第15章 轴对称单元检测卷（提升卷） 2026-2027 学年人教版数学八年级上册

建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．《国家宝藏》节目通过演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让馆藏文物一 个个鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是 ( ) A ． B ． C ． D． 2 ．在平面直角坐标系中，点A (2, 1) 和B (2, 1) ( ) A ．关于直线y = x 对称 B ．关于直线y = x 对称 C ．关于 x 轴对称 D ．关于y 轴对称 3 ．如图，在 △ABC 中，D 为BC 边上的一点，AC = AD ，E 为AB 边上一点，EF 垂直平分BD ，若 AB = 8，AC = 6 ，则 △ADE 的周长为 ( ) A ．20 B ．18 C ．16 D ．14 4 ．如图， △ABC 与△A’B’C’关于直线MN 对称，P 为MN 上任一点，下列结论中错误的是 ( ) A ．直线AB 、A’B’的交点不一定在MN 上 B ． △AA’P 是等腰三角形 C ． △ABC 与△A’B’C’面积相等 D ．MN 垂直平分AA’，CC’ 5．如图，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA上的动点，记∠MPQ = α , ∠PQN = β , 当MP + PQ + QN最小时， β α = 40°，则 ∠AOB 的度数为 ( ) A ．20° B ．40° C ．10° D ．60° 第十五章 轴对称 提升卷（学生版） 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 6 ．如图，已知在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC ，点 D 是斜边AB 上的一点，连接 CD ，△ACD 与 △ECD 关于CD 对称，连接BE 并延长交CD 的延长线于点 °，则∠BEC — ∠ECD 的度数为 ( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 7 ． △ABC 是边长为 3 的等边三角形， △BDC 是等腰三角形，且∠BDC = 120°．以 D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点 M，交AC 于点 N，连接MN ，则 △AMN 的周长为 ( ) A ．6 B ．5.5 C ．6.5 D ．5.9 8 ．A ，B 两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l 上修建一个自来水厂P ， 分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂P 的位置正确的是( ) ( C ． ) ( B ． ) ( D ． )A． 9 ．如图，在 △ABC 中，AD 丄 BC ，垂足为 D ，BC = 8 ，S△ABC = 24 ．E，F 为△ABC 边AC ，AB 上两点， 点A ，B 关于直线EF 对称，点P 为线段EF 上一动点，则BP + DP 的最小值是 ( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 第十五章 轴对称 提升卷（学生版） 第 2 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 10 ．如图，C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边△ABC 和等边 △ECD ， AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ，则有以下五个结论：①AD = BE ； ② PQⅡAE ；③ AP = BQ ；④ DE = DP ；⑤ ∠AOB = 60°．其中正确的有 ( ) A ．①③⑤ B ．①②⑤ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤ 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，在 △ABC 中，点 D 在边BC 上，∠DAC = 2∠B ，CE 是AD 的垂直平分线．若AD = 4 ，AC = 6 ， 则BC 的长为 ． 12 ．如图，在 △ABC 中，AB = AC ，∠B = 36°．分别以点A ，C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧， 两弧相交于点 D，E，作直线DE 分别交AC ，BC 于点 F，G．以 G 为圆心，GC 长为半径画弧，交BC 于点 H，连接AG ，AH ．则∠HAB = ． 13 ．如图，在 △ABC 中，BD 平分 ∠ABC ，BD 丄 AD ，若 ∠ACB 与 ∠BAD 互补，AC = 20 ，则AD 的长 为 ． 14 ．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪” 能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD 组成，两根棒在P 点相连并可绕P 转动， C 点固定，CP = OC = OA ，点O ，A 可在槽中滑动，若∠AOB = 45。，则 ∠P 的度数是 ． 第 3 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 15 ．如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含45°的三角尺，即等腰直 角△MNK和等腰直角△ABC 做了一个探究活动：将△MNK 的直角顶点M 放在△ABC 的斜边AB 的中 点处，设AC = BC = 5 ，此时重叠部分四边形CEMF的面积为 ． 16．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90。，∠A = 30。，点D ，E 分别是BC 边，AB 边上的动点，将 △BDE 沿 直线DE 翻折，点B 的对点F 恰好落在AC 边上，若△AEF 是等腰三角形，那么 ∠ AED 的度数为 ． 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题；每题 8 分；第 24 ，25 题，每 题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 17 ．如图， △ABC 与 △ADE关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点 F 在直线MN 上．若 DE = 5, CF = 1, ∠BAC = 75°, ∠EAC = 60°． (1)求BF 的长度； (2)求∠CAD 的度数． 18 ．如图，已知△ABC 的顶点都在图中方格的格点上． (1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A’B’C’，并直接写出A’、B’、C’三点的坐标． (2)在y 轴上找一点P 使得PA + PB 最小，画出点P 所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）． 第十五章 轴对称 提升卷（学生版） 第 4 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 19 ．如图，已知点O 是 ∠ APB 内的一点，M 、N 分别是点O 关于PA 、PB 的对称点，连接MN 与PA 、 PB 分别相交于点E 、F ，已知MN = 10 ． (1)求 △OEF 的周长； (2)连接PM 、PN ，若∠MPN = 76°，求 ∠ APB 的度数． 20．如图，在△ABD 与△BCD 中，AB = AD ，CB = CD ，∠DAB = 60°，过点C 作CE ∥ BA ，交AD 于E ， 交BD 于F ，连结AC ，交BD 于H ． (1)判断 △DEF 的形状，并说明理由； (2)求证：AC 平分 ∠DAB ； (3)若AD = 12, CE = 8 ，求CF 的长． 21．在 △ABC 中，DE 垂直平分AB ，分别交AB 、BC 于点D 、E ，MN 垂直平分AC ，分别交AC ，BC 于点 M、N． (1)如图 1 ，若∠B = 32°，∠C = 36°，则∠EAN = 的度数； (2)如图 1 ，若∠BAC = 108°，求∠EAN 的度数； (3)如图 2 ，若∠BAC = 78°，求∠EAN 的度数． 第十五章 轴对称 提升卷（学生版） 第 5 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 22 ．已知，如图，AE 丄 BE, AF 丄 CF ，点E、F 分别为垂足，BE = CF ， ∠ABC = ∠ACB ． (1)证明：AE = AF ； (2)试说明DA 平分∠EDF (3)延长EB、FC 相交于点D ，连结AD ．证明：AD 垂直平分线段BC ． 23 ．已知：∠ACB = 90°，AC = BC ，过点 A 作AD 丄 l ，垂足为 D ，过点 B 做BE 丄 l ，垂足为E ． (1)如图 1 ，AD = 3 ，EB = 1 ，则DE = ______； (2)如图 2 ，猜想AD ，EB ，DE 的关系，并证明； (3)如图 3，在 △ABC 中，AB = AC ，点 D、E 是BC 边上两点，连接AD ，以AD 为腰作等腰直角△ADF ， ÐADF = 90° , 作FE 丄 BC 于点 E，FE = CE ，若BD = 2 ，CE = 5 ，直接写出△CDF 的面积． 24 ．已知△ABC 为等边三角形，∠BCE = 60°，D 为BC 上一点，CD = CE ，连接AD ． (1)如图 1 ，求证：BE = AD ； (2)如图 2，延长AD 交BE 于点F ，在AF 上取点M ，使AM = BF ，连接CF ，CM ，求证：AF = BF + CM ； (3)如图 3 ，已知∠PCB = 60°，Q 为射线CP上一点，连接BQ ， ∠MBQ = 60°，BM = BQ ，连接AM ， 若 △BMN 的面积为S1 ， △CQB 的面积为S2 ， △ACN 的面积为S3 ，求证：S1 + S2 = S3 ． 第十五章 轴对称 提升卷（学生版） 第 6 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 25 ．（1）情境观察： 如图① , △AMC 中，∠MAC = 45°，CB 丄 AM ，垂足分别为 B、F，CB 与AF 交于点 E，△ABE 与 △CBM 全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图② , △ABC 中，∠BAC = 45°，AB = BC ，AF 平分 ∠BAC ，CF 丄 AF ，AF 与BC 交于点 E．猜想AE 与CF之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③ , △ABC 中，∠BAC = 45°，AB = BC ，受图②结论的启发，小明在AC 上取了一点 D ，作 ∠FDC = 22.5°，CF 丄 DF ，DF 交BC 于点 E，若FC = m ，请你直接写出DE 的长DE = ． 第十五章 轴对称 提升卷（学生版） 第 7 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1 ．《国家宝藏》节目通过演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让馆藏文物一 个个鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是 ( ) 第十五章 轴对称 提升卷（解析版） 第 8 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分 能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 【详解】解：A 、C 、D 选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部 分能够互相重合，所以都是轴对称图形． B 选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以 不是轴对称图形．故选：B． 2 ．在平面直角坐标系中，点A (2, 1) 和B (2, —1) ( ) A ．关于直线y = x 对称 B ．关于直线y = —x 对称 C ．关于 x 轴对称 D ．关于y 轴对称 【答案】C 【分析】本题考查关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握坐标轴对称的点的坐标特征． 根据关于x 轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点A (2, 1) 和B (2, —1) 的横坐标均为 2 ，纵坐标分别为 1 和—1 ，互为相反数， 根据关于x 轴对称的点的坐标特征（横坐标相等，纵坐标互为相反数），可知两点关于x 轴对称． 故选：C． 3 ．如图，在 △ABC 中，D 为BC 边上的一点，AC = AD ，E 为AB 边上一点，EF 垂直平分BD ，若 AB = 8，AC = 6 ，则 △ADE 的周长为 ( ) A ．20 B ．18 C ．16 D ．14 【答案】D【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性 质得ED = BE ，结合AE + BE = AB = 8 ，AC = AD ，故AD + DE + AE = 14 ，即可作答． 【详解】解： ∵ EF 为线段BD 的垂直平分线， ∴ ED = BE ， ∵ AB = 8 ∴ AE + BE = AE + DE = 8 ， ∵ AC = AD ， ∴ AD = 6 ， 则 △ADE 的周长为AD + DE + AE = 6 + 8 = 14 ，故选：D 4 ．如图， △ABC 与△A’B’C’关于直线MN 对称，P 为MN 上任一点，下列结论中错误的是 ( ) A ．直线AB 、A’B’的交点不一定在MN 上 B ． △AA’P 是等腰三角形 C ． △ABC 与△A’B’C’面积相等 D ．MN 垂直平分AA’，CC’ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握图形轴对称的性质是解题的关 键．由轴对称的性质及等腰三角形的判定，即可逐步分析求解． 【详解】解： △ABC 与△A’B’C’关于直线MN 对称， : 线段AB 和线段A’B’关于直线MN 对称， : 直线AB 和直线A’B’关于直线MN 对称， : 直线AB 和直线A’B’的交点一定在MN 上， :A 选项错误，符合题意； △ABC 与△A’B’C’关于直线MN 对称，点 A 与点A’为对应点， : 直线MN 垂直平分AA’， : AP = A’P ， :△AA’P 是等腰三角形， :B 选项正确，不符合题意； △ABC 与△A’B’C’关于直线MN 对称， : △ABC≌△A’B’C’， :△ABC 与△A’B’C’面积相等， : C 选项正确，不符合题意； 第十五章 轴对称 提升卷（解析版） 第 9 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 :△ABC 与△A’B’C’关于直线MN 对称，点 A 与点A’为对应点，点 C 与点C’为对应点， :MN 垂直平分AA’，CC’，:D 选项正确，不符合题意．故选：A． 5．如图，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA上的动点，记∠MPQ = α , ∠PQN = β , 当MP + PQ + QN最小时， β 一 α = 40°，则 ∠AOB 的度数为 ( ) A ．20° B ．40° C ．10° D ．60° 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形外角的定义及性质、平角的定义，作M 关于OB 的对称 点M’，N 关于OA的对称点N’，连接MN’’交OA于Q ，交OB 于P ，由轴对称的性质可得MP = M’P ， QN = QN’，∠OPM = ∠OPM’，∠AQN = ∠AQN ’，当M’、P 、Q 、N’在同一直线上时，MP + PQ + QN最 小，为MN’’，表示出∠QPN = ∠ ，∠OQP = ∠ 再结合三角形外角 的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作M 关于OB 的对称点M’，N 关于OA的对称点N’，连接MN’’交OA于Q ，交OB 第十五章 轴对称 提升卷（解析版） 第 10 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 于P ， , 由轴对称的性质可得：MP = MP’，QN = QN’，∠OPM = ∠OPM’，∠AQN = ∠AQN’， ∴ MP + PQ + QN = MP’+ PQ + QN’， ∴当M’、P 、Q 、N’在同一直线上时，MP + PQ + QN最小，为MN’’， ∵ ∠OPM = ∠OPM’= ∠NPQ ，∠AQN = ∠AQN’= ∠OQP ， ∵ ∠AOB = ∠QPN 一 ∠OQP ， β 一 α = 40°， ∴ ∠ 一 = 20°，故选：A． 6 ．如图，已知在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC ，点 D 是斜边AB 上的一点，连接 CD ，△ACD 与 △ECD 关于CD 对称，连接BE 并延长交CD 的延长线于点 O ，则∠BEC 一 ∠ECD 的度数为 ( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，对称性得到 ∠ACD = ∠ECD, AC = CE ，进而得到CE = BC ，设∠ACD = ∠ECD = α , 求出∠CEB 的度数，再进行计算 即可． 【详解】解： ∵ △ACD 与 △ECD 关于CD 对称， ∴ ∠ACD = ∠ECD, AC = CE ， ∵ AC = BC ， ∴ CE = BC ， ∴ ∠CEB = ∠CBE ， 设∠ACD = ∠ECD = α , 则：∠BCE = ∠ACB 一 2α = 90°一 2α , ∵ ∠BEC 一∠ECD = 45°；故选 C． 7 ． △ABC 是边长为 3 的等边三角形， △BDC 是等腰三角形，且∠BDC = 120°．以 D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点 M，交AC 于点 N，连接MN ，则 △AMN 的周长为 ( ) A ．6 B ．5.5 C ．6.5 D ．5.9 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三 角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 将 △DCN 绕点D 逆时针旋转120°，得到相等的角和线段，得出 △MDE≌△MDN ，得出相等的线段，然 后利用等量代换可求解． 第十五章 轴对称 提升卷（解析版） 第 11 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 第十五章 轴对称 提升卷（解析版） 【详解】解：如图，将 △DCN 绕点D 逆时针旋转120°， ∵ △BDC 是等腰三角形，∠BDC = 120°， ∴ DC 与DB重合，∠DBC = ∠DCB = 180°- ∠BDC) = 30°， ∴ △DCN≌△DBE ， ∴ CN = BE ，DN = DE ，∠CDN = ∠BDE ， ∵ △ABC 是边长为 3 的等边三角形， ∴ ∠ABC = ∠ACB = 60°，AB = AC = 3 ， ∴ ∠DCN = ∠DCB + ∠ACB = 30°+ 60°= 90°，∠DBM = ∠DBC + ∠ABC = 30°+ 60°= 90°， ∴ ∠DBE = ∠DCN = 90°， ∴ ∠DBE + ∠DBM = 90°+90°= 180°， ∴点E, B, M 在同一条直线上， ∵ ∠BDC = 120°，∠MDN = 60°， ∴ ∠BDM + ∠CDN = ∠BDC -∠MDN = 120°-60°= 60°， ∴ ∠BDM + ∠BDE = 60°，即∠MDE = 60°， ∴ ∠MDE = ∠MDN = 60°， 又DE = DN，DM = DM ， ∴ △MDE≌△MDN(SAS) ， ∴ MN = ME ， ∴ △AMN 的周长为= AM + MN + AN = AM + ME + AN = AM + MB + BE + AN = AB +CN + AN = AB + AC = 3 +3 = 6 ， 故选：A． 第 12 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 8 ．A ，B 两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l 上修建一个自来水厂P ， 分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂P 的位置正确的是( ) ( C ． ) ( B ． ) ( D ． )A． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形- 最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的 性质是解题的关键． 【详解】解：作点A 关于直线l 的对称点A’，连接A’B ，交直线l 于点P ，可得A’P = AP ， 则AP + BP = A’P + BP ≥ A’B ， 由两点之间线段最短，此时AP + BP 的值最小，即所用水管总长度最短，故选：B ． 9 ．如图，在 △ABC 中，AD 丄 BC ，垂足为 D ，BC = 8 ，S△ABC = 24 ．E，F 为△ABC 边AC ，AB 上两点， 点A ，B 关于直线EF 对称，点P 为线段EF 上一动点，则BP + DP 的最小值是 ( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称−最短路线问题、三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识 成为解题的关键． 连接AP ，根据轴对称的性质可得AP = BP ，由垂线段最短可知BP + DP = AP + PD ≥ AD ，即BP + DP 的 最小值为AD ，结合三角形面积公式求出AD 即可． 【详解】解：如图：连接AP ， ∵点A ，B 关于直线EF 对称， ∴ AP = BP ， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十五章 轴对称 提升卷（解析版） 第 13 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ BP + DP = AP + PD ≥ AD ， ∵ BC = 8 ，S△ ∴ AD = 6 , ∴ BP + DP 的最小值为 6 ，故选 B． 10 ．如图，C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边△ABC 和等边 △ECD ， AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ，则有以下五个结论：①AD = BE ； ② PQⅡAE ；③ AP = BQ ；④ DE = DP ；⑤ ∠AOB = 60°．其中正确的有 ( ) A ．①③⑤ B ．①②⑤ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识， ① 由于△ABC 和 △CDE 是等边三角形，可知AC = BC ，CD = CE ，∠ACB = ∠DCE = 60°，从而证出 △ACD≌△BCE ，可推知AD = BE ； ② 由 △ACD≌△BCE 得∠CBE = ∠DAC ，加之∠ACB = ∠DCE = 60°， AC = BC ，得到 △CQB≌△CPA(ASA)，再根据∠PCQ = 60° 推出△PCQ 为等边三角形，又由∠PQC = ∠DCE ， 根据内错角相等，两直线平行，可知② 正确；③ 根据② 中 △CQB≌△CPA(ASA)，可知③正确；④ 根 据 ∠DQE = ∠ECQ+ ∠ CEQ = 60°+ ∠ CEQ, ∠ CDE = 60°可知∠DQE ≠ ∠ CDE ，可知④ 错误；⑤ 由BC∥DE ， 得到∠CBE = ∠BED ，由∠CBE = ∠DAE ，得到∠AOB = ∠OAE + ∠AE°= 60°，故⑤ 正确．熟记相关几何 性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解： △ABC 和 △CDE 是等边三角形， : AC = BC, CD = CE, ∠ACB = ∠DCE = 60°， :∠ACB + ∠BCD = ∠DCE + ∠BCD ，即∠ACD = ∠BCE ， 在 △ACD 和 △BCE 中 ∠BCE : △ACD≌△BCE(SAS) ， : AD = BE ，故① 正确； △ACD≌△BCE(SAS) ， : ∠CBE = ∠DAC ， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十五章 轴对称 提升卷（解析版） 第 14 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 又:∠ACB = ∠DCE = 60°， : ∠BCD = 60°，即∠ACP = ∠BCQ ， 又: AC = BC ， :△CQB≌△CPA(ASA)， : CP = CQ ， 又: ∠PCQ = 60°，可知△PCQ 为等边三角形， :∠PQC = ∠DCE = 60°， : PQ Ⅱ AE ，故② 正确； :△CQB≌△CPA(ASA) ， : AP = BQ ，故③正确； : AD = BE ，AP = BQ ， : AD - AP = BE - BQ ，即DP = QE ， : ∠DQE = ∠ECQ+ ∠ CEQ = 60°+ ∠CEQ ，∠CDE = 60°， :∠DQE ≠ ∠ CDE ，则DE ≠ DP ，故④ 错误； : ∠ACB = ∠DEC = 60° :BC∥DE ， : ∠CBE = ∠BED ， :∠DAE = ∠CBE = ∠BED ， :∠AOB = ∠OAE + ∠AEO = ∠BED + ∠AEO = ∠CED = 60°，故⑤ 正确；故选：C． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，在 △ABC 中，点 D 在边BC 上，∠DAC = 2∠B ，CE 是AD 的垂直平分线．若AD = 4 ，AC = 6 ， 则BC 的长为 ． 【答案】10 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CA = CD = 6 ，再证明BD = AD = 4 ，即可得到答案． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角性质，等角对等边，熟练掌握性质是 解题的关键． 【详解】解： ∵ CE 是AD 的垂直平分线， ∴ CA = CD ， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十五章 轴对称 提升卷（解析版） 第 15 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠DAC = ∠ADC ， ∵ ∠DAC = 2∠B, ∠ADC = ∠B + ∠BAD， ∴ 2∠B = ∠B + ∠BAD ， ∴ ∠B = ∠BAD ， ∴ BD = AD ， ∵ AD = 4 ，AC = 6 ， ∴ BD = 4 ，CD = 6 ， ∴ BC = BD + CD = 10 ，故答案为：10． 12 ．如图，在 △ABC 中，AB = AC ，∠B = 36°．分别以点A ，C 为圆心，大于AC 的长为半径画弧， 两弧相交于点 D，E，作直线DE 分别交AC ，BC 于点 F，G．以 G 为圆心，GC 长为半径画弧，交BC 于点 H，连接AG ，AH ．则∠HAB = ． 【答案】18° 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及基本作图的应用，解题的关键 是根据作图步骤得出线段和角的等量关系，结合三角形内角和定理进行角度计算． 由作图可知DE 是AC 的垂直平分线，故CG = AG; 以 G 为圆心、GC 为半径画弧得GH = GC, 从而 GH = AG;利用等腰三角形性质得到角的等量关系，结合三角形内角和定理推出相关角的和为90°； 根据AB = AC 及∠B = 36°得出 ∠C 的度数，进而计算出∠GHA 的度数；最后利用三角形外角性质求出 ∠HAB 的度数． 【详解】解：由题意得到：DE 垂直平分AC ， ∴ CG = AG ，又由作图知CG = GH ， ∴ GH = AG ， ∴ ∠C = ∠CAG ，∠GAH = ∠GHA ， ∵ ∠CAG + ∠GAH+ ∠C + ∠GHA = 180° ∴ ∠CAG + ∠GAH = ∠C + ∠GHA = × 180°= 90°， ∵ AB = AC ， ∴ ∠B = ∠C = 36°， ∴ ∠GHA = 90°— 36°= 54°， ∴ ∠BAH = ∠GHA — ∠B = 18° ．故答案为：18°． 第 16 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 13 ．如图，在 △ABC 中，BD 平分 ∠ABC ，BD 丄 AD ，若 ∠ACB 与 ∠BAD 互补，AC = 20 ，则AD 的长 为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，补角性质，等腰三角形的判定，延长AD、BC 交于 点E ，可证 △ABD≌△EBD(ASA) ，得到AD = ED ，∠BAD = ∠E ，由补角性质可得 ∠BAD = ∠ACE ，即得 ∠ACE = ∠E ，得到AE = AC = 20 ，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长AD、BC 交于点E ， ∵ BD 平分 ∠ABC ， ∴ ∠ABD = ∠EBD ， ∵ AD 丄 BD ， ∴ ∠ADB = ∠EDB = 90。， 又∵BD = BD ， ∴ △ABD≌△EBD(ASA)， ∴ AD = ED ，∠BAD = ∠E ， ∵ ∠ACB + ∠BAD = 180。，∠ACB + ∠ACE = 180。， ∴ ∠BAD = ∠ACE ， ∴ ∠ACE = ∠E ， ∴ AE = AC = 20 ， ∴ AD = AE = 10 ，故答案为：10 ． 14 ．如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪” 能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒PB，PD 组成，两根棒在P 点相连并可绕P 转动， C 点固定，CP = OC = OA ，点°，A 可在槽中滑动，若∠AOB = 45。，则 ∠P 的度数是 ． 第 17 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】15° 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系 是解答本题的关键．根据CP = OC = OA ，可得∠APO = ∠COP ，∠OCA = ∠OAC ，根据三角形的外角性 质可知∠ACO = ∠APO + ∠COP = 2∠APO ，进一步根据三角形的外角性质可知 ∠AOB = 45°= ∠APO + ∠OAP = 3∠APO ，即可求出 ∠P 的度数． 【详解】解： ∵ CP = OC = OA ， ∴ ∠APO = ∠COP ，∠OCA = ∠OAC ， ∴ ∠ACO = ∠APO + ∠COP = 2∠APO ， ∴ ∠AOB = 45°= ∠APO + ∠OAP = 3∠APO ， ∴ ∠P = 15°，故答案为：15°． 15 ．如图，在“问题解决策略：特殊化”课中，小茗同学拿了两块相同的含45°的三角尺，即等腰直 角△MNK和等腰直角△ABC 做了一个探究活动：将△MNK 的直角顶点M 放在△ABC 的斜边AB 的中 点处，设AC = BC = 5 ，此时重叠部分四边形CEMF的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．连接CM ，证明 △AFM ≌△CEM ，可得 S△ AFM = S△CEM ，从而得到重叠部分四边形CEMF 的面积 ( . ) ( △ CMF △ CEM △ CMF △ AFM △ ACM 2 △ ACB )= S + S = S + S = S = 1 S ，即可求解 【详解】解：如图，连接CM ， ∵△MNK和 △ABC 均是等腰直角三角形， ∴ ∠KMN = 90°,∠A = 45° ，AC = BC ， ∵点 M 是斜边AB 的中点， ∴ CM 丄 AB ，∠ACM = ∠BCM = 45°， ∴ ∠ACM = ∠A = 45°，∠AMC = ∠KMN = 90°，∠A = ∠BCM = 45°， 第 18 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ AM = CM ,∠AMF = ∠CME ， 在△AFM和 △CEM 中， ∵ ∠A = ∠BCM = 45。， AM = CM ,∠AMF = ∠CME ， ∴ △AFM ≌△CEM ， ∴ S△ AFM = S△CEM ， ∴重叠部分四边形CEMF的面积 = S△CMF + S△CEM = S△CMF + S△ AFM = S△ ACM = S△ ACB = × AC × BC = × × 5× 5= ．故答案为： 16．如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90。，∠A = 30。，点D ，E 分别是BC 边，AB 边上的动点，将 △BDE 沿 直线DE 翻折，点B 的对点F 恰好落在AC 边上，若△AEF 是等腰三角形，那么 ∠ AED 的度数为 ． 【答案】105。或127.5。或150。． 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，等腰三角形性质，分类讨论．由∠C = 90。，∠A=30。， 得∠B = 60。，分三种情况讨论：①当FA = FE 时，可得∠BEB = 150。；进而求出 ∠BED = ∠∠BEF = 75。．由∠AED = ∠DEF + ∠AEF 即可求解，同理可求当AF = AE 时，③当EA = EF 时∠AED = 150。． 【详解】解： ∵ ∠C = 90。，∠A=30。， ∴ ∠B = 60。， 分三种情况讨论： ①当FA = FE 时， ∴ ∠FEA = ∠A = 30。， ∴ ∠BEF = 180。— ∠FEA = 150。； 由折叠可知：∠BED = ∠DEF = ∠BEF = 75。， ∴ ∠AED = ∠DEF + ∠AEF = 75。+ 30。= 105。， ②当AF = AE 时，如图： 第 19 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ∠AEF = ∠ ∴ ∠BEF = 180°— ∠AEF = 105°； 由折叠可知：∠BED = ∠∠ ∴ ∠AED = ∠DEF + ∠AEF = 52.5°+ 75°= 127.5°， ③当EA = EF 时，如图： ∴ ∠A = ∠EFA = 30°， ∴ ∠AEF = 180°— ∠AFE — ∠A = 120°， ∴ ∠BEF = 180°— ∠AEF = 60°； 由折叠可知：∠BED = ∠∠ ∴ ∠AED = ∠DEF + ∠AEF = 30°+120°= 150°， 综上所述， ∠ AED 为105°或127.5°或150°． 故答案为：105°或127.5°或150°． 三、解答题（第 17 ，18 ，19 ，20 题，每题 6 分；第 21 ，22 ，23 题；每题 8 分；第 24 ，25 题，每 题 12 分；共 9 小题，共 72 分） 17 ．如图， △ABC 与 △ADE关于直线MN 对称，BC 与DE 的交点 F 在直线MN 上．若 DE = 5, CF = 1, ∠BAC = 75°, ∠EAC = 60°． (1)求BF 的长度； (2)求∠CAD 的度数． 【答案】(1) 4 ；(2)15° 【分析】（1）根据△ABC 与 △ADE关于直线MN 对称，确定对称点，从而确定对称线段，利用轴对 称的性质即可解决问题； （2）根据△ABC 与 △ADE关于直线MN 对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解 决问题． 【详解】（1）解：:△ABC 与 △ADE 关于直线MN 对称， 第 20 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 DE = 5, CF = 1 ， : BC = DE = 5 ， :BF = BC — CF = 5 —1 = 4 ． （2）:△ABC 与 △ADE 关于直线MN 对称，∠BAC = 75°， ∠EAC = 60°， :∠DAE = ∠BAC = 75°， :∠CAD = ∠DAE — ∠EAC = 75°— 60°= 15°． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 18 ．如图，已知△ABC 的顶点都在图中方格的格点上． (1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A’B’C’，并直接写出A’、B’、C’三点的坐标． (2)在y 轴上找一点P 使得PA + PB 最小，画出点P 所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)图见解析，A’(—2, —4) , B’(—4, —1) , C’(1, 2) ；(2)图见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、两点之间线段最短、轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的画 法和轴对称的性质是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点A’、B’、C’，再顺次连接即可得 △A’B’C’，然后据此写出A’、B’、 C’三点的坐标即可得； （2）先作点A 关于y 轴的对称点A’’，再连接A’’B ，交y 轴于点P ，由此即可得． 【详解】（1）解：如图， △A’B’C’即为所求． 则A’(—2, —4), B’(—4, —1), C’(1, 2)． 第 21 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：如图，点P 即为所求． ． 19 ．如图，已知点O是 ∠ APB 内的一点，M 、N 分别是点O 关于PA 、PB 的对称点，连接MN 与PA 、 PB 分别相交于点E 、F ，已知MN = 10 ． (1)求 △OEF 的周长； (2)连接PM 、PN ，若∠MPN = 76°，求 ∠ APB 的度数． 【答案】(1)10；(2)38° 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟记轴对称的性质是解本题的关键； （1）根据轴对称的性质可得EM = EO ,FN = FO ，再结合三角形的周长公式可得答案； （2）根据轴对称的性质可得∠MPA = ∠OPA ,∠NPB = ∠OPB ，再结合角的和差运算可得答案； 【详解】（1）解： M 、N 分别是点O 关于PA 、PB 的对称点，且E 、F 分别在PA 、PB 上， :ME = OE ，OF = NF ， 又Q C△OEF = OE + EF + OF ， :C△OEF = ME + EF + FN = MN = 10 ． 第 22 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：连接OP ， M 、N 分别是点O 关于PA 、PB 的对称点， : ∠MPA = ∠OPA ，∠NPB = ∠OPB ， 又 ∠MPN = 76°， : ∠MPA + ∠OPA + ∠NPB + ∠OPB = 76°， : ∠OPA + ∠OPB = 38°， 又: ∠APB = ∠OPA + ∠OPB ， : ∠APB = 38°． 20．如图，在△ABD 与△BCD 中，AB = AD ，CB = CD ，∠DAB = 60°，过点C 作CE ∥ BA ，交AD 于E ， 交BD 于F ，连结AC ，交BD 于H ． (1)判断 △DEF 的形状，并说明理由； (2)求证：AC 平分 ∠DAB ； (3)若AD = 12, CE = 8 ，求CF 的长． 【答案】(1) △DEF 是等边三角形，理由见解析；(2)见解析；(3)CF = 4 ． 【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的逆定理，等边三角形的性质和判定等知识， 熟练运用等边三角形的判定是本题的关键． （1）证明△ABD 是等边三角形，可得∠ABD = ∠ADB = 60°，再由平行线的性质可得 ∠CED = ∠ADB = ∠DFE ，则结论得证； （2）由题意可证AC 是BD 的垂直平分线，由△ABD 是等边三角形，可得∠BAC = ∠DAC = 30°，可得AC 平分 ∠DAB ； （3）由AB = AD = 12 ， △DEF 是等边三角形，可得EF = DE = 4 ，可得CF 的长． 【详解】（1）解： △DEF 是等边三角形，理由如下： ∵ AB = AD , ∠BAD = 60°， ∴△ABD 是等边三角形． ∴ ∠ABD = ∠ADB = 60°． ∵ CE ⅡAB ， ∴ ∠CED = ∠A = 60°,∠DFE = ∠ABD = 60° ， ∴ ∠CED = ∠ADB = ∠DFE ， ∴ △DEF 是等边三角形； （2）证明： ∵ AB = AD ,CB = CD ， ∴ AC 是BD 的垂直平分线， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十五章 轴对称 提升卷（解析版） 第 23 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 即AC 丄 BD ． ∵ AB = AD , ∠BAD = 60°， ∴ ∠BAC = ∠DAC = 30°． ∴ AC 平分 ∠DAB ； （3）解： ∵ CE ⅡAB ， ∴ ∠BAC = ∠ACE = ∠CAD = 30°， ∴ AE = CE = 8 ， ∴ DE = AD — AE = 12 — 8 = 4 ． ∵ △DEF 是等边三角形， ∴ EF = DE = 4 ， ∴ CF = CE — EF = 8 — 4 = 4 ． 21．在 △ABC 中，DE 垂直平分AB ，分别交AB 、BC 于点D 、E ，MN 垂直平分AC ，分别交AC ，BC 于点 M、N． (1)如图 1 ，若∠B = 32°，∠C = 36°，则∠EAN = 的度数； (2)如图 1 ，若∠BAC = 108°，求∠EAN 的度数； (3)如图 2 ，若∠BAC = 78°，求∠EAN 的度数． 【答案】(1)44；(2)36° ；(3)24° 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距 离相等）、三角形内角和定理，等边对等角． （1）根据三角形内角和定理求出 ∠BAC ，根据等腰三角形的性质分别求出 ∠BAE 、∠NAC ，计算即 可； （2）仿照（2）的方法计算； （3）仿照（1）的方法计算． 【详解】（1）解：:∠B = 32°，∠C = 36°， : ∠BAC = 180°— ∠B — ∠C = 112°， : DE 垂直平分AB ， : EA = EB ， : ∠BAE = ∠B = 32°， 同理可得：∠NAC = ∠C = 36°， 微信公众号：瑾言教育资料库 第十五章 轴对称 提升卷（解析版） 第 24 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 : ∠EAN = 112°— 32°— 36°= 44°； （2）解：: ∠BAC = 108°， : ∠B + ∠C = 180°— 108°= 72°， : ∠BAE = ∠B ，∠NAC = ∠C ， :∠EAN = ∠BAC — ∠BAE — ∠NAC = 108°— 72°= 36°； （3）解：∠BAC = 78°， : ∠B + ∠C = 180°— 78°= 102°， : ∠EAN = ∠EAB + ∠NAC — ∠BAC = 102°— 78°= 24°． 22 ．已知，如图，AE 丄 BE, AF 丄 CF ，点E、F 分别为垂足，BE = CF ， ∠ABC = ∠ACB ． (1)证明：AE = AF ； (2)试说明DA 平分∠EDF (3)延长EB、FC 相交于点D ，连结AD ．证明：AD 垂直平分线段BC ． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定，熟练掌握相关知识 点，是解题的关键： （1）证明Rt△ABE≌Rt△ACF(HL) 即可得证； （2）根据到角两边距离相等的点，在角的角平分线上，进行判断即可； （3）根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可． 【详解】（1）证明：: ∠ABC = ∠ACB, : AB = AC, : AE 丄 EB, AF 丄 CF ， : ∠E = ∠F = 90°， 又: BE = CF , :Rt△ABE≌Rt△ACF(HL) ， : AE = AF ； （2）: AE 丄 EB, AF 丄 CF, AE = AF ， :DA平分∠EDF ； 第 25 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 （3）证明：: AE = AF, AD = AD, : Rt△ADE≌Rt△ADF （ HL ）， :DE = DF ， : BE = CF , :DE — BE = DF — CF ，即DB = DC ， 又: AB = AC ， :AD 垂直平分线BC ． 23 ．已知：∠ACB = 90°，AC = BC ，过点 A 作AD 丄 l ，垂足为 D ，过点 B 做BE 丄 l ，垂足为E ． (1)如图 1 ，AD = 3 ，EB = 1 ，则DE = ______； (2)如图 2 ，猜想AD ，EB ，DE 的关系，并证明； (3)如图 3，在 △ABC 中，AB = AC ，点 D、E 是BC 边上两点，连接AD ，以AD 为腰作等腰直角△ADF ， ÐADF = 90° , 作FE 丄 BC 于点 E，FE = CE ，若BD = 2 ，CE = 5 ，直接写出△CDF 的面积． 【答案】(1)4；(2) AD = EB + DE ，见解析；(3)30 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌 握全等三角形的性质和判定． （1）证明△ADC ≌△CEB即可求解． （2）证明△ADC ≌△CEB即可求解． （3）过点 A 作AH 丄 BC 于点 H，如图所示，证明 △AHD≌△DEF ，求出CD = 12 ，再根据CD .EF 求 解即可． 【详解】（1）解：:AD 丄 l ，垂足为 D ，BE 丄 l ，垂足为 E， :∠ADC = ∠CEB = 90°， : ∠DAC + ∠DCA = 90°， 在 △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC ， :∠DCA + ∠ECB = 90°， ( 〔 上 ADC = 上 CEB = 90 O ) ( 在 △ ADC 和 △ CEB 中， { 上 DAC = 上 ECB ， ) ( l AC = BC ):∠DAC = ∠ECB ， 第 26 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 :△ADC≌△CEB(AAS) ， :AD = CE ，DC = EB ， :DE = CE + DC = AD + EB ， : AD = 3 ，EB = 1 ， : DE = 4 ，故答案为：4； （2）解：AD ，EB ，DE 的关系是：AD = EB + DE ，证明如下： :AD 丄 l ，垂足为 D ，BE 丄 l ，垂足为 E， :∠ADC = ∠CEB = 90°， : ∠DAC + ∠DCA = 90°， 在 △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC ， :∠DCA + ∠ECB = 90°， :∠DAC = ∠ECB ， ( 〔 上 ADC = 上 CEB = 90 O ) ( 在 △ ADC 和 △ CEB 中， { 上 DAC = 上 ECB ， ) ( l AC = BC : △ ADC ≌ △ CEB ( AAS ) ， ) :AD = CE ，DC = EB ， : CE = DC + DE = EB + DE ， : AD = EB + DE ； （3）解：过点 A 作AH 丄 BC 于点 H，如图所示： 在 △ABC 中，AB = AC ， :BH = CH ， :FE = CE ，CE = 5 ， :EF = CE = 5 ， : AH 丄 BC 于点 H，FE 丄 BC 于点 E， : ∠AHD = ∠DEF = 90°， : ∠HAD + ∠HDA = 90°， :△ADF 是等腰直角三角形，且ÐADF = 90° , : AD = DF ，∠HDA + ∠EDF = 90°， 第 27 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 : ∠HAD = ∠EDF ， ( 在 △ AHD 和 △ DEF 中， { 上 HAD = 上 EDF ， )〔∠AHD = ∠DEF = 90° l AD = DF :△AHD≌△DEF(AAS)， :DH = EF = 5 ， : BD = 2 ， :BH = CH = BD + DH = 7 ， :CD = CH + DH = 7 + 5 = 12 ， :△CDF 的面积为 ． 24 ．已知△ABC 为等边三角形，∠BCE = 60°，D 为BC 上一点，CD = CE ，连接AD ． (1)如图 1 ，求证：BE = AD ； (2)如图 2，延长AD 交BE 于点F ，在AF 上取点M ，使AM = BF ，连接CF ，CM ，求证：AF = BF + CM ； (3)如图 3 ，已知∠PCB = 60°，Q 为射线CP上一点，连接BQ ， ∠MBQ = 60°，BM = BQ ，连接AM ， 若 △BMN 的面积为S1 ， △CQB 的面积为S2 ， △ACN 的面积为S3 ，求证：S1 + S2 = S3 ． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅 助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“SAS ”可证△ACD≌△BCE ，可得BE = AD ； （2）由“SAS ”可证△ACM ≌△BCF ，可得CM = CF ，∠ACM = ∠BCF ，可证△MCF 是等边三角形，可 得CM = MF ，即可得结论； （3）由“SAS ”可证 △ACH≌△BCQ ，可得BQ = AH ，∠CQB = ∠AHC ，S2 = S△BCQ = S△ACH ，由“AAS ”可证 △ANH≌△MNB ，可得S1 = S△ANH = S△BNM ，即可求解． 【详解】（1）证明：:△ABC 是等边三角形，∠BCE = 60°， : AC = BC ，∠ACB = 60°= ∠BCE ， 又: CD = CE ， 第 28 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 : △ACD≌△BCE(SAS) ， : BE = AD ； （2）证明：: △ACD≌△BCE ， :∠CAD = ∠CBE ， 又: AC = BC ，AM = BF ， : △ACM≌△BCF(SAS)， : CM = CF ，∠ACM = ∠BCF ， : ∠ACM + ∠MCD = ∠BCF + ∠MCD ， : ∠ACB = ∠MCF = 60°， : △MCF是等边三角形， :CM = MF ， : AF = AM + MF = BF + CM ； （3）证明：如图 3 ，在CB 上截取CH = CQ ，连接AH ， : AC = BC ，∠ACB = ∠PCB = 60°，CH = CQ ， :△ACH≌△BCQ(SAS)， : BQ = AH ，∠CQB = ∠AHC ，S2 = S△BCQ = S△ACH ， : BQ = BM ， : BM = AH ， 在△BCQ 中，∠BCQ+ ∠CQB + ∠CBQ = 180°， 又: ∠BCQ = ∠QBM = 60°， :∠CQB + ∠CBQ + ∠QBM =180 °， :∠CQB + ∠CBM = 180°， 又:∠AHB + ∠AHC = 180°， : ∠AHB = ∠CBM ， 又: ∠ANH = ∠MNB ， : △ANH≌△MNB(AAS)， : S1 = S△ ANH = S△BNM ， 第 29 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 : S1 + S2 = S3 ． 25 ．（1）情境观察： 如图① , △AMC 中，∠MAC = 45。，CB 丄 AM ，垂足分别为 B、F，CB 与AF 交于点 E，△ABE 与 △CBM 全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图② , △ABC 中，∠BAC = 45。，AB = BC ，AF 平分 ∠BAC ，CF 丄 AF ，AF 与BC 交于点 E．猜想AE 与CF之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③ , △ABC 中，∠BAC = 45。，AB = BC ，受图②结论的启发，小明在AC 上取了一点 D ，作 ∠FDC = 22.5。，CF 丄 DF ，DF 交BC 于点 E，若FC = m ，请你直接写出DE 的长DE = ． 【答案】（1） △ABE≌△CBM ，理由见解析（2）AE = 2CF ；理由见解析（3）2m 【分析】（1）由∠ABE = ∠CBM = ∠AFM = 90。，得∠BAE = ∠BCM = 90。一 上M ，由∠BAC = ∠BCA = 45。， 得AB = CB ，即可证明 △ABE≌△CBM ； （2）延长CF、AB 交于点 G，先证明△GAF≌△CAF ，得GF = CF ，再证明△BAE≌△BCG ，则AE = CG = 2CF ； （3）作DL∥AB交BC 于点 L ，延长DL、CF 交于点 H，先证明 △DFH ≌△DFC ，得FH = FC = m ，再证 明 △LDE≌△LCH ，则DE = CH = 2FC = 2m ． 【详解】解：（1） △ABE 与 △CBM 全等；理由如下： ∵ CB 丄 AM，AF 丄 MC ， ∴ ∠ABE = ∠CBM = ∠AFM = 90。， ∴ ∠BAE = ∠BCM = 90。一 ∠M ， ∵ ∠ABC = 90。，∠MAC = 45。， ∴ ∠BAC = ∠BCA = 45。， ∴ AB = CB ， ( 在 △ ABE 和 △ CBM 中， { AB = CB ， )〔∠BAE = ∠BCM l∠ABE = ∠CBM 第 30 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 ∴ △ABE≌△CBM(ASA)； （2）AE 与CF之间的数量关系为AE = 2CF ；理由如下： 如图② , 延长CF、AB 交于点 G， ∵ CF 丄 AF ， ∴ ∠AFG = ∠AFC = 90°， ∵ AF 平分 ∠BAC ， ∴ ∠GAF = ∠CAF ， 在 △GAF 和 △CAF 中 ， ∴ △GAF≌△CAF(ASA) ， ∴ GF = CF ， ∵ ∠BAC = 45°，AB = BC ， ∴ ∠BCA = ∠BAC = 45°， ∴ ∠ABE = ∠CBG = 90°， ∴ ∠BAE = ∠BCG = 90°— ∠G ， 在 △BAE 和△BCG 中 ∴ △BAE≌△BCG(ASA) ， ∴ AE = CG = 2CF ； （3）如图③ , 作DL∥AB交BC 于点 L ，延长DL、CF 交于点 H， 第 31 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ∠CDH = ∠BAC = 45°，∠FDC = 22.5°， ∴ ∠FDH = ∠FDC = 22.5°， ∵ CF 丄 DF ， ∴ ∠DFH = ∠DFC = 90°， 在 △DFH 和△DFC 中 ∴ △DFH≌△DFC(ASA) ， ∴ FH = FC = m ， ∵ ∠BAC = 45°，AB = BC ， ∴ ∠BCA = ∠BAC = 45°， ∴ ∠ALE = ∠B = 90°， ∴ ∠DLE = ∠CLH = 90°， ∴ ∠LDE = ∠LCH = 90°— ∠H ， ∵ ∠LDC = ∠LCD = 45°， ∴ DL = CL ， 在 △LDE 和 △LCH 中 ， ∴ △LDE≌△LCH(ASA)， ∴ DE = CH = 2FC = 2m ， ∴ DE 的长是2m ．故答案为：2m ． 第 32 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $