15.3.2 等边三角形（30°角的直角三角形的性质） 同步评价试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.3.2 等边三角形（30°角的直角三角形的性质） 同步评价试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．如图，，，于点D，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 5．如图，的斜边的垂直平分线与交于点M，，，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，中，，，点在边上（不与、重合），将沿折叠，点对应点恰好落在边上，若，则长等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 7．如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 二、填空题 8．线段与水平方向的夹角为，沿水平方向平移，则线段所扫过的区域面积是_____． 9．将一个含角的直角三角板与直尺按如图方式放置，三角板的斜边与直尺的一边平行，直尺的上下两边恰好经过0和4刻度．则直尺的宽度是______． 10．如图，已知在中，，，D为BC的中点，于点E，若，则的长为________． 11．舂米是中国传统农业劳作方式，过程主要分为摆米、浸泡、放水、捞黄、捣击、提麸等环节，最早可追溯至数千年前的周代和春秋战国时期．舂的结构类似于杠杆（如图1所示），一口石臼上架着用一根木头做成的“碓身”，“碓”的头部下面有杵（），“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碓头翘得更高，提高舂米效率．舂米工作时（如图2所示），碓尾落于深坑底部时，在点处测得碓头所在位置仰角为，已知坑深，碓身长，则碓头离地面的高度是______． 12．某校在一块如图所示的三角形空地上种植草皮美化环境，已知，，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要________元． 13．如图，在中，，，，，分别为边，上的任意一点，且．连接．若是直角三角形，则_____． 三、解答题 14．一艘轮船由南向北航行，如图，在A处测得小岛P在北偏西方向上，轮船以10海里/时的速度航行两个小时后，在B处测得小岛P在北偏西方向上，在小岛周围18海里内有暗礁．问若轮船继续向前航行，有无触礁的危险？ 15．如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 16．如图，在中，，点M，N分别是，边上的动点．点M从点B运动到点C，点N从点C运动到点A，已知点M的速度为每秒1个单位长度，点N的速度为每秒1.5个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为，当为直角三角形时，求t的值． 17．已知，在等边△中，、分别为、边上的点，，连接、相交于点． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，过点作于，若，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A D D A C B 1．B 本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，即可． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．A 设的垂直平分线交于点，连接，根据线段垂直平分线的性质知是等腰三角形，证明是直角三角形，利用含角的直角三角形的性质可得与间的数量关系，进一步推出，可得结论． 解：设的垂直平分线交于点，连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识点，确定是解题的关键． 3．D 本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形的性质可求得，再利用含30°角的直角三角形的性质可求得，，即可求解． 解：是边上的高线， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：D． 4．D 本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可． 解：由作图可得垂直平分， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 5．A 根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据三角形的面积公式可得的面积为，即可求解 解：∵是的垂直平分线，， ∴， ， ， 又∵ 故选A． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 6．C 本题考查的是轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，先求解，，，证明，可得，进一步可得答案. 解：∵，，点在边上（不与、重合），将沿折叠点，对应点恰好落在边上， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 7．B 本题考查了平移的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握平移的性质是解题关键．过点作于点，与交于点，由平移的性质可知，，，，，进而推出，根据30度角所对的直角边等于斜边一半得出，再结合阴影部分的面积求解即可． 解：如图，过点作于点，与交于点， ， ， 由平移的性质可知，，，，， ， ， ， 在中，，， ， ， 阴影部分的面积， 故选：B． 8． 本题考查平移的性质，角的直角三角形的性质，过点作于点C，根据角的直角三角形的性质求出，然后根据平行四边形的面积公式计算解答即可． 解：如图，过点作于点C， 则， ∴线段所扫过的区域面积是 故答案为：． 9．2 本题考查了含角的直角三角形的性质，由含角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：如图， 由题意可得：，，， ∴， 作于，则， ∴，即直尺的宽度是， 故答案为：． 10．6 本题考查含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 由等腰三角形的性质可以求得，以及和的度数，从而可以求得、的长，从而可以求得的长，据此求解即可． 如图，连接， ∵在中，，，D是的中点， ∴，， ∴， ∵于点E，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 11．0.58 本题考查含30度角的直角三角形的性质，作交的延长线于点G，作于点H，则和均为含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 解：如图，作交的延长线于点G，作于点H， 由题意知，， ， ， ， ，， ， 碓头离地面的高度是，即． 故答案为：0.58． 12． 作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果． 解：如图，作边的高，设与的延长线交于点， ， ， ，， ， ， ， 每平方米售价元， 购买这种草皮的价格：元． 13．或 本题考查了含度角的直角三角形的性质，分，两种情况分析，分别画出图形，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 解：当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴， 当时， 如图 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或． 14．轮船继续向前航行，有触礁的危险 本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于，利用三角形外角，可求出，利用角的度数判断三角形为等腰三角形，再求出，然后解求出即可． 解：过点作于，依题意得（海里）， ∵，， ∴， ∴ ∴（海里）． 在中，由， ∴（海里）（海里）， ∴轮船继续向前航行，有触礁的危险． 15．(1) 证明：∵点F在的垂直平分线上， ∴， ， ， 于点， ， ， ， 是等边三角形； (2) 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，然后求得，再求得，然后即可求解； （2）本题根据含角的直角三角形的知识，进行作答，即可求解． （1）略 （2）解：由条件可知， ， ， ， ， ． 16．当运动时间为或时，为直角三角形 本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质，由题意可得为等边三角形，从而可得，再分两种情况：当；当；分别利用直角三角形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 解：， 是等边三角形， ． ∵为直角三角形， 或． ①设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得； ②设运动时间为时，， ， ， ， ， 解得． 又， ∴经检验，，符合题意． 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 17．(1)； (2) 证明：由（1）得：， ，，， ， ∴， ， ∴， ． 本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，证出，证明，则即可得解答； （2）由（1）得，由全等三角形的性质得出，AE=BD，求出，由直角三角形性质得出，证出，得出，即可得出； （1）解：∵是等边三角形， ， ， ∴， ∴ ． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $