第3章勾股定理素养检测卷-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

第3章勾股定理素养检测卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•长寿区校级月考）下列各组数据为勾股数的是（　　） A．1， B．0.3，0.4，0.5 C． D．3，4，5 2．（2026春•西昌市期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（　　） A．4m B．2m C．5m D．3m 3．（2026春•新抚区期末）如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（　　） A．线段BD B．线段AC C．线段AB D．线段BC 4．（2026春•龙华区同步）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．∠B＝30°，AD＝8，则点D到AB的距离是（　　） A．4 B．2 C．3 D．6 5．（2026秋•西安校级月考）如图，每个小正方形的边长均为1，连接小正方形的三个顶点得△ABC，则AB边上的高是（　　） A． B． C． D． 6．（2026春•瑶海区校级期中）如图，点A，B，C，D，E均在格点上，下列说法正确的是（　　） A．AB∥CD B．BC2+DE2＝CD2 C．∠BCD+∠CDE＝90° D．∠ABC+∠BCD＝45° 7．（2026春•凉州区期中）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝∠D＝90°，∠C＝120°，且AB＝3，，则AD＝（　　） A． B．3 C． D． 8．（2026春•洪山区校级期中）如图，是一扇高为2m，宽为1.5m的门框，童师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长2.8m，宽2.8m；③号木板长4m，宽2.4m．可以从这扇门通过的木板是（　　）号． A．② B．③ C．②③ D．都不能通过 9．（2026春•马尾区期末）在勾股定理的证明中，小云用与Rt△ABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，则线段AB的长为（　　） A． B． C． D． 10．（2026春•章贡区期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD＝90°，分别以DA、AB、BC为边向外作正方形，其面积分别是S1，S2，S3，且，AB＝7，则CD的长度为（　　） A． B．14 C．15 D． 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•高新区校级月考）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的面积是____________________ ． 12．（2026秋•龙岗区月考）如图所示，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN，垂足为D，主梁上两根拉索AB，AC长分别为13m、20m，主梁AD段的高度为12m，则固定点B，C之间的距离为_______ m． 13．（2026秋•天心区月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DA＝DB．若AB＝6，则CD的长为_______________ ． 14．（2026•苏尼特右旗开学）如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S1＝3，S2＝4，则S3＝_____ ． 15．（2025秋•深圳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是___________________ ． 16．（2026•宝丰县一模）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．根据上述规律，写出第⑤组勾股数为_____________ ． 三．解答题（共5小题） 17．（2026春•二七区校级期中）已知△ABC的三边长分别是a，b，c． （1）若a、b、c满足|b﹣a|+（c﹣b）2＝0，判断△ABC的形状． （2）若a＝5、b＝3，且△ABC为等腰三角形．求△ABC的周长． 18．（2026春•莆田校级期中）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13． （1）求∠CAD的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 19．（2026•广汉市一模）小明买了一个风筝进行试放，如图1，牵风筝线的手到地面的距离AB为1.5m，假设牵风筝线的手A的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝C的水平距离BD为16m，手与风筝C之间的距离AC为20m，已知点A、B、D、C在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在余线剩1m的情况下，如图2，若想要让风筝的离地高度再上升1m至C′处，请判断小明能否成功，并说明理由． 20．（2026春•济源期中）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． （1）用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：______________ ；用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：___________ ； （2）利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理a2+b2＝c2． 21．（2026春•息县月考）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点A、B（A，B，H在同一直线上），其中AB＝AC，因操场改造，CA路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路CH，且CH⊥AB．测得CH＝24米，HB＝18米，求新路CH比原路CA少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，求AH的长度． 第3章勾股定理素养检测卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026秋•长寿区校级月考）下列各组数据为勾股数的是（　　） A．1， B．0.3，0.4，0.5 C． D．3，4，5 【解答】解：A、1，，不都是正整数，不是勾股数，不符合题意； B、0.3，0.4，0.5都不是正整数，不是勾股数，不符合题意； C、，，不都是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、∵32+42＝52， ∴正整数3，4，5是勾股数，符合题意； 故选：D． 2．（2026春•西昌市期末）如图是某城市万达广场前一个长方形花圃，有极少人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”．这种不文明的行为导致草坪被破坏，但他们仅仅少走了（　　） A．4m B．2m C．5m D．3m 【解答】解：设直角三角形的两直角边分别为a＝5m，b＝12m，斜边为c． ∵这是一个直角三角形， ∴由勾股定理得：． ∵原路程为5+12＝17（m）， ∴少走的距离为17﹣13＝4（m）， 故选：A． 3．（2026春•新抚区期末）如图，在3×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，标记格点（网格线的交点）A，B，C，D，则下列线段中，长度为的是（　　） A．线段BD B．线段AC C．线段AB D．线段BC 【解答】解：如图，连接BD、AC、AB、BC， 由勾股定理得：BD，AC，AB，BC， 故选：A． 4．（2026春•龙华区同步）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．∠B＝30°，AD＝8，则点D到AB的距离是（　　） A．4 B．2 C．3 D．6 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴， ∴点D到AB的距离是4． 故选：A． 5．（2026秋•西安校级月考）如图，每个小正方形的边长均为1，连接小正方形的三个顶点得△ABC，则AB边上的高是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由割补法得出：， 由勾股定理可得，， ∴AB边上的高的长度为：． 故选：C． 6．（2026春•瑶海区校级期中）如图，点A，B，C，D，E均在格点上，下列说法正确的是（　　） A．AB∥CD B．BC2+DE2＝CD2 C．∠BCD+∠CDE＝90° D．∠ABC+∠BCD＝45° 【解答】解：点A，B，C，D，E均在格点上，如下图所示，连接DM， 则AB∥DM， ∴AB与CD不平行， 故A错误，不符合题意； BC2+BD2＝CD2， ∵， ∴BD≠DE， ∴BC2+DE2＝CD2不成立， 故B错误，不符合题意； 如图：连接AD交BC于F， ∵∠ADH＝∠EDH＝45°， ∴∠ADE＝90°， ∴∠ADC+∠CDE＝90°， ∵， ∴DF≠CF， ∴∠BCD≠∠ADC， ∴∠BCD+∠CDE≠90°， 故C错误，不符合题意； 如下图所示， ∵∠NCB＝∠ABC， ∴∠ABC+∠BCD＝∠NCB+∠BCD＝∠NCD， ，， ∵， ∴NC2+ND2＝DC2， ∴∠DNC＝90°，ND＝NC， ∵NC＝ND， ∴∠NCD＝∠NDC＝45°， ∴∠ABC+∠BCD＝∠NCD＝45°， 故D正确，符合题意； 故选：D． 7．（2026春•凉州区期中）如图，在四边形ABCD中，已知∠B＝∠D＝90°，∠C＝120°，且AB＝3，，则AD＝（　　） A． B．3 C． D． 【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点E，连接BE， ∵∠ABC＝90°，AB＝3，， ∴， ∴， ∴△EBC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∵∠DCB＝120°， ∴∠ACD＝60° ∴AC是∠BCD的角平分线， 又∵∠ABC＝∠D＝90°， ∴CD⊥AD，CB⊥AB， ∴AD＝AB＝3， 故选：B． 8．（2026春•洪山区校级期中）如图，是一扇高为2m，宽为1.5m的门框，童师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长2.8m，宽2.8m；③号木板长4m，宽2.4m．可以从这扇门通过的木板是（　　）号． A．② B．③ C．②③ D．都不能通过 【解答】解：因为2.5，所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米．所以选③号木板． 故选：B． 9．（2026春•马尾区期末）在勾股定理的证明中，小云用与Rt△ABC全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4，则线段AB的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设BC＝a，AC＝b， ∵正方形GHJK的面积为16，正方形CDEF的面积为4， ∴CD＝2，GK＝4， ∴， ∴， ∴AB， 故选：C． 10．（2026春•章贡区期中）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC+∠BCD＝90°，分别以DA、AB、BC为边向外作正方形，其面积分别是S1，S2，S3，且，AB＝7，则CD的长度为（　　） A． B．14 C．15 D． 【解答】解：如图所示，在DC上截取DE＝AB＝7，连接BE， ∵AB∥CD， ∴四边形BADE是平行四边形， ∴AD∥BE，AD＝BE， ∴∠BEC＝∠ADC， ∵∠ADC+∠BCD＝90°， ∴∠BEC+∠BCD＝90°， ∴∠EBC＝90°， 假设BE＝AD＝x，BC＝y， ∴，，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．（2026秋•高新区校级月考）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则这个三角形的面积是　6或　 ． 【解答】解：当4为直角边长时，这个三角形的面积6； 当4为斜边长，3为直角边长时，另一直角边长， 则这个三角形的面积， 故答案为：6或． 12．（2026秋•龙岗区月考）如图所示，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN，垂足为D，主梁上两根拉索AB，AC长分别为13m、20m，主梁AD段的高度为12m，则固定点B，C之间的距离为　21　 m． 【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB、AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米， ∴（米），（米）， ∴BC＝BD+DC＝5+16＝21（米）， 故答案为：21． 13．（2026秋•天心区月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DA＝DB．若AB＝6，则CD的长为　　 ． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴∠B+∠BAD+∠DAC＝90°． ∵DA＝DB， ∴∠B＝∠BAD． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∴∠B+∠BAD+∠DAC＝3∠B＝90°，即∠B＝30°． 在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝6， ∴， 由勾股定理得：． 设CD＝x，则， 在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝CD2+AC2， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14．（2026•苏尼特右旗开学）如图，分别以直角三角形三边为边长作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3．若S1＝3，S2＝4，则S3＝　7　 ． 【解答】解：如图，， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2， ∴S3＝3+4＝7． 故答案为：7． 15．（2025秋•深圳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD⊥BC．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　　 ． 【解答】解：如图，连接BP， ∵AB＝AC＝10，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∴PB＝PC，， ∴PC+PQ＝PB+PQ，， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当B、P、Q三点共线，且BQ⊥AC时，PC+PQ最小， 如图所示，过点B作BE⊥AC于点E，BE交AD于点F， ∴当点P在点F处，点Q在点E处时，PC+PQ取最小值，且最小值为BE的长， ∵， ∴， 即PC+PQ的最小值为． 故答案为：． 16．（2026•宝丰县一模）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．根据上述规律，写出第⑤组勾股数为　11，60，61　 ． 【解答】解：观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数可知： 第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为x，则第3个数为x+1， 由勾股定理得：112+x2＝（x+1）2， 解得：x＝60， ∴x+1＝61； ∴第⑤组勾股数为11，60，61； 故答案为：11，60，61． 三．解答题（共5小题） 17．（2026春•二七区校级期中）已知△ABC的三边长分别是a，b，c． （1）若a、b、c满足|b﹣a|+（c﹣b）2＝0，判断△ABC的形状． （2）若a＝5、b＝3，且△ABC为等腰三角形．求△ABC的周长． 【解答】解：（1）∵|b﹣a|+（c﹣b）2＝0， ∴b﹣a＝0，c﹣b＝0， ∴a＝b，b＝c， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形； （2）∵a＝5、b＝3，且△ABC为等腰三角形， ∴c＝3或c＝5， 当c＝3时，三角形的三边为3，3，5， 由3+3＝6＞5，能构成三角形，此时△ABC的周长为3+3+5＝11； 当c＝5时，三角形的三边为5，5，3， 由3+5＝8＞5，能构成三角形，此时△ABC的周长为3+5+5＝13； 综上所述，△ABC的周长为11或13． 18．（2026春•莆田校级期中）已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9，AD＝5，DC＝13． （1）求∠CAD的度数； （2）求四边形ABCD的面积． 【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝15，BC＝9， ∴AC12． ∵AD＝5，CD＝13，AC＝12， ∴AD2+AC2＝52+122＝169，CD2＝132＝169， ∴CD2＝AD2+AC2， ∴△ACD是直角三角形，且∠CAD＝90°； （2）S△ACDAD•AC 5×12 ＝30； S△ABCAC•BC 12×9 ＝54， ∴30+54＝84， ∴四边形ABCD的面积为84． 19．（2026•广汉市一模）小明买了一个风筝进行试放，如图1，牵风筝线的手到地面的距离AB为1.5m，假设牵风筝线的手A的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝C的水平距离BD为16m，手与风筝C之间的距离AC为20m，已知点A、B、D、C在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在余线剩1m的情况下，如图2，若想要让风筝的离地高度再上升1m至C′处，请判断小明能否成功，并说明理由． 【解答】解：（1）如图1，过点A作AE⊥CD于点E， 则AE＝BD＝16m，AB＝DE＝1.5m，∠AEC＝90°， 在Rt△AEC中，由勾股定理得：CE12（m）， ∴CD＝CE+DE＝12+1.5＝13.5（m）， 答：风筝离地面的垂直高度CD为13.5m； （2）小明能成功，理由如下： 如图2，延长DC至点C'，使CC'＝1m，连接AC'， ∴EC'＝CE+CC'＝12+1＝13（m）， 在Rt△AEC'中，AC'5（m）， ∵AC＝20m，余线剩1m， ∴20+1＝21＞5， ∴能上升1m， 即小明能成功． 20．（2026春•济源期中）勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，它的验证方法有很多，图1和图2都是用4个以c为斜边，a，b为直角边的直角三角形拼成的大正方形，空白部分都是正方形． （1）用含a，b的式子表示图1的大正方形的面积：a2+b2+2ab ；用含a，b，c的式子表示图2的大正方形的面积：　2ab+c2 ； （2）利用（1）中的两个式子，尝试验证勾股定理a2+b2＝c2． 【解答】解：（1），即图1的大正方形的面积为2ab+c2； ，即图2的大正方形的面积为a2+b2+2ab， 故答案为：a2+b2+2ab；2ab+c2； （2）由题图可知，两个大正方形的边长都是a+b， ∴两个大正方形的面积相等， ∴a2+b2+2ab＝2ab+c2， 化简可得a2+b2＝c2． 21．（2026春•息县月考）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． （1）【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理． （2）【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点A、B（A，B，H在同一直线上），其中AB＝AC，因操场改造，CA路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路CH，且CH⊥AB．测得CH＝24米，HB＝18米，求新路CH比原路CA少多少米？ （3）【延伸扩展】在问题解决中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，求AH的长度． 【解答】解：（1）∵， 又∵， ∵是同一图形的面积，面积相等， ∴， ∴a2+b2＝c2． （2）设CA为x米，则AH＝（x﹣18）米，AB＝AC＝x米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∵在Rt△CHA中，CH＝24米，∠CHA＝90°， ∴AC2＝AH2+CH2， 即x2＝242+（x﹣18）2， 解得：x＝25， ∴CA＝25（米）， ∴CA﹣CH＝25﹣24＝1（米）， ∴新路CH比原路CA少1米． （3）由题意设：AH为y米， 又∵AB＝21米，AC＝15米，BC＝18米， ∴HB＝AB﹣AH＝（21﹣y）米， ∵CH⊥AB， ∴∠CHA＝∠CHB＝90°， ∴在Rt△CHA中，∠CHA＝90°， CH2＝AC2﹣AH2＝152﹣y2， 在Rt△CHB中，∠CHB＝90°， CH2＝CB2﹣HB2＝182﹣（21﹣y）2， ∴152﹣y2＝182﹣（21﹣y）2， 解得：， ∴若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝15米，BC＝18米，AB＝21米，则AH的长度为米． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $