第十四章 全等三角形（单元自测卷·重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(重庆专用) 第十四章 全等三角形 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．利用全等三角形测距离是中国古代工匠日常测量的基础方法．如图，A，B两点分别位于池塘的两端，以为边作，在的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等判定条件中的（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，是角平分线，若，，则的面积为（     ） A．13 B．26 C．36 D．18 5．如图，已知是的边上的高，下列能使的条件是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，是的高线，与相交于点F，若，且的面积为12， 则的长为（     ） A．1 B． C．2 D．3 7．如图，且，且，按图中所标数据，则阴影部分面积（     ） A．46 B．48 C．50 D．52 8．如图，在中，为边上一点，连接，，，将沿折叠至，连接，若平分，则的度数是（  ） A． B． C． D． 9．如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点分别为上一个动点，则的最小值为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么____________． 12．如图，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，需要添加的一个条件是__________． 13．如图，在中，D是的中点，分别过点A，C作的垂线，垂足为E，F．若，，则的面积是_______ ． 14．如图，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为_________时，能使与以、、三点为顶点所构成的三角形全等． 15．如图，是外的一点，交的延长线于点，于点，交的延长线于点，连接，，若，，则的度数为__________． 16．如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）如图，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 18．（8分）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，， (1)从下列条件中选择一个作为已知条件：①；②；③；求证：； (2)在（1）的条件下，若，，求的度数． 19．（10分）以下是小明证明“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的过程．请按照要求补全图形和证明过程． 已知：如图，是边上一点，过点作的垂线． (1)尺规作图：在上截取；作的平分线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)补全以下证明过程． 证明：， ． 平分， ① ． 在和中， ． ③ ，． 所以，点到，的距离相等． 20．（10分）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（10分）如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．（10分）某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区：边为绿地，长为4千米，边为临溪护栏，长为2千米，边为山间土路．在土路的中点处修建观景驿站，同时修建索道，连接地块顶点与驿站． (1)直接写出山间土路边长的取值范围_________； (2)在中，延长到点，使，连接，与全等吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，求索道长度的取值范围． 23．（10分）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好和全等，求点的运动速度． 24．（10分）如图，和都是等腰三角形，，，．连接，与相交于点． (1)求证：； (2)试说明：与的数量关系． 25．（10分）如图1，已知，连接． (1)求证：． (2)将绕点C旋转到如图2所示的位置，F为的中点，连接，． ①求证：． ②探究与的数量关系和位置关系，并说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测（重庆专用） 第十四章全等三角形 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.如图，△ABC2aDEF,∠B=40°，∠D=80°，则∠E的度数是() 80° B了40° E A.100° B.80° C.60° D.40° 【答案】D 【详解】解：△ABC≌aDEF, ∠B=LE, ·∠B=40° ∴.∠E=40° 2.如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌aCDE,DE=5,CD=9,则BD等于() A.4 B.5 C.9 D.14 【答案】D 【分析】利用全等三角形的性质求出BC,与CD相加即可得到结果， 【详解】解：△ABC≌△CDE, ∴.BC=DE=5 1/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.BD=BC+CD=5+9=14 3.利用全等三角形测距离是中国古代工匠日常测量的基础方法.如图，A,B两点分别位于池塘的两端， 以BC为边作∠DCB=∠ACB,在∠DCB的另一条边上截取CD=CA,最后测出BD的长度就等于池塘两端 A,B的距离.这种方法是利用了三角形全等判定条件中的() D A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定定理，解答即可 CA=CD ∠ACB=∠DCB 【详解】解： CB=CB △ACB≌ADCB(SAS) 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若CD=4,AB=9,则△ABD的面积为() D B A.13 B.26 C.36 D.18 【答案】D 【分析】过点D作DE⊥AB,利用角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=CD,再利用三角形面积 公式求解 【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E,如图所示： 2/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E :AD是∠BAC的角平分线，∠C=90°，DE1AB, .DE =CD=4. 六△ABD的面积=2×AB×DE=)×9×4=18 2 5.如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是() A.∠B=∠C B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 【答案】A 【详解】解：，'AD是△ABC的BC边上的高 .∠ADB=∠ADC=90° AD=AD ∴，若添加条件∠B=∠C, △ABD≌AACD(AAS) ,故A符合题意； 若添加条件∠BAC=90°，无法证明△ABD≌△ACD,故B不符合题意： 若添加条件BD=AC,无法证明△ABD≌△ACD,故C不符合题意： 若添加条件∠B=45°，无法证明△ABD≌△ACD,故D不符合题意. 6.如图，AD,BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F,若AD=BD=6,且△ACD的面积为12，则 AF的长为() 3/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■ D 3 A.1 B. C.2 D.3 【答案】C 【分析】先证明∠FBD=∠FA5,再证明△BDFADC(ASA）,得到PD=CD,根据三角形面积公式求出 CD的长，则可得到DF的长，据此可得答案. 【详解】解：，AD,BE是△ABC的高线， AD⊥BC,BE⊥AC」 .∠ADB=∠ADC=∠AEF=90°， ,∠BFD=∠AFE, :180-∠BFD-∠ADB=180°-∠AFE-∠AEF, 即∠FBD=∠FAE, :AD=BD,∠BDF=∠ADC=90°， △BDF≌△ADC(ASA) .FD=CD :△ACD的面积为12，AD=6, .CD=4, ∴.FD=4, ∴.AF=AD-FD=6-4=2 7.如图，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,按图中所标数据，则阴影部分面积S=() E 6 4 A.46 B.48 C.50 D.52 【答案】C 4/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH, .∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°， ∴∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG=90°， ∴.∠EAF=∠ABG :AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG, ∴.△EFA≌AAGB(AAS) ..AF=BG=3,AG=EF=6. BGC≌ACHD(AAS) 同理可证 ..GC=DH=4,CH=BG=3. ∴.FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16, S=2(6+4x16-2×3x4-2×2x6x3=50 2 2 8.如图，在△ABC中，D为边BC上一点，连接AD,∠BAD=30°，∠ACB=a,将△ABD沿AD折叠至 △ADB,连接B'C,若B'C平分∠ACB,则∠ABD的度数是() B B-- D A.60+号 B. 60°+ax c.0-号 D.90°-a 【答案】C 【详解】解：如图，连接BB,过点B作BE⊥BC于E,BF⊥AC于F, D 则∠CEB'=∠CFB'=∠BEB'=∠AFB'=90° 5/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由折叠可知，∠BAD=∠B'AD=30°，AB=AB', .∠BAB'=∠BAD+∠BAD=6O°， △ABB是等边三角形， .AB'=BB,∠B'BA=∠BAB=60°， :B'C平分∠ACB,∠ACB=C, 4c8=∠Bc-4cB 1 20, 又BE⊥BC,B'F⊥AC, ..B'E=B'F, 在Rt BB'E和Rt△AB'F中， B'E=BF BB'=AB', .RtBB'E≌RteAB'FHL) ∠B'BE=∠B'AF, ∴，∠B'BA+∠BBE=∠B'AB+∠B'AF, 即∠ABC=∠BAC, '∠ACB=a,∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°， ∠ABC=∠B4C-15s0220=90-, 2 ·∠AB'D=90°-C 2, 故选：C 9.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AB=12,BM为∠ABC的平分线，交AC于点M,过点M作 MN⊥BM ,垂足为点M,交B于 .N P,O MN,AM AP+PO ”于点，点分别为 上一个动点，则 的最小值为 6/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【详解】解：过M作MD⊥AB于D,在线段AM上取一点E,使MD=ME,连接PD,PE, EO M :∠C=90°，BM为∠ABC的平分线，MD⊥AB, .MC=MD, MB=MB, RtABMCS≌Rt△BMD(HL) ∴.BC=BD,∠BMC=∠BMD, :MN⊥BM, ∴.∠BMC+∠AMN=90°=∠DMN+∠BMD, ∴.∠AMN=∠DMN, MD=ME,MP=MP, △DMP≌aEMP(SAS) .PD=PE, AP+PE=AP+PD≤AD, BC=4,AB=12. .BC=BD=4,AD=AB-BD=12-4=8, ∴当P在AB上时AP+PE=AP+PD=AD=8, 7/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点P,0分别为MN,AM上一个动点， :当P在AB上，与E重合时，AP+PO=AP+PE=8最小 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，过点 A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,下列结论：① aMBD2s4CF,gDE=f,自若m=15.Sam=6,则S=36,6 36,④BD+CE=DE,其中正确的 是() D A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 【答案】C 【详解】解：：在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°， ∴.∠BAC=90° .∠BAD+∠DAC=90°， :AF⊥AD, ∴.∠CAF+∠DAC=90°， .∠BAD=∠CAF, :CF⊥BC. :∠ACF=∠ACB=∠ABC=45°， 在△ABD和△ACF中， [BAD=∠CAF AB=AC ∠ABD=∠ACF' △ABD≌AACF(ASA) 故①正确： .AD=AF, 8/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAE=45°， ·∠BAD+∠EAC=45°， ·∠FAE=∠CAF+∠EAC=∠BAD+∠EAC=45°， ∴.∠DAE=∠FAE, 在△ADE和△AFE中， AD=AF ∠DAE=∠FAE AE=AE △ADE≌△AFE(SAS) ∴，DE=EF,故②正确： ,△ABD≌△ACF,AADE≌△AFE, S.ADE=S.AFE S.ABD=S.ACF BD=CF DE=EF S.ARC=S.AmD+SADE+SAEC=S4DE+S.AFE+S.CEF=2S.4DE+S.CEF :30s=15Sac=6 S△MBc=36 故③正确： 在aCEF中，CF+CE>EF, .BD+CE>DE,故④错误， 综上，正确的是①②③. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 1L.如图，己知P是∠ABC平分线BD上一点，PE⊥BC,PF⊥BA,垂足分别是E,F,如果PE=I0, 那么PF= 9/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B 【答案】10 【详解】解：：点P是∠ABC平分线BD上一点，且PE⊥BC,PF⊥BA, ∴PE=PF, 又PE=10, .PF=10. 12.如图，点B,F,C,E在同一条直线上，BF=CE,AC=DF.如果要使aABC≌aDEF,需要添 加的一个条件是 D 【答案】AB=DE(答案不唯一) 【详解】解：BF=CE, BF+CF=CE+CF,即BC=EF, .AC=DF. 若添加AB=DE, △ABC≌△DEF(SSS) 若添加∠ACB=∠DFE, △ABC≌ADEF(SAS) 若添加DF∥AC,则∠ACB=∠DFE, △ABC≌ADEF(SAS) 13.如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别过点A,C作BD的垂线，垂足为E,F.若DE=3, 10/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF=BF=4,则△ABC的面积是 D B 【答案】28 【详解】解：已知AE⊥BD,CF⊥BD, .∠E=∠CFE=90°， :D是AC中点， .AD=CD, 又：∠ADE=∠CDF(对顶角相等)， 根据AAS全等判定：△AED≌aCFD, .DF=DE=3,AE=CF=4. .BD=DF+BF=3+4=7, .D:-x7x4-14.SD.CF-x7x44 .S,4C=S,AD+S.CBD=14+14=28 【点睛】题目考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用. 14.如图，若∠BAC<90°，AB=AC=12cm,BC=8cm,E是AB中点，点P在线段BC上以3cmS的速 度由点B到点C运动，同时点Q在线段CA上由点C到点A运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速 度为 时，能使△BPE与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等. B→P B->P 9 【答案】3cms或2cms 11/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：由题意得：BP=3tcm, .BC=8cm. CP=BC-BP=(8-3t)cm AB=AC=12cm. ∴∠B=∠C, ,E是AB中点， BE-4B=6cm 2 ①当aBPE≌aCP2时， 、BP=CP,C0=BE=6cm, .31=8-3t, 解得：= 4 C9_6_9 (cm/s) 六此时点o的运动速度为1子 3 △BPE≌△CQP ②当 时， .CP=BE =6cm,Co=BP=3tcm .8-3t=6, 解阳一子 .C0=2cm, ∴此时点 cQ_2-3(cm/s) 的运动速度为1 2 ③当△BPE≌aPCO时， ∴.BP=PC,∠BPE=∠C,CQ=PE, 12/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .3t=8-3t,∠BPE=∠B, 4 :解得1=3，PE=BE=6cm ∴.C0=6cm, C069 六此时点。的运动速度为142cms) 3 ④当△BPE≌aPOC时， .CP=BE=6cm,CQ=PE,∠BEP=∠C, ∴8-31=6，∠BEP=∠B, 2 解得1=3，PE=BP' :c0=8p==3号=2em). 2-号-3cm9)】 ∴此时点。的运动速度为【 O 3 ⑤当△BPE≌aQCP时， PE=CP=(8-3t)cm∠BPE=∠C.CQ=BP=3icm, ∴.∠BPE=∠B, ∴.PE=BE=6cm, 8-31=6, 2 解得1=3： 0-=3号-20m 9-2-3(ems) ∴此时点。的运动速度为【 3 13/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⑥当△BPE≌aQPC时， PE=CP=(8-3)cm∠BEP=∠C.C0=BE=6cm, ∴.∠BEP=∠B, .'PE=BP=3tcm, 8-3t=3t, 4 解得1=3 &此时点的运动速度为14三2(cmS) 9 综上，当点Q的运动速度为3cms或2m6时，能使。BPE与以C~p~Q三点为顶点所构成的三角形全 等 15.如图，P是△ABC外的一点，PD⊥BA交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC交BC的 延长线于点F,连接PB,PC,若PD=PE=PF,∠BAC=64°，则∠BPC的度数为」 D B 【答案】32°32度 【详解】解：：PD⊥AB,PF⊥BC,PE⊥AC,且PD=PE=PF, ∴.BP平分∠ABC,CP平分∠ACF, CBP-ABC.ZFCP-ACF ,∠ACF是△ABC的外角，∠PCF是△BCP的外角， .∠ACF-∠ABC=∠BAC,∠FCP-∠CBP=∠BPC, C-C :.2 14/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即∠FCP-∠CBP=∠BPC=∠BAC=32】 2 16.如图，四边形ABCD中，AB/CD,AB=4,CD=10,AD=AE,BF=BC,∠DAE=∠CBF=90° 则四边形AFBE的面积为一 A E B 【答案】12 【详解】解：过点D,F,C,E分别作DM⊥AB,FH⊥AB,CI L AB,EG⊥AB,交直线AB于点M,H,L,G M D 2 E ⊙ 42 F 6 --H C ∴.∠M=∠AGE=∠FHB=∠I=90°. .∠DAE=∠CBF=90°， .∠1=∠2=90°-∠3，∠4=∠5=90°-∠6， .AD=AE,BF=BC, △AGE≌△DMA(AAS),△FHB≌ABIC(AAS) ∴.AM=EG,FH=BI, 设AM=EG=FH=BI=y, 15/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :MI=AM+AB+BI=x+4+y, :ABCD,DM⊥AB,CI⊥AB, .CD=M=4+x+y=10 ∴x+y=6 :四边形FBE SAABE+S△MBE 的面积 ∴四边形AFBE的面积-2AB×FH+)AB×BG =1 AB(FH+EG) =2×4×(x+y) 1 1 2×4×6 =12, 故答案为：12 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)如图，∠A=∠D,∠B=∠E,AF=CD B (I)求证：△ABC≌aDEF (2)若∠A=25°，∠E=67°，求∠BCF的度数. 【答案】(1) 证明：AF=CD, 16/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AF-CF=CD-CF, :AC=DF, ∠A=∠D,∠B=∠E, :∴.△ABC≌aDEF(AAS) (2)92° 【详解】(1)略 (2)解：△ABC≌aDEF, .∠B=∠E=67°， .∠BCF=∠A+∠B=25°+67°=92° 18.(8分)如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE,AC=DF, D B (I)从下列条件中选择一个作为已知条件：①BC=EF；②BC∥EF;③∠A=∠EDF;求证： △ABC≌ADEF； (2)在(1)的条件下，若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数. 【答案】(1) 证明：①：AD=BE, .AD+BD=BE+BD, 即AB=DE. .AC=DF,BC=EF △ABC≌△DEF(SSS) ③AD=BE, ∴.AD+BD=BE+BD, 即AB=DE 17/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=DF,∠A=∠EDF, △ABC≌△DEF(SAS): (2)80° 【详解】(1)略 (2)解：△ABC≌aDEF, .∠EDF=∠A=55° :∠E=45° ,∠F=180°-∠EDF-∠E=180°-55°-45°=80° 19.(10分)以下是小明证明“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的过程.请按照要求补全图形 和证明过程. 已知：如图，D是∠ABC边AB上一点，过点D作AB的垂线DE. C (I)尺规作图：在BC上截取BF=BD;作∠ABC的平分线交DE于点P,连接PF(不写作法，保留作图痕 迹)； (2)补全以下证明过程. 证明：DE⊥AB, ∴.∠EDB=90° :BP平分∠ABC, …① 在△BDP和△BFP中， ② ∠DBP=∠FBP, BP=BP. ∴.△BDP≌△BFP(SAS) 18/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·③，∠PFB=∠PDB=90° 所以，点P到AB,CB的距离相等， 【答案】(1)作图如图所示： (2)①∠DBP=∠FBP,②BD=BF,③PD=PF 20.(10分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E,F在AC上，且 BD=DF (I)求证：CF=EB: (2)若AB=10,AF=8,求EB的长. 【答案】(I)证明：：∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB, ∴DC=DE,∠BED=∠C=90°. 在RtAFCD和Rt△BED中， BD=DF DC=DE, Rt△FCD≌Rt△BED(HL) ...CF=EB: (2)1 【详解】(1)略 (2)解：，AD是∠BAC的平分线， .∠CAD=∠EAD 19/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠C=90°，DE⊥AB, ·∠AED=∠C=90°， 在△CAD和△EAD中， [∠AED=∠C ∠CAD=∠EAD AD=AD △CAD≌△EAD(AAS) .AC=AE, CF=AC-AF,AE=AB-BE, ·CF=AB-BE-AF, CF=BE, ∴.BE=AB-BE-AF, AB=10,AF=8, BE=10-BE-8, ∴.BE=1, 故BE的长为1. 21.(I0分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB,BE平分∠ABC,交AC边于点E,连 接DE. E (I)求证：△ABE≌△DBE: (2)若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数. 【答案】(I)证明：BE平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠DBE. 在△ABE和△DBE中， 20/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=DB ∠ABE=∠DBE BE=BE ∴.△ABE≌ADBE(SAS) (2)65° 【详解】(1)略 (2)解：∠A=100°，∠C=50°， ∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-100°-50°=30° :BE平分∠ABC, ÷∠ABE=∠DBE=∠ABC=1S0 2 .在△ABE中，∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65° 22.(10分)某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区： 边AB为绿地，长为4千米，边AC为临溪护栏，长为2千米，边BC为山间土路.在士路BC的中点D处 修建观景驿站，同时修建索道AD,连接地块顶点A与驿站D B D E (I)直接写出山间土路BC边长的取值范围 (2)在△ABC中，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,△ADC与△EDB全等吗？请说明理由； (3)在(2)的条件下，求索道AD长度的取值范围 【答案】(1)2km<BC<6km (2)△ADC≌aEDB,理由如下： ,点D是BC的中点， .BD=CD 在△ADC与△EDB中， 21129 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE=AD ∠EDB=∠ADC BD=CD ∴.△ADC≌△EDB(SAS) (3)lkm<AD<3km 【分析】(1)根据三角形三边关系确定第三边范围即可： (2)利用SAS证明三角形全等即可： (3)先求出AC=BE=2m,在△ABE中，根据2m<AE<6km得出结论即可； 【详解】(1)解：：在△ABC中，AB=4km,AC=2km, ·.4-2<BC<4+2,即2km<BC<6km: (2)略 (3)解：△ADC≌aEDB, .'AC=BE 2km, ,在△ABE中，AB=4km,BE=2km, ∴.2km<AE<6km, ∴.Ikm<AD<3km 23.(10分)如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm,现有一动点P从 点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为2cms,设运动时间为t秒. D B 图① 图② (1)如图①，当t=2时，AP=cm (2)如图①，当t=时，△APC的面积等于△ABC面积的一半： (3)如图②，在aDEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,EF=3cm,∠D=∠A,在△ABC的边上， 若另外有一个动点Q,与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动 22/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过程中的某时刻，恰好△MP吧和△DEF全等，求点P的运动速度. 【答案】(1)4 .11.19 2)2或29 5 8 40 19 6)Q运动的速度为2cm/s或亏cms或1)cms或0cms。 【详解】(1)解：由题意可知，当(=2时，点P的运动距离为2×2=4cm, .AC=8cm, ∴.当t=2时，点P在线段AC上，此时AP=4cm, 故答案为：4； (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm, .wCBCx6x8-24cm :△APC的面积等于△ABC面积的一半， SAp= 当点P在BC上时，如图，此时C CP=(2t-8)cm B:SMAPC= C.CP 1 .5×8(2t-8)=12 新得：1： 当点P在AB上时，如图，过点C作CD⊥AB于点D,此时 AP=6+8+10-2t=(24-21)cm 23/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P D 1 AB.CD 2 1 2 ×10CD=24 CD=24 -AP.CD 24=12 04-20* 19 解得：t= 2 1119 综上可知，当/=2或2时，△4PC的面积等于△ABC面积的一半， 11.19 故答案为：2°或2°： (3)设点Q的运动速度为xcm/s, ①当点P在AC上，点O在AB上，△APO≌aDEF时， P D B E F AP=DE=4cm,A0=DF=5cm .4÷2=5÷x 5 解得x=2 ②当点P在AC上，点O在AB上，△APQ≌aDFE时， 24/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D P B E F AP=DF=5cm,AO=DE =4cm 5÷2=4÷x, P 解得x=5; ③当点P在AB上，点2在AC上，△AQP≌aDEF时， B E F AP=DF=5cm,AO=DE =4cm ∴点P的路程为6+8+10-5=19cm,点Q的路程为6+8+10-4=20cm, .19÷2=20÷x 40 解得x=19 ④当点P在AB上，点Q在AC上，△AP2≌aDEF时 A B E F AP=DE =4cm,A0=DF =5cm ∴.点P的路程为6+8+10-4=20cm,点0的路程为6+8+10-5=19cm, .20÷2=19÷x 19 解得x=10 25/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 8 .40 19 ÷Q运动的速度为2cms或亏cms或19cms或0cms 24.(I0分)如图，△ABD和△AEC都是等腰三角形，AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠CAE,连接BC, DC与BE相交于点O, D E (I)求证：CD=BE: (2)试说明：∠DOE与∠CAE的数量关系. 【答案】(I)证明：∠DAB=∠CAE .∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE, 在△ABE和△ADC中， AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC :.△ABE≌△ADC(SAS) ..CD=BE: (2)∠DOE+∠CAE=180°，理由如下， 如图，设AC和OE相交于点F, D C 由(1)可知，△ABE≌△ADC, .∠AEF=∠FCO 又·∠AFE=∠CFO」 ∴.180°-∠AEF-∠AFE=180°-∠FCO-∠CFO 26/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠EAF=∠FOC ∠DOE+∠FOC=180°， .∠DOE+∠CAE=180° 25.(10分)如图1，己知AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE E B E 图1 图2 (I)求证：AD=BE, (2)将△DCE绕点C旋转到如图2所示的位置，F为BE的中点，连接CE,AE,BD. ①求证：AE=BD ②探究CF与AD的数量关系和位置关系，并说明理由. 【答案】(1) 证明：AC=BC,DC=EC,LACB=∠DCE=90°， △ACD≌ABCE(SAS) .AD =BE: (2) ①证明：，∠ACB=∠DCE=90° .∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE, ∴.∠ACE=∠BCD, 在△ACE和△BCD中， AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD 27129 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.△ACE≌aBCD(SAS). ∴.AE=BD: ②CF=号 1 2 D,CF⊥AD 理由：如图，延长CF至点P,使PF=CF,连接BP,延长FC交AD于点M, B F为BE的中点， ∴.BF=FE 在△BFP和△EFC中， BF EF ∠BFP=∠EFC FP=FC △BFP兰AEFC(SAS) ·.BP=CE,LBPF=∠ECF .CE∥BP, ∴.∠CBP+∠BCE=180°. ,∠BCE+∠ACD=360°-∠ACB-∠DCE=180°， ∴.∠CBP=∠ACD, 又：CE=CD=BP,AC=BC ·.△PBC≌aDCA(SAS) .CP=AD」 .PF=CF 28/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CF-CP-2AD :△PBC≌ADCA, ∴.∠BCP=∠CAD 又，∠BCP+∠ACB+∠ACM=180°，∠ACB=90° ∴.∠BCP+∠ACM=90° ·∠CAD+∠ACM=90° .∠AMC=90°. .CF⊥AD 1 综上所述，CF=2AD，,CF⊥AD 29/29命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测（重庆专用） 第十四章全等三角形 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.如图，△ABC2△DEF,∠B=40°，∠D=80°，则∠E的度数是() D 80° B了40 A.100° B.80° C.60° D.40° 2.如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌aCDE,DE=5,CD=9,则BD等于() A.4 B.5 C.9 D.14 3.利用全等三角形测距离是中国古代工匠日常测量的基础方法.如图，A,B两点分别位于池塘的两端， 以BC为边作∠DCB=∠ACB,在∠DCB的另一条边上截取CD=CA,最后测出BD的长度就等于池塘两端 A,B的距离.这种方法是利用了三角形全等判定条件中的() A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS 1/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，若CD=4,AB=9,则△ABD的面积为() D B A.13 B.26 C.36 D.18 5.如图，己知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABD≌△4CD的条件是() A.∠B=∠C B.∠BAC=90° C.BD=AC D.∠B=45° 6.如图，AD,BE是△ABC的高线，AD与BE相交于点F,若AD=BD=6,且△ACD的面积为12，则 AF的长为() A A.1 B.2 C.2 D.3 7.如图，AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,按图中所标数据，则阴影部分面积S=() 6 D 3 A.46 B.48 C.50 D.52 8.如图，在△ABC中，D为边BC上一点，连接AD,∠BAD=30°，∠ACB=Q,将△ABD沿AD折叠至 △ADB,连接B'C,若BC平分∠ACB,则∠AB'D的度数是（) 2/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A6+号 B.60°+0 c.90-号 D.90°-0 9.如图，Rt△ABC中，∠C=90,BC=4,AB=12,BM为∠ABC的平分线，交AC于点M,过点M作 MN LBM,垂足为点M,交MB于 .N P,O MN,AM AP+PO 于点，点分别为 上一个动点，则 的最小值为 () A.4 B.6 C.8 D.10 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠ACB=45°，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，过点 A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF,下列结论：① △MBD2A1CF,②DE=EF,③若氵 S.ADE=15 SACEF=6 SAABC =36 ,则 36,④BD+CE=DE,其中正确的 是() D A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 I1.如图，已知P是∠ABC平分线BD上一点，PE⊥BC,PF⊥BA,垂足分别是E,F,如果PE=I10, 319 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 那么PF= D D A I2.如图，点B,F,C,E在同一条直线上，BF=CE,AC=DF,如果要使△ABC≌aDEF,需要添 加的一个条件是 D 13.如图，在△ABC中，D是AC的中点，分别过点A,C作BD的垂线，垂足为E,F.若DE=3, CF=BF=4,则△ABC的面积是 E D B 14.如图，若∠BAC<90°，AB=AC=12cm,BC=8cm,E是AB中点，点P在线段BC上以3cm/s的速 度由点B到点C运动，同时点Q在线段CA上由点C到点A运动，它们运动的时间为s,当点Q的运动速 度为 时，能使△BPE与以C、P、Q三点为顶点所构成的三角形全等 E B 15.如图，P是△ABC外的一点，PD⊥BA交BA的延长线于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC交BC的 延长线于点F,连接PB,PC,若PD=PE=PF,∠BAC=64°，则∠BPC的度数为 4/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B F 16.如图，四边形ABCD中，ABIICD,AB=4,CD=10,AD=AE,BF=BC,∠DAE=∠CBF=90° 则四边形AFBE的面积为 E B F C 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)如图，∠A=∠D,∠B=∠E,AF=CD. B D (I)求证：△ABC≌aDEF: (2)若∠A=25°，∠E=67°，求∠BCF的度数， 18.(8分)如图，点A、D、B、E在同一条直线上，AD=BE,AC=DF, 5/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)从下列条件中选择一个作为已知条件：①BC=EF;②BC∥EF;③∠A=∠EDF;求证： △ABC≌ADEF: (2)在(1)的条件下，若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数. 19.(10分)以下是小明证明“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的过程.请按照要求补全图形 和证明过程. 已知：如图，D是∠ABC边AB上一点，过点D作AB的垂线DE. D -A (I)尺规作图：在BC上截取BF=BD;作∠ABC的平分线交DE于点P,连接PF(不写作法，保留作图痕 迹)： (2)补全以下证明过程. 证明：DE⊥AB, ∴.∠EDB=90° 'BP平分∠ABC, ① 在△BDP和△BFP中， ② ∠DBP=∠FBP, BP=BP. ∴.△BDP≌△BFP(SAS) ∴·③，∠PFB=∠PDB=90° 所以，点P到AB，,CB的距离相等. 20.(10分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E,F在AC上，且 BD=DF 6/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (I)求证：CF=EB: (2)若AB=10,AF=8,求EB的长. 21.(1O分)如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB=DB,BE平分∠ABC,交AC边于点E,连 接DE. (I)求证：△ABE≌△DBE; (2)若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数. 22.(10分)某乡村规划山地休闲游园，如图，地块形如三角形的山地，中间有湖泊，三边划分功能区： 边AB为绿地，长为4千米，边AC为临溪护栏，长为2千米，边BC为山间土路.在土路BC的中点D处 修建观景驿站，同时修建索道AD,连接地块顶点A与驿站D B D E (I)直接写出山间土路BC边长的取值范围 (2)在△ABC中，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,△ADC与△EDB全等吗？请说明理由； (3)在(2)的条件下，求索道AD长度的取值范围， 23.(10分)如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm,现有一动点P从 点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为2Cm/s,设运动时间为t秒. 719 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图① 图② (1)如图①，当t=2时，AP= cm (2)如图①，当1=_时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； (3)如图②，在aDEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,EF=3cm,∠D=∠A,在△ABC的边上， 若另外有一个动点Q,与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动 过程中的某时刻，恰好△AP№和△DEF全等，求点的运动速度. 24.(10分)如图，△ABD和△AEC都是等腰三角形，AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠CAE.连接BC, DC与BE相交于点O E B C (1)求证：CD=BE: (2)试说明：∠DOE与∠CAE的数量关系. 25.(10分)如图1，已知AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=90°，连接AD,BE D 图1 图2 (I)求证：AD=BE」 (2)将△DCE绕点C旋转到如图2所示的位置，F为BE的中点，连接CE,AE,BD. ①求证：AE=BD 8/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②探究CF与AD的数量关系和位置关系，并说明理由， 919可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测（重庆专用) 第十四章全等三角形（参考答案） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 题号 1 2 3 4 6 8 9 10 答案 D 0 D 0 A C 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.10 12.AB=DE(答案不唯一) 13.28 9 14.3cms或2cms 15.32° 16.12 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分)(1) 证明：AF=CD, :.AF-CF=CD-CF, ..AC=DF, ∠A=∠D,∠B=∠E, ∴.△ABC≌△DEF(AAS) n…4分 (2)解：aABC≌aDEF, ∴.∠B=∠E=67°、 ∠BC=∠A+∠B=25°+67°=92°.8分 18.(8分)(1) 证明：①，AD=BE, ∴.AD+BD=BE+BD. 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即AB=DE. ·AC=DF,BC=EF △ABC≌△DEF(SSS) ③AD=BE, ∴.AD+BD=BE+BD, 即AB=DE. AC=DF,∠A=∠EDF .△ABC≌DEF(SAS):5分 (2)解：，△ABC≌aDEF, ∴.∠EDF=∠A=55°」 .∠E=45°， .∠F=180°-∠EDF-∠E=180°-55°-45°=80°.8分 19.(10分)(1)作图如图所示： …4分 (2)①∠DBP=∠FBP,②BD=BF,③PD=PF10分 20.(10分)(1)证明：：∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB, .DC=DE,∠BED=∠C=90°， 在RtFCD和Rt△BED中， BD=DF DC=DE, Rt△FCD≌Rt△BED(HL) .CF=EB;5分 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：，AD是∠BAC的平分线， .∠CAD=∠EAD」 .∠C=90°，DE⊥AB, .∠AED=∠C=90°， 在△CAD和△EAD中， ∠AED=∠C ∠CAD=∠EAD AD=AD’ △CAD≌△EAD(AAS) .AC=AE, CF=AC-AF,AE=AB-BE, :CF=AB-BE-AF, .CF=BE ∴.BE=AB-BE-AF, .AB=10,AF=8, ∴.BE=10-BE-8. BE=1, 故BE的长为1.10分 21.(10分)(1)证明：：BE平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠DBE, 在△ABE和△DBE中， AB=DB ∠ABE=∠DBE BE=BE ∴.△ABE≌aDBE(SAS) ，5分 (2)解：∠A=100°，∠C=50° ∴.∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-100°-50°=30° :BE平分∠ABC, 3/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +∠ABE=∠DBE-3ABC=15 在△ABE中，∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°.10分 22.(10分) (1)解：：在△ABC中，AB=4km,AC=2km, .4-2<BC<4+2,即2km<BC<6km:3分 (2)△ADC≌aEDB，,理由如下： 点D是BC的中点， .BD=CD. 在△ADC与△EDB中， DE=AD ∠EDB=∠ADC BD=CD ∴.△ADC≌△EDB(SAS) .7分 (3)解：，aADC≌aEDB, .'AC=BE=2km, ,在△ABE中，AB=4km,BE=2km .2km <AE 6km, 1km<AD<3km..l0分 23.(10分)(1)解：由题意可知，当1=2时，点P的运动距离为2×2=4cm, .AC=8cm, ∴当t=2时，点P在线段AC上，此时AP=4cm, 故答案为：4；3分 (2)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm, S。ABC= AC.BC-2 6×8=24cm2 :△APC的面积等于△ABC面积的一半， 4/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 S.e-7S.wc=12.cm 当点P在8C上时，如图，此时CP=(2-8)em 1 D B'S.ARC =AC.CP 2 *8-=12 11 解得：1=2； 当点P在AB上时，如图，过点C作CD⊥B于点D,此时 P=6+8+10-2t=(24-21)cm D BSAMNC=4B.CD 1 2 10c0=24, CD=24 S.w-AP.CD 24-20 24 =12 5 19 解得：1= 2 1119 综上可知，当=2或23时，△MPC的面积等于△ABC面积的一半， 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.19 故答案为：25或25；6分 S (3)设点Q的运动速度为xcm/s, ①当点P在AC上，点2在AB上，△APO≌aDEF时， A ◇ B E F AP=DE =4cm,A0=DF=5cm .4÷2=5÷x J 解得x=2； ②当点P在AC上，点2在AB上，△APO≌aDFE时， y B E F AP=DF=5cm,AO=DE =4cm .5÷2=4÷x, 8 解得x=5 ③当点P在AB上，点O在AC上，△AQP≌aDEF时， B E F AP=DF=5cm,A0=DE=4cm 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .点P的路程为6+8+10-5=19cm,点2的路程为6+8+10-4=20cm, .19÷2=20÷x 40 解得x=19 ④当点P在AB上，点Q在AC上，△APO≌aDEF时 D B E F AP=DE=4cm,A0=DF=5cm ∴点P的路程为6+8+10-4=20cm,点0的路程为6+8+10-5=19cm, .20÷2=19÷x 19 解得x=10: 8 .40。 19 ∴Q运动的速度为2cms或亏cms或19cms或10cms 10分 24.(10分)(I)证明：·∠DAB=∠CAE, ∴.∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE, 在△ABE和△ADC中， AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC :△ABE≌aADC(SAS) .CD=BE;5分 (2)∠DOE+∠CAE=180°，理由如下， 如图，设AC和OE相交于点F, 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 由(1)可知，△ABE2△ADC」 .∠AEF=∠FCO 又：∠AFE=∠CFO. .180°-∠AEF-∠AFE=180°-∠FCO-∠CFO. ∴.∠EAF=∠FOC, :∠DOE+∠FOC=180° ∠D0E+∠CAE=180°.10分 25.(10分)(1) 证明，AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠DCE=90° △ACD≌ABCE(SAS) .AD=BE:3分 (2) ①证明：：∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE, .∠ACE=∠BCD, 在△ACE和△BCD中， AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD .△ACE≌aBCD(SAS). .AE=BD;6分 ②CF-;4D. 2 CF⊥AD 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 理由：如图，延长CF至点P,使PF=CF,连接BP,延长FC交AD于点M, D F为BE的中点， ∴.BF=FE 在△BFP和△EFC中， BF=EF ∠BFP=∠EFC FP=FC △BFP≌AEFC(SAS) ∴. .BP=CE,LBPF=∠ECF, ∴.CE∥BP ∴.∠CBP+∠BCE=180°， .∠BCE+∠ACD=360°-∠ACB-∠DCE=180°， ∴.∠CBP=∠ACD 又：CE=CD=BP,AC=BC .△PBC≌aDCA(SAS) ..CP=AD PF=CF i.CF-jCP-D .·△PBC≌ADCA」 .∠BCP=∠CAD 又，∠BCP+∠ACB+∠ACM=180°，∠ACB=90 9/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠BCP+∠ACM=90° .∠CAD+∠ACM=90°， .∠AMC=90°， ∴.CF⊥AD 综上所港.CF=方4D,CF1AD-0分 2 10/10