第25章一元二次方程素养检测卷-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第25章一元二次方程素养检测卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•沙坪坝区校级同步）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．x2+1＝0 B．2x＝2+3x C． D．x2﹣y2＝3 2．（2025秋•醴陵市期末）一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 3．（2025秋•宝安区期末）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，左右两边需同时加上常数是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣1 4．（2025秋•广元期末）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 5．（2026•台湾）已知一元二次方程式2x（x+7）﹣10（x+7）＝0的两根为a、b，且a＞b，求a+2b之值为何？（　　） A．﹣13 B．﹣9 C．﹣4 D．﹣3 6．（2026•头屯河区校级一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 7．（2026•阳泉二模）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 8．（2026•淮安区模拟）某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100 9．（2026秋•丹徒区月考）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．则而立之年的周瑜逝世时的年龄是（　　） A．25 B．30 C．35 D．36 10．（2026春•肥城市期末）某校计划在一块长20米、宽15米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为248平方米，设小道的宽为x米，则可列方程为（　　） A．（20﹣2x）（15﹣x）＝248 B．20x+2×15x﹣2x2＝248 C．20×15﹣20x﹣15x+2x2＝248 D．（20﹣x）（15﹣x）＝248 二．填空题（共6小题） 11．（2026•河南模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣3x＝p有两个相等的实数根，则p的值是___________________ ． 12．（2026•东莞市二模）若一元二次方程没有实数解，则k的取值范围是____________________ ． 13．（2026•漳州模拟）若m是方程x2+3x﹣1＝0的一个解，则3m2+9m的值是_____ ． 14．（2026•绥中县一模）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为________ ． 15．（2026•巨野县一模）对于实数a，b定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1☆x＝2的根为 _______________ ． 16．（2026秋•同步）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不相等的实数根；③当（a+c）2≤b2时，关于x的方程ax2+bx+c＝0必有实数根；④若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；⑤若x0是方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac．其中正确的是 _________ ．（填序号） 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•东城区校级月考）解方程： （1）x2﹣4x﹣6＝0； （2）2x（x+3）＝x+3． 18．（2026秋•乌鲁木齐月考）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+2k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣3x1x2＝17，求k的值． 19．（2026春•瑶海区校级期中）实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． 探索规律：（1）求该文创产品平均每次降价的百分率； 解决问题：（2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 20．（2026秋•同步）如图，在△ACB中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速运动（到点C为止），它们的运动速度都是1m/s．经过几秒△PCQ的面积为△ACB面积的一半？ 21．（2026秋•同步）问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x，把代入已知方程，得1＝0． 化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用上面提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______________ ； （2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，利用“换根法”求一个一元二次方程，使它的根分别是﹣1，﹣6； （3）已知关于x的一元二次方程（m2+4）x2+（4m+8）x+4＝0（0≤m≤15）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 22．（2026春•高新区校级期末）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】 参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2﹣4x﹣21＝0（x＞0）的正确构图是_____ ．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】 小颖根据以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（____________________ ）＝1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程：____________________ ，解得原方程的一个根为____________________ ． （3）【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a＝_______ ，b＝_____ ，求得方程的正根为________ ． 第25章一元二次方程素养检测卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•沙坪坝区校级同步）下列方程中是一元二次方程的是（　　） A．x2+1＝0 B．2x＝2+3x C． D．x2﹣y2＝3 【解答】解：A．x2+1＝0，是一元二次方程，故选项A符合题意； B.2x＝2+3x，整理，得x+2＝0，是一元一次方程，故选项B不符合题意； C.，分母含有未知数，是分式方程，故选项C不符合题意； D．x2﹣y2＝3，是二元二次方程，故选项D不符合题意． 故选：A． 2．（2025秋•醴陵市期末）一元二次方程x（x﹣1）＝0的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝﹣1 【解答】解：x（x﹣1）＝0， x＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝0，x2＝1． 故选：C． 3．（2025秋•宝安区期末）用配方法解方程x2﹣2x＝2时，左右两边需同时加上常数是（　　） A．1 B．﹣2 C．2 D．﹣1 【解答】解：x2﹣2x＝2， x2﹣2x+1＝3， （x﹣1）2＝3． 故选：A． 4．（2025秋•广元期末）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【解答】解：由题意得，k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝4k+4≥0， 解得k≥﹣1， ∴k的取值范围是k≥﹣1且k≠0， 故选：D． 5．（2026•台湾）已知一元二次方程式2x（x+7）﹣10（x+7）＝0的两根为a、b，且a＞b，求a+2b之值为何？（　　） A．﹣13 B．﹣9 C．﹣4 D．﹣3 【解答】解：由题知， 2x（x+7）﹣10（x+7）＝0， （x+7）（2x﹣10）＝0， 则x+7＝0或2x﹣10＝0， 所以x1＝﹣7，x2＝5， 所以a＝5，b＝﹣7， 则a+2b＝5+2×（﹣7）＝﹣9． 故选：B． 6．（2026•头屯河区校级一模）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝28 B．（x﹣6）2＝28 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1 【解答】解：原方程移项得：x2﹣6x＝﹣8， x2﹣6x+9＝﹣8+9， （x﹣3）2＝1， 故选：D． 7．（2026•阳泉二模）若一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：由条件可知两根满足，， 在方程x2﹣4x+3＝0中，a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴，， 又∵， 代入x1+x2＝4，x1x2＝3， 得． 故选：C． 8．（2026•淮安区模拟）某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，可列出的方程为（　　） A．2500（1+x）2＝9100 B．2500（1﹣x）2＝9100 C．2500（1﹣2x）＝9100 D．2500（1+2x）2＝9100 【解答】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为x，工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．则： 2500（1+x）2＝9100， 故选：A． 9．（2026秋•丹徒区月考）读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）．则而立之年的周瑜逝世时的年龄是（　　） A．25 B．30 C．35 D．36 【解答】解：十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄）． 个位数字为x，则十位数字为（x﹣3）， ∴10（x﹣3）+x＝x2， ∴10x﹣30+x＝x2， ∴x2﹣11x+30＝0， ∴（x﹣5）（x﹣6）＝0， ∴x﹣5＝0或x﹣6＝0， 即x1＝5，x2＝6， 当x＝5时，25＜30，不符合题意，舍去； 当x＝6时，36＞30，符合题意． 答：周瑜去世时的年龄为36岁． 故答案选：D． 10．（2026春•肥城市期末）某校计划在一块长20米、宽15米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为248平方米，设小道的宽为x米，则可列方程为（　　） A．（20﹣2x）（15﹣x）＝248 B．20x+2×15x﹣2x2＝248 C．20×15﹣20x﹣15x+2x2＝248 D．（20﹣x）（15﹣x）＝248 【解答】解：根据矩形的面积公式可列出关于x的一元二次方程：（20﹣2x）（15﹣x）＝248． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．（2026•河南模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣3x＝p有两个相等的实数根，则p的值是　　 ． 【解答】解：将原方程化为一般形式得x2﹣3x﹣p＝0， 由条件得Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣p）＝0， 整理得9+4p＝0， 解得． 故答案为：． 12．（2026•东莞市二模）若一元二次方程没有实数解，则k的取值范围是k　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程，没有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＜0， 即（﹣1）2﹣4×2×（k）＜0， 解这个不等式得：k． 故答案为：k． 13．（2026•漳州模拟）若m是方程x2+3x﹣1＝0的一个解，则3m2+9m的值是　3　 ． 【解答】解：由条件可知m2+3m﹣1＝0， ∴m2+3m＝1， ∴3m2+9m＝3（m2+3m）＝3×1＝3． 故答案为：3． 14．（2026•绥中县一模）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为　20%　 ． 【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 根据题意列一元二次方程得：25（1+x）2＝36， 整理得，25x2+50x﹣11＝0， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%． 故答案为：20%． 15．（2026•巨野县一模）对于实数a，b定义一种新运算“☆”如下：a☆b＝ab2﹣ab，例如4☆3＝4×32﹣4×3＝24，则关于x的方程1☆x＝2的根为 x1＝2，x2＝﹣1　 ． 【解答】解：1☆x＝2， x2﹣x＝2， x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1， 故答案为：x1＝2，x2＝﹣1． 16．（2026秋•同步）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不相等的实数根；③当（a+c）2≤b2时，关于x的方程ax2+bx+c＝0必有实数根；④若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；⑤若x0是方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac．其中正确的是 　①②③⑤　 ．（填序号） 【解答】解：①∵， ∴b2＝4ac， ∴b2﹣4ac＝0， ∴方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根， 故①正确； ②∵若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， ∴该方程根的判别式：b2﹣4ac≥0， 又∵方程x2﹣bx+ac＝0的根的判别式b2﹣4ac≥0， ∴方程x2﹣bx+ac＝0也一定有两个不相等的实数根， 故②正确； ③∵（a+c）2≤b2， ∴a2+c2+2ac≤b2， ∴b2﹣2ac≥a2+c2， 又∵a≠0， ∴a2+c2＞0， ∴b2﹣4ac＞0， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0必有实数根， 故③正确； ④∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， ∴ac2+bc+c＝0， 当c≠0时，ac+b+1＝0， 当c＝0时，ac+b+1＝0不一定成立， 故④不正确； ⑤∵x0是方程ax2+bx+c＝0的根， ∴x0， ∴2ax0+b， ∴（2ax0+b）2＝（）2， 即b2﹣4ac＝（2ax0+b）2， 故⑤正确， 综上所述：正确的是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 三．解答题（共6小题） 17．（2026秋•东城区校级月考）解方程： （1）x2﹣4x﹣6＝0； （2）2x（x+3）＝x+3． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣6＝0， x2﹣4x＝6， x2﹣4x+4＝6+4， （x﹣2）2＝10， x＝2， ∴； （2）整理方程2x（x+3）＝x+3， 移项得2x（x+3）﹣（x+3）＝0， 提取公因式得（x+3）（2x﹣1）＝0， 得x+3＝0或2x﹣1＝0， 解得：． 18．（2026秋•乌鲁木齐月考）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+2k＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2﹣3x1x2＝17，求k的值． 【解答】（1）证明：在一元二次方程x2+（k+4）x+2k＝0中，a＝1，b＝k+4，c＝2k， ∴根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×2k＝k2+8k+16﹣8k＝k2+16， ∵无论k取何实数，k2≥0， ∴k2+16≥16＞0，即Δ＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2）∵x1、x2是方程x2+（k+4）x+2k＝0的两根， ∴由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（k+4），x1•x2＝2k， 将上述两式代入x1+x2﹣3x1x2＝17得：﹣（k+4）﹣3•2k＝17， 整理得：﹣7k＝21， 解得k＝﹣3． 19．（2026春•瑶海区校级期中）实际背景：2026春晚合肥分会场带动庐阳文旅热度，淮河路步行街某徽派文创店抓住发展机遇，推出系列文创产品，销售过程中需要通过数学计算优化定价策略，实现销量与销售额的平衡，邀请你作为商业运营小助手解决问题． 该文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． 探索规律：（1）求该文创产品平均每次降价的百分率； 解决问题：（2）为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”，若要求每天销售额为4590元，结合实际销售情况，求每件应降价的金额． 【解答】解：（1）设平均每次降价的百分率为x， 依题意，得100（1﹣x）2＝81， 解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9 （不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为10%． （2）设每件应降价y元， 依题意，得（81﹣y）（30+2y）＝4590， 解得y1＝36，y2＝30． ∵由题意可得：要尽快减少库存， ∴y＝36， 答：每件应降价36元． 20．（2026秋•同步）如图，在△ACB中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速运动（到点C为止），它们的运动速度都是1m/s．经过几秒△PCQ的面积为△ACB面积的一半？ 【解答】解：6÷1＝6（秒），8÷1＝8（秒）． 当运动时间为t（0≤t＜6）秒时，PC＝（8﹣t） m，QC＝（6﹣t） m， 根据题意得：（8﹣t）（6﹣t）8×6， 整理得：t2﹣14t+24＝0， 解得：t1＝2，t2＝12（不符合题意，舍去）． 答：经过2秒△PCQ的面积为△ACB面积的一半． 21．（2026秋•同步）问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x，把代入已知方程，得1＝0． 化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用上面提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）． （1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为y2﹣2y﹣1＝0　 ； （2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的两个实数根分别为3，﹣2，利用“换根法”求一个一元二次方程，使它的根分别是﹣1，﹣6； （3）已知关于x的一元二次方程（m2+4）x2+（4m+8）x+4＝0（0≤m≤15）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数且它的两个根都为整数． 【解答】解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y． 把x＝﹣y代入已知方程得：y2﹣2y﹣1＝0， 故所求方程为y2﹣2y﹣1＝0． 故答案为：y2﹣2y﹣1＝0； （2）设所求方程的根为y，由题意可知y＝x﹣4， 所以x＝y+4， ∵方程ax2+bx+c＝0的两个实数根分别为3，﹣2， ∴1，6， ∴b＝﹣a，c＝﹣6a， ∴ax2﹣ax﹣6a＝0， 把x＝y+4代入已知方程得：a（y+4）2﹣a（y+4）﹣6a＝0， ∴ay2+7ay+6a＝0； （3）设所求方程的根为y，由题意可知y， ∴x， 将x代入（m2+4）x2+（4m+8）x+4＝0中， ∴（m2+4）（）2+（4m+8）（）+4＝0， ∴4y2+（4m+8）y+（m2+4）＝0， ∴y1•y2＝1， ∵两个根是整数， ∴m＝2，4，6，8，10，12，14， ∵Δ＝（4m+8）2﹣16（m2+4）＝64m， ∴8也是整数， ∴m＝4， ∴y2+6y+5＝0． 22．（2026春•高新区校级期末）阅读材料，并解决问题． 【学习研究】 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因为x表示边长，所以2x+2＝12，即x＝5．遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根． （1）【理解应用】 参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2﹣4x﹣21＝0（x＞0）的正确构图是　③　 ．（从序号①②③中选择） （2）【类比迁移】 小颖根据以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x（　　 ）＝1； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程：　（2x）2　 ，解得原方程的一个根为x　 ． （3）【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数a＝　±2　 ，b＝　3　 ，求得方程的正根为　1或3　 ． 【解答】解：[理解应用]∵x2﹣4x﹣21＝0（x＞0）， ∴x（x﹣4）＝21， 将x（x﹣4）＝21看作一个长为x，宽为x﹣4，面积为21的矩形， ∴很容易观察出构图是③， 故答案为：③； [类比迁移]2x2+3x﹣2＝0， 第一步：将原方程变为，即； 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：（2x）2， 解得原方程的一个根为； 故答案为：，（2x）2，x； [拓展应用]由条件可知x2+ax＝b， ∴x（x+a）＝b， ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是（x+x+a）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×b+a2， 由条件可知b＝3，a2＝4， 解得：b＝3，a＝±2， 当a＝2时，（x+x+2）2＝4×3+4， ∴2x+2＝4，x＝1，方程的一个正根为1； 当a＝﹣2时，（x+x﹣2）2＝4×3+4， ∴2x﹣2＝4，x＝3，方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为：±2，3，1或3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $