第25章 一元二次方程 章末素养试题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 以一元二次方程为核心，融合非遗文化（麻柳刺绣）、春日经济等时代情境，覆盖解法、应用及创新题型，适配九年级单元复习，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|方程解法、实际应用建模|结合足球赛制、停车场设计等真实场景| |填空题|5|系数关系、利润问题|考查方程系数和、商品定价等基础应用| |解答题|7|根的判别式、动态几何|含“邻根方程”新定义题，提升数学思维| |实践探究题|1|增长率、利润计算|以春日经济为素材，强化数学语言表达|

第25章 一元二次方程 章末素养试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）九年级上册 一、单选题 1．已知一元二次方程 的一个根为-1，则 m的值为（　　） A．-4 B．4 C．-6 D．6 2．我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A．x（x-1）=10 B．x（x+1）=10 C．x（x-1）=10×2 D．x（x+1）=10×2 3．把一元二次方程( 化为一般形式，正确的是(　　) A． B． C． D． 4． “指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态。如图，在一幅长80cm，宽60cm的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是6300 cm2。设边框的宽度为 x cm，则列出的方程为（　　) A．（60+x)（80+x)=6300 B．（60-x)（80-x)=6300 C．（60+2x)（80+2x)=6300 D．（60-2x)（80-2x)=6300 5．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度．设停车场内车道的宽度均为xm，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣2x）（22﹣2x）＝520 6．已知a，b是一元二次方程 的两个根，则 的值为(　　) A．4 B．0 C．-4 D． 7．对关于x的一元二次方程 将其一次项系数变为相反数，得到方程 则称这两个方程为“共轭方程”．若m为方程 的根，n为其共轭方程 的根，其中k为整数，且 则k的值为(　　) A．6 B．–6 C．3 D．-3 8．如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 9．在2026年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价元，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在△ABC中，∠ABC═90°，AB═4cm，BC═3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图)。点P的速度为 ，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动。当△PBQ的面积为 时，点P运动的时间是（　　）。 A．2s B．3s C．4s D．5s 二、填空题 11．若关于x的一元二次方程2x2+（2k+1)x-（4k-1)=0|的二次项系数、一次项系数、常数项的和是0，则k=　 　。 12．某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为　 　元． 13． 如图①，有一张长40 cm，宽25 cm的长方形硬纸片，裁去角上四个相同的小正方形之后，折成如图②所示的无盖纸盒.若纸盒的底面积是 450 cm2，则纸盒的高是　 　cm. 14．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是　 　． 15．已知关于x的一元二次方程. 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　 　。 三、解答题 16．解方程： （1）； （2）． （3）； （4）． 17．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x. （2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. （3）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，求较短的一段的长x. 18．已知关于x的一元二次方程 （1）判断方程根的情况； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两根，第三边BC的长为5，当k为何值时，△ABC是直角三角形，并求出△ABC的面积. 19． 已知关于x的方程． （1）求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）若该方程的两个实数根，，且满足，求k的值． 20． 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于 x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； （3）若关于 x的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 21．冬季来临，某超市以每件35元的价格购进某款棉帽，并以每件58元的价格出售．经统计，10月份的销售量为256只，12月份的销售量为400只． （1）求该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，下个月份的销售量将与12月份持平，现超市为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该棉帽每降价1元，月销售量就会增加20只．当该棉帽售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 22．某农场要建一个大饲养场(矩形ABCD)，两面靠墙，AD位置的墙最大可用长度为17米，AB 位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门(不用木栏).建成后木栏总长34米.设木栏CD的长为x米. （1） ①BC= ▲ 米(用含x的代数式表示) ②若饲养场面积为160平方米时，求CD的长； （2）饲养场面积能达到170平方米吗?若能，请求出CD的长，若不能，请说明理由. 四、实践探究题 23． 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． 任务2 根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． 任务3 根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 答案 1．A 2．C 3．C 4．C 5．B 6．C 7．A 8．A 9．B 10．B 11．2 12．54 13．5 14．6 15．k<1 16．（1）解：∵， ∴， 解得，，； （2）解：移项：， 整理得：， ∴， ∴， 解得，． （3）解：因式分解得，， 或， 解得，； （4）解：提公因式得， ， ∴． 或， 解得，． 17．（1）解：设正方形的边长为x，根据题意得 ∴4x2=25 化为一般形式为4x2-25=0 （2）解：设长方形的长为x，由题意得 x(x-2)=100， 化成一般形式为x2-2x-100=0 （3）解：设较短的一段的长x，根据题意得 x=(1-x)2， 化成一般形式为 18．（1）解：∵在方程中， ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解： 不妨设AB=k+1，AC=k+2， ①当BC=5为斜边时，有，即 解得：（舍去）.此时AB=3，AC=4 则直角三角形的面积为： ②当AC=k+2为斜边时，有即 解得：k=11.此时AB=12，AC=13 则直角三角形的面积为： 综上， k=2时，△ABC面积为6； k=11时，△ABC面积为30 19．（1）证明：由题意知，a=1，b=-4k，c=4k2-1， 所以△=(-4k)2-4×1×(4k2-1)=16k2-16k2+4=4>0， 因此无论k取何值，方程总有两个不相等实数根 （2）解：由根与系数关系得：x1+x2=4k，x1x2=4k2-1， 因为2x1=x2， 所以3x1=4k， 所以， 则 ， 解得， 又因为x1<x2，， 所以 20．（1）解：， ， ， ∵， 不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程是邻根方程， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 答：t的最大值为4． 21．（1）解：设该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽10月份到12月份销售量的月平均增长率为． （2）解：设该款棉帽售价为y元，则每件的销售利润为元， 根据题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去) 答：该款棉帽售价为50元时，月销售利润达8400元． 22．（1）解：①(36-2x)； ②列方程为x(36-2x)=160， 解得x1=8，x2=10， 当x=8时，BC=36-2x=20，不符合题意舍去； 当x=10时，BC=36-2x=16，符合题意； 答： 饲养场面积为160平方米时，求CD的长10米； （2）解：列方程得x(36-2x)=160， 整理得x2-18x+85=0， ，方程无实数根， ∴ 饲养场面积不能达到170平方米. 23．解：任务1、设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x， 由题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为20%； 任务2、设降价m元，则下调后定价为（50﹣m）元，销售量为（40+8）份， 由题意得：（50﹣m﹣20）（40+8）＝1200， 整理得：m2﹣20m＝0， 解得：m1＝20，m2＝0（不符合题意，舍去）， ∴50﹣m＝30， 答：下调后每份套餐的售价是30元； 任务3、该店平均每天能获利1600元， 设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为（50﹣y）元，销售量为（40+8）份， 由题意得：（50﹣y﹣20）（40+8）＝1600， 整理得：y2﹣20y+100＝0， 解得：y1=y2＝10， ∴50﹣m＝30， ∴该店平均每天能获利1600元，每份套餐应降价10元． 学科网（北京）股份有限公司 $