第1-3章阶段巩固卷-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第1-3章阶段巩固卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 一．选择题（共10小题） 1．（2026•六盘水模拟）一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3 C．x1＝﹣3，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3 2．（2026秋•双流区校级月考）已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，c＝6cm，则d是（　　） A．1cm B．5cm C．9cm D．12cm 3．（2026秋•迎泽区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段BO，垂足为点E，若BD＝8，则线段AE的长为（　　） A．2 B．3 C． D．4 4．（2025秋•双流区期末）如图，▱ABCD，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，能使▱ABCD变为菱形的是（　　） A．AB＝AC B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 5．（2026秋•迎泽区校级月考）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，若∠BAE＝50°，连接DE，则∠BED的度数为（　　） A．50° B．45° C．43° D．55° 6．（2026•郸城县模拟）关于一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 7．（2026春•莱州市期末）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，则S1与S2的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．无法判断 8．（2026•宁陵县二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 9．（2026•萧山区校级模拟）如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：5，下列说法错误的是（　　） A．BC∥B′C′ B．OB′：BB′＝3：5 C．△A′B′C′与△ABC的周长比是3：5 D．△A′B′C′与△ABC的面积比是9：25 10．（2026•福建模拟）如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为40m2，求小路的宽度．设小路的宽度为xm，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：（16﹣2x）（9﹣x）＝16×9﹣40； 乙：9×2x+16x﹣x2＝40． 其中正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 二．填空题（共6小题） 11．（2026•通川区模拟）若，则___________________ ． 12．（2026•山东）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是_____ ． 13．（2026•成都模拟）黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，如图，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点P恰好为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为____________________ cm．（用含的代数式表示） 14．（2025秋•五华县期末）若α、β是方程x2+3x﹣2023＝0的两个实数根，则α2+4α+β的值为 _________ ． 15．（2026•麦积区模拟）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，FB＝1，则MG＝____________________ ． 16．（2026春•南关区校级同步）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点G，连结CG．给出下列四个结论： ①AF＝BE； ②∠EBC＝∠AFD； ③C、G两点之间的最小值为； ④当∠BCG最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有________ ． 三．解答题（共9小题） 17．（2026秋•永川区校级月考）解方程： （1）x2+2x﹣5＝0； （2）（x﹣1）2＝2（x﹣1）． 18．（2026•历城区一模）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠BAF＝∠DAE，求证：BE＝DF． 19．（2026•营山县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求k的值． 20．（2026春•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是矩形； （2）若BC＝6，BF﹣AC＝1，求△ABE的面积． 21．（2025秋•贵港期末）面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．如表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 2.5 3.6 （1）求该款车销量的月平均增长率． （2）青岛一个该品牌4S店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为7.5万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低0.1万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该4S店决定降价促销，若该4S店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 22．（2025秋•扬州期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，连接DE，F为DE上一点，且∠B＝∠AFE． （1）求证：△ADF∽△DEC． （2）若AD＝6，AB＝4，DE＝7，求AF的长． 23．（2026•汝阳县一模）根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，点A，B，C都在格点上，在网格中求作△A1B1C，使得△A1B1C与△ABC是以点C为位似中心，相似比为2的一对位似图形； （2）根据（1）中所作图形，可得_____ ； （3）如图2，点D，E都在格点上．在DE上求作一点P，使得EP：PD＝1：3． 24．（2025秋•潜江期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A的方向运动，且速度为2cm/s，P，Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动的时间为t秒． （1）BP＝___________ cm（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，若△PQB是等腰三角形，求出此时t的值； （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，求出此时t的值． 25．（2026春•南关区校级同步）结合图形，解答下列问题： （1）【模型呈现】某兴趣小组从赵爽弦图（图①）中提炼出三角形全等的模型（图②），由图中∠BCA＝∠BAD＝∠AED＝90°可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝_______ ，BC＝_______ ．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型； （2）【类比应用】如图③，在△ABC中，AB＝AC，点D、A、E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若BD＝4，CE＝5，求DE的长； （3）【拓展探究】如图④，正方形ABCD中，AE⊥DE，DE＝5，直接写出△CDE的面积___________________ ． 第1-3章阶段巩固卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2026•六盘水模拟）一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3 C．x1＝﹣3，x2＝3 D．x1＝1，x2＝3 【解答】解：x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， ∴x＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝0，x2＝3． 故选：A． 2．（2026秋•双流区校级月考）已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中a＝2cm，b＝3cm，c＝6cm，则d是（　　） A．1cm B．5cm C．9cm D．12cm 【解答】解：由比例线段，可得：， ∴． 故选：C． 3．（2026秋•迎泽区校级月考）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分线段BO，垂足为点E，若BD＝8，则线段AE的长为（　　） A．2 B．3 C． D．4 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O， ∴OAAC，OBBD，AC＝BD， ∵BD＝8， ∴OA＝OBBD＝4， ∵AE垂直平分线段BO，垂足为点E， ∴BA＝OA＝4，BE＝OEOB＝2，∠AEB＝90°， 在Rt△ABE中，∠AEB＝90°， 由勾股定理得：AE． 故选：C． 4．（2025秋•双流区期末）如图，▱ABCD，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，能使▱ABCD变为菱形的是（　　） A．AB＝AC B．AC＝BD C．∠ABC＝90° D．AC⊥BD 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当▱ABCD的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使▱ABCD变为菱形， 逐一对比选项，其中选项D能使▱ABCD变为菱形，符合对角线相互垂直，A、B、C均不能使▱ABCD变为菱形，不符合题意． 故选：D． 5．（2026秋•迎泽区校级月考）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，若∠BAE＝50°，连接DE，则∠BED的度数为（　　） A．50° B．45° C．43° D．55° 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵AB＝AE， ∴AD＝AE， ∵∠BAE＝50°， ∴∠EAD＝∠BAE+∠BAD＝50°+90°＝140°， ∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE20°， ∵AB＝AE，∠BAE＝50°， ∴∠AEB＝∠ABE65°， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝65°﹣20°＝45°， 故选：B． 6．（2026•郸城县模拟）关于一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根的情况，下列结论正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【解答】解：由题可知，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×2＝9﹣8＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．（2026春•莱州市期末）如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，则S1与S2的大小关系是（　　） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．无法判断 【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴AP2＝BP×AB， 又∵S1＝AP2，S2＝PB×AB， ∴S1＝S2． 故选：C． 8．（2026•宁陵县二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝ODBD，BD⊥AC， ∴BD＝2OB＝12， ∵S菱形ABCDAC•BD＝54， ∴AC＝9， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴OEAC＝4.5， 故选：B． 9．（2026•萧山区校级模拟）如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：5，下列说法错误的是（　　） A．BC∥B′C′ B．OB′：BB′＝3：5 C．△A′B′C′与△ABC的周长比是3：5 D．△A′B′C′与△ABC的面积比是9：25 【解答】解：∵△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5， ∴△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，BC∥B′C′， ∴△A′B′C′与△ABC周长比为3：5，S△A′B′C′：S△ABC＝9：25， ∴OB′：OB＝3：5， ∴OB′：BB′＝3：2， 故A、C、D正确，不符合题意，B错误，符合题意． 故选：B． 10．（2026•福建模拟）如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为40m2，求小路的宽度．设小路的宽度为xm，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：（16﹣2x）（9﹣x）＝16×9﹣40； 乙：9×2x+16x﹣x2＝40． 其中正确的是（　　） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【解答】解：由已知条件可知：种植花草的面积为（16×9﹣40）m2， 从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为（16﹣2x）m，宽为（9﹣x）m， ∴矩形的面积为（16﹣2x）（9﹣x）m2， ∴可列方程（16﹣2x）（9﹣x）＝16×9﹣40， ∴甲列的方程正确； ∵两条竖着的小路的长为9m，宽为xm， ∴两条竖着的小路的面积为9×2xm2， ∵横着的小路的长度为16m，宽为xm， ∴横着的小路的面积为16xm2， 三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为xm的正方形， ∴重叠部分的面积为2x2m2， ∴小路的面积可表示为（9×2x+16x﹣2x2）m2， ∴可列方程为9×2x+16x﹣2x2＝40， ∴乙列的方程错误； 综上所述，甲对、乙不对． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．（2026•通川区模拟）若，则　　 ． 【解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2026•山东）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣m）＝0的一个根是10，则另一个根是　2　 ． 【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣m）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣m＝0， ∴x＝2或x＝m， ∴方程另一个根是2． 故答案为：2． 13．（2026•成都模拟）黄金分割，又称黄金比、中外比，是一个数学常数，它描述了一种特殊的比例关系：将一条线段分割为两部分，使得较长部分与较短部分的比值，等于全长与较长部分的比值，这个比值就是黄金分割比．自然界中就充满着黄金比，如图，校园里一片小小的树叶，叶筋上一点P恰好为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为　（55）　 cm．（用含的代数式表示） 【解答】解：∵点P恰好为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB的长度为10cm， ∴APAB10＝（55）cm， 故答案为：（55）． 14．（2025秋•五华县期末）若α、β是方程x2+3x﹣2023＝0的两个实数根，则α2+4α+β的值为 　2020　 ． 【解答】解：∵α、β是方程x2+3x﹣2023＝0的两个实数根， ∴α2+3α﹣2023＝0，α+β＝﹣3， ∴α2+3α＝2023， ∴α2+4α+β ＝α2+3α+α+β ＝2023﹣3 ＝2020． 故答案为：2020． 15．（2026•麦积区模拟）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G．若AF＝2，FB＝1，则MG＝　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AF＝2，FB＝1， ∴BC＝CD＝AB＝AF+FB＝2+1＝3，∠ABC＝∠CBG＝90°，DC∥AG， ∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∴∠AFE＝∠ABC， ∴EF∥BC， ∴， ∵DC∥AG， ∴△CDE∽△AGE， ∴， ∴AG＝2CD＝6， ∴BG＝AG﹣AB＝6﹣3＝3， ∴BG＝CD， ∵CD∥AG， ∴∠CDM＝∠G， 在△CDM和△BGM中， ， ∴△CDM≌△BGM（AAS）， ∴CM＝BMBC， 在Rt△BGM中，MG． 故答案为：． 16．（2026春•南关区校级同步）如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AD、CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点G，连结CG．给出下列四个结论： ①AF＝BE； ②∠EBC＝∠AFD； ③C、G两点之间的最小值为； ④当∠BCG最大时，． 上述结论中，正确结论的序号有　①②④　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠D＝∠BAD＝90°（正方形的四条边都相等，每个角都是90°）， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AF＝BE；故①正确； ∵△ABE≌△ADF， ∴∠AEB＝∠AFD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EBC， ∴∠EBC＝∠AFD，故②正确； ∵△ABE≌△ADF， ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠DAF+∠BAG＝90° ∴∠ABE+∠BAG＝90°， ∴∠AGB＝90°， 取AB中点O，连接AC，OG，OC， 在Rt△AGB中，OG2， 即点G在以O为圆心，2为半径的圆上，从A开始到AC，BD交点停止， ∴C、G两点之间的最小值为 故③错误； 当CG与⊙O相切时，∠BCG最大， ∵∠ABC＝90°，OB是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线， ∴CG＝BC＝4， 连接OC交BE于点M， ∵CG＝BC＝4，， ∴OC垂直平分BG， ∴∠BMC＝90°， ∴∠MBC+∠MCB＝∠MBC+ABE＝90°， ∴∠MCB＝ABE， ∵∠BAE＝∠ABC，AB＝BC＝4， ∴△ABE≌△BCO（AAS）， ∴AE＝OB＝2， ∴DF＝AE＝2， ∵∠D＝90°，AD＝4， ∴，故④正确； 则正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 三．解答题（共9小题） 17．（2026秋•永川区校级月考）解方程： （1）x2+2x﹣5＝0； （2）（x﹣1）2＝2（x﹣1）． 【解答】解：（1）x2+2x﹣5＝0， x2+2x＝5， x2+2x+1＝5+1， （x+1）2＝6， x+1， x+1，x+1， ∴，； （2）（x﹣1）2＝2（x﹣1）， （x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣1﹣2）＝0， （x﹣1）（x﹣3）＝0， x﹣1＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝1，x2＝3． 18．（2026•历城区一模）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，∠BAF＝∠DAE，求证：BE＝DF． 【解答】证明：在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF， ∵∠BAF＝∠DAE， ∴∠BAE+∠EAF＝∠EAF+∠DAF， ∴∠BAE＝∠DAF， 在△BAE和△DAF中， ， ∴△BAE≌△DAF（ASA）， ∴BE＝DF． 19．（2026•营山县二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k＝0 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且，求k的值． 【解答】（1）证明：因为关于x的一元二次方程为x2﹣（k+3）x+3k＝0， 所以Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×3k＝k2+6k+9﹣12k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0， 所以方程总有两个实数根； （2）解：因为方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两个实数根为x1，x2， 所以， 则． 因为， 所以k2+9＝10， 解得k＝1或k＝﹣1． 20．（2026春•海淀区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：四边形ADCF是矩形； （2）若BC＝6，BF﹣AC＝1，求△ABE的面积． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠EAD＝∠EDB，∠EFA＝∠EBD， ∵点E是线段AD的中点， ∴EA＝ED， 在△EAF和△EDB中， ， △EAF≌△EDB（AAS）， ∴AF＝DB， 在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点， ∴DB＝DC，AD⊥BC， ∴AF＝DC，∠ADC＝90°， 在四边形ADCF中，AF＝DC，AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， 又∵∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCF是矩形； （2）解：∵四边形ADCF是矩形， ∴∠BCF＝90°，AD＝CF， ∴BF2﹣CF2＝BC2＝36， ∵BD＝CDBC＝3， ∴AC2＝AD2+CD2＝CF2+9， ∵BF﹣AC＝1， ∴BF＝1+AC， ∴BF2＝36+CF2＝1+AC2+2AC＝1+CF2+9+2AC， ∴AC＝13， ∴AD4， ∴AEAD＝2， ∴S△ABE3＝3． 21．（2025秋•贵港期末）面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．如表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 2.5 3.6 （1）求该款车销量的月平均增长率． （2）青岛一个该品牌4S店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为7.5万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低0.1万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该4S店决定降价促销，若该4S店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 【解答】解：（1）设该款车销量的月平均增长率为x， 根据题意得：2.5（1+x）2＝3.6， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该款车销量的月平均增长率为20%； （2）设该款车的售价为每辆y万元，则每辆的销售利润为（y﹣6）万元，平均每月可售出15015＝（1275﹣150y）辆， 根据题意得：（y﹣6）（1275﹣150y）＝（7.5﹣6）×150， 整理得：2y2﹣29y+105＝0， 解得：y1＝7，y2＝7.5（不符合题意，舍去）． 答：该款车的售价应为每辆7万元． 22．（2025秋•扬州期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，连接DE，F为DE上一点，且∠B＝∠AFE． （1）求证：△ADF∽△DEC． （2）若AD＝6，AB＝4，DE＝7，求AF的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ADF＝∠DEC，∠B+∠C＝180° ∵∠AFD＝∠B，∠AFD+∠AFE＝180°， ∵∠AFD＝∠C， ∴△ADF∽△DEC； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD＝4， ∵△ADF∽△DEC，AD＝6，DE＝7， ∴， ∴， ∴． 23．（2026•汝阳县一模）根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题．（保留作图痕迹，不写作法） （1）如图1，点A，B，C都在格点上，在网格中求作△A1B1C，使得△A1B1C与△ABC是以点C为位似中心，相似比为2的一对位似图形； （2）根据（1）中所作图形，可得　4　 ； （3）如图2，点D，E都在格点上．在DE上求作一点P，使得EP：PD＝1：3． 【解答】解：（1）如图1，△A1B1C即为所求； （2）∵△A1B1C与△ABC是以点C为位似中心，相似比为2的一对位似图形， ∴△A1B1C∽△ABC，且相似比为2， ∴得（）2＝4； 故答案为：4； （3）如图2，点P即为所求． 24．（2025秋•潜江期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B的方向运动，且速度为1cm/s，点Q从点B开始沿B→C→A的方向运动，且速度为2cm/s，P，Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动的时间为t秒． （1）BP＝　（16﹣t）　 cm（用含t的代数式表示）； （2）当点Q在边BC上运动时，若△PQB是等腰三角形，求出此时t的值； （3）当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，求出此时t的值． 【解答】解：（1）∵点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒， ∴AP＝tcm， ∵AB＝16cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（16﹣t）cm， 故答案为：（16﹣t）； （2）点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒，当点Q在边BC上运动， ∴BQ＝2t， ∵△PQB为等腰三角形时，BP＝BQ， ∴16﹣t＝2t， 解得：t， ∴出发秒后，△PQB能形成等腰三角形； （3）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10cm， ∴BC+CQ＝22cm， ∴t＝22÷2＝11（秒）； ②当△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2， 则BC+CQ＝24cm， ∴t＝24÷2＝12（秒）； 综上所述：t为11秒或12秒． 25．（2026春•南关区校级同步）结合图形，解答下列问题： （1）【模型呈现】某兴趣小组从赵爽弦图（图①）中提炼出三角形全等的模型（图②），由图中∠BCA＝∠BAD＝∠AED＝90°可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE ，BC＝AE ．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型； （2）【类比应用】如图③，在△ABC中，AB＝AC，点D、A、E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若BD＝4，CE＝5，求DE的长； （3）【拓展探究】如图④，正方形ABCD中，AE⊥DE，DE＝5，直接写出△CDE的面积　　 ． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△DAE， ∴AC＝DE，BC＝AE． （2）∵∠AEC＝∠BAC＝α． ∴∠EAC+∠ACE＝180°﹣α，∠EAC+∠DAB＝180°﹣α， ∴∠ACE＝∠DAB， 又∵∠BDA＝∠AEC，AB＝AC， ∴△BDA≌△AEC（AAS）， ∴BD＝AE＝4，DA＝CE＝5， ∴DE＝DA+AE＝9． （3）将图④转变为赵爽弦图，如图所示： 故此可得出DE＝CF＝5， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $