15.3等腰三角形同步训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

人教版数学 · 八年级上册 · 第十五章 轴对称 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 知识点1 等腰三角形的性质（等边对等角） 1. 如图 ，在 中，，，则 的度数是（　） 图 15-3-1 A． B． C． D． 2. 如图 ， 为等腰三角形，， 是 延长线上的一点，，则 的度数为（　） 图 15-3-2 A． B． C． D． 3. （教材习题15.3T6变式）如图 ，在 中，， 的垂直平分线 交 于点 ，连接 .若 ，则 的度数为（　） 图 15-3-3 A． B． C． D． 4. 如图 ，，，，则 ＿＿＿ . 图 15-3-4 5. (1)［教材习题15.3T1(1)变式］等腰三角形的一个角是 ，它的另外两个角的度数分别是＿＿＿；(2)等腰三角形的一个角是 ，它的另外两个角的度数分别是＿＿＿. 6. 如图 ，四边形 的对角线 ， 相交于点 ，，，求证：. 图 15-3-5 7. （教材例1变式）如图 ，在 中，点 在边 上，，，求 的度数. 图 15-3-6 知识点2 等腰三角形的性质（三线合一） 8. 如图 ，在 中，， 是 的中点.下列结论中不一定正确的是（　） 图 15-3-7 A． B． 平分 C． D． 9. 如图 ， 是等腰三角形 底边 上的高.若点 到直线 的距离为 ，则点 到直线 的距离为（　） 图 15-3-8 A． B． C． D． 10. 如图 ，在 中，， 是 边上的中线， 于点 .求证：. 图 15-3-9 11. 如图 ，，，则 的度数为（　） 图 15-3-10 A． B． C． D． 12. 如图 ，在 中，，现将 沿 折叠，使得点 落在边 上的点 处.若 是等腰三角形，则 的度数为（　） 图 15-3-11 A． B． C． D． 13. 如图 ，在 中，， 为 边上的两点，，， 于点 ，且 .若 ，则 （　） 图 15-3-12 A． B． C． D． 14. 如图 ，直线 ，垂足为 ，且 .若 ，则 的度数为＿＿＿. 图 15-3-13 15. 已知等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分为 和 的两部分，则这个等腰三角形的底边长为＿＿＿. 16. 已知：如图 ，在等腰三角形 中，，， 于点 ，，交 的延长线于点 ，连接 .请写出 与 的关系，并证明. 图 15-3-14 17. 小马和小虎在解这样一道题：“如图 ，在 中，，点 ， 均在边 上，，，求 的度数.”他们经过商量后，结论不一致，小马说：“ 的度数与 的度数有关，只有知道 的度数才能求出 的度数.”小虎说：“ 的度数是一个定值，与 的度数无关.”他们谁说得正确？请说明理由. 图 15-3-15 第2课时 等腰三角形的判定 知识点1 等腰三角形的判定 1. 下列三角形中，不是等腰三角形的是（　） 图 15-3-16 2. （教材练习T1变式）如图 ，，点 在 上，且 ，则图中的等腰三角形有＿＿＿个. 图 15-3-17 3. 如图 ，，，， 交于点 .求证： 是等腰三角形. 图 15-3-18 知识点2 作等腰三角形 4. 在 中，，，若用无刻度的直尺和圆规在 上找一点 ，使 是等腰三角形，则下列作法中，正确的是（　） 图 15-3-19 A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 5. （教材例3变式）如图 ，已知等腰三角形的底边长为 ，底边上的中线长为 ，求作这个等腰三角形. 图 15-3-20 6. 在 中，与 相邻的外角是 .若 为等腰三角形，则 的度数是（　） A． B． C． 或 D． 或 或 7. 如图 ，，，，则图中等腰三角形的个数是（　） 图 15-3-21 A． B． C． D． 8. 如图 ，在 中，，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（　） 图 15-3-22 A．①③ B．①②③④ C．①②④ D．①③ 9. 求证：如果一个三角形从一个顶点出发的中线和角平分线重合，那么这个三角形是等腰三角形. 10. 如图 ，在 中，， 和 均是 的角平分线，且相交于点 . 图 15-3-23 (1) 求证： 是等腰三角形； (2) 连接 ，试判断直线 与线段 的关系，并说明理由. 15.3.2 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定 知识点1 等边三角形的性质 1. 如图 ，过等边三角形 的顶点 作射线.若 ，则 的度数是（　） 图 15-3-29 A． B． C． D． 2. 如图 ，若 是等边三角形，， 平分 交 于点 ，延长 到点 ，使 ，则 的长为（　） 图 15-3-30 A． B． C． D． 3. 如图 ，等边三角形 的顶点 ， 均在 轴上，顶点 在 轴上.若点 的坐标为 ，则点 的坐标是＿＿＿. 图 15-3-31 4. 如图 ，已知 是等边三角形，点 ，，， 在同一直线上，点 ， 分别在 ， 上，且 ，，则 ＿＿＿ . 图 15-3-32 5. 如图 ，， 分别是等边三角形 的边 ， 上的点，且 ， 与 交于点 .求证：. 图 15-3-33 知识点2 等边三角形的判定 6. 下列条件中，不能判定 是等边三角形的是（　） A． B．， C．， D．，且 7. 由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小颖同学设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可.如图 ①，衣架杆 （ 为衣架的固定点）；如图②，若衣架收拢时，，则此时 ， 两点之间的距离是（　） 图 15-3-34 A． B． C． D． 8. 如图 ，在四边形 中，，点 在线段 上，.若使 成为等边三角形，则可增加的一个条件是＿＿＿. 图 15-3-35 9. （教材习题15.3T5变式）如图 ，，， 交 于点 ，.求证： 是等边三角形. 图 15-3-36 10. 如图 ， 是等边三角形， 为中线， 为 上一点，且 ，则 的度数为（　） 图 15-3-37 A． B． C． D． 11. 如图 ，一艘轮船由海平面上 地出发向南偏西 方向行驶 海里到达 地，再由 地向北偏西 方向行驶 海里到达 地，则 ， 两地相距（　） 图 15-3-38 A． 海里 B． 海里 C． 海里 D． 海里 12. 如图 所示，， 是 的中点， 平分 ，，垂足为 .若 ，，则 ＿＿＿. 图 15-3-39 13. （教材习题15.3T11变式）已知：如图 ， 为线段 上一点，， 都是等边三角形， 交 于点 ， 交 于点 . 图 15-3-40 (1) 求证：； (2) 判断 的形状，并说明理由. 14. 如图 ， 是等边三角形 内一点， 是 外一点，，，，连接 . 图 15-3-41 (1) 求证： 是等边三角形； (2) 当 时，试判断 的形状，并说明理由； (3) 探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？（直接写出答案） 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 知识点 含30°角的直角三角形的性质 1. 如图 ，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面 处折断，树尖 恰好碰到地面，经测量，，则原树高为（　） 图 15-3-42 A． B． C． D． 2. 如图 ，在 中， 垂直平分边 ，垂足为 ，，，则 的长是＿＿＿. 图 15-3-43 3. 如图 ，在 中，，， 于点 ，，则 的长为＿＿＿. 图 15-3-44 4. 南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构.如图 是屋架设计图的一部分， 是斜梁 的中点，立柱 ， 垂直于横梁 .若 ，，则 的长为＿＿＿ . 图 15-3-45 5. 如图 ，在 中，，， 的垂直平分线与 交于点 ，与 交于点 ，连接 .若 ，则 的长为＿＿＿. 图 15-3-46 6. 如图 ，在 中，，，，交 于点 .求证：. 图 15-3-47 7. 如图 ，在等腰三角形 中，，，则 的面积为＿＿＿. 图 15-3-48 8. 如图 ，，点 在射线 上，且 ，点 在射线 上.若 是锐角三角形，则 的长的取值范围是＿＿＿. 图 15-3-49 9. 如图 ，在等边三角形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，过点 作 ，交 的延长线于点 .若 ，求 的长. 图 15-3-50 参 考 答 案 ◆ 15.3.1-第1课时 1. C 2. C 3. D 4. 66 5. (1) (2)或 6. 证明:,. 又,.. 7. 8. D 9. C 10. 证明:,是边上的中线,...,... 11. A 12. C 13. D 14. 15. 7 cm 或 11 cm 16. 垂直平分 证明略 17. 小虎说得正确 理由略 ◆ 15.3.1-第2课时 1. A 2. 3 3. 证明:在和中,,,,(SSS)...是等腰三角形. 4. A 5. 略 6. D 7. C 8. A 9. 解:已知:如图①,在中,平分交于点,且为的中点. 求证:是等腰三角形. 证明:如图②,延长到点,使,连接.是的中点,. 在和中,,,,(SAS).,.平分,....是等腰三角形. 10. (1)证明: 在中,,.分别平分,,...是等腰三角形. (2)直线垂直平分线段 理由略 ◆ 15.3.2-第1课时 1. B 2. C 3. (4,0) 4. 15 5. 证明:为等边三角形,,. 在和中,,,,(SAS).. 6. D 7. B 8. (答案不唯一,或或或或等) 9. 证明:,.,.. 又,是等边三角形. 10. A 11. A 12. 4 13. (1)证明:都是等边三角形,,,,,即. 在和中,,,,(SAS).. (2)为等边三角形 理由略 14. (1)证明:是等边三角形,.,,.,即.是等边三角形. (2)是直角三角形 理由略 (3)当或或时,是等腰三角形 ◆ 15.3.2-第2课时 1. B 2. 4 3. 2 4. 1.2 5. 6 6. 证明:,,.,. 在中,. 7. 36 8. 9. 6 cm 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $