第15章轴对称素养检测卷-2026-2027学年人教版数学八年级上册

第15章轴对称素养检测卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•呼兰区月考）下列标志中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026秋•余杭区月考）在如图所示的2×2方格中，点A，B，C，D均在小方格的顶点上．以其中三个点为顶点的等腰三角形个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2026春•纳雍县期末）已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则该等腰三角形的周长为（　　） A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm 4．（2025秋•碑林区校级同步）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE的长为（　　） A． B．6cm C． D． 5．（2025秋•乌拉特前旗期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•邓州市期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC．已知AB＝5，AD＝3，则△AED的周长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 7．（2025秋•章丘区期末）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三条角平分线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三边的垂直平分线的交点 8．（2025秋•淮安期末）如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且AB＝AC，BD＝BC，则∠A的度数为（　　） A．30° B．35° C．36° D．40° 9．（2025秋•荔湾区期末）小荔用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OF⊥OE，下列推断错误的是（　　） A．OB⊥OD B．OE＝OF C．∠BOC＝∠AOB D．∠BOC+∠AOD＝180° 10．（2025秋•于都县期末）如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F．下列结论不一定成立的是（　　） A．EF＝BE+CF B．点D在∠BAC的平分线上 C．∠BDC＝2∠BAC D．若AE+AF＝m，点D到AC的距离为n，则S△AEFmn 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•莱阳市期末）已知点A（a﹣1，5）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2025的值为_______ ． 12．（2026春•薛城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为____________ ． 13．（2025秋•韶关期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是角平分线，若DC＝2cm，则点D到AB的距离是________ ． 14．（2025秋•南昌期末）如图，在△ABC中，DE，DF分别是BC，AB边的垂直平分线，连接AD，BD，CD，若∠ACB＝70°，则∠BAD＝_______ °． 15．（2025秋•亳州期末）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是 ________ ． 16．（2025秋•江汉区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，点E在BC的延长线上，BD＝DE，若点D是AC的中点，则的值是__________________ ；若，则的值是_____ （用含n的式子表示）． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•余杭区月考）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）若腰长是底边长的2倍，求它的三边长． （2）能围成一个边长是偶数的等边三角形吗？若能，请求出它的三边长；若不能，请说明理由． 18．（2026春•零陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（2，﹣2）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）将△ABC向右平移3个单位长度得到△A2B2C2，写出点A2、B2、C2的坐标． 19．（2026春•玉门市校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，分别交BC，AC于点E，F，且满足AB＝AE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若DC＝5cm，求△ABE的周长． 20．（2026春•龙华区期末）如图，小深制作了一只风筝，风筝面抽象成四边形ABCD．为了飞行时受力均匀，保持平稳，风筝面需要制作成轴对称图形，即BD被AC垂直平分． （1）小深通过测量得到了AB＝AD，还需测量得到__________ （不添加新的点和线的前提下，增加一个条件），即可判断制作的风筝面ABCD为轴对称图形，请说明理由． （2）若四边形ABCD是轴对称图形，且AB⊥BC，∠BCD＝50°，求∠ADB的度数． 21．（2026春•杭锦后旗期末）在△ABC中，AB＝AC，∠A＜60°，点D在边AC上（不与点A，C重合），连接BD，平移线段BD，使点B移到点C，得到线段CE，连接DE． （1）若∠BAC＝2∠E，求证：∠CBD与∠CDE互余； （2）连接AE，若AC平分∠BAE，用等式表示∠CBD与∠BAE之间的数量关系，并证明． 22．（2026春•彰武县期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】（1）如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是_____ （填序号）． 【解决问题】（2）如图2，在△ABC中，点B与点C关于直线m对称，点P是直线m上的动点．若AB＝5，AC＝6，BC＝8，则△ABP周长的最小值为_______ ． 【类比探究】（3）如图3，点P是∠AOB内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流OA边上一点C饮马，再到草地OB边上一点D吃草，最后回到军营P． ①在图3上作图：使将军走过的路程PC+CD+DP最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程PC+CD+DP最短，且∠AOB＝55°时，则∠CPD＝_______ °． 第15章轴对称素养检测卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•呼兰区月考）下列标志中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、标志不是轴对称图形，符合题意； B、标志是轴对称图形，不符合题意； C、标志是轴对称图形，不符合题意； D、标志是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2．（2026秋•余杭区月考）在如图所示的2×2方格中，点A，B，C，D均在小方格的顶点上．以其中三个点为顶点的等腰三角形个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：等腰三角形有： △ABC、△ABD、△ACD、△BCD共4个． 故选：A． 3．（2026春•纳雍县期末）已知等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则该等腰三角形的周长为（　　） A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm 【解答】解：（1）当7cm是底边时，3+3＜7，不能构成三角形； （2）当3cm是底边时，可以构成三角形，周长＝7+7+3＝17（cm）． 故选：C． 4．（2025秋•碑林区校级同步）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC＝3cm，则AE的长为（　　） A． B．6cm C． D． 【解答】解：∵BE平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵DE垂直平分AB， ∴EA＝EB，ED⊥AB， ∴∠A＝∠2， ∴∠1＝∠2＝∠A， 又∵∠C＝90°， ∴∠1+∠2+∠A＝90°， ∴∠1＝∠2＝∠A＝30°， ∵EC⊥CB，ED⊥AB，BE平分∠ABC， ∴ED＝EC＝3cm， ∴AE＝2ED＝6cm， 故选：B． 5．（2025秋•乌拉特前旗期末）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由图可知，选项A是轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形． 故选：A． 6．（2025秋•邓州市期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC．已知AB＝5，AD＝3，则△AED的周长为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【解答】解：∵BD平分∠ABC，ED∥BC， ∴∠ABD＝∠CBD，∠EDB＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠EDB（等量代换）， ∴BE＝DE（等角对等边）， ∴AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝5+3＝8，即△AED的周长为8， 故选：C． 7．（2025秋•章丘区期末）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在（　　） A．花坛三条中线的交点 B．花坛三条角平分线的交点 C．花坛三条高所在直线的交点 D．花坛三边的垂直平分线的交点 【解答】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点． 故选：D． 8．（2025秋•淮安期末）如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且AB＝AC，BD＝BC，则∠A的度数为（　　） A．30° B．35° C．36° D．40° 【解答】解：设∠A的度数为α． ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠DBA＝∠A＝α， ∵∠BDC是△DAB的外角， ∴∠BDC＝∠DBA+∠A＝2α， ∵BD＝BC， ∴∠C＝∠BDC＝2α， 又∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝2α， 在△ABC中，由三角形内角和定理得：∠A+∠ABC+∠C＝180°， ∴α+2α+2α＝180°， 解得：α＝36°， ∴∠A的度数为36°． 故选：C． 9．（2025秋•荔湾区期末）小荔用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OF⊥OE，下列推断错误的是（　　） A．OB⊥OD B．OE＝OF C．∠BOC＝∠AOB D．∠BOC+∠AOD＝180° 【解答】解：A．∵OE⊥OF， ∴∠BOE+∠BOF＝90°， 由对称得∠AOB＝∠DOC， ∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，△OAB与△ODC都是等腰三角形， ∴，， ∴∠BOF+∠DOF＝90°， ∴OB⊥OD，结论正确，故不符合题意； B由对称得△OAB≌△ODC， ∴OE＝OF，结论正确，故不符合题意； C．∠BOC不一定等于∠AOB，结论错误，故符合题意； D． 过O作GM⊥OH， ∴∠GOD+∠DOH＝90°， ∵∠BOH+∠DOH＝90°， ∴∠GOD＝∠BOH，由对称得∠BOH＝∠COH， ∴∠GOD＝∠COH， 同理可证∠AOM＝∠BOH， ∴∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠AOM+∠DOG＝180°，结论正确，故不符合题意； 故选：C． 10．（2025秋•于都县期末）如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F．下列结论不一定成立的是（　　） A．EF＝BE+CF B．点D在∠BAC的平分线上 C．∠BDC＝2∠BAC D．若AE+AF＝m，点D到AC的距离为n，则S△AEFmn 【解答】解：对于选项A， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点D， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD， ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD， ∴∠EBD＝∠EDB，∠FCD＝∠FDC， ∴DE＝BE，CF＝DF， ∴EF＝DE+DF＝BE+CF， 故选项A一定成立，不符合题意； 对于选项B， 连接AD，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，DH⊥BC于点H，如图所示： ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点D， ∴DM＝DH，DN＝DH， ∴DM＝DN， 又∵点D在∠BAC的内部， ∴点D在∠BAC的平分线上， 故选项B一定成立，不符合题意； 对于选项C， 设∠BAC＝α， 不妨假设∠BDC＝2∠BAC＝2α， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点D， ∴∠CBD∠ABC，∠BCD∠ACB， ∴∠CBD+∠BCD（∠ABC+∠ACB）（180°﹣α）， 在△DBC中，∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）， ∴， 解得：α＝60°， ∴∠BAC＝α＝60°， ∴当∠BAC＝60°时，∠BDC＝2∠BAC成立， 故选项C不一定成立，符合题意， 对于选项D， ∵点D到AC的距离为n， ∴DN＝n， ∴DM＝DN＝n， ∵S△ADEAE•DMAE•DN，S△ADFAF•DN， ∴S△ADE+S△ADF（AE+AF）•DN， ∵AE+AF＝m， ∴S△AEF＝S△ADE+S△ADF． 故选项D一定成立，不符合题意， 故选：C． 二．填空题（共6小题） 11．（2025秋•莱阳市期末）已知点A（a﹣1，5）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2025的值为　﹣1　 ． 【解答】解：∵点A（a﹣1，5）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称， ∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5， 解得a＝3，b＝﹣4， ∴（a+b）2025＝（3﹣4）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 12．（2026春•薛城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，点D在线段BC上运动（不与点B，C重合），当△ABD是等腰三角形时，∠ADB的度数为　65°或80°　 ． 【解答】解：根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论， 当AB＝AD时， ∠ADB＝∠B＝50°， 此时点D与点C重合，不符合题意，故舍去； 当BA＝BD时， ； 当DA＝DB时， ∠BAD＝∠B＝50° ∴∠ADB＝180°﹣2∠B＝80°， 综上所述，∠ADB的度数为65°或80°， 故答案为：65°或80°． 13．（2025秋•韶关期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是角平分线，若DC＝2cm，则点D到AB的距离是　2cm ． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD是∠ABC的平分线 ∴点D到AB的距离等于DC的长度， ∵DC＝2cm， ∴点D到AB的距离为2cm， 故答案为：2cm． 14．（2025秋•南昌期末）如图，在△ABC中，DE，DF分别是BC，AB边的垂直平分线，连接AD，BD，CD，若∠ACB＝70°，则∠BAD＝　20　 °． 【解答】解：∵DE，DF分别是BC，AB边的垂直平分线， ∴CD＝BD，AD＝BD， ∴CD＝AD， ∴∠CAD＝∠ACD，∠DBC＝∠BCD，∠BAD＝∠DBA， ∴∠CAD+∠DBC＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝70°， ∴∠BAD+∠DBA＝180°﹣∠ACB﹣（∠CAD+∠DBC）＝40°， ∴∠BAD40°＝20°． 故答案为：20． 15．（2025秋•亳州期末）如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD组成，两根棒在P点相连并可绕P转动，C点固定，CP＝OC＝OA，点O，A可在槽中滑动，若∠AOB＝75°，则∠P的度数是 　25°　 ． 【解答】解：∵CP＝OC＝OA， ∴∠P＝∠POC，∠ACO＝∠CAO， ∵∠ACO＝∠P+∠POC＝2∠P， ∴∠CAO＝2∠P， ∴∠AOB＝∠P+∠CAO＝3∠P＝75°， ∴∠P＝25°． 故答案为：25°． 16．（2025秋•江汉区期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，点E在BC的延长线上，BD＝DE，若点D是AC的中点，则的值是　　 ；若，则的值是n （用含n的式子表示）． 【解答】解：当点D是AC的中点时， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC， ∵点D是AC的中点， ∴，∠DBC＝30°， ∵BD＝DE， ∴∠E＝∠DBC＝30°， ∵∠ACB＝60°， ∴∠EDC＝30°， ∴CD＝CE， ∴， ∴， 即； 当时， 如图，在BF上取一点F，使得BF＝DC，连接DF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC， ∴∠DCE＝120°，∠E+∠EDC＝60°，∠DBF+∠DBC＝60°， ∵BD＝DE， ∴∠E＝∠DBC， ∴∠EDC＝∠DBF， 在△EDC和△DBF中， ， ∴△EDC≌△DBF（SAS）， ∴∠DCE＝∠BFD＝120°，EC＝DF， ∴∠AFD＝60°， ∵∠BAC＝60°， ∴DA＝DF， 即EC＝DA， ∴n． 故答案为：，n． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•余杭区月考）用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形． （1）若腰长是底边长的2倍，求它的三边长． （2）能围成一个边长是偶数的等边三角形吗？若能，请求出它的三边长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设底边长为xcm，则腰长是2xcm， 由题意可得x+2x+2x＝20， 解得x＝4， 则2x＝8， ∴该等腰三角形的各边长为4cm，8cm，8cm； （2）不能围成一个边长是偶数的等边三角形，理由如下： 设边长为ycm， ∴3y＝20， ∴（不是偶数）， ∴不能围成一个边长是偶数的等边三角形． 18．（2026春•零陵区期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（2，﹣2）． （1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1； （2）将△ABC向右平移3个单位长度得到△A2B2C2，写出点A2、B2、C2的坐标． 【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求作； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求作，A2（1，1）、B2（0，﹣2）、C2（5，﹣2）． 19．（2026春•玉门市校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，分别交BC，AC于点E，F，且满足AB＝AE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若DC＝5cm，求△ABE的周长． 【解答】解：（1）由条件可知△ABE是等腰三角形， ∵∠BAE＝40°， ∴， ∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∴∠C＝∠EAC， ∴∠AEB＝∠C+∠EAC＝2∠C＝70°， 解得∠C＝35°； （2）由条件可得：BD＝DE， ∴AB+BD＝AE+DE， ∴△ABE的周长：AB+（BD+DE）+AE＝2（AE+DE）， 由（1）知：AE＝EC， ∴AE+DE＝EC+DE＝DC＝5（cm）， ∴△ABE的周长：2（AE+DE）＝2×5＝10（cm）． 20．（2026春•龙华区期末）如图，小深制作了一只风筝，风筝面抽象成四边形ABCD．为了飞行时受力均匀，保持平稳，风筝面需要制作成轴对称图形，即BD被AC垂直平分． （1）小深通过测量得到了AB＝AD，还需测量得到AC⊥BD （不添加新的点和线的前提下，增加一个条件），即可判断制作的风筝面ABCD为轴对称图形，请说明理由． （2）若四边形ABCD是轴对称图形，且AB⊥BC，∠BCD＝50°，求∠ADB的度数． 【解答】解：（1）小深通过测量得到了AB＝AD，还需测量得到AC⊥BD，理由如下： ∵AB＝AD，AC⊥BD， ∴AC是线段BD的垂直平分线， ∴风筝面ABCD为轴对称图形； 故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）； （2）∵风筝面ABCD为轴对称图形，∠BCD＝50°， ∴∠ACB∠BCD＝25°， ∵AB⊥BC， ∴∠BAC＝90°﹣25°＝65°， ∴∠BAD＝2∠BAC＝130°， ∴∠ADB＝∠ABD25°． 21．（2026春•杭锦后旗期末）在△ABC中，AB＝AC，∠A＜60°，点D在边AC上（不与点A，C重合），连接BD，平移线段BD，使点B移到点C，得到线段CE，连接DE． （1）若∠BAC＝2∠E，求证：∠CBD与∠CDE互余； （2）连接AE，若AC平分∠BAE，用等式表示∠CBD与∠BAE之间的数量关系，并证明． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵平移线段BD得到线段CE， ∴BD∥CE，BD＝CE， ∴四边形CBDE是平行四边形， ∴∠E＝∠CBD，∠DCB＝∠CDE ∠BAC＝2∠E＝2∠CBD △ABC中∠BAC+2∠ACB＝180°， ∴2∠CBD+2∠ACB＝180°，∠CBD+∠ACB＝90°， ∵点 D在边AC上， ∴∠ACB＝∠CDE， ∴∠CBD+∠CDE＝90°， ∴∠CBD和∠CDE互余． （2）； 证明：连接BE，交AC于点O，延长AC至F，使OF＝OA，连接EF， 由（1）可得，四边形CBDE为平行四边形，则OB＝OE． ∵OA＝OF，∠BOA＝∠EOF， ∴△BOA≌△EOF（SAS）， ∴AB＝FE，∠BAO＝∠EFO， ∵AC平分∠BAE， ∴， ∴∠EFO＝∠EAO， ∴AE＝FE， ∴△AEF是等腰三角形， ∵OF＝OA，即O为AF的中点， ∴OE是△AEF的中线， 由三线合一得OE⊥AF ∵连接BE，交AC于点O，， ∴AC⊥BE ∴四边形CBDE为菱形， ∴BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD， 在△BCD中，∠CBD+2∠BCD＝180° 在△ABC中，∠BAC+2∠BCD＝180°， ∴∠BAC＝∠CBD， ∴． 22．（2026春•彰武县期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”． 【分析问题】（1）如图1，为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是　④　 （填序号）． 【解决问题】（2）如图2，在△ABC中，点B与点C关于直线m对称，点P是直线m上的动点．若AB＝5，AC＝6，BC＝8，则△ABP周长的最小值为　11　 ． 【类比探究】（3）如图3，点P是∠AOB内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流OA边上一点C饮马，再到草地OB边上一点D吃草，最后回到军营P． ①在图3上作图：使将军走过的路程PC+CD+DP最短．（保留作图痕迹） ②当将军走过的路程PC+CD+DP最短，且∠AOB＝55°时，则∠CPD＝　70　 °． 【解答】解：（1）正确的方案是④， ∵由轴对称的性质可得CA＝CA′， ∴当点B，C，A′三点共线时，CA+CB＝CA′+CB＝A′B， ∴此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短， 故答案为：④； （2）过点A作直线m的对称点A'，连接A′B与直线m的交点即为△ABP周长的最小值的点P， 由对称轴的性质可得，BP＝CP，AP＝A′P， ∴BP+A′P＝CP+AP， ∴A′B＝AC， ∴△ABP的周长最小值为AB+BP+AP＝AB+BP+A′P＝AB+A′B＝AB+AC＝5+6＝11， 故答案为：11； （3）①如图，PC+CD+DP最短， 过点P分别作OA，OB的对称点P2，P1，连接P1P2与OA，OB交点即为点C，D， 则P2C＝PC，DP1＝DP， ∴PC+CD+DP＝P2C+CD+P1D＝P1P2； ②如图： ∵∠OCD+∠ODC+∠AOB＝180°， ∴∠OCD+∠ODC＝180°﹣55°＝125°， 由轴对称的性质可得∠ACP2＝∠ACP， ∵∠OCD＝∠ACP2， ∴∠OCD＝∠ACP2＝∠ACP， ∴∠DCP＝180°﹣∠OCD﹣∠ACP＝180°﹣2∠OCD， 同理可得∠CDP＝180°﹣2∠ODC， ∴∠CPD＝180°﹣（∠DCP+∠CDP）＝180°﹣（180°﹣2∠OCD+180°﹣2∠ODC）＝2（∠OCD+∠ODC）﹣180°＝2×125°﹣180°＝70°， 故答案为：70． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $