CD长的最大值，进而可得所求答案. 【详解】由，， 可知点，在圆O：上， 因为，所以，即， 设直线l：，则2， 表示点M到直线l距离的2倍， ， 表示点N到直线l距离的倍， 根据题意，圆O：在直线l的下方， 故点M、N都在直线的下方， 取MN的三等分点C（靠近M），过M、N、C分别作直线l的垂线，垂足分别为A、B、D， 可得2 ， ， 不妨设，若过点N作交分别于，则， 所以， 所以2 ， 由， ，， 在中，由余弦定理得 ,得， 因为点O到直线l的距离， 所以点C到直线l的距离， 所以当CD经过原点O时， 2，取得最大值． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 某校开学初组织新生进行数学摸底测试，现从1000名考生中，随机抽取200人的成绩（满分为100分）作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为，，，，，.则下列说法正确的是（ ） A. B. 估计这次考试的75%分位数为82.4 C. 在该样本中，若采用分层随机抽样的方法，从成绩低于60分和90分及以上的学生中共抽取10人，则应在中抽取2人 D. 若成绩在60分及以上算合格，估计该校新生成绩合格的人数为860人 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据所有矩形面积和为1求得；对于B：先估计中位数所在的大致区间，再根据75%分位数的求法求解；对于C：计算出成绩在在成绩低于60分和90分及以上的学生中所占的比例，根据分层抽样按比例抽取；对于D：先估计成绩在60分以下的人数再求解. 【详解】对于A：由得，故A错误； 对于B：成绩在时所占的频率为： 成绩在时所占的频率为： 故75%分位数所在区间为，设75%分位数为， 则，解得，故B正确； 对于C：低于60分和90分及以上的学生占的频率为： 成绩在占的频率为 故按分层抽样，应在中抽取的人数为人，故C错误； 对于D：估计该校新生成绩在60以下的人数为 故估计该校新生成绩合格的人数为人，故D正确； 故选：BD 10. 圆，直线，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（　　） A. 直线与圆相交 B. 的最小值是 C. 从点向圆引切线，切线长的最小值是 D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，比较与圆的半径的大小关系，可判断A选项的正误；计算出的最小值，可判断B选项的正误；计算出切线长的最小值，可判断C选项的正误；计算出直线与曲线相切时以及直线过点时的值，数形结合可判断D选项的正误. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为. 对于A选项，圆心到直线的距离为， 所以，直线与圆相离，A错； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，如下图所示： 从点向圆引切线，设切点分别为、，连接，则， 则， 当时，取得最小值，此时取得最小值，即，C对； 对于D选项，由得，即， 所以，曲线表示圆的上半圆， 而直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示： 当直线与圆相切，且切点在第二象限时，则，解得， 当直线过点时，则，解得. 由图可知，当与曲线有两个不同的交点时，的取值范围是，D对. 故选：BCD. 11. 在长方体中，分别是棱的中点，是的中点，直线与平面交于点，则（ ） A. 异面直线与所成角的余弦值是 B. 点到平面的距离是 C. 三棱锥的体积为 D. 四面体外接球的表面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出与利用夹角的余弦公式计算后可判断A的正误，利用向量法可求点到平面的距离后可判断B的正误，求出的坐标后可计算三棱锥的体积，从而可判断C的正误，求出球心的坐标后可求外接球的半径，计算表面积后可判断D的正误. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 故， 故， 故异面直线所成角的余弦值为，故A正确； 因为，设平面的法向量为， 则由可得，取， 而，故点到平面的距离是，故B错误； 又，设， 则 因为共线，所以，故，即， 故，且在轴上，故，故C正确； 设四面体外接球的球心为，则， 即； ； ， 整理得到：，故，故外接球半径为， 故外接球的表面积为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：空间几何体的外接球的计算问题，首先确定球心的位置，如果球心的位置不易求得，则可以通过空间向量的方法求出球心坐标，从而解决与球有关的计算问题. 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 椭圆的焦距为4，则m的值为___________. 【答案】7或11 【解析】 【分析】按焦点在轴或轴分类讨论求解． 【详解】在椭圆中，由已知可得，解得. 若椭圆的焦点在x轴上， 可得， 解得； 若椭圆的焦点在y轴上， 可得， 解得. 因此，或11. 故答案为：7或11． 13. 已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 _________． 【答案】4 【解析】 【分析】先得到，进一步有，结合四点共面的充要条件即可求解. 【详解】如图所示： 设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 14. 2024年新高考数学Ⅰ卷多选题的计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，共18分；②每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对的得6分，有选错或不选的得0分；③部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．考生甲在此卷多选题的作答中，第一小题选了三个选项，第二小题选了两个选项，第三小题选了一个选项，则他多选题的所有可能总得分（相同总分只记录一次）的第80百分位数为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】根据多选题的计分标准，结合甲在此卷多选题的作答情况、百分位数的定义进行求解即可. 【详解】甲在此卷多选题的作答中， 第一小题选了三个选项，因此甲此题的得分可以是分，或分； 第二小题选了两个选项，因此甲此题的得分可以是分，或分，或分； 第三小题选了一个选项，因此甲此题的得分可以是分，或，或， 因此甲多选题的所有可能总得分为分，分，分，分，分，分，分，分，10分，分，分，分，分，共种情况， 因为，所以甲多选题的所有可能总得分（相同总分只记录一次）的第80百分位数为分， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共60分. 15. 一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． （1）若，求第二次取到红球的概率； （2）若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】（1）； （2）3. 【解析】 【分析】（1）写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【小问1详解】 由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. 【小问2详解】 两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 16. 已知直线l经过点，且点到直线l的距离为1． （1）求直线l的方程； （2）O为坐标原点，点C的坐标为，若点P为直线上的动点，求的最小值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1）或 （2）10， 【解析】 【分析】（1）考虑直线l的斜率存在和不存在情况，存在时，设直线方程，根据点到直线的距离求出斜率，即得答案. （2）确定关于直线OA的对称点，数形结合，利用几何意义即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知直线l经过点，当直线斜率不存在时，方程为， 此时点到直线l的距离为1，符合题意； 当直线l斜率存在时，设方程为，即， 则由点到直线l的距离为1。得， 解得，即得，即， 故直线l的方程为或； 【小问2详解】 由点，可得直线的方程为， 故点关于的对称点为， 连接，则， 则， 当且仅当共线时，等号成立， 即的最小值为10， 此时的方程为，联立， 解得，即. 17. 已知椭圆：的右顶点为，离心率为． （1）求的焦距； （2）若过点的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义中，，的关系从而求解焦距。（2）由题意可知点在的垂直平分线上，再联立椭圆方程，利用垂直平分线的性质列出等式，从而求解。 【小问1详解】 由题意可得，且， 解得，则， 因此焦距. 【小问2详解】 由于过点的直线与交于，两点，且，即在的垂直平分线上. 分两种情况讨论： 当直线斜率不存在时：直线方程为，此时交点，. ， 满足，因此符合题意. 当直线斜率存在时：设直线的方程为， 联立方程 整理得：， 设，，中点为， 由韦达定理得，， 代入直线方程得中点纵坐标， 由得，即斜率乘积为-1，， ，代入得，解得， 即直线方程为，. 综上所述：直线的方程为或或. 18. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，二面角的大小为，，分别为和的中点. （1）求证平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，分别交，于，两点，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 取的中点，连接，，， 在中，，分别为和的中点， 所以且长为的一半， 又因为底面为平行四边形，为的中点， 所以且，所以四边形为平行四边形，可得， 又面，面，所以平面. （2） （3） 存在，. 【解析】 【分析】（1）取的中点，根据平行关系可得，进而可证线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求相关点的坐标，再求平面的法向量，进而可得线面夹角； （3）设，根据面面夹角可得，设，结合线面平行运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，由，则， 分别以，所在直线为轴和轴，以过垂直于底面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以为平面的一个法向量， 又，设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 因为平面，平面平面，平面， 所以， 设，则， 设平面的一个法向量为，由， 则， 令，则，，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，由（2）可知平面的法向量， 由题意可得， 令，则，得，所以， 当时，（舍去），所以当时，，此时， 设，则， 又因为平面的法向量， 则，解得， 所以存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时. 19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点” （1）求点P所在曲线的方程. （2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”. （ⅰ）求直线的方程. （ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程； （2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解； （ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解. 【小问1详解】 因为点P为圆A的“黄金点”， 所以，即， 所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 故点P所在曲线的方程为 【小问2详解】 （ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则 所以，即点P在圆上， 则P是圆和的交点. 因为P，Q均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得， 故直线的方程为. ( ii )设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为. 直线的方程为，得的中点坐标为， 点S到直线的距离为， 则，所以圆H的方程为. 假设轴上存在点满足题意，设，. 若轴平分，则，即， 整理得 又，所以代入上式可得， 整理得①， 由可得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故轴上存在点，使得轴平分. 【点睛】关键点点睛：在（2）( ii )中，求出圆圆H的方程为后，假设存在点满足题意，能够转化为，再由斜率公式化为，利用根与系数的关系代入后得，题目对运算能力要求很高，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $