第13章三角形～第14章全等三角形阶段检测2026-2027学年人教版数学八年级上册（山西专用）

**基本信息** 2026-2027学年人教版八年级上册13-14章阶段检测卷，120分钟120分，覆盖三角形三边关系、全等判定、角平分线等核心知识，通过人字梯稳定性、测量塔底座距离等情境化试题，考查几何直观、推理能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、全等判定、三角形稳定性|结合工人师傅工作场景考查稳定性（第3题）| |填空题|5/15|角平分线性质、等腰三角形周长、实际测量|利用角平分线性质求水井距离（第12题）| |解答题|8/75|全等证明、尺规作图、综合实践|设计测量塔底座距离方案（第22题），探究三聚等腰三角形分割（第21题）|

2026-2027学年第13章~第14章阶段检测卷 （人教版） 考试范围：八年级上册第13-14章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（     ） A．5，6，10 B．5，6，11 C．5，6，12 D．5，6，13 2．下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．三角形的稳定性 D．两点确定一条直线 4．将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在边上，，，．若斜边，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，分别平分和，、交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（     ） A． B． C． D． 7．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 8．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 9．如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．在平面内，分别用根、根、根、根……火柴首尾依次相接（不能折断，且需全部用完），能搭成不同的三角形．小嘉发现用根、根、根火柴分别可以搭成如下表所示的三角形： 火柴数 示意图 以此类推，根火柴能搭成（     ）种不同的三角形． A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，，点在线段上，，，则________． 12．某村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是200，那么这口水井到土地边沿的距离是_______米． 13．如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为_______． 14．如图所示，小美站在河边的点处，在河的对面（小美的正北方向）的处有一电线塔，她想知道电线塔离她有多远，于是她向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处，然后她左转直行，当看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线上时，一共走了步．如果小美一步大约，估计小美在点处时与电线塔的距离为______． 15．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为7时，线段的长度最小值为______． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（7分）如图，已知，点分别在上，且．求证：． 17．（7分）如图，，，．求证：． 18．（8分）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点标上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 在和中， ∵，第一步 ∴，第二步 ∴，第三步 ∴平分，第四步 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 19．（9分）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 20．（10分）学习了平行线后，数学兴趣小组的同学们针对“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法开展了交流研讨． 已知：如图1，直线和直线外一点，过点作直线，使直线． (1)如图2所示，小明利用直尺和三角尺画图，小明的作图依据是：______． (2)小丽和小亮发现还可以利用直尺和圆规来解决这个问题： 小丽 小亮 作法：（如图3） ①在直线上取一点，连接并延长（与直线不垂直）； ②在的延长线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ④作直线 则直线为所求作的直线． 作法：（如图4） ①在直线上取一点，连接； ②作线段的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线 则直线为所求作的直线． 判断小丽和小亮的方法是否正确（     ） A．小丽正确，小亮不正确        B．小丽不正确，小亮正确 C．小丽和小亮都正确                 D．小丽和小亮都不正确 (3)请你用不同于材料中的方法，在图1中过点作出直线的平行线． （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 21．（10分）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 三聚等腰三角形 【概念理解】 一个三角形能分成三个等腰三角形，这样的三角形叫做“三聚等腰三角形”． 【问题解决】 问题1：如图1，顶角为的等腰为“三聚等腰三角形”，可分为三个等腰三角形，其中，，则的度数为________． 问题2：如图2，顶角为的等腰为“三聚等腰三角形”，小组成员欣欣利用尺规将其分为三个等腰三角形，分割方式为尺规作，作，交于点．请你帮她完成证明为等腰三角形的过程． 证明：，，． …… 任务： (1)材料中，问题1中的的度数为________ (2)请补全问题2的证明过程． (3)如图3，“三聚等腰”中，，，请利用尺规作图，将其分成三个等腰三角形． 22．（12分）综合与实践 【实践背景】双塔寺又名永祚寺，现为国家级文物保护单位，也是太原市的标志性建筑之一．如图1所示，，两点分别为其中一塔底座的两端（其中，两点均在地面上） 【实践主题】测量其中一塔底座两端，的距离． 【实践方案】由于，两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两名同学学习了“利用三角形全等测距离”的知识后，分别设计出了如下两种方案： 测量方案 图示 甲同学 如图2：①在平地上取一个可以直接到达点，的点． ②连接并延长到点，使． ③连接并延长到点，使． ④连接． 测量的长即可． 乙同学 如图3：①在平地上作射线． ②在射线上找一个可以直接到达点的点．连接． ③在射线另一侧的平地上作． ④连接． 测量的长即可． 【实践探索】 (1)请你从甲、乙两名同学设计的方案中选择可行的方案，并说明它可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个条件，使该方案可行，无需说明理由． 23．（12分）综合与探究 模型发现： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图①，在中，，，直线经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为，．问：，和之间存在怎样的数量关系？请说明理由 模型迁移： （2）如图②，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，则，和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 拓展应用： （3）如图③，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即在中，，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第13章~第14章阶段检测卷 （人教版） 考试范围：八年级上册第13-14章全部内容；考试时间：120分钟 满分：120分 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（     ） A．5，6，10 B．5，6，11 C．5，6，12 D．5，6，13 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系，只需判断每组三个数中，较小的两个数的和是否大于较大数，若大于，则可组成一个三角形． 【详解】解：A．，能组成三角形，符合题意． B．，不能组成三角形，不符合题意． C．，不能组成三角形，不符合题意． D．，不能组成三角形，不符合题意． 2．下列各选项中，两个教具的简图是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全等图形的概念即可解答． 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形的形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意． 3．如图，工人师傅经常站在人字梯上安全地工作，这里面蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．三角形的稳定性 D．两点确定一条直线 【答案】C 【详解】解：人字梯与地面组成一个三角形．这样做所蕴含的数学原理是三角形的稳定性． 4．将一副三角板按如图所示的方法摆放，点在边上，，，．若斜边，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，求出的度数，再用的度数减去的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵为等腰三角形， ， ∴, ∵， ， ∴, ∴, ∵， ∴． 5．如图，在中，，分别平分和，、交于点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义结合三角形的内角和定理进行求解即可. 【详解】解：∵，分别平分和，，， ∴， ∴. 6．如图，点E，F在上，，，下列条件中不能使成立是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由，，根据“”不能得出，故A符合题意； ∵， ∴， 即， 由，，根据“”能得出，故B不符合题意； ∵， ∴， 由，根据“”能得出，故C不符合题意； 由，，根据“”能得出，故D不符合题意． 7．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得平分，，由三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵中，，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴． 8．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 9．如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】延长交于点，先证明,得到，再根据与等底同高，与等底同高，得到, ,结合，即可算出△ABC的面积． 【详解】解：如图所示，延长交于点． ∵平分， ∴, ∵于点P， ∴, ∵, ∴, ∴， ∵与等底同高， ∴, ∵与等底同高， ∴, ∵， ∴． 10．在平面内，分别用根、根、根、根……火柴首尾依次相接（不能折断，且需全部用完），能搭成不同的三角形．小嘉发现用根、根、根火柴分别可以搭成如下表所示的三角形： 火柴数 示意图 以此类推，根火柴能搭成（     ）种不同的三角形． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及有序枚举的方法，不重不漏地找出所有满足周长为12的整数边长组合，并验证其能否构成三角形． 【详解】解：设三角形三边的火柴数为，均为正整数，． 总火柴数12根：． 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边： 又，所以是最大边， ． 的取值为：4、5 当时，，又，得， 当时， ， ， 或， 得到三组：、、 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，，点在线段上，，，则________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴． 12．某村计划在一块周长为的三角形闲置土地上挖一口水井，使得水井到土地边沿的距离相等，已知这块土地的面积是200，那么这口水井到土地边沿的距离是_______米． 【答案】5 【详解】解：设这口水井到土地边沿的距离为，原三角形三边长分别为，，，由题意得， 原三角形面积为， ∵原三角形面积等于三个小三角形面积之和，每个小三角形的高都为， ∴， 整理得 ， 代入，得到 ， 解得， 即这口水井到土地边沿的距离是米． 13．如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为_______． 【答案】 【分析】本题分情况讨论，分别为底边长为或腰长为两种情况，再结合三角形三边关系进行判断即可． 【详解】解：∵等腰三角形周长为，其中一边长为， ∴分两种情况讨论： 当底边长为时， 腰长为， 此时三边长分别为，，， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 当为腰长时， 底边长为， 此时三边长为，，， 由于，不满足三角形三边关系，故舍去； 综上，该等腰三角形的底边长为． 14．如图所示，小美站在河边的点处，在河的对面（小美的正北方向）的处有一电线塔，她想知道电线塔离她有多远，于是她向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处，然后她左转直行，当看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线上时，一共走了步．如果小美一步大约，估计小美在点处时与电线塔的距离为______． 【答案】 【分析】由三角形全等的判定与性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， 对顶角， ， ， 段走了步、段也走了步，且当看到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线上时，一共走了步， 段走的步数为， 则． 15．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为7时，线段的长度最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据三角形中线平分三角形的面积，说明和面积相等，连接，进而求出的面积，根据垂线段最短可得当时，值最小即可求解． 【详解】解：连接， 是中点， ，， 是中点， ，， 设，则， 四边形的面积为7， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ，当时，值最小， ， ． 三．解答题（共8小题，共75分） 16．（7分）如图，已知，点分别在上，且．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据三角形的内角和求出，再由“同旁内角互补，两直线平行”进行求解即可． 【详解】略 17．（7分）如图，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】由，得到，进而即可证明． 【详解】略． 18．（8分）七年级2班数学兴趣小组制作了如图所示的“角平分线仪”，小明将角平分线仪的各点标上字母，如图所示，并提出了一个问题：如何证明是的平分线呢？ 小丽想，先证明，即可得出结论，于是她写出了如下证明过程： 在和中， ∵，第一步 ∴，第二步 ∴，第三步 ∴平分，第四步 回答下列问题： (1)小丽的证明过程从第 步开始出错，第三步的依据是 ； (2)请你帮助小明写出正确的证明过程． 【答案】(1)一，全等三角形的对应角相等 (2)证明：在和中 ∵，，， ∴， ∴， ∴平分． 【分析】（1）根据全等三角形的性质和判定定理求解即可； （2）首先证明出，得到，即可得到平分． 【详解】（1）解：小丽的证明过程从第一步开始出错，第三步的依据是全等三角形的对应角相等； （2）略 19．（9分）如图，中，，，点D在上，E为延长线上一点，且．延长交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ， ； (2)证明：， ， ， ． 【分析】（1）运用证明可得； （2）根据可得，进而即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 20．（10分）学习了平行线后，数学兴趣小组的同学们针对“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法开展了交流研讨． 已知：如图1，直线和直线外一点，过点作直线，使直线． (1)如图2所示，小明利用直尺和三角尺画图，小明的作图依据是：______． (2)小丽和小亮发现还可以利用直尺和圆规来解决这个问题： 小丽 小亮 作法：（如图3） ①在直线上取一点，连接并延长（与直线不垂直）； ②在的延长线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ③连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点， ④作直线 则直线为所求作的直线． 作法：（如图4） ①在直线上取一点，连接； ②作线段的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线 则直线为所求作的直线． 判断小丽和小亮的方法是否正确（     ） A．小丽正确，小亮不正确        B．小丽不正确，小亮正确 C．小丽和小亮都正确                 D．小丽和小亮都不正确 (3)请你用不同于材料中的方法，在图1中过点作出直线的平行线． （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2) (3)如图即为： 【分析】（1）利用同位角相等判定两直线平行； （2）根据同位角相等两直线平行证明小丽正确，根据内错角相等两直线平行证明小亮正确； （3）尺规作一组相等内错角，依据内错角相等两直线平行画出平行线． 【详解】（1）解：据图可知，小明作图的依据为：同位角相等，两直线平行． （2）解：小丽： ，， ，， ，， ，， ， ， 故小丽正确； 小亮： 垂直平分， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故小亮正确． （3）解：在直线上任取一点，连接并延长， 以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交直线和直线于点、， 以点为圆心，长为半径作弧，交于点， 再以点为圆心，长为半径作弧，与上一弧交于点， 作直线即为所求； 证明：， ． 21．（10分）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 三聚等腰三角形 【概念理解】 一个三角形能分成三个等腰三角形，这样的三角形叫做“三聚等腰三角形”． 【问题解决】 问题1：如图1，顶角为的等腰为“三聚等腰三角形”，可分为三个等腰三角形，其中，，则的度数为________． 问题2：如图2，顶角为的等腰为“三聚等腰三角形”，小组成员欣欣利用尺规将其分为三个等腰三角形，分割方式为尺规作，作，交于点．请你帮她完成证明为等腰三角形的过程． 证明：，，． …… 任务： (1)材料中，问题1中的的度数为________ (2)请补全问题2的证明过程． (3)如图3，“三聚等腰”中，，，请利用尺规作图，将其分成三个等腰三角形． 【答案】(1) (2) 证明：，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； (3) 如图所示： 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，尺规作图-作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质． （1）根据等腰三角形的性质分别求出，，，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； （2）根据，得出，根据垂线定义得出，求出，根据三角形外角性质求出，得出，根据等腰三角形的判定，得出答案即可； （3）以点A为角的顶点，为角的一边，在下方作，交于点D，以点D为角的顶点，为角的一条边，在上方作，交于点E． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴为等腰三角形． 22．（12分）综合与实践 【实践背景】双塔寺又名永祚寺，现为国家级文物保护单位，也是太原市的标志性建筑之一．如图1所示，，两点分别为其中一塔底座的两端（其中，两点均在地面上） 【实践主题】测量其中一塔底座两端，的距离． 【实践方案】由于，两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两名同学学习了“利用三角形全等测距离”的知识后，分别设计出了如下两种方案： 测量方案 图示 甲同学 如图2：①在平地上取一个可以直接到达点，的点． ②连接并延长到点，使． ③连接并延长到点，使． ④连接． 测量的长即可． 乙同学 如图3：①在平地上作射线． ②在射线上找一个可以直接到达点的点．连接． ③在射线另一侧的平地上作． ④连接． 测量的长即可． 【实践探索】 (1)请你从甲、乙两名同学设计的方案中选择可行的方案，并说明它可行的理由； (2)对于（1）中不可行的方案，请添加一个条件，使该方案可行，无需说明理由． 【答案】(1)甲同学的方案可行． 理由如下： 和为直线与相交形成的对顶角， ， 在和中 ， ， ， 因此，甲同学的方案可行． (2) 【分析】（1）通过边角边SAS证明，利用全等三角形对应边相等，得到，因此测量长度即可得到长度；乙同学方案缺少全等条件，无法证明，不可行． （2）添加全等条件即可． 【详解】（1）略 （2）解：添加条件： 在和中 ， ， ， 因此，可以使乙同学的方案可行． 23．（12分）综合与探究 模型发现： （1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图①，在中，，，直线经过点，且，两点在直线的同侧，直线，直线，垂足分别为，．问：，和之间存在怎样的数量关系？请说明理由 模型迁移： （2）如图②，在（1）的条件下，若，两点在直线的异侧，则，和之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 拓展应用： （3）如图③，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即在中，，是钝角，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和． 【答案】 （1），理由如下： 如图 1，∵， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． （2），理由如下： 证明：如图 2，∵， ， ， 在和中， ， ， ， （3）与的面积之和为6 【分析】此题重点考查三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可根据“”证明，得，则，于是得到问题的答案； （ 2 ）由，得，所以，而，即可根据“”证明，得，则，所以（1）中结论不成立； （3）作于，因为，所以，由，且，得，则，所以． 【详解】（1）略 （2）略 （3）作于， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 与的面积之和是6． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $