第11讲含参问题的分类讨论专项训练-2027届高三数学一轮复习

含参问题的分类讨论 函数与导数 · 专题篇 一次／分式／指数型 一、先写定义域，再求导 含 的定义域是 ；含 的是 。 求导后把 化成一个分式或提取公因式的形状，再判符号。 二、分类的落点：参数与 比 这类， 时 恒成立、 时有一个零点 ，于是分成两类。 这类先把定义域定住，再看 （ 恒成立）与 （零点 ）。 三、指数的底数含参数时要取对数定零点 的零点是 ，解的时候要借「」把不等式还原成一次不等式。 四、与常数比的那一类 里，，所以分类的界是 与 ，不是 与 比。 写出结论时按「 时……； 时……」逐类写清单调区间，缺一类都算错。 例1（解答·★★★★★） 已知函数．讨论的单调性． 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 变式1-2（解答·★★★★☆） 已知函数，记．讨论函数的单调性． 变式1-3（解答·★★★★★） 已知函数（）．讨论的单调性． 变式1-4（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 例2（解答·★★★★☆） 设函数，．讨论的单调性． 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论函数的单调性． 变式2-2（解答·★★★★☆） 已知，．当时，讨论的单调性． 变式2-3（解答·★★★★★） 已知函数．当时，讨论函数的单调性． 变式2-4（解答·★★★★☆） 设函数．讨论的单调性． 变式2-5（解答·★★★★★） 已知函数，．若，讨论函数的单调性． 例3（解答·★★★★★） 设函数为自然对数的底数．讨论的单调性． 变式3-1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 二次型 一、先把导数整理成「分母恒正 ＋ 分子是二次式」的形状 分母为 、、、 这类在定义域上恒正的式子时，求导后只需要讨论分子的符号。 把导数的分子整理成 的形状，含参讨论就转成了二次式的符号问题。 二、分子能因式分解：比两根的大小 分子分解成 后两个零点就固定了，分类的落点是 与 谁大。 两根相等的那一个参数值要单独成类，此时导数在定义域上恒非负或恒非正，函数在整个定义域上单调。 三、分子不能分解：先算判别式 分子是 时先算 ： 时分子在定义域上不变号，这一类不必再往下分。 时两根为 ，还要判这两根在不在定义域内 —— 同正、同负、一正一负，结论各不相同。 四、定义域挖掉点的那一类 分母含 的，定义域可能是 ，两侧要分开写，不能跨过分界点合并区间。 五、结论写法 按「参数取哪一段时增区间是……、减区间是……」逐类写全，漏掉任何一类都算错。 例4（解答·★★★★★） 已知函数，．讨论的单调性． 变式4-1（解答·★★★★☆） 设函数．讨论的单调性． 变式4-2（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 变式4-3（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 变式4-4（解答·★★★★★） 设函数．讨论的单调性． 变式4-5（解答·★★★★☆） 已知函数，．讨论的单调性． 变式4-6（解答·★★★★☆） 已知函数，其中．讨论的单调性． 变式4-7（解答·★★★★☆） 已知函数．当时，讨论的单调性． 例5（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 变式5-1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 例6（解答·★★★★☆） 已知函数的一个极值点是．讨论的单调性． 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 变式6-2（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 特殊型（三次／复合／新定义／选填求参） 一、三次型 求导后分子形如 的，开三次方定零点；三次方程只有一个实根，不像二次那样有两个。 二、题目要讨论的不是原函数 题干若只给出导函数的符号规律而不给原函数，讨论原函数的单调性就是讨论这个导函数的符号。 题干若考的是导函数自己的单调性，就把导函数当成新函数再求一次导。 题目若问的是原函数拼出来的新函数，先把它化简再求导，不必对原函数硬求。 三、复合函数（选填）：同增异减 外层是指数函数时先看底数：底数大于 取同增同减，底数小于 取一增一减。 内层是二次函数时，条件落在它的对称轴与给定区间的相对位置上。 四、已知区间上单调、求参数范围 「在某区间上单调递增」翻译成 在该区间上恒成立，单调递减则是 。 恒成立问题用分离参数： 恒成立求 的最大值， 恒成立求 的最小值。 「在某区间上存在单调递增区间」是存在性，只要有一个点使 即可，分离参数后取的方向与恒成立正好相反。 五、新定义题 题干用新符号包装时，先把定义翻译成本讲的语言，再套常规流程。 例7（解答·★★★★★） 已知函数．讨论函数的单调性． 变式7-1（解答·★★★★★） 已知（）．设函数，讨论函数的单调性． 变式7-2（解答·★★★★☆） 已知函数．求的单调区间． 变式7-3（解答·★★★★★） 已知函数．求函数的单调区间． 变式7-4（解答·★★★★★） 若函数在区间上有意义，且存在正实数，使得，均有，则称在上具有性质．设．求的单调区间． 变式7-5（解答·★★★★★） 已知函数．求的单调区间． 例8（解答·★★★★★） 已知函数，，．若函数的导函数为，当时，试讨论的单调性． 变式8-1（解答·★★★★★） 已知函数在定义域上连续且可导，对于正实数，记和分别为函数在区间上的最大值和最小值，函数．设，求的单调区间． 变式8-2（解答·★★★★★） 已知函数，为的导函数．讨论的单调性． 例9（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 变式9-1（选择·★☆☆☆☆） 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式9-2（选择·★★☆☆☆） 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式9-3（选择·★★★☆☆） 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式9-4（填空·★★★☆☆） 设函数，当时单调递增，则的取值范围是______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 含参问题的分类讨论 函数与导数 · 专题篇 一次／分式／指数型 一、先写定义域，再求导 含 的定义域是 ；含 的是 。 求导后把 化成一个分式或提取公因式的形状，再判符号。 二、分类的落点：参数与 比 这类， 时 恒成立、 时有一个零点 ，于是分成两类。 这类先把定义域定住，再看 （ 恒成立）与 （零点 ）。 三、指数的底数含参数时要取对数定零点 的零点是 ，解的时候要借「」把不等式还原成一次不等式。 四、与常数比的那一类 里，，所以分类的界是 与 ，不是 与 比。 写出结论时按「 时……； 时……」逐类写清单调区间，缺一类都算错。 例1（解答·★★★★★） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】，求导后是 ， 恒正，符号只看 与零点位置 —— 按 与 比分两类。 【关键】定义域为 ，。因为 ，分母为正，所以 的符号由分子 决定。当 时， 对一切 成立，所以 在 上单调递增。当 时，令 得 ；在 上 ， 递增；在 上 ， 递减。综上： 时在定义域上单调递增； 时在 上递增、在 上递减。 【易错】求导后要通分再判符号 —— 直接看 不容易定零点。分类的完整写法是「 与 」两类， 归在「小于等于零」那一类里（此时 ）。结论里要写的是单调区间，不是「 的正负」。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增、在 上单调递减。 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】 是积的形式，求导后能提取 并因式分解 —— 两个零点 与 谁大谁小就是分界。 【关键】。因为 ， 的符号由 决定，两个零点为 与 。当 时 ，符号为「正、负、正」， 在 、 上递增、在 上递减；当 时两根重合，， 在 上递增；当 时 ，增区间与减区间对应交换。 【易错】分类的落点是两根的大小，所以界是 与 谁大 —— 即 与 比。 时两根重合， 恒非负（不是恒正），此时函数的单调性仍写成「在 上单调递增」写结论时增区间有两段、减区间一段，三段都要写出来。 【答案】当 时， 在 与 上单调递增、在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 与 上单调递增、在 上单调递减。 变式1-2（解答·★★★★☆） 已知函数，记．讨论函数的单调性． 【切入点】题目要求讨论 ，而 是 拼出来的 ——先把它化简再求导，别硬求 的导。 【关键】，一次项正好抵消。定义域为 ，。因为 ，符号由 决定。当 时， 必有 ， 在 上递增；当 时， 是零点， 在 上递减、在 上递增。 【易错】 里那个 与 里的 乘 之后正好抵消 ——这一步必须算出来，否则求导式子里会多出一项。 时零点 落在定义域外，所以要归到「 恒成立」那一类。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减、在 上单调递增。 变式1-3（解答·★★★★★） 已知函数（）．讨论的单调性． 【切入点】与例题同型 —— ，定义域先定住，再按 与 比分两类。 【关键】定义域 ，。当 时 恒成立， 在 上递增。当 时令 得 ， 在 上递增、在 上递减。 【易错】这是同一份函数的第二个版本，结论要与例题逐字一致 ——分类的界、零点的位置、两个区间的开闭都不能有出入。 时 ，导数 ，要归在「」这一类里。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增、在 上单调递减。 变式1-4（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】，求导得 ，通分后分子是一次式 —— 与例题同族，但增减的方向相反。 【关键】定义域 ，。分母为正，符号由 决定。当 时， 必有 ， 在 上递增。当 时， 是零点， 在 上递减、在 上递增。 【易错】与例题对照：例题是 的形（先增后减），本题是 的形（先减后增）—— 增减顺序正好相反，别照搬。常数项 不影响单调性，求导时它直接消失。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减、在 上单调递增。 例2（解答·★★★★☆） 设函数，．讨论的单调性． 【切入点】 求导后是 ， 恒正 —— 符号由 决定，按 与 比分两类。 【关键】定义域为 ，。当 时，，所以 恒成立， 在 上单调递增。当 时，令 得 ，即 。因为 递增，所以 时 、； 时 。于是 在 上递增、在 上递减。 【易错】解 时，两边同除以 只在 时方向不变 ——这正是要分两类的原因，不能默认 直接除。由 得 用的是「取自然对数」，符号容易写错，代 验一下：此时零点应是 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增、在 上单调递减。 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论函数的单调性． 【切入点】 求导得 ，零点要取对数才写得出来 —— 于是 的正负直接决定有没有零点。 【关键】定义域为 ，。当 时 ， 在 上递减。当 时令 ，得 ，。 时 、； 时 。所以 在 上递减、在 上递增。当 时，， 恒成立， 在 上递减。 【易错】 要单独成类 —— 此时 ，不能套用 的零点公式（会除零）。解 时先定 ，再把两边取对数得 ，最后除 得 —— 分母上的 别丢。 【答案】当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减、在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减。 变式2-2（解答·★★★★☆） 已知，．当时，讨论的单调性． 【切入点】题设先令 ，函数变成 ，求导得 ，通分后是 。 【关键】定义域 ，。分母为正，符号由分子 决定。当 时， 恒成立， 在 上递减。当 时，令 得 ， 在 上递减、在 上递增。 【易错】双参数题要先用 把函数定死再讨论，否则会想着「 和 各分几类」而打不开。 时分子的符号是「恒负」而不是「恒正」——这与例题（）方向相反，落笔前先代 验一下。 【答案】当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减、在 上单调递增。 变式2-3（解答·★★★★★） 已知函数．当时，讨论函数的单调性． 【切入点】 是积的形式，求导后 是公因式 ——题设已给 ，所以符号完全由 决定。 【关键】定义域 ，。因为 ， 的符号与 相同。令 得 ，令 得 。所以递增区间为 、递减区间为 。 【易错】乘积求导是「前导后不导 ＋ 前不导后导」：，少写一项是很常见的错。解得 即 ，不是 。 【答案】 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 变式2-4（解答·★★★★☆） 设函数．讨论的单调性． 【切入点】 求导得 ，先提取常数 ，符号就只看 了。 【关键】定义域为 ，。当 时 恒成立， 不成立、， 在 上递增。当 时令 ，两边取对数得 ，即 。所以 在 上递减、在 上递增。 【易错】 取对数后是 ，所以 ，别漏掉那个 。判断 那一类时， 而 ，两项相加恒正，所以 恒正 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减、在 上单调递增。 变式2-5（解答·★★★★★） 已知函数，．若，讨论函数的单调性． 【切入点】题设已给 ，所以不必再分「」那一类，求导后令 即可。 【关键】定义域为 ，。令 得 。 时 、， 递减； 时 ， 递增。所以递增区间是 、递减区间是 。 【易错】题设限定 时不要多写一类 ——答案只答「」这一种情形，写成两类反而是错的。写区间时起点要在左： 先减后增，减区间是 、增区间是 。 【答案】 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 。 例3（解答·★★★★★） 设函数为自然对数的底数．讨论的单调性． 【切入点】 求导得 ，而 有最小值 —— 分类的界是 ，不是 。 【关键】定义域为 ，。由基本不等式 （ 时取等号）。所以当 时 恒成立， 在 上单调递增。当 时，令 ，两边乘 得 ，解出 ，即 、（）。在 与 上 、在 上 ，所以增区间是这两段、减区间是中间那一段。 【易错】分类的界来自 的最小值 ，写 与 比就全错了。解 时，两个根都为正（ 需 ），取对数才合法。两个根的大小关系 决定了增减区间的顺序，写结论时不能颠倒。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 与 上单调递增、在 上单调递减，其中 、。 变式3-1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】 求导得 ， 的正负决定有没有零点。 【关键】定义域为 ，。当 时，，所以 恒成立， 在 上递减。当 时令 ，得 ，即 。 时 、 递减； 时 、 递增。 【易错】 取对数得 ，不要化简成 之外的形式 —— 两种写法都对，但要与答案栏一致。 那一类是「减函数」而不是「增函数」，与例题方向相反，落笔前先代 验算。 【答案】当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减、在 上单调递增。 二次型 一、先把导数整理成「分母恒正 ＋ 分子是二次式」的形状 分母为 、、、 这类在定义域上恒正的式子时，求导后只需要讨论分子的符号。 把导数的分子整理成 的形状，含参讨论就转成了二次式的符号问题。 二、分子能因式分解：比两根的大小 分子分解成 后两个零点就固定了，分类的落点是 与 谁大。 两根相等的那一个参数值要单独成类，此时导数在定义域上恒非负或恒非正，函数在整个定义域上单调。 三、分子不能分解：先算判别式 分子是 时先算 ： 时分子在定义域上不变号，这一类不必再往下分。 时两根为 ，还要判这两根在不在定义域内 —— 同正、同负、一正一负，结论各不相同。 四、定义域挖掉点的那一类 分母含 的，定义域可能是 ，两侧要分开写，不能跨过分界点合并区间。 五、结论写法 按「参数取哪一段时增区间是……、减区间是……」逐类写全，漏掉任何一类都算错。 例4（解答·★★★★★） 已知函数，．讨论的单调性． 【切入点】求导后是三项相加，先通分再把分子因式分解 ——两个零点一出来，讨论就只剩「 与 谁大」这一件事。 【关键】定义域为 ，。分母恒正，符号由分子决定，零点为 与 。当 时 ， 解得 或 ， 解得 ；当 时两根重合，；当 时 ，两段的次序互换，减区间变成 。 【易错】分子是 ，把它分解成 才好定零点 ——直接去算判别式会把一个简单的讨论做复杂。 时两根重合，仍要写成「在 上单调递增」。 【答案】当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增。 变式4-1（解答·★★★★☆） 设函数．讨论的单调性． 【切入点】求导后通分，分母是 —— 时恒正，符号只看分子 这个只含偶次项的二次式。 【关键】定义域为 ，。当 时， 对一切 成立，函数在 上单调递增。当 时，令 得 （负根舍去）；在 上 、，在 上 。 【易错】分子 里没有一次项， 的界就是 ——不要看到二次就去找判别式，这里 直接开方即可。 时方程有两个根，负根 落在定义域外，要舍掉。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。 变式4-2（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】分子 的二次项系数含参数， 的正负直接决定它能不能变号 ——这就是分类的落点。 【关键】定义域为 ，。当 时 恒成立，函数在 上单调递减。当 时令 ，得 （负根舍去）；在 上 、在 上 。 【易错】 与 是同一个数，分母有理化后写成后者，两种写法等价但一个字母都不能少。 时函数是 ，归在「」这一类里，不必单独成类。 【答案】当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。 变式4-3（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】与上一题同族，只是二次项系数换成了 ，求导后仍是「分母为正、分子为 」的结构。 【关键】定义域为 ，。当 时分子恒负，函数在 上单调递减。当 时令 ，得 ；在 上 、在 上 。 【易错】系数 求导后变成 ，零点由 定 ——不要把那个 也带进分子。常数项 求导即消失，对单调性没有影响。 【答案】当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。 变式4-4（解答·★★★★★） 设函数．讨论的单调性． 【切入点】还是「二次项含参 ＋ 分母为正」的老结构，只是系数变成 ，零点出现在 上。 【关键】定义域为 ，。当 时分子恒负，函数在 上单调递减。当 时令 ，得 ，即 （负根舍去）。 【易错】 开方后有两个根，只有正的 在定义域里。常数项 与单调性无关，求导后直接消失。 【答案】当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。 变式4-5（解答·★★★★☆） 已知函数，．讨论的单调性． 【切入点】通分后分子能分解成两个一次因式之积，但其中一个零点落在定义域外，实际只剩一个零点要讨论。 【关键】定义域为 ，。分母与 在 时都为正， 的符号与 相同。当 时 恒成立，函数在 上单调递增。当 时 是零点，在 上 、在 上 。 【易错】分解出的两根 与 不必比大小 —— 不在定义域里，讨论用不上它。 时 ，归在「」这一类里。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。 变式4-6（解答·★★★★☆） 已知函数，其中．讨论的单调性． 【切入点】分子分解成 ，两根为 与 ；题设限定 ，所以 必为正。 【关键】定义域为 ，。分母为正，分子两根为 与 。当 时两根重合，，函数在 上单调递减。当 时 ，符号为「负、正、负」，在 上递增。当 时 ，增区间变成 。 【易错】分类的界是 与 谁大，也就是 与 比 ——小于、等于、大于三类一个都不能少。 时 恒非正，结论仍写「在 上单调递减」。 【答案】当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递增。 变式4-7（解答·★★★★☆） 已知函数．当时，讨论的单调性． 【切入点】分子分解成 ，两根是 与 ，题目又给了 ，正好按两者的大小分三类。 【关键】定义域为 ，。分母为正，分子两根为 与 。当 时两根重合，，函数在 上单调递增。当 时 ，减区间为 ；当 时 ，减区间为 。 【易错】分解后写成 才好直接读出两根，不提取 容易把零点看成 。题目给了 ，所以不必讨论 ，但两根相等的 必须单独列出来。 【答案】当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增。 例5（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】分子的二次式不能因式分解，先算判别式 —— 的符号直接决定要不要往下分。 【关键】定义域为 ，。记分子为 ，。当 时 ， 对一切 成立，函数在 上单调递增。当 时 ，两根为 、，由 、 知两根同正且 ，符号为「正、负、正」，在 上递减、两侧递增。当 时两根同为负， 时 仍然成立，函数仍单调递增。把 与 合起来，就是 时在定义域上单调递增。 【易错】 只说明「有两个根」，还得判根在不在定义域里 —— 时两根都是负的，实际仍是单调递增，不能见 就写三段区间。由 知道两根同号，这比硬算 的正负更快。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减。 变式5-1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】分子不能分解，先算判别式；题目给 ，抛物线开口向下，符号的分布与开口向上时正相反。 【关键】定义域为 ，。记分子为 ，。当 时 ，又 ，所以 恒成立，函数在 上单调递减。当 时 ，两根为 ；分母为负，取加号的那个反而更小，记为 、。开口向下，在 上 ，两侧为负。 【易错】 时分母是负数， 反而更小 ——两根的大小关系与「开口向上」时正好颠倒。 且开口向下的那一类是恒负，对应的是单调递减。 【答案】当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递增。 例6（解答·★★★★☆） 已知函数的一个极值点是．讨论的单调性． 【切入点】题干只给「 是极值点」这一个条件，先用 把两个参数的关系定出来，函数里就只剩一个参数了。 【关键】对 求导，分子为 ，所以 。由 得 ，即 。代入后分子分解为 。因为 ， 的符号与 相同，零点为 与 。题设要求 是极值点，两根不能重合，所以 。当 时 ，符号为「负、正、负」，在 上递增；当 时 ，仍为「负、正、负」，在 上递增。 【易错】 是本题的钥匙 —— 定不出它，后面的讨论无从下手。 时 ， 两侧导数同号，不是极值点，这一支要按题设舍去。 【答案】当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递增。 变式6-1（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】分母 恒正，商的求导法则走一遍，分子正好分解成两个一次因式之积，还多带一个负号。 【关键】。因为 ， 的符号与 相同，零点为 与 。当 时两根重合，，函数在 上单调递减。当 时 ，符号为「负、正、负」，在 上递增；当 时 ，增区间变成 。 【易错】分子前面带一个负号，符号表要跟着翻一次 ——写成「正、负、正」就全反了。 在两根中的位置随 变化，先比 与 的大小再定增减。 【答案】当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递增。 变式6-2（解答·★★★★☆） 已知函数．讨论的单调性． 【切入点】定义域被 断成两段，求导后分子里的 与分母 都为正，符号只看 这个二次式。 【关键】定义域为 ，。当 时 ， 时为正、 时为负。当 时， 解得 或 ，两段外侧递增、中间递减。当 时 ， 解得 ，只在一小段负半轴上递增。 【易错】定义域分成两半，结论里的区间要分别写在 与 上，不能跨过 合并成一段。 时 是负数，别按正数去比较大小。 【答案】当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 和 上单调递减，在 上单调递增。 特殊型（三次／复合／新定义／选填求参） 一、三次型 求导后分子形如 的，开三次方定零点；三次方程只有一个实根，不像二次那样有两个。 二、题目要讨论的不是原函数 题干若只给出导函数的符号规律而不给原函数，讨论原函数的单调性就是讨论这个导函数的符号。 题干若考的是导函数自己的单调性，就把导函数当成新函数再求一次导。 题目若问的是原函数拼出来的新函数，先把它化简再求导，不必对原函数硬求。 三、复合函数（选填）：同增异减 外层是指数函数时先看底数：底数大于 取同增同减，底数小于 取一增一减。 内层是二次函数时，条件落在它的对称轴与给定区间的相对位置上。 四、已知区间上单调、求参数范围 「在某区间上单调递增」翻译成 在该区间上恒成立，单调递减则是 。 恒成立问题用分离参数： 恒成立求 的最大值， 恒成立求 的最小值。 「在某区间上存在单调递增区间」是存在性，只要有一个点使 即可，分离参数后取的方向与恒成立正好相反。 五、新定义题 题干用新符号包装时，先把定义翻译成本讲的语言，再套常规流程。 例7（解答·★★★★★） 已知函数．讨论函数的单调性． 【切入点】求导后分子成了三次式，开三次方就能定出零点 ——而 的正负决定这个零点存不存在。 【关键】定义域为 ，。当 时 对一切 成立，函数在 上单调递减。当 时令 ，得 ，即 ；在 上 、在 上 。 【易错】三次开方只有一个实根，不要像二次那样再补一个负根。 时 ，归在「」这一类里。 【答案】当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。 变式7-1（解答·★★★★★） 已知（）．设函数，讨论函数的单调性． 【切入点】题目要讨论的不是原函数，而是它加了一个一次项拼出来的新函数 ——先把新函数写出来再求导，那个 正好把原函数缺的一次项补上。 【关键】，定义域为 ，。分母为正，符号由分子 决定。当 时 恒成立， 在 上单调递增。当 时， 是零点， 在 上递减、在 上递增。 【易错】零点由 解出，是 而不是 ，符号容易看反。 时 ，归在「」这一类里。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增。 变式7-2（解答·★★★★☆） 已知函数．求的单调区间． 【切入点】求导得「参数乘指数减常数」的形状， 的正负决定导数有没有零点 ——这是指数型最标准的结构。 【关键】定义域为 ，。当 时 ，所以 恒成立，函数在 上单调递减。当 时令 ，得 ，即 ； 时 ， 时 。 【易错】题目问的是「单调区间」而不是「讨论单调性」，要把增、减区间分别点明； 时增区间不存在，也要写明「无单调递增区间」。由 取对数得 ，符号容易写错，代 验一下零点应是 。 【答案】当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 变式7-3（解答·★★★★★） 已知函数．求函数的单调区间． 【切入点】函数是「 乘一个含对数的因式」的形状，求导后两项里的一次项正好能消掉，只剩一个对数。 【关键】，定义域为 ，。令 得 ，即 ；令 得 。所以递增区间为 、递减区间为 。 【易错】乘积求导时第二项是 ，与前面的 合并才得 ，这一步算错就会多出常数项。零点由 解得 ，不是 。 【答案】 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 变式7-4（解答·★★★★★） 若函数在区间上有意义，且存在正实数，使得，均有，则称在上具有性质．设．求的单调区间． 【切入点】题干用新定义包了一层壳，但第一问只要最常规的单调区间 ——先把壳放一边，直接对这个商形式的函数求导。 【关键】定义域为 ，。分母恒正，符号由分子 决定：当 时 ，当 时 。 【易错】商的求导法则是「分母乘分子的导数 减 分子乘分母的导数，再除以分母的平方」，分子上是 ，不是把 直接抄下来。零点由 解得 。 【答案】 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 变式7-5（解答·★★★★★） 已知函数．求的单调区间． 【切入点】真数里含 ，定义域的左端不是 而是 ——先把定义域定住，再让导数通分。 【关键】定义域为 ，。分母在定义域上为正，符号由 决定：当 时 ，当 时 。 【易错】定义域是 ，写递增区间时要写成 而不是 。通分后分子是 ，那个负号别丢。 【答案】 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 例8（解答·★★★★★） 已知函数，，．若函数的导函数为，当时，试讨论的单调性． 【切入点】题干没给原函数的解析式，只给了它的导函数 ——讨论原函数的单调性，等价于讨论这个导函数的符号。 【关键】。当 时 恒成立， 与 同号，所以 在 上递减、在 上递增。当 时，由 得 ；又 ，所以 。在 上 而 ，两因式同号、乘积为正；在 上 而 ，乘积为负；在 上两者都为正，乘积为正。 【易错】两个因式相乘，符号要按区间分别判断，不能只看 的正负。 这个条件正是用来保证 的，若 ，这个零点就跑到 的右侧，分类得重新排。 【答案】当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减。 变式8-1（解答·★★★★★） 已知函数在定义域上连续且可导，对于正实数，记和分别为函数在区间上的最大值和最小值，函数．设，求的单调区间． 【切入点】题干先定义了一对最大值、最小值再拼出新函数，但这道小题只要求函数本身的单调区间 —— 新定义在这里还用不上。 【关键】，定义域为 ，。在 上分母 、，所以 的符号与 相同：当 时 ，当 时 。 【易错】三项求导后要通分合并， 先化成 再加 ，不合并容易看错零点。定义域含端点 ，写区间时左端从 起，不用把 单独摘出来。 【答案】 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 变式8-2（解答·★★★★★） 已知函数，为的导函数．讨论的单调性． 【切入点】题目要讨论的是导函数的单调性 —— 也就是把这个导函数当成新函数，再求一次导。 【关键】，求导得 。记 ，则 。当 时 、，三项非正且第一项就是 ，故 恒成立， 在 上单调递减。 【易错】两次求导的对象要分清：第一次对原函数求导得到导函数，第二次对导函数求导才得到它的单调性 —— 讨论的是导函数的增减，不是原函数的增减。判断新导数的符号时直接看各项的正负即可，不必再往下求。 【答案】 在 上单调递减。 例9（填空·★★★☆☆） 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 【切入点】「在区间上单调递增」翻译成导数语言，就是导数在该区间上恒非负，接着把参数分离出来。 【关键】定义域为 ，。题设要求 在 上恒成立，即 ；两边乘 得 。记 ，则 。当 时 、，所以 ， 在 上单调递减，故 的最大值为 ，所以 的取值范围为 。 【易错】分离参数时两边乘的 在定义域上恒正，不等号方向不变。 在区间上单调递减，所以最值在左端点 处取到。 【答案】 变式9-1（选择·★☆☆☆☆） 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】底数 的指数函数是增函数，所以整个函数的增减完全由指数位置上的那个二次式决定。 【关键】 是「增函数套二次式」的复合，外层底数大于 ，所以整体减不减，全看指数上那个二次式在 上减不减。把 的对称轴 摆出来：抛物线在对称轴左边降、右边升，要它在 上一直降，整段区间就得落在对称轴左侧或紧贴对称轴，即 ，解出 。A 项： 与 方向相反，A 项错误。B 项： 里的数都小于 ，B 项错误。C 项： 与 只在端点处相交，C 项错误。D 项： 与 完全一致，D 项正确。故选 D。 【易错】底数大于 时内外层「同增同减」，底数小于 时内外层一增一减 ——这道题底数是 ，不要与底数为 的题混。对称轴正好落在端点 上时，内层在开区间内仍严格递减，所以 可以取到 。 【答案】D 变式9-2（选择·★★☆☆☆） 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】外层是底数 的指数函数，它在 上递减 ——要让整体递减，内层必须递增，这就是「同增异减」。 【关键】 由 与 复合而成。 在 上单调递减，而 在 上单调递减，所以 要在 上单调递增。 开口向上、对称轴为 ，在对称轴右侧递增，所以需 ，即 。A 项： 与推出的结果一致，A 项正确。B 项： 与 方向相反，B 项错误。C 项： 比实际范围窄，漏掉了 这一段，C 项错误。D 项： 与 方向相反，D 项错误。故选 A。 【易错】与底数大于 的情形正好相反，先判清外层是增还是减再定内层。内层是开口向上的二次函数，对称轴在区间左端点上时仍满足单调递增，所以 可以取到 。 【答案】A 变式9-3（选择·★★★☆☆） 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「存在单调递增区间」是存在性问题，只要区间里有一个点让导数大于零就够 —— 与「恒成立」的方向完全不同。 【关键】。题设要求存在 使 成立，分离参数得 。记 。当 时 ，配方看出 在 离 最远处最大，故 的最大值为 ，所以 。A 项： 与 完全不符，A 项错误。B 项： 同样与 不符，B 项错误。C 项： 把 也算了进去，而这个数恰好使要找的 取不到，C 项错误。D 项： 与 一致，D 项正确。故选 D。 【易错】分离参数后是「 小于某个式子」，取的是这个式子的最大值 ——换成恒成立就要取最小值，两者方向相反。配方后 ，最大值在 最小处取到，即 。 【答案】D 变式9-4（填空·★★★☆☆） 设函数，当时单调递增，则的取值范围是______． 【切入点】「当 时单调递增」就是导数在 上恒非负，分离参数后要的是一个式子的下界。 【关键】。题设要求 对一切 成立，即 。记 ，则 、，当 时 ，故 ，即 ，从而 ，所以 时不等式恒成立。反过来，若 ，令 ，则 、；当 时 ， 递减，于是 ，不满足要求。所以 的取值范围是 。 【易错】先由 得到 ，这是分离参数能定出界的关键一步。只说明 可行还不够，还要说明 普遍不成立，答案才完整。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $