专题15 勾股定理的简单应用（十四大题型42道题）-2026-2027学年苏科版数学八年级上册《典例全解·题型通关》

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题15 勾股定理的简单应用（十四大题型42道题） 目录 知识点一勾股定理与网格问题 1 知识点二勾股定理与折叠问题 2 知识点三求旗杆高度（勾股定理的应用） 3 知识点四求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 4 知识点五求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 5 知识点六求大树折断前的高度（勾股定理的应用）  6 知识点七解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 7 知识点八解决航海问题（勾股定理的应用） 8 知识点九求河宽（勾股定理的应用） 9 知识点十求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 10 知识点十一判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 11 知识点十二判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 12 知识点十三选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 13 知识点十四求最短路径（勾股定理的应用）   14 知识点一勾股定理与网格问题 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 3．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它的顶点都在格点上，并求出这个三角形的面积． 知识点二勾股定理与折叠问题 4．在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），．点在边上，沿折叠，点落在边的处．则的面积为（     ） A．3 B．4 C． D．2.5 5．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是．若，，则的长为___________． 6．如图，在中，，，为的中点，已知． （1）如图①，____________； （2）如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 知识点三求旗杆高度（勾股定理的应用） 7．如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米．随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为（    ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图所示，小黔在放风筝，已知，，，若要使风筝沿方向下降，则他应该往回收线_____． 9．风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 知识点四求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 11．一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 12．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 知识点五求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 13．南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 14．如图，两树的高分别为米和4米，相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则这只鸟至少飞行________米． 15．如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 知识点六求大树折断前的高度（勾股定理的应用）  16．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（     ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 17．“折竹抵地”问题源自《九章算术》：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子原高1丈（1丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地、抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度是尺，则可以列方程为_____． 18．如图，山坡上的一棵树甲被大风从点处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙的根部处，其中米，甲树的根部到坡底的距离米，甲、乙两棵树之间的水平距离米，已知，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的高度（即）． 知识点七解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 19．如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 20．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 21．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． （1）当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； （2）如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 知识点八解决航海问题（勾股定理的应用） 22．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海，4个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．10海里 B．12海里 C．16海里 D．20海里 23．绍兴舰在中俄舰艇编队开展联合演习中从点A处出发，以20海里/小时的速度沿北偏东方向航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度沿南偏东方向航行1.5小时到点C处，则________海里． 24．一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港． （1）求A，C两港之间的距离（结果精确到）； （2）确定C港在A港的什么方向． 知识点九求河宽（勾股定理的应用） 25．如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 26．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 27．为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 知识点十求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 28．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 29．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______元钱． 30．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． （1）求BC的长； （2）若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 知识点十一判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 31．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    32．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 33．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． （1）求的长； （2）这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 知识点十二判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 34．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为________秒． 35．为了积极宣传防疫，区政府采用了移动车进行广播宣传，如图，小明家在笔直的道路的一侧A处，小明家到道路的距离为600米，假使广播车P周围1000米内能听到广播．广播车以250米/分的速度在道路行驶时，小明在家能否听到广播？若能，请求出他总共能听到多长时间？若不能，请说明理由． 36．台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，点为一海港，且点与，两点的距离分别为，，又．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港会受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响海港持续的时间有多长？ 知识点十三选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 37．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 38．如图，在笔直的公路上有相距的A，B两点，C，D为两个村庄，，．已知，．现要在公路的段上建一个加油站E，并修建直路． （1）若C，D两村到加油站E的距离相等，则______； （2）若再修建直路，并将规划为一块面积不小于也不超过的林场，则的取值范围是______（单位：）． 39．如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． （1）求小区到快递投放点的距离． （2）因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 知识点十四求最短路径（勾股定理的应用）   40．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A． B． C． D． 41．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm． 42．公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） （1）若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． （2）在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题15 勾股定理的简单应用（十四大题型42道题） 目录 知识点一勾股定理与网格问题 1 知识点二勾股定理与折叠问题 3 知识点三求旗杆高度（勾股定理的应用） 6 知识点四求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 8 知识点五求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 11 知识点六求大树折断前的高度（勾股定理的应用）  12 知识点七解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 14 知识点八解决航海问题（勾股定理的应用） 16 知识点九求河宽（勾股定理的应用） 18 知识点十求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 20 知识点十一判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 21 知识点十二判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 23 知识点十三选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 26 知识点十四求最短路径（勾股定理的应用）   29 知识点一勾股定理与网格问题 1．如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由同圆半径相等得，在中用勾股定理求，则． 【详解】解：∵以点为圆心、为半径画弧交最上方的网格线于点， ∴． ∵，， ∴， ∴. 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 3．在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． （1）在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； （2）在图2中画出一个三条边长分别为5，，的三角形，使它的顶点都在格点上，并求出这个三角形的面积． 【答案】（1）（答案不唯一） （2），三角形的面积为5 【分析】（1）利用勾股定理进行作图即可； （2）利用勾股定理作出三角形，然后利用勾股定理的逆定理确定三角形的形状，利用三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：利用勾股定理进行作图，，图略； （2）解：利用勾股定理作出三角形，图略； ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形， ∴该三角形的面积为． 知识点二勾股定理与折叠问题 4．在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），．点在边上，沿折叠，点落在边的处．则的面积为（     ） A．3 B．4 C． D．2.5 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，接着在中，利用勾股定理求得，设，在中利用勾股定理列式计算求得，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由折叠可得， ∴，， ∵四边形是长方形，，， ∴，，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，得， 解得，， ∴的面积为． 5．如图，在直角三角形纸片中，，折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是．若，，则的长为___________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，再结合折叠性质得出，，，，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】解：，， ， 折叠纸片使得点落在边上点处，折痕是， ，，，， ，， ， ，即， ， ∴． 6．如图，在中，，，为的中点，已知． （1）如图①，____________； （2）如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，再根据三角形内角和定理计算即可． （2）根据折叠性质得到，从而得到对应边相等，再利用求三角形面积求出，根据三角形内角和定理得到是直角三角形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵为的中点，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 根据三角形内角和定理得， ∴． （2）解：连接交于， ∵，为的中点， ∴， ∵（折叠的性质）， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 根据勾股定理得， ∴． 知识点三求旗杆高度（勾股定理的应用） 7．如图，昆明市某中学数学课外活动小组想要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），多出的这段绳子长度为1米．随后再将绳子拉直（如图2），此时绳子末端C到旗杆底部B的距离为3米，则旗杆的高度为（    ）米 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，，米， 由勾股定理得：， 即， 解得， 旗杆的高度为4米． 8．如图所示，小黔在放风筝，已知，，，若要使风筝沿方向下降，则他应该往回收线_____． 【答案】2 【分析】根据勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，有， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即他应该收回线． 9．风筝发明于东周春秋时期，距今已有2000多年历史．我们在放风筝时想测量风筝线的长度，并画出了某时刻的示意图，相关数据如下：手与风筝的水平距离为15米，已放出风筝线的长为17米，手到地面的距离为1.5米．如果想要风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，则应再放出多少米风筝线？ 【答案】8米 【分析】先利用勾股定理求出的长；再根据风筝沿方向再上升12米，且的长度不变，再次利用勾股定理计算即可得到结论． 【详解】解：由题意得，，米，米， 在中，由勾股定理，可得：（米）， 如图，当风筝沿方向再上升12米，到点时， 所以米， 在中，，米， 由勾股定理，可得（米）， 则应该再放出（米）， 答：他应该再放出8米长的线． 知识点四求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 10．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得， ， ∴，即小巷的宽为. 11．一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 【答案】 【分析】由题意知分米，分米，分米，由勾股定理求得分米，分米，然后通过线段的和与差即可求解． 【详解】解：如图，由题意知分米，分米，分米， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， ∴梯子的底端在水平方向滑动了分米． 12．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． （1）求初始状态下细绳的总长度； （2）如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 知识点五求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 13．南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 【答案】A 【详解】解：根据题意得，点与点之间的距离是（米）． 14．如图，两树的高分别为米和4米，相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则这只鸟至少飞行________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 设大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故答案为： 15．如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 【答案】大约34分钟后，欢欢才能到达山顶 【分析】根据勾股定理求出，再根据缆车的速度即可求解． 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）， ∵缆车每分钟走50米， ∴（分钟）， 答：大约34分钟后，欢欢才能到达山顶． 知识点六求大树折断前的高度（勾股定理的应用）  16．“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子根部3尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈尺）如图，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，，其中一直角边长3尺，其余两边长度之和为10尺．则折断后的竹子高度为（     ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】A 【分析】已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为，通过勾股定理建立方程，求出答案． 【详解】解：设折断后的竹子高度为x尺，则被折断的竹子的长度为尺． 由勾股定理得：， 解得：， 答：折断后竹子的高度是尺． 17．“折竹抵地”问题源自《九章算术》：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一根竹子原高1丈（1丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地、抵地处离竹子底部4尺远，则折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度是尺，则可以列方程为_____． 【答案】 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺． 根据勾股定理，得． 18．如图，山坡上的一棵树甲被大风从点处拦腰折断，如图所示，甲树的顶端恰好落在坡底另一棵树乙的根部处，其中米，甲树的根部到坡底的距离米，甲、乙两棵树之间的水平距离米，已知，点、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求甲树原来的高度（即）． 【答案】树原来的高度19米． 【分析】利用勾股定理先求出，即可得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴， 则， 故， 答：树原来的高度19米． 知识点七解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 19．如图，将一根长的吸管放进一个底面直径为，高为的圆柱形空水杯中，则吸管在杯口外的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算吸管在杯内长度的最小值和最大值，从而确定杯外长度的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设吸管在杯内的长度为，在杯口外的长度为，则， 当吸管竖直放置时，取最小值，此时取最大值； 当吸管倾斜放置，底端与杯底边缘接触，顶端与杯口相对边缘接触时，取最大值，由勾股定理得，此时取最小值； ∴， ∴吸管在杯口外的长度不可能是． 20．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水池，水面是一个边长为10尺（尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是的中点），它高出水面1尺（尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（），则水的深度为_____． 【答案】12尺 【分析】根据题意可得芦苇长度，设水的深度为尺，然后在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面是一个边长为10尺的正方形，点是的中点， ∴尺， 设水的深度为尺， ∵尺，， ∴尺， ∵， ∴尺， ∵在中，根据勾股定理可得：， ∴，整理得：，解得：， ∴尺． 21．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷茶缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． （1）当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图①放置时，搅拌棒至少需要 ； （2）如图②，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，你能求出h的取值范围吗？ 【答案】（1）18 （2） 【分析】（1）图①中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 知识点八解决航海问题（勾股定理的应用） 22．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海，4个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．10海里 B．12海里 C．16海里 D．20海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海， ∴， 小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 23．绍兴舰在中俄舰艇编队开展联合演习中从点A处出发，以20海里/小时的速度沿北偏东方向航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度沿南偏东方向航行1.5小时到点C处，则________海里． 【答案】50 【分析】先求出，再求出两直角边长，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∵绍兴舰从点A处出发，以20海里/小时的速度航行2小时到点B处，接着从点B处出发，以相同的速度航行1.5小时到点C处， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）． 24．一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港． （1）求A，C两港之间的距离（结果精确到）； （2）确定C港在A港的什么方向． 【答案】（1） （2） 港在港北偏东的方向上 【分析】（1）利用方位角和平行线的性质推出，用勾股定理计算的长度，再取近似值即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，结合方位角计算出港相对港的方向即可． 【详解】（1）解：根据题意作图： ，，，， ， ， 在中，， 答：两港之间的距离约为． （2） ，， 是等腰直角三角形， ， ， 答：港在港北偏东的方向上． 知识点九求河宽（勾股定理的应用） 25．如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：，，， ． 26．某游泳爱好者想横渡一条河，由于流水的影响，实际上岸地点偏离了想到达的点 米．他在水中游了米，则这条河的宽度为（两岸可近似看作平行）_______． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，因为游泳爱好者想横渡一条河，所以可知，在中，利用勾股定理可以求出米． 【详解】解：游泳爱好者想横渡一条河， ， ， 在中，米，米， 米． 故答案为：米． 27．为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 【答案】这条河的宽度为米 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：米，米，米， ， 为直角三角形，且， 在中，米，米， 米， 米， 即这条河的宽度为米． 知识点十求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 28．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 【详解】解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 29．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______元钱． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是明确所铺地毯的长是直角三角形两条直角边的和，利用勾股定理求出长度，再求出面积并计算费用即可． 【详解】解：由勾股定理得，楼道的水平宽度为， 因为所铺地毯的长是直角三角形两条直角边的和，即， 地毯的面积为， 总费用为元， 故答案为：． 30．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． （1）求BC的长； （2）若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】（1）； （2）． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 知识点十一判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 31．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为，则这辆小汽车的速度是_____．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据题意，勾股定理求得，再根据路程除以时间等于速度，即可求解． 【详解】解：依题意，在中，，； 据勾股定理可得：， 故小汽车的速度为s． 故答案为：． 32．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 33．为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即大型汽车限速值由调整为，小型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测像A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． （1）求的长； （2）这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2）没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ； 这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ； （2）略 知识点十二判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 34．如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为________秒． 【答案】9 【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：过点作， ，米， 米， 在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 千米/小时米/秒， 影响时间应是：秒． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 35．为了积极宣传防疫，区政府采用了移动车进行广播宣传，如图，小明家在笔直的道路的一侧A处，小明家到道路的距离为600米，假使广播车P周围1000米内能听到广播．广播车以250米/分的速度在道路行驶时，小明在家能否听到广播？若能，请求出他总共能听到多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】能听到，总共能听到分钟的广播 【分析】先根据垂线段最短，判断小明家是否能听到广播，再利用勾股定理求出能听到广播的路段，用这个路段的长度除以广播车的速度即可求出对应的时间． 【详解】解：能，理由如下： ∵， ∴能听到， 如图，假设点C，D处恰好广播车与小明家的距离为，则当广播车在段时，与小明家的距离小于等于， 由题意，可知，， ∴由勾股定理，得， 同理，， ∴， （分钟）， ∴小明总共能听到分钟的广播． 36．台风风力强，影响范围大，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，点为一海港，且点与，两点的距离分别为，，又．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． （1）海港会受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港会受台风影响． 理由：如图，过点作于点． ∵， ∴是直角三角形，， ∴，即， ∴． ∴海港会受台风影响． （2）台风影响海港持续时间为0.5小时 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出的长，即可得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）略 （2）解：在线段上取点，，使， 在中，， ∵，， ∴． （小时）． ∴台风影响海港持续时间为0.5小时． 知识点十三选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 37．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 38．如图，在笔直的公路上有相距的A，B两点，C，D为两个村庄，，．已知，．现要在公路的段上建一个加油站E，并修建直路． （1）若C，D两村到加油站E的距离相等，则______； （2）若再修建直路，并将规划为一块面积不小于也不超过的林场，则的取值范围是______（单位：）． 【答案】 6.875 【分析】（1）设，则，在和中，利用勾股定理分别表示出和，根据建立方程求解即可； （2）利用割补法，用梯形的面积减去和的面积表示出的面积，根据面积范围列出不等式组求解即可． 【详解】解：（1）设，则 ， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ，两村到加油站的距离相等 解得 ； （2）由题意得， ， 的面积不小于也不超过 解得 的取值范围是． 39．如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． （1）求小区到快递投放点的距离． （2）因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 知识点十四求最短路径（勾股定理的应用）   40．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 41．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，．若一只蚂蚁从点开始经过个侧面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为____cm． 【答案】 【分析】将长方体展开，根据两点之间线段最短，结合勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将长方体展开，连接， ∵长方体的底面边长分别为和，高为，点在边上，且， ∴，， 根据两点之间线段最短，， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 42．公园中一长方体石凳如图所示，长为，宽为，高为，一只蚂蚁以的速度从顶点爬到对角顶点（，不在同一个面上） （1）若要通过展开长方体表面为平面的方法找最短爬行路径，一共有几种形状不同的展开方式？请分别画出对应的平面展开示意图． （2）在的基础上，求蚂蚁从点爬到点的最短爬行路线长度，以及按此路线爬行最快需要多长时间到达（结果保留小数点后一位）？（，） 【答案】（1）解：有三种展开方式，如图， ；；； （2）最短路线长度为，最快需要秒． 【分析】根据蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式，分别画出图形即可； 求出各种展开方式下点到点的距离，然后比较可得出最短爬行路线长度，再求出时间即可． 【详解】（1）解：蚂蚁从点爬到顶点，有三种展开方式： 将前面和上面（或后面和下面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为，，展开图如下： 将前面和右面（或后面和左面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： 将右面和下面（或左面和上面）展开成一个平面，此时、所在的直角三角形两条直角边分别为：，，展开图如下： （2）解：第两种展开方式下点到点的距离相等： ， 第②种展开方式下点到点的距离为： ， ∵， ∴最短路线长度为，， 答：最快需要秒． 学科网（北京）股份有限公司 $