第13章全等三角形素养检测卷-2026-2027学年人教版数学八年级上册

第13章全等三角形素养检测卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•丛台区校级期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026春•通川区校级期末）满足下列哪种条件时，能够判定△ABC≌△DEF（　　） A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E B．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D C．∠A＝∠E，AB＝DF，∠B＝∠D D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E 3．（2026•淮北校级模拟）如图，∠AOB＜90°，点M在OB上，且OM＝6，点M到射线OA的距离为a，点P在射线OA上，MP＝x，若△OMP的形状，大小是唯一确定的，则x的取值范围是（　　） A．x＝a或x≥6 B．x≥6 C．x＝6 D．x＝6或x＞a 4．（2026春•济宁校级期末）如图，△ABC≌△ADE，已知点C和点E是对应点，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，则∠DGB的度数是（　　） A．70° B．75° C．60° D．65° 5．（2026•晋城二模）利用尺规作图作△A′B′C′≌△ABC，已知甲、乙、丙三位同学所参照的△ABC分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同． 同学 甲 乙 丙 参照三角形 作图步骤 第一步：作A′B′＝AB；第二步：作∠A′B′C′＝∠ABC；第三步：作A′C′＝AC． 下列说法正确的是（　　） A．甲同学所作△A′B′C′与△ABC不一定全等 B．乙同学所作△A′B′C′与△ABC不一定全等 C．丙同学所作△A′B′C′与△ABC不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作△A′B′C′都与△ABC全等 6．（2025秋•原阳县期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 7．（2026春•翠屏区期末）如图，已知△ABD≌△AEC，若BC＝2，AD＝6，则AB的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2025秋•新泰市期末）如图，AD是△ABC 的中线，E是AD上一点，连接CE，过B作BF∥CE交AD延长线于点F，下列结论中错误的是（　　） A．CE＝BF B．S△ABF＝S△ACD+S△BDF C．AE＝DF D．∠F＝∠CED 9．（2026春•漳浦县校级月考）如图，在△ABC中，，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，若△ABC的面积为15，则△ABD的面积为（　　） A．9 B．6 C．5 D．5.5 10．（2026春•崂山区校级期中）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM．则下列结论中：①△AOC≌△BOD；②AC＝BD；③∠AMB＝30°；④△OEM≌△OFM．正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•姜堰区期末）若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，AB＝3，BC＝4，则DF的长为_____ ． 12．（2025秋•宣城期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，BE＝CF，∠ACB＝∠F．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是_________________ ．（写出一个即可） 13．（2026春•新安县期末）如图，点B、E、D、C在同一直线上，△ABE≌△ACD，DE＝4，BC＝10，则CE＝_____ ． 14．（2026春•闵行区期末）如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，BC﹣CD＝1，CD＝2AC，那么边AC长度a的取值范围是____________________ ． 15．（2026春•渝中区校级期末）如图，在正△ABC中，点M、N分别在AB、BC边上，且AM＝BN，AN与CM相交于H．若∠ACM＝20°，则∠ANC＝________ ，连接BH，若BH⊥CM，且AH＝4，则HC的长为_____ ． 16．（2025秋•岳阳县期末）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于E，AD＝3，DE＝7，则BE＝_____ ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025秋•阳新县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC． 18．（2026•长沙模拟）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M． （1）若∠ACD＝130°，求∠MAB的度数； （2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△CAN≌△CMN． 19．（2026春•海淀区校级月考）如图，点A，F，C，D在同一直线上，BC∥EF，AF＝DC，BC＝EF．求证：AB∥DE． 证明：∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠EFD（________________ ）， ∵AF＝CD， ∴AF+_______ ＝CD+_______ ， 即：_______ ＝_______ ． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（________ ）， ∴∠A＝∠D（________________ ）， ∴AB∥DE． 20．（2025秋•南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）①试说明：△ABD≌△ACE； ②若∠BAC＝90°，求∠BCE的度数． （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 21．（2026春•垦利区期末）为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度AB：将旗杆顶部A处的绳子拉直至地面C点，使B，C两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在C处放置直角三角板OMN，让直角顶点O与C点重合，边OM与绳子AC重合．随后小明后退，当看到点N，O共线时（即N，O，E共线），停在D点． （1）小明认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由． （2）若DE＝1.7米，DB＝16米，求旗杆高度AB． 22．（2026春•浉河区校级月考）学完矩形和正方形的性质后，善于思考的小聪同学利用矩形和正方形的性质解决如下问题：如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均为格点（网格线的交点），请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，画出∠ABC的角平分线BE； （2）在图2中，在△ABC的边BC上找一点F，连接AF，使得AF平分△ABC的面积； （3）在图3中，点M是AB上一点，请在BC上找一点N，使得BM＝BN． 第13章全等三角形素养检测卷-2026-2027学年数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026春•丛台区校级期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四个选项中，只有A选项中的两个图形能够完全重合，属于全等图形，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意， 故选：A． 2．（2026春•通川区校级期末）满足下列哪种条件时，能够判定△ABC≌△DEF（　　） A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E B．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D C．∠A＝∠E，AB＝DF，∠B＝∠D D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E 【解答】解：A、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E，符合SSA，不能判断三角形全等； B、AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E，符合SSA，不能判断三角形全等； C、∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D，AB、EF不是对应边，不能判断三角形全等； D、当∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，符合ASA，所以△ABC≌△DEF． 故选：D． 3．（2026•淮北校级模拟）如图，∠AOB＜90°，点M在OB上，且OM＝6，点M到射线OA的距离为a，点P在射线OA上，MP＝x，若△OMP的形状，大小是唯一确定的，则x的取值范围是（　　） A．x＝a或x≥6 B．x≥6 C．x＝6 D．x＝6或x＞a 【解答】解：当MP⊥OA时，PM＝x＝a，△OMP是直角三角形，△OMP的形状，大小是唯一确定的； 当a＜x＜6时，如图，有两种情况； 当x≥6时，△OMP的形状，大小是唯一确定的． ∴x＝a或x≥6． 故选：A． 4．（2026春•济宁校级期末）如图，△ABC≌△ADE，已知点C和点E是对应点，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，则∠DGB的度数是（　　） A．70° B．75° C．60° D．65° 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，∠D＝∠B， ∵∠EAB＝120°，∠DAC＝10°， ∴∠BAC+∠DAE＝∠EAB﹣∠DAC＝120°﹣10°＝110°， ∴， ∴∠FAB＝65°， ∵∠DFG＝∠BFA，∠D＝∠B， ∴∠DGF＝∠BAF＝65°， ∴∠DGB＝65°， 故选：D． 5．（2026•晋城二模）利用尺规作图作△A′B′C′≌△ABC，已知甲、乙、丙三位同学所参照的△ABC分别为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，他们的作图步骤均相同． 同学 甲 乙 丙 参照三角形 作图步骤 第一步：作A′B′＝AB；第二步：作∠A′B′C′＝∠ABC；第三步：作A′C′＝AC． 下列说法正确的是（　　） A．甲同学所作△A′B′C′与△ABC不一定全等 B．乙同学所作△A′B′C′与△ABC不一定全等 C．丙同学所作△A′B′C′与△ABC不一定全等 D．甲、乙、丙三位同学所作△A′B′C′都与△ABC全等 【解答】解：A，甲同学根据“HL”证明△A′B′C′≌△ABC，故A不合题意； B，乙同学的钝角三角形，如图，延长C′B′，过点A′作A′D′⊥C′B′交C′B′的延长线于点D′，延长CB，过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D， ∵A′D′⊥C′B′，AD⊥CB， ∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°， ∵∠ABC＝∠A′B′C′， ∴∠ABD＝∠A′B′D′， 在△ABD和△A′B′D′中， ， ∴△ABD≌△A′B′D′（AAS）， ∴AD＝AD′， 在Rt△ADC和Rt△A′D′C′中， ， ∴Rt△A′D′C′≌Rt△ADC（HL）， ∴∠C＝∠C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（AAS），故B不合题意； C，丙如图，过点A′作A′D′⊥C′B′交C′B′于点D′，过点A作AD⊥CB交CB于点D， ∵A′D′⊥C′B′，AD⊥CB， ∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°， 在△ABD和△A′B′D′中， ， ∴△ABD≌△A′B′D′（AAS）， ∴AD＝AD′， ∵不能证明△A′B′C′≌△ABC故C符合题意； 故选：C． 6．（2025秋•原阳县期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【解答】解：过P作PK⊥OB于K， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C， ∴PK＝PC＝2， ∵OD＝4， ∴△POD的面积OD•PK4×2＝4． 故选：A． 7．（2026春•翠屏区期末）如图，已知△ABD≌△AEC，若BC＝2，AD＝6，则AB的长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【解答】解：∵△ABD≌△AEC，BC＝2，AD＝6， ∴AC＝AD＝6， ∴AB＝AC+BC＝6+2＝8， 故选：B． 8．（2025秋•新泰市期末）如图，AD是△ABC 的中线，E是AD上一点，连接CE，过B作BF∥CE交AD延长线于点F，下列结论中错误的是（　　） A．CE＝BF B．S△ABF＝S△ACD+S△BDF C．AE＝DF D．∠F＝∠CED 【解答】解：∵AD是△ABC中线， ∴BD＝DC， ∵BF∥CE， ∴∠F＝∠CED， 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（AAS）， ∴CE＝BF，DE＝DF，∠F＝∠CED，故A，D正确，C错误； ∵AD是△ABC 的中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵△BDF≌△CDE， ∴S△FBD＝S△ECD， ∴S△ABF＝S△ACD+S△BDF，故B正确； 故选：C． 9．（2026春•漳浦县校级月考）如图，在△ABC中，，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，若△ABC的面积为15，则△ABD的面积为（　　） A．9 B．6 C．5 D．5.5 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， 设DE＝DF＝h， ∴， ， ∴， ∵S△ABC＝S△ABD+S△CBD＝15， ∴， ∴， ∴S△ABD＝6． 故选：B． 10．（2026春•崂山区校级期中）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM．则下列结论中：①△AOC≌△BOD；②AC＝BD；③∠AMB＝30°；④△OEM≌△OFM．正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝30°， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠BOD＝∠AOC， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS），则①正确； ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，则②正确； 由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠OFD＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝30°，则③正确； 如图，作OH⊥MB于H，OG⊥MC于G，则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴∠GOM＝∠HOM，OG＝OH， ∴MO平分∠BMC，即∠CMO＝∠BMO， ∵∠CMD＝∠BMA， ∴∠DMO＝∠AMO， 假设△OEM≌△OFM， ∴OE＝OF， 在Rt△EOG和Rt△FOH中， ∵OE＝OF，OG＝OH， ∴Rt△EOG≌Rt△FOH（HL）， ∴∠EOG＝∠FOH， ∴∠EOG+∠GOM＝∠FOH+∠MOH，即∠EOM＝∠FOM， 在△DMO和△AMO中， ∵∠EOM＝∠FOM，∠DMO＝∠AMO，OM＝OM， ∴△DMO≌△AMO（ASA）， ∴OD＝OA，即OC＝OA，与OA＞OC矛盾， 则假设不成立，则④△OEM≌△OFM错误； 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．（2026春•姜堰区期末）若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，AB＝3，BC＝4，则DF的长为　5　 ． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，BC＝EF， ∵AB＝3，BC＝4， ∴DE＝3，EF＝4， ∵△DEF的周长为12， ∴DE+EF+DF＝12， ∴DF＝12﹣DE﹣EF＝12﹣3﹣4＝5， 故答案为：5． 12．（2025秋•宣城期末）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，BE＝CF，∠ACB＝∠F．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是　∠A＝∠D（答案不唯一）　 ．（写出一个即可） 【解答】解：∵BE＝CF，∠ACB＝∠F． ∴当添加∠A＝∠D时，根据“AAS”可判断△ABC≌△DEF； 当添加AC＝DF时，根据“SAS”可判断△ABC≌△DEF； 当添加∠B＝∠DEF时，根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF； 综上所述，添加一个条件即可证明△ABC≌△DEF，这个条件可以是∠A＝∠D（答案不唯一）． 故答案为：∠A＝∠D（答案不唯一）． 13．（2026春•新安县期末）如图，点B、E、D、C在同一直线上，△ABE≌△ACD，DE＝4，BC＝10，则CE＝　3　 ． 【解答】解：∵△ABE≌△ACD， ∴BE＝CD， ∴BE﹣DE＝CD﹣DE， 即BD＝CE， ∵DE＝4，BC＝10， ∴CE＝BD（10﹣4）＝3， 故答案为：3． 14．（2026春•闵行区期末）如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，BC﹣CD＝1，CD＝2AC，那么边AC长度a的取值范围是　　 ． 【解答】解：∵BC﹣CD＝1，CD＝2AC，AC＝a， ∴CD＝2a，BC＝2a+1， 延长CD至点E，使得DE＝CD＝2a，连接BE，则CE＝4a， ∵CD是AB 边上的中线， ∴DA＝DB， 在△ADC和△BDE中， ， ∴△ADC≌△BDE（SAS）， ∴AC＝BE＝a， ∵BC﹣BE＜CE＜BC+BE， ∴2a+1﹣a＜4a＜2a+1+a， 解得， 故答案为：． 15．（2026春•渝中区校级期末）如图，在正△ABC中，点M、N分别在AB、BC边上，且AM＝BN，AN与CM相交于H．若∠ACM＝20°，则∠ANC＝　80°　 ，连接BH，若BH⊥CM，且AH＝4，则HC的长为　8　 ． 【解答】解：∵△ABC是正三角形， ∴AC＝AB，∠BAC＝∠B＝60°， 在△AMC和△BNA中， ， ∴△AMC≌△BNA（SAS）． ∴∠BAN＝∠ACM＝20°． ∵∠ANC是△ABN的外角， ∴∠ANC＝∠B+∠BAN＝60°+20°＝80°． ∵△AMC≌△BNA， ∴∠ACM＝∠BAN． ∵∠AHN＝∠BAN+∠AMC＝∠ACM+∠AMC， 在△AMC中，∠ACM+∠AMC＝180°﹣∠MAC＝120°， ∴∠AHC＝120°． 在CH的延长线上截取HD＝AH＝4，连接AD， ∵∠AHC＝120°，HD＝AH， ∴△AHD是等边三角形， ∴AD＝AH，∠DAH＝60°． ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAC﹣∠NAD＝∠DAH﹣∠NAD，即∠BAD＝∠CAH． 在△BAD和△CAH中， ， ∴△BAD≌△CAH（SAS）， ∴BD＝HC，∠ADB＝∠AHC＝120°． ∵BH⊥CM，即∠BHC＝90°， ∴∠BHD＝90°， ∴∠HBD＝180°﹣∠BHD﹣∠BDH＝180°﹣90°﹣60°＝30°， 在Rt△BHD中，∠HBD＝30°， ∴． ∵BD＝HC，HD＝4， ∴， ∴HC＝8． 故答案为：80°，8． 16．（2025秋•岳阳县期末）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于E，AD＝3，DE＝7，则BE＝　4　 ． 【解答】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE＝3，CD＝BE， ∵DC+CE＝DE， ∴BE＝CD＝DE﹣CE＝7﹣3＝4； 故答案为：4； 三．解答题（共6小题） 17．（2025秋•阳新县期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF．求证：AD平分∠BAC． 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴DE＝DF， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F， ∴点D在∠BAC的角平分线上， ∴AD平分∠BAC． 18．（2026•长沙模拟）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M． （1）若∠ACD＝130°，求∠MAB的度数； （2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△CAN≌△CMN． 【解答】（1）解：∵AB∥CD， ∴∠ACD+∠CAB＝180°， ∵∠ACD＝130°， ∴∠CAB＝50°， 由题意AM平分∠CAB， ∴∠MAB∠CAB＝25°； （2）证明：∵AM平分∠CAB， ∴∠CAM＝∠MAB， ∵AB∥CD， ∴∠AMC＝∠MAB， ∴∠CAN＝∠AMN， ∵CN⊥AM， ∴∠ANC＝∠MNC＝90°， 在△CAN和△CMN中， ， ∴△CAN≌△CMN（AAS）． 19．（2026春•海淀区校级月考）如图，点A，F，C，D在同一直线上，BC∥EF，AF＝DC，BC＝EF．求证：AB∥DE． 证明：∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠EFD（　两直线平行，内错角相等　 ）， ∵AF＝CD， ∴AF+FC ＝CD+FC ， 即：AC ＝DF ． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS ）， ∴∠A＝∠D（　全等三角形的对应角相等　 ）， ∴AB∥DE． 【解答】证明：∵BC∥EF， ∴∠ACB＝∠EFD（两直线平行，内错角相等）， ∵AF＝CD， ∴AF+FC＝CD+FC， 即：AC＝DF． 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠A＝∠D（全等三角形的对应角相等）， ∴AB∥DE， 故答案为：两直线平行，内错角相等；FC；FC；AC；DF；AC＝DF；∠ACB＝∠EFD；BC＝EF；SAS；全等三角形的对应角相等． 20．（2025秋•南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上一点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）①试说明：△ABD≌△ACE； ②若∠BAC＝90°，求∠BCE的度数． （2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． 【解答】解：（1）①∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC， ∵∠BAD＝∠DAE﹣∠DAC，∠CAE＝∠BAC﹣∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE． 在△ABD和△ACE中： ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）． ②∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°． 由①知，△ABD≌△ACE， ∴∠ACE＝∠B＝45°． ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°． （2）由①知，△ABD≌△ACE，则∠ACE＝∠B． ∵AB＝AC，∠BAC＝α， ∴． ∴． ∵∠BCE＝β， ∴α+β＝180°． 21．（2026春•垦利区期末）为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度AB：将旗杆顶部A处的绳子拉直至地面C点，使B，C两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在C处放置直角三角板OMN，让直角顶点O与C点重合，边OM与绳子AC重合．随后小明后退，当看到点N，O共线时（即N，O，E共线），停在D点． （1）小明认为CD的长等于旗杆高度AB，你认同他的观点吗？请说明理由． （2）若DE＝1.7米，DB＝16米，求旗杆高度AB． 【解答】解：（1）我认同小明的观点， 理由：由题意得：AB⊥DB，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ACB+∠ECD＝180°﹣∠ACE＝90°， ∴∠BAC＝∠ECD， ∵BC＝ED， ∴△ABC≌△CDE（AAS）， ∴AB＝CD； （2）∵△ABC≌△CDE， ∴DE＝BC＝1.7米， ∵DB＝16米， ∴CD＝DB﹣BC＝16﹣1.7＝14.3（米）， ∴AB＝CD＝14.3米． 22．（2026春•浉河区校级月考）学完矩形和正方形的性质后，善于思考的小聪同学利用矩形和正方形的性质解决如下问题：如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均为格点（网格线的交点），请用无刻度直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中，画出∠ABC的角平分线BE； （2）在图2中，在△ABC的边BC上找一点F，连接AF，使得AF平分△ABC的面积； （3）在图3中，点M是AB上一点，请在BC上找一点N，使得BM＝BN． 【解答】解：（1）在网格上画正方形ABCE，然后连接BE，如图1，BE即为所求， 理由：由网格可知，，， ∴四边形ABCE是菱形， ∵， ∴∠BCE＝90°， ∴四边形ABCE是正方形， ∴BE平分∠ABC， ∴BE即为所求； （2）根据网格特征，通过矩形的性质找出BC中点，如图2，点F即为所求； （3）根据网格特征，通过正方形的性质，如图3，点N即为所求， 理由：由（1）可得：AB＝CB，四边形ABCE是正方形， ∴BD垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∵OB＝OB， ∴△ABO≌△CBO（SSS）， ∴∠BAO＝∠BCO， ∵∠AOM＝∠CON，OA＝OC， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴AM＝CN， ∴AB﹣AM＝CB﹣CN， ∴BM＝BN， ∴点N即为所求． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $