专题09 椭圆中的最值与范围问题五种考法（压轴题专项训练）数学苏教版高二选择性必修第一册

专题09 椭圆中的最值与范围问题五种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长度（距离）的最值与范围 题型二、三角形（四边形）面积的最值与范围 题型三、一元参数范围 题型四、二元参数范围 题型五、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆中的最值与范围问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕长度（距离）的最值与范围、三角形（四边形）面积的最值与范围、一元参数范围、二元参数范围、与其他章节融合五大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是利用圆锥曲线几何性质与判别式构建不等关系；二是通过参数转化与隐含条件推导范围，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长度（距离）的最值与范围 典例1 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于P，Q两点，的周长为8，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与圆相切，且与交于不同的两点R，S，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由的周长结合椭圆的定义得出，再由的关系求出，进而得出椭圆的方程； （2）当直线斜率不存在时，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，由直线与圆相切，得，再联立方程组，由弦长公式求最值. 【解析】（1）因为的周长为8， 所以，解得， 焦距为，，所以， 所以椭圆E的方程为． （2）由（1）可知圆， 当直线斜率不存在时，为或， 当时，，则， 当时，同理， 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以，则， 设， 联立椭圆于直线方程，消元得， 所以， 由，得, , 令， 则， 由，所以当时，， 而时，单调递减，所以，所以. 题型模版 1.特征：包括曲线上动点到定点/定直线的距离、焦点弦长、三角形周长等． 2.方法：解决最值与范围问题的核心在于“翻译与转化”。解题时需敏锐捕捉几何特征与代数限制（特别是 Δ>0 和变量自身范围），将几何问题转化为函数值域或不等式求解问题，做到严密推导，不漏边界几何定理（如三角形两边之和大于第三边）进行数形结合分析，往往能巧妙避开繁琐计算，快速锁定极值。 变式1-1已知椭圆，点，过点的直线交椭圆于，两点，的中点为，定点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，的斜率为，，，进而根据点差法求得，进而求得点的轨迹方程为，进而得，进而利用二次函数的最值的求法可求得的最大值. 【解析】当直线的斜率不存在时，，； 当直线的斜率存在时，设，的斜率为，，， 则，两式相减整理得.又， 两式消去化简得点的轨迹方程为， 则. 由，得，所以. 而二次函数图象的对称轴为直线， 所以当时，可取到最大值为.又，故的最大值为 变式1-2给定椭圆，我们称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．求弦长的最大值． 【答案】(1)； (2)2 【解析】（1）由题可知，，，且，解得， 故椭圆的标准方程为：. （2）由（1）可求“伴随圆”为：， 因为，所以圆心到直线距离为， 由圆心到直线距离公式得，解得， 联立直线与椭圆方程，得， 由得，由得，， 设，则， 由弦长公式可得： ， 若时，则； 若时，则 当且仅当时取到等号， 综上所述：弦长的最大值2. 变式1-3已知椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点作x轴的垂线被椭圆C截得的弦长为2． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的上顶点A作直线交椭圆于另一点B（异于点A），求的最大值． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）依题意不妨取右焦点，如下图所示; 易知椭圆C过点，则，得， 又因为得， 解得，， 椭圆C的方程为； （2）显然，设， 当直线AB斜率不存在时，可得，此时； 当AB斜率存在，设直线， 与椭圆方程联立可得， 则，则， 令，，， 则， 当，时，等号成立； 综上可得最大值为． 类型二、三角形（四边形）面积的最值与范围 典例2 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）求出、的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程； （3）由题意可知，设点，将直线、的方程联立，可求出点的纵坐标，结合韦达定理可求得的取值范围，结合三角形的面积公式可求得结果. 【解析】（1）由题意可得，该椭圆的离心率为，可得， 所以， 故椭圆的标准方程为. （2）若直线与轴重合时，则轴经过，，不符合题意； 设直线的方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ，解得， 故直线的方程为或， 即或. （3）由题意可知，设点， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立可得，即， 解得， 由（2）可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 故的面积为， 即面积的最大值为. 题型模版 1.特征：如动直线与曲线相交构成的三角形或多边形面积的最值. 2.方法：构建目标函数：通过联立直线与曲线方程，利用韦达定理进行整体代换，建立目标函数。 求解最值：根据自变量的有效定义域（特别注意 的限制），利用二次函数配方法、三角换元法、导数法或基本不等式求出函数的最值。 变式2-1是椭圆的右焦点，其中.点、分别为椭圆的左、右顶点，圆过点与坐标原点，是椭圆上异于、的动点，且的周长小于. (1)求的标准方程； (2)连接与圆交于点，若与交于点，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知可得出，由椭圆的定义结合三点共线可得出的周长小于，可得出关于的不等式，结合可求得，即可求得、的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设，可得出，求出点、的横坐标，利用三角形的面积公式可得出关于的表达式，结合可求得结果. 【解析】（1）解：因为圆过点与坐标原点，. 设的左焦点为，则的周长 ， 所以，，则，且，故，所以，，. 因此，椭圆的坐标方程为. （2）解：设，其中，其中，且， 直线的斜率为，所以，直线的方程为， 同理可知直线的方程为，又，所以，直线的方程为. 联立直线、的方程，可得，解得， 联立直线、的方程，可得，解得. 所以， 变式2-2设椭圆的离心率为,是的右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点是上的两点，且． （i）设直线的斜率为，求直线的方程； （ii）求面积的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）最大值为，最小值为. 【解析】（1）由题意可知： 解得， 故椭圆的方程为. （2） （i）设，直线的方程为：， 联立，消去整理得： 由，可得， 由韦达定理，，(*)， 则（**）， 因为，所以， 即. 将(*)，（**）代入整理得：，解得或． 经检验或都满足， 故直线的方程为：或. （ii）不妨设．则， ，， 因为点在椭圆上，所以， 整理得：， 解得，或（负值舍去）， 同理可得：， 故， 令，则，且， 则， 因在上单调递减，故， 故，即． 当时，即时，； 当时，即时．. 面积的最大值为，最小值为. 变式2-3已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时的方程． 【答案】(1)； (2)最大值，的方程为 【分析】（1）本问利用椭圆的定义求出，代入点坐标求出，从而求出椭圆标准方程； （2）设直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，表示出三角形面积，利用基本不等式求出面积最大值，从而求出直线方程. 【解析】（1）解：（1）由两点间距离公式可得，，根据椭圆的定义可得，所以， 又点在椭圆上，代入得，解得，因此椭圆的方程为． （2）（2）设直线为，，， 联立，化简得， 则，，， ， 由基本不等式得， 当且仅当，即，亦即时等号成立, 此时取最大值为，所以的方程为. 题型三、一元参数范围 典例3已知，分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围． 【答案】 【分析】设，，则，结合平行四边形OAED，可得，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理可得，．进而得到，从而求解. 【解析】设，，则． 四边形OAED为平行四边形， ，． 点A，B，E均在椭圆C上， ，，． ，． ． 由消去y，得． 显然． ，． ．， 因为，所以，即， 题型模版 1.特征：涉及向量数量积（如 ）、斜率之和/积、截距等代数表达式的极值 2.方法：（1）几何法（数形结合）：若题目条件具有明显的几何特征，优先利用曲线定义、平面几何定理（如三角形三边关系、点到直线距离）或切线性质求解。此法往往能避开繁琐的代数运算，实现“秒杀”。 （2）代数法（函数与方程思想）：当几何特征不明显时，需引入参数（如斜率 、截距 或参数角 ），将目标几何量转化为关于该参数的函数 变式3-1已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点），若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，则实数m的取值范围为____________. 【答案】 【分析】根据条件，列出关于的方程组，即可求椭圆方程；讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，联立方程，将向量关系，转化为坐标关系，并利用韦达定理消元整理，并根据，求解. 【解析】由题可知 解得故椭圆的方程为. 当直线l的斜率不存在时，设，，， 由，，得，同理，当,时，得，所以， 当直线l的斜率存在时，即时，设直线的方程为，联立 消去y得.因为直线l与椭圆C交于不同的两点P、Q， 所以，即①.设，则②，则，由，得③， ③代入②得，化简整理得④，将④代入①得， 化简得，解得或. 综上，m的取值范围为 故答案为： 变式3-2已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】设，，由得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，点的横坐标满足，得到不等式即可求得结果. 【解析】已知椭圆方程为，离心率，则， 如图所示，设左右焦点分别为，，椭圆上的点，， 由题意得，即， 由于都在椭圆上，则有，，代入，得，由可得：，整理得， 再代入得， 整理得， 当时，得，显然不符合条件； 当时，得，符合条件； 当且时，解得，代入，则，化简得，为了使点在椭圆范围内，则点的横坐标需要满足，即，解得.而当或时，与平行，即点，重合，不符合条件.综上所述，的取值范围为. 变式3-3已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率； （2）设点坐标，由向量关系坐标化可解得坐标，代入椭圆方程可得； （3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围. 【解析】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 题型四、二元参数范围 典例4 已知点A，B分别是椭圆：的右顶点和上顶点，点P是椭圆上除A，B外的任意一点，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由可得，则， 设，由于点P与点A和点B不同，则， 则，，， 即， 上式除以再与下式相加得， 设，则， 由于，则， 则，故， 则， 故答案为：. 题型模版 1.特征：涉及向量数量积（如 ）、斜率之和/积、截距等代数表达式的极值. 2.方法：代数法（函数与判别式）： 判别式法：联立直线与曲线方程，利用相交条件 Δ>0 构造关于参数的不等式，这是确定参数范围最基础且关键的一步。 函数法：引入参数（如斜率 k ），将目标几何量转化为关于该参数的函数。结合参数自身的定义域，利用函数的单调性、配方法或基本不等式求出函数的值域，进而确定范围。 参数传递法：利用已知参数的范围，通过建立等量关系，求出新参数的范围。 变式4-1已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，为椭圆上一点，且，过的直线与椭圆交于两点（其中点位于轴上方），记直线的斜率分别为，则的最小值为_____________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可；设直线，，，将椭圆方程与直线方程联立，利用韦达定理求解即可. 【解析】由于椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上，且， 所以根据椭圆定义可知，， 则， 所以椭圆的方程为：. 由题意可知直线斜率不为0， 设直线，，， 联立可得， 则得，， 所以， 由于点位于轴上方，所以均大于， 所以，即， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为 变式4-2设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点，已知的面积为． (1)求椭圆的离心率； (2)已知直线与椭圆相切，过点B的直线与椭圆交于C，D两点，过点C，D作l的垂线，垂足分别为M，N两点（M，N两点不重合）．记直线CN，DM的斜率分别为，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，再利用离心率定义计算即可得； （2）由题意可求出椭圆方程，设出直线的方程，联立曲线方程，可得到与交点纵坐标有关韦达定理，再表示出、后，即可借助韦达定理计算的取值范围. 【解析】（1）由已知，，，则， 故； （2）由直线与椭圆相切，故椭圆左顶点坐标为，即， 则，即椭圆方程为， 设直线，、，则、， 联立，消去可得， 恒成立， 有，， 又，， 则 ， 由，故， 即的取值范围为. 变式4-3已知分别是椭圆的左、右顶点，过点、斜率为的直线交椭圆于两个不同的点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围； （3）若，设直线分别交轴于点，求的取值范围． 【答案】(1)4，.(2);(3) 【分析】（1）由椭圆方程可求出得解； （2）点B落在以线段为直径的圆的外部，即，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数关系代入运算得解； （3）设，，由，可得，即，同理可得，，由得，同理得，可得的表达式，结合（2）代入运算得解. 【解析】（1），，，，即， 所以椭圆的焦距为4，离心率为. （2）设，，直线，又， 联立方程，消去整理得， ，即或， ，， 点B落在以线段为直径的圆的外部，即， 则，又，， 可得， 代入，运算整理得，，解得或，又或， 所以的取值范围为. （3）设，，，， 由，可得，即， 同理可得，， 又即，解得， 同理可得， 又由（2）知，，，，， ， 又，. 所以的取值范围为. 题型五、与其他章节融合 典例5 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，且与双曲线共顶点，为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)若，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）双曲线的顶点坐标为，故， 由题意得，故， 故椭圆C的方程为 （2）设，如下图所示： 则， 因为，且， 所以，即， 所以，解得， 所以 ， 因为， 所以，当且仅当，即时，取等号， 故的最大值为 题型模版 1.特征：常常与向量数量积（如 ）、不等式、三角恒等变换等知识融合； 2.方法：解决此类问题的核心在于“几何问题代数化，代数问题函数化”。解题时需先画图预判，优先尝试几何法；若行不通，则严谨地进行代数设参、联立、求导或放缩，并注意定义域的边界条件 变式5-1已知O为坐标原点，不经过点O的直线l与椭圆交于A，B两点，M为线段的中点，线段的中垂线与x轴的交点为N，则的正切值的最大值为 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，求得，利用到角公式可得答案. 【解析】由已知得直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为 所以得， 设， 所以，，， 则，， 由， 当时， ， 当且仅当即等号成立. 当时，，不合题意 故答案为：. 变式5-2在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由椭圆得左，右焦点分别为，，    设， 因为，所以，整理得， 又因为，联立方程组，解得，， 所以点A点坐标为， 设点坐标为，因为直线斜率不为，设直线方程为， 将，代入解得直线方程为， 再将直线与直线联立解得点坐标为， 所以， 当时，取最大值，最大值为， 故答案为： 变式5-3若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为_______________． 【答案】 【分析】首先得到椭圆的、、，以及圆心坐标与半径，再由数量积的运算律得到，利用椭圆的性质求解的范围，从而可得答案. 【解析】椭圆的，，则， 圆的圆心为，半径，则为椭圆的右焦点， 又 ， 由椭圆的性质可得，即， 所以． 故答案为： 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A．若直线l垂直于x轴，则 B． C．若，则直线l的斜率为 D．若，则 【答案】B 【分析】求出椭圆E的左焦点，设出直线l的方程并与椭圆方程联立，逐项计算判断作答. 【解析】依题意，椭圆的左焦点为，设， 对于A，轴，直线，由得：，则，A错误； 对于B，l不垂直于x轴时，设l的方程为，由消去y并整理得： ，则，， ， 显然，于是得，由选项A知，当轴时，，因此，B正确； 对于C，当时，由选项B得，解得，C错误； 对于D，因，有，则，即， 而，， 同理，则有，即，于是得， 因此，D错误. 故选：B 2．设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】(1)求出椭圆的a、b、c，设，利用平面数量积的坐标表示和即可求解； (2)设直线的方程和，联立椭圆方程，根据和为锐角可得，结合韦达定理代入化简计算即可求解. 【解析】（1）由题意知，，所以，设， 则， 又，有，解得，所以； （2）显然不满足题意，设直线的方程为，设， ，，解得，① ，则， 又为锐角，则，即，，所以 ，解得，②由①②，解得或， 所以实数k的取值范围为 故选：C 3．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一 ：由题意可得，，，设.表示出，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，，，设，取线段AF的中点，可推得，然后根据椭圆的范围即可求出范围. 【解析】解法一： 由题意知，，设. 则. 因为，所以，所以， 所以． 解法二： 由题意知，． 设，取线段AF的中点N，则，连接MN. 则. 因为，所以，所以， 所以． 故选：D． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（ ） A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1 C．若AB⊥AF2，则λ=2 D．λ的取值范围是[1，5] 【答案】A 【解析】因为，则三点共线，周长是定值，A对． ，B错． ∵，则，A在上、下顶点处，不妨设，则 解得或，，，，C错． 令 消x可得， 时， 时，∴，D错． 故选：A. 5．已知椭圆的右焦点为，过点作两条相互垂直的直线分别与相交于，和，则四边形面积的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】在椭圆中，，，则，所以右焦点. 当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为，，. 联立，消去可得： 即 由韦达定理可得，. 根据弦长公式，可得： 因为，所以直线的斜率为，同理可得. 则四边形的面积 根据基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立. 所以. 当直线的斜率为时， 此时，，则四边形的面积. 当直线的斜率不存在时， 此时，，则四边形的面积. 综上所得，则四边形的面积最小值为 故选：B. 6．（多选）已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在上，且，则下列说法正确的是（ ） A．周长的最小值为14 B．四边形可能是矩形 C．直线，的斜率之积为定值 D．的面积最大值为 【答案】ACD 【分析】对四个选项一一判断：对于A：利用椭圆的对称性，判断出PQ为椭圆的短轴时， 周长最小.即可判断；对于B：判断出，从而四边形不可能是矩形.即可判断；对于C：设，直接计算出.即可判断；对于D.由的面积为.即可判断. 【解析】由，可知P，Q关于原点对称. 对于A.根据椭圆的对称性，，当PQ为椭圆的短轴时，有最小值6，所以周长的最小值为14.故A正确； 对于B.因为，所以， 则，故椭圆上不存在点，使得， 又四边形是平行四边形，所以四边形不可能是矩形.故B不正确. 对于C.由题意得，设，则， 所以.故C正确； 对于D.设的面积为，所以当PQ为椭圆的短轴时，最大，所以.故D正确. 故选：ACD 7．（多选）数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆可以与边长为的正方形的四条边均相切，则（ ） A．椭圆的离心率为 B．若一个矩形的四条边均与椭圆相切，则该矩形面积的最大值为50 C．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，则直线的斜率的取值范围为 D．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，且点到直线与到直线的距离之和与点的位置无关，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据蒙日圆的定义，求得，得到椭圆的离心率，可判定A不正确；设矩形的边长分别为，结合基本不等式，求得，可判定B正确；根据直线与圆的位置关系，列出不等式，可判定C正确；根据直线与平行，并且分别位于蒙日圆的两侧，结合临界状态，结合点到直线的距离公式，可判定D正确. 【解析】对于A，由题意知，正方形的对角线的长度等于蒙日圆的直径， 即，所以，所以椭圆的离心率，所以A不正确； 对于B，设矩形的边长分别为，则， 由不等式，所以，可得， 所以矩形的面积的最大值为50，所以B正确； 对于C，设直线的方程为，且蒙日圆方程为， 由，解得，所以C正确； 对于D，如果点到两条直线的距离之和与点的位置无关， 可得直线与平行，并且分别位于蒙日圆的两侧， 临界状态就是与蒙日圆相切，且蒙日圆的方程为， 此时满足，且，解得， 所以的取值范围是，所以D正确 8．（多选）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（ ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 【答案】BCD 【分析】对于A，判断与的大小即即可；对于B,设，，，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C，求出，利用二次函数求最值即可；对于D，利用椭圆的定义，转化求的最大值，即可. 【解析】 对于A,设椭圆的上顶点为，则直角三角形中，，则，故A错误； 对于B，设，则，，且，即，又, 则， 又，故，则B正确； 对于C，，，， 则当时，取最小值为，故C正确； 对于D，设椭圆的右焦点为, 的周长为：, 当且仅当三点共线时，等号成立，故D正确， 故选：BCD. 9．若为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径为2. 因为 . 又因为椭圆的，为椭圆的右焦点， 设，， ， ， 所以，， ∴． 故答案为： . 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，点为坐标原点，点在椭圆上，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以， 因为， 当轴时，， 所以； 当AB为长轴时，， 所以， 所以的取值范围为， 故答案为： 11．已知点F为椭圆的左焦点，O为坐标原点，过椭圆的右顶点作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，由求出，结合正切的差角公式及基本不等式求得，解不等式即可求得离心率的取值范围. 【解析】 设，其中，右顶点为，由，则，， 又由，有， 又由，有，当且仅当时取等， 整理为，可得，解得． 故答案为： 12.已知是椭圆的一个顶点，点是上一点． (1)求椭圆的方程． (2)若过点的直线与椭圆交于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3 【解析】（1）由题可知 解得，， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）证明：若直线的斜率为，则直线与椭圆的交点为，矛盾， 故直线的斜率不为，设其方程为，，． 由， 消得:， 方程的判别式， 由已知为方程的解， 所以，， 因为，， 所以 ，为定值． （ⅱ） ， 因为，当且仅当时，取得最小值， 所以的最小值为． 13．已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【解析】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的方程为 （2）, 设直线, 联立可得， 故， 当且仅当，即时取到等号， 故的面积的最大值为. （3）设直线 联立可得， 则，又， 所以，， 同理可得， 故 , 由于位于第一象限，故， 因此 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）设椭圆的半焦距为， 由，得， 又的周长为， 即 所以， ， 椭圆的标准方程为． （2）设， 直线的斜率为时，得， 此时的方程为， 代入方程可得，， 所以； 当直线的斜率不为时， 设直线，直线， 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得 ， ． 由根与系数的关系得， 所以 联立直线和椭圆的方程，并消去整理得， 由根与系数的关系得， ， 所以． 令，则， 不妨设 ， ， ， ， 综上可得，的取值范围为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 椭圆中的最值与范围问题五种考法 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长度（距离）的最值与范围 题型二、三角形（四边形）面积的最值与范围 题型三、一元参数范围 题型四、二元参数范围 题型五、与其他章节融合 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 椭圆中的最值与范围问题是高中数学核心重难点，所有题型均围绕长度（距离）的最值与范围、三角形（四边形）面积的最值与范围、一元参数范围、二元参数范围、与其他章节融合五大核心展开，解题贯穿两条底线原则： 一是利用圆锥曲线几何性质与判别式构建不等关系；二是通过参数转化与隐含条件推导范围，所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、长度（距离）的最值与范围 典例1 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于P，Q两点，的周长为8，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与圆相切，且与交于不同的两点R，S，求的取值范围． 题型模版 1.特征：包括曲线上动点到定点/定直线的距离、焦点弦长、三角形周长等． 2.方法：解决最值与范围问题的核心在于“翻译与转化”。解题时需敏锐捕捉几何特征与代数限制（特别是 Δ>0 和变量自身范围），将几何问题转化为函数值域或不等式求解问题，做到严密推导，不漏边界几何定理（如三角形两边之和大于第三边）进行数形结合分析，往往能巧妙避开繁琐计算，快速锁定极值。 变式1-1已知椭圆，点，过点的直线交椭圆于，两点，的中点为，定点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 变式1-2给定椭圆，我们称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．求弦长的最大值． 变式1-3已知椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点作x轴的垂线被椭圆C截得的弦长为2． (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的上顶点A作直线交椭圆于另一点B（异于点A），求的最大值． 类型二、三角形（四边形）面积的最值与范围 典例2 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 题型模版 1.特征：如动直线与曲线相交构成的三角形或多边形面积的最值. 2.方法：构建目标函数：通过联立直线与曲线方程，利用韦达定理进行整体代换，建立目标函数。 求解最值：根据自变量的有效定义域（特别注意 的限制），利用二次函数配方法、三角换元法、导数法或基本不等式求出函数的最值。 变式2-1是椭圆的右焦点，其中.点、分别为椭圆的左、右顶点，圆过点与坐标原点，是椭圆上异于、的动点，且的周长小于. (1)求的标准方程； (2)连接与圆交于点，若与交于点，求的取值范围. 变式2-2设椭圆的离心率为,是的右焦点． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点是上的两点，且． （i）设直线的斜率为，求直线的方程； （ii）求面积的最大值与最小值． 变式2-3已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线过点，且与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时的方程． 题型三、一元参数范围 典例3已知，分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围． 题型模版 1.特征：涉及向量数量积（如 ）、斜率之和/积、截距等代数表达式的极值 2.方法：（1）几何法（数形结合）：若题目条件具有明显的几何特征，优先利用曲线定义、平面几何定理（如三角形三边关系、点到直线距离）或切线性质求解。此法往往能避开繁琐的代数运算，实现“秒杀”。 （2）代数法（函数与方程思想）：当几何特征不明显时，需引入参数（如斜率 、截距 或参数角 ），将目标几何量转化为关于该参数的函数 变式3-1已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点），若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，则实数m的取值范围为____________. 变式3-2已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆C上存在不同的两点A，B，使得，则的取值范围是______． 变式3-3已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 题型四、二元参数范围 典例4 已知点A，B分别是椭圆：的右顶点和上顶点，点P是椭圆上除A，B外的任意一点，若，则的取值范围是 ． 题型模版 1.特征：涉及向量数量积（如 ）、斜率之和/积、截距等代数表达式的极值. 2.方法：代数法（函数与判别式）： 判别式法：联立直线与曲线方程，利用相交条件 Δ>0 构造关于参数的不等式，这是确定参数范围最基础且关键的一步。 函数法：引入参数（如斜率 k ），将目标几何量转化为关于该参数的函数。结合参数自身的定义域，利用函数的单调性、配方法或基本不等式求出函数的值域，进而确定范围。 参数传递法：利用已知参数的范围，通过建立等量关系，求出新参数的范围。 变式4-1已知椭圆的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为，为椭圆上一点，且，过的直线与椭圆交于两点（其中点位于轴上方），记直线的斜率分别为，则的最小值为_____________. 变式4-2设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点，已知的面积为． (1)求椭圆的离心率； (2)已知直线与椭圆相切，过点B的直线与椭圆交于C，D两点，过点C，D作l的垂线，垂足分别为M，N两点（M，N两点不重合）．记直线CN，DM的斜率分别为，，求的取值范围． 变式4-3已知分别是椭圆的左、右顶点，过点、斜率为的直线交椭圆于两个不同的点． （1）求椭圆的焦距和离心率； （2）若点落在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围； （3）若，设直线分别交轴于点，求的取值范围． 题型五、与其他章节融合 典例5 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，且与双曲线共顶点，为椭圆上一点，直线交椭圆于另一点. (1)求椭圆的方程； (2)若，且，求的最大值. 题型模版 1.特征：常常与向量数量积（如 ）、不等式、三角恒等变换等知识融合； 2.方法：解决此类问题的核心在于“几何问题代数化，代数问题函数化”。解题时需先画图预判，优先尝试几何法；若行不通，则严谨地进行代数设参、联立、求导或放缩，并注意定义域的边界条件 变式5-1已知O为坐标原点，不经过点O的直线l与椭圆交于A，B两点，M为线段的中点，线段的中垂线与x轴的交点为N，则的正切值的最大值为 . 变式5-2在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 . 变式5-3若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为_______________． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．已知椭圆的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A．若直线l垂直于x轴，则 B． C．若，则直线l的斜率为 D．若，则 2．设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（ ） A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1 C．若AB⊥AF2，则λ=2 D．λ的取值范围是[1，5] 5．已知椭圆的右焦点为，过点作两条相互垂直的直线分别与相交于，和，则四边形面积的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D． 6．（多选）已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆的上顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在上，且，则下列说法正确的是（ ） A．周长的最小值为14 B．四边形可能是矩形 C．直线，的斜率之积为定值 D．的面积最大值为 7．（多选）数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆任意两条互相垂直的切线的交点都在以原点为圆心，为半径的圆上，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆可以与边长为的正方形的四条边均相切，则（ ） A．椭圆的离心率为 B．若一个矩形的四条边均与椭圆相切，则该矩形面积的最大值为50 C．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，则直线的斜率的取值范围为 D．若为椭圆的蒙日圆上任意一点，且点到直线与到直线的距离之和与点的位置无关，则的取值范围是 8．（多选）已知椭圆的左､右顶点分别为，左焦点为为上异于的一点，过点且垂直于轴的直线与的另一个交点为，交轴于点，则（ ） A．存在点，使 B． C．的最小值为 D．周长的最大值为8 9．若为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是 . 10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，点为坐标原点，点在椭圆上，且，则的取值范围为 . 11．已知点F为椭圆的左焦点，O为坐标原点，过椭圆的右顶点作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为 ． 12.已知是椭圆的一个顶点，点是上一点． (1)求椭圆的方程． (2)若过点的直线与椭圆交于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ⅱ）求的最小值． 13．已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点． (1)求椭圆的方程； (2)求的面积的最大值； (3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，且．过右焦点的直线与交于两点，的周长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过原点作一条垂直于l的直线交于两点，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $