第三章位置与坐标—— 坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题专项训练-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题专项训练 坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题专项训练 考点目录 坐标系中的对称问题 坐标系中的动点问题 考点一 坐标系中的对称问题 例1．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)①画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． ②画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． (2)点P为内部一点，若点P关于y轴对称的点的坐标为，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 【答案】(1) ①如图所示，即为所求； 由图象可知，点的坐标为． ②如图所示，即为所求； 由图象可知，点的坐标为． (2) 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征及图形的轴对称变换． （1）①根据题意分别得出，，的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； ②同①方法，分别得出，，的坐标，从网格图中找出对应的坐标并画出，并写出的坐标即可； （2）先根据的坐标求出的坐标，再根据的坐标求出的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，点关于轴对称的点的坐标为，且点在内部， ∴点的坐标为， 又∵点与点关于轴对称， ∴点的坐标为 故答案为：． 例2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） (2)在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】(1) 解：如图，即为所求． (2) 解：如图，点即为所求． 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称的性质等知识，解题的关键是画出图形． （1）利用轴对称的性质分别作出点、的对应点分别为点、，依次连接即可； （2）作点关于轴对称的对称点，连接交轴于点，连接，则最小，故点即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 例3．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点），并写出的坐标； (2)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点）． 【答案】(1) 解：如图，作出关于轴对称的图形， 即为所求作，； (2) 解：作出关于轴对称的图形，如图， 即为所求作． 【分析】本题考查了坐标系中的对称，坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用轴对称的性质，作出关于轴对称的图形，再写出的坐标； （2）利用轴对称的性质，作出关于轴对称的图形． 【详解】（1）略 （2）略 变式1．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）如图1，嘉琪利用设计了一个程序，程序最终在图2的平面直角坐标系电子屏上得到和． (1)嘉琪输入三点坐标，请在图2中画出和．（点的对应点分别为） (2)若得到的在第一象限，则在第________象限． 【答案】(1) 解：如图所示：和即为所求 (2)三 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握关于x轴对称时横坐标不变、纵坐标变号；关于y轴对称时纵坐标不变、横坐标变号是解题的关键． （1）在坐标系中找到，依次连接三点，得到．将关于x轴对称：点关于x轴对称的点为，对应，对应；再将上述点关于y轴对称：关于y轴对称的点为，对应，对应；依次连接得到． （2）根据关于x轴对称后，点的纵坐标变号；再关于y轴对称，点的横坐标变号即可解答． 【详解】（1）略 （2）∵关于x轴对称后，点的纵坐标变号；再关于y轴对称，点的横坐标变号． ∴经过两次对称后，坐标变为横、纵坐标均变号． 若在第一象限，则其对应点的点横、纵坐标均为负， 故在第三象限． 故答案为：三． 变式2．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线与轴平行且经过点． (1)画出与关于轴对称的； (2)画出与关于直线对称的图形； (3)线段轴，且线段的长度为4，则的坐标为______； (4)点关于直线的对称点为，则点的坐标是______． 【答案】(1) 如图，即为所求作； (2) 如图，即为所求作； (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了轴对称作图、关于坐标轴对称或关于直线对称的点的坐标特征，在平面直角坐标系中画图以及关于对称找点的坐标特征是解题的关键． （1）首先根据点关于y轴对称的特征找到对称后三角形的顶点坐标，再绘制即可； （2）首先根据点关于直线对称的特征找到对称后三角形的顶点坐标，再绘制即可； （3）首先利用轴得到横坐标相等，再根据线段的长度为4，得到存在两个满足条件的点D，再进行求解即可； （4）利用点关于直线对称的坐标特征，直接列出方程组求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设点， ∵线段轴，且线段的长度为4， ∴，， ∴点或； （4）解：∵点关于直线的对称点为， ∴，解得：， ∴点的坐标是． 变式3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知，点． (1)若点与关于轴对称，在直角坐标系中作出点，并写出点的坐标． (2)点为轴上一动点，求的最大值，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)的坐标为 (2)最大值，的坐标为 【分析】（1）依据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）来确定点的坐标并作图；（2）利用轴对称性质将转化为，再结合三角形三边关系确定的最大值，进而求出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图， ∵，其关于轴对称的点的横坐标保持3不变，纵坐标为2的相反数， 因此的坐标为． 在直角坐标系中，找到横坐标为、纵坐标为的位置，标记该点即为． （2）解：由于点是关于轴的对称点，且点在轴上， ． ． 根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边， 即． 当且仅当点在直线的延长线与轴的交点时，等号成立， 此时， 即的最大值为的长度． ，， ， ， ， ， ， 的最大值为． 考点二 坐标系中的动点问题 例1．（25-26七年级下·河南信阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发沿轴向左以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)点的坐标是_____________；和的位置关系是_____________； (2)点，分别在线段，上时，连接，，使，求此时点的坐标是多少？ (3)在，的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出，得到点的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系； （2）根据三角形的面积公式求出，得到点的坐标； （3）分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ，，， 的纵坐标相同，点在轴上， ； （2）解：设时间经过秒，， 由题意得， 由（1）可得， ∴， ，， ， ， 解得， ， ， 点在上， 点的坐标为； （3）解：或， 当点在点的上方，过点作， ， ， ， ， ， ， 即； 当点在点的下方时，过点作， ， ， ， ， ， ，即， 综上所述，或． 例2．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． (1)理解：点，，的“最佳间距”是______； (2)探究：已知点，，． ①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______； ②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由； 【答案】(1)3 (2)①；②4 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，勾股定理，提炼出新定义的规则，根据规则，分类讨论是解决问题的关键． （1）分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可； （2）①分别计算出，的长度，由于斜边大于直角边，故，，由于“最佳间距”为2，故，即可求解的值； ②由①可得，“最佳间距”为或的长度，当时，“最佳间距”为，当时，“最佳间距”为，比较两个“最大间距”，即可解决． 【详解】（1）解：∵点，，， ∴，，， ∵， ∴点，，的“最佳间距”是3； （2）解：①∵点，，， ∴轴，，，， ∵点O，A，B的“最佳间距”是2， ∴， ∴； ②当时，点，，的“最佳间距”是， 当或时，， 点，，的“最佳间距”是， ∴点，，的“最佳间距”的最大值为4． 例3．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点，定义点A的“离心值”．（例：对于点，因为，所以．） (1)已知，，将、、按从小到大的顺序排列（用“”连接） ； (2)如图1，点，点在线段上． ①若，写出点M的坐标； ②在图1中画出满足的点M组成的图形； (3)已知点，若线段上存在离心值为1的点，则m的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)①或； ②M组成的图形即为线段． (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，认真阅读，了解并熟练运用“离心值”的定义是解决本题的关键； （1）根据“离心值”的定义求解即可； （2）①设，再根据“离心值”的定义即可确定M的坐标； ②根据“离心值”的定义求出M的坐标，根据的取值正确画图即可； （3）根据P，Q的坐标可知，与x轴的夹角是， 根据“离心值”的定义可知，要使线段上存在离心值为1的点，则要与以原点为中心边长为1的正方形有交点即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意，知，， ； （2）解：①设， 若，则，令，得或， 若，则，不可能等于2， 所以M坐标为或； ②根据离心值的定义可知，对于线段上的点，它的横坐标， ， ， ， 在线段上取、 （3）解：， 在x轴上，Q在直线上，且的水平距离为，竖直距离为3，即的水平距离的竖直距离， 与x轴的夹角是， 线段上存在离心值为1的点， 要与以原点为中心边长为1的正方形有交点即可，如图， 当时，与正方形交于， 当时，与正方形交于， 当由移动到时，与正方形有交点， m的取值范围是． 变式1．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题考查了根据新定义求点的坐标，绝对值方程． （1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程即的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 故答案为：； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：，，且 ∴或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图， ∴，即的值为； 当，时， 同理，得，即的值为； 综上，的值为． 变式2．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，从点出发沿轴正方向移动五个单位长度得到点． (1)直接写出点的坐标__________； (2)请判断和位置关系，说明理由； (3)轴上是否存在一点，使的面积是的面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 结论：． 理由：∵，， ∴． ∵，，， ∴根据勾股定理可得： ， ． ∵，，， 即， ∴， ∴． (3)或． 【分析】（1）根据坐标平移的性质：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，求出对应的点坐标； （2）先利用勾股定理求出坐标间的距离，再利用勾股定理的逆定理判断，得即可； （3）根据三角形的面积公式和设，构建方程求解． 【详解】（1）解：∵，点出发沿轴正方向移动五个单位长度， ∴， ∴． （2）略 （3）解：∵， 又∵， ∴． 设， ∵， ∴， ∴或． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了点的平移、勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 变式3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图1，．以点为顶点、为腰在第三象限作等腰． (1)求C点的坐标； (2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴运动时，以P为顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； (3)如图3，已知点F坐标为，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持与轴负半轴交于点与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，直接写出与的等量关系式． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，坐标与图形，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，得到，，求出点的坐标； （2）过点作轴于点，证明，得到，得到答案； （3）过点作轴于点，轴于点，证明，得到，根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作轴于点，轴于点， 点坐标为， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ，， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题专项训练 坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题专项训练 考点目录 坐标系中的对称问题 坐标系中的动点问题 考点一 坐标系中的对称问题 例1．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)①画出关于x轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． ②画出关于y轴对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并直接写出点的坐标． (2)点P为内部一点，若点P关于y轴对称的点的坐标为，则点P关于x轴对称的点的坐标为________． 例2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的；（点、的对应点分别为点、） (2)在轴上找一点，使最小．（保留画图痕迹，不写画法） 例3．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点），并写出的坐标； (2)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点）． 变式1．（25-26八年级上·河北保定·阶段检测）如图1，嘉琪利用设计了一个程序，程序最终在图2的平面直角坐标系电子屏上得到和． (1)嘉琪输入三点坐标，请在图2中画出和．（点的对应点分别为） (2)若得到的在第一象限，则在第________象限． 变式2．（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，直线与轴平行且经过点． (1)画出与关于轴对称的； (2)画出与关于直线对称的图形； (3)线段轴，且线段的长度为4，则的坐标为______； (4)点关于直线的对称点为，则点的坐标是______． 变式3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知，点． (1)若点与关于轴对称，在直角坐标系中作出点，并写出点的坐标． (2)点为轴上一动点，求的最大值，并直接写出点的坐标． 考点二 坐标系中的动点问题 例1．（25-26七年级下·河南信阳·期末）在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点从点出发沿轴向左以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)点的坐标是_____________；和的位置关系是_____________； (2)点，分别在线段，上时，连接，，使，求此时点的坐标是多少？ (3)在，的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系． 例2．（25-26八年级上·广东深圳·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”．例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． (1)理解：点，，的“最佳间距”是______； (2)探究：已知点，，． ①若点O，A，B的“最佳间距”是2，则y的值为______； ②点O，A，B的“最佳间距”最大是多少？请说明理由； 例3．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于点，定义点A的“离心值”．（例：对于点，因为，所以．） (1)已知，，将、、按从小到大的顺序排列（用“”连接） ； (2)如图1，点，点在线段上． ①若，写出点M的坐标； ②在图1中画出满足的点M组成的图形； (3)已知点，若线段上存在离心值为1的点，则m的取值范围是 ． 变式1．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为 ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 变式2．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，从点出发沿轴正方向移动五个单位长度得到点． (1)直接写出点的坐标__________； (2)请判断和位置关系，说明理由； (3)轴上是否存在一点，使的面积是的面积的一半，求点的坐标． 变式3．（25-26八年级上·河南信阳·期中）如图1，．以点为顶点、为腰在第三象限作等腰． (1)求C点的坐标； (2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴运动时，以P为顶点，为腰作等腰，过作轴于点，求的值； (3)如图3，已知点F坐标为，当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作，始终保持与轴负半轴交于点与轴正半轴交于点，当点在轴的负半轴上沿负方向运动时，直接写出与的等量关系式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $