专题11 实数（九大题型27道题）2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》（苏科版）

**基本信息** 聚焦实数核心概念与运算，以九大知识点为框架，通过27道题构建从概念辨析到应用拓展的逻辑体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |无理数|3道|概念识别与举例|从无理数定义切入，奠定实数概念基础| |无理数估算|3道|范围判断与连续整数确定|承接概念，培养数感与估算能力| |整数部分计算|3道|算术平方根与整数部分综合|深化无理数性质，衔接代数运算| |实数概念|3道|分类与辨析|整合有理数与无理数，构建实数体系| |实数性质|3道|化简与相反数应用|延伸概念，强化性质应用| |实数与数轴|3道|数轴表示与中点计算|体现数形结合，培养几何直观| |大小比较|3道|数的比较与几何应用|综合概念与估算，提升应用能力| |程序设计运算|3道|程序输入输出与立方根|结合现代计算思维，拓展运算场景| |计算器使用|3道|按键操作与问题解决|工具应用，衔接实际操作能力|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题11 实数（九大题型27道题） 目录 知识点一无理数 1 知识点二无理数的大小估算 2 知识点三无理数整数部分的有关计算 3 知识点四实数概念理解 5 知识点五实数的性质 7 知识点六实数与数轴 9 知识点七实数的大小比较 11 知识点八程序设计与实数运算 13 知识点九计算器——平方根和立方根 14 知识点一无理数 1．下列各数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数， ∵是分数，是整数，是有限小数，即选项A、C、D均为有理数； ∵是无限不循环小数． ∴选项B是无理数． 2．写一个大于2而小于5的无理数________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由于一个大于2而小于5的无理数，可以先把这两个数都平方得到4和25，那么就可以从4和25之间找一个数开平方，而且是无理数即可． 【详解】解：大于2而小于5的无理数可以是． 3．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ①，②，③0，④，⑤，⑥（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）． 【答案】解：有理数：①③④⑤；无理数：②⑥． 【分析】本题考查了有理数和无理数的概念辨析，解题的关键是掌握有理数（整数和分数的统称，包括有限小数和无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）的定义特征． 根据有理数是有限小数或无限循环小数、无理数是无限不循环小数的定义，对每个数逐一进行判断，区分出有理数和无理数． 【详解】解：①是有限小数，属于有理数； ②是无限不循环小数，属于无理数； ③0是整数，属于有理数； ④是分数，属于有理数； ⑤是无限循环小数，属于有理数； ⑥（相邻两个1之间0的个数逐次加1）是无限不循环小数，属于无理数． 因此，有理数有①③④⑤，无理数有②⑥． 知识点二无理数的大小估算 4．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【详解】解：， ， 则估计的值在4和5之间． 5．如果为两个连续的正整数，则___________； 【答案】3 【分析】先估算出的取值范围，再推得的取值范围，根据，是连续正整数确定，的值，代入计算即可． 【详解】解： ，即 ∴ ，且为两个连续的正整数 ， ． 6．如图，将长为6、宽为3的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，求正方形的边长，并判断它最接近的整数． 【答案】，正方形的边长最接近的整数是4． 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，无理数的大小估算． 由题意可得正方形的面积，从而可得正方形的边长，进行估算即可． 【详解】解：由题意可得正方形的面积为， ∴正方形的边长为． ∵，， ∴， ∴正方形的边长为，它最接近的整数是4． 知识点三无理数整数部分的有关计算 7．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． 8．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 【答案】/ 【分析】根据相反数，倒数的定义，以及无理数的估算得到各未知量的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵实数、互为相反数， ∴， ∵、互为倒数， ∴， ∵， ∴的整数部分为，即， ∵， ∴的小数部分为，即， ∴ ． 9．阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即解答即可； （2）根据得到，确定整数部分为1，小数部分为，结合已知，确定a，b的值，解答即可． 【详解】（1）解：∵即， ∴的整数部分为8，小数部分为． （2）解：∵即， ∴ ∴的整数部分为1，小数部分为， ∵a是的整数部分，b是的小数部分， ∴， ∴． 知识点四实数概念理解 10．下列判断中，你认为正确的是（　　） A．0 的倒数是0 B．是分数 C．大于1 D．的值是 【答案】C 【分析】根据倒数的定义，实数的分类，实数大小比较，算术平方根的概念，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A ∵0不能作为分母，∴0没有倒数，A错误； 选项B ∵是无理数，∴也是无理数，分数属于有理数，因此不是分数，B错误； 选项C ∵，，且，，，∴，C正确； 选项D 表示的算术平方根，∴，不是，D错误． 综上，答案选C． 11．已知m，n是有理数，且，的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的运算、无理数和有理数的定义，解题的关键是理解无理数与有理数的区别在中，等式的左边是含有这个无理数部分的，等式的右边为0是有理数，可知在等式的左边的系数部分应为0． 【详解】解：原式可化为， ∵m，n是有理数， ∴，解得， ∴． 故答案为． 12．把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，， (1)有理数集合{ } (2)无理数集合：{ } (3)正实数集合：{ } (4)负实数集合：{ } 【答案】(1)，，，，，， (2)， (3)，，，，， (4)， 【分析】本题主要考查有理数、无理数、实数的分类，根据定义判断每个数所属集合． 【详解】（1）解：根据有理数、无理数、实数的定义分类． 有理数包括整数、分数、有限小数和无限循环小数，因此、、、、、、是有理数． （2）解：无理数是无限不循环小数，如开方开不尽的数或，因此（即）和是无理数． （3）解：正实数是大于的实数，因此、、、、、是正实数． （4）解：负实数是小于的实数，因此和是负实数． 知识点五实数的性质 13．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数可得答案． 【详解】解：， 故选：B． 14．如果和互为相反数，那么的立方根是___________． 【答案】2 【分析】本题考查实数的性质，算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据互为相反数的两个数和为0，结合算术平方根的非负性求出的值，进而求出的立方根即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：2． 15．有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． (1)若，则的算术平方根为______； (2)若，其中是x的平方根，则x的值为______． 【答案】(1)3 (2)4 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，从而可得，，然后代入式子中，再根据算术平方根的定义求解即可； （2）根据已知易得，从而可得，进而可得：，然后利用平方根的意义，即可解答． 【详解】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的算术平方根为3， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得：， ∵m，n是x的平方根， ∴， 故答案为：4． 知识点六实数与数轴 16．如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数轴确定被遮挡数的取值范围． 【详解】解：由图可知，被手掌遮挡住的数在2与3之间． ， 该数应满足， A．，不合题意， B．，不合题意， C．，符合题意， D．，不合题意． 17．如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】设点表示的数为，结合题意可得，进一步可得答案． 【详解】解：设点表示的数为， ∵数轴上点表示，点表示，点是线段的中点， ∴，即， ∴． 18．如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性． （1）根据数轴上点的移动规律：左减右加的性质，进行计算即可； （2）根据互为相反数的定义和绝对值与算术平方根的非负性，列出关于，得到方程，求出，，从而求出答案． 【详解】（1）解：设点B表示的数为x， ∵点A表示的数为，， ， ∴点B表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ， ∴，， 解得：，， ∴ ， ∴的平方根是． 知识点七实数的大小比较 19．下列实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则比较即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于，负数小于，正数大于一切负数， ∴最小的数在和中， ∵，， ∴， 又∵两个负数比较大小，绝对值大的反而小， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 20．在，，0，3这四个数中，最大的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数和无理数的大小比较，熟练掌握比较法则是解题的关键． 根据有理数和无理数的大小比较法则，负数小于零，零小于正数；对于正数，可以通过比较平方或近似值来判断大小． 【详解】解：，且，， ，故最大的数是． 故填：． 21．如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 ； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用， （1）先根据小正方形的面积是大正方形面积的一半求得小正方形的面积，进而求得小正方形的边长即可； （2）根据剪出的大长方形的面积为，列方程求得长方形的长，再与大正方形的边长进行比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半， ∴小正方形的面积为， 设小正方形的边长为a， 则， ∴（负值舍去）， 故答案为：； （2）解：不能，理由如下： 大正方形的边长为：， ∵长方形的长宽之比为， ∴设长方形的长和宽分别是，， ∴， ， ∵， ， ∴长方形的长为， ，， ∵， ∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形． 知识点八程序设计与实数运算 22．根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出的结果为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据，把代入中求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 把代入得， ∴输出的结果为3． 23．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为______． 【答案】0或1或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． 根据最后都是无理数输出，可得的值为或或负数． 【详解】解：因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以取或时该程序无法输出值， 因为负数没有算术平方根，所以取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 24．下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 【答案】(1) (2)27 【分析】本题主要考查了计算程序流程图，立方根与无理数的概念． （1）根据计算程序流程图以及立方根的性质解答即可； （2）根据题意求出第二次取立方根前的数，即可求解． 【详解】（1）解：输入的值为，是无理数，则输出的值为； 故答案为： （2）解：∵经过两次取立方根运算后，输出的值为， ∴第二次取立方根前的数是， ∴第一次取立方根前的数为，即输入x的值是27． 知识点九计算器——平方根和立方根 25．如图所示的是用科学计算器进行计算的按键顺序，则输出的结果应为（    ） A． B．13 C．17 D．25 【答案】C 【分析】本题考查科学计算器的使用、求有理数的平方和算术平方根，解题的关键是读懂计算器所表示的运算． 根据科学计算器的使用计算． 【详解】解：依题意得：， 故选：C． 26．利用计算器计算：_________ （结果保留三位有效数字）． 【答案】 【分析】本题要求同学们能熟练应用计算器计算平方根，会用科学记算器进行计算． 利用计算器计算即可． 【详解】解：， ∴， 保留三位有效数字为． 故答案为：． 27．老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题关键．求出，则可得两种情况：①这三个连续整数为，②这三个连续整数为，分别计算每个整数的平方，由此即可得． 【详解】解：∵是三个连续整数的平方，且，，，， ∴， 又∵是三个连续整数的平方， ∴①当这三个连续整数为时，，舍去； ②当这三个连续整数为时，，，符合题意； 则． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题11 实数（九大题型27道题） 目录 知识点一无理数 1 知识点二无理数的大小估算 2 知识点三无理数整数部分的有关计算 2 知识点四实数概念理解 2 知识点五实数的性质 3 知识点六实数与数轴 3 知识点七实数的大小比较 4 知识点八程序设计与实数运算 5 知识点九计算器——平方根和立方根 5 知识点一无理数 1．下列各数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．写一个大于2而小于5的无理数________________． 3．下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ①，②，③0，④，⑤，⑥（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）． 知识点二无理数的大小估算 4．估计的值在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．如果为两个连续的正整数，则___________； 6．如图，将长为6、宽为3的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，求正方形的边长，并判断它最接近的整数． 知识点三无理数整数部分的有关计算 7．已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 8．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 9．阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 知识点四实数概念理解 10．下列判断中，你认为正确的是（　　） A．0 的倒数是0 B．是分数 C．大于1 D．的值是 11．已知m，n是有理数，且，的值为_______． 12．把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，，， (1)有理数集合{ } (2)无理数集合：{ } (3)正实数集合：{ } (4)负实数集合：{ } 知识点五实数的性质 13．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 14．如果和互为相反数，那么的立方根是___________． 15．有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若a和b是有理数，，则．已知m和n是有理数． (1)若，则的算术平方根为______； (2)若，其中是x的平方根，则x的值为______． 知识点六实数与数轴 16．如图，数轴上被手掌遮挡住的数可能是（） A． B． C． D． 17．如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 18．如图，已知点A表示的数为，点A向右平移3个单位长度到达点B． (1)点B表示的数为 ； (2)在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 知识点七实数的大小比较 19．下列实数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 20．在，，0，3这四个数中，最大的数是______． 21．如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片． (1)小正方形纸片的边长为 ； (2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 知识点八程序设计与实数运算 22．根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出的结果为（   ） A． B． C．1 D．3 23．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为______． 24．下面是嘉嘉设计的运算程序． (1)若输入的值为，则输出的值为________； (2)若输入的值后，经过两次取立方根运算后，输出的值为，求输入的值． 知识点九计算器——平方根和立方根 25．如图所示的是用科学计算器进行计算的按键顺序，则输出的结果应为（    ） A． B．13 C．17 D．25 26．利用计算器计算：_________ （结果保留三位有效数字）． 27．老师给小明布置了一个额外的任务，设x，y，z是三个连续整数的平方，已知，求y，并要求小明使用老师准备的计算器作答．小明边按计算器边说：“老师，你的计算器坏了，根号键不能用．”小明发现老师给他的是一个捉弄人的计算器．“是吗？其他键能用吗？”小明试了试其他键说：“其他键都是好的．”“那你能在之内给我答案吗？”请你帮小明想想办法． 学科网（北京）股份有限公司 $