暑假预习：坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题专项训练-2026年七升八暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦坐标系中对称与动点两大核心问题，通过分层例题与变式训练，系统构建坐标变换方法体系，衔接几何直观与代数运算，培养空间观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |坐标系中的对称问题|6题（含3例3变式）|归纳两点位置关系三种情形及距离计算方法，提炼对称点坐标规律与最短路径原理|从对称点坐标特征到作图实践，再到最短路径应用，形成"概念-操作-拓展"逻辑链| |坐标系中的动点问题|6题（含3例3变式）|通过参数表示动点坐标，结合面积公式与方程思想解决动态几何问题|从坐标表示到运动过程分析，再到数量关系建立，体现"静态描述-动态变化-数学建模"递进关系|

暑假预习：坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题专项训练 暑假预习：坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题专项训练 考点目录 坐标系中的对称问题 坐标系中的动点问题 考点一 坐标系中的对称问题 例1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在格点上，请你用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹． (1)求的面积； (2)画出关于直线的对称图形； (3)在上找到一点，使得最小，并直接写出这个最小值是_____． 【答案】(1)11 (2)如图，即为所作： (3)如图，点P即为所求，，10 【分析】（1）根据割补法求解即可 （2）在格点中找到各顶点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （3）作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，于是运用勾股定理可得解． 【详解】（1）解：的面积； （2）略 （3）解：略 由作图得：， 所以，，当三点在同一条直线上时，最小，最小值为的长度， 由勾股定理得， 即这个最小值是10． 例2．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）已知在直角坐标系中的位置如图所示． (1)写出，，各点的坐标，以及它们关于轴的对称点，，的坐标． (2)作关于轴对称的图形． 【答案】(1)，，，，， (2)如图，即为所求： 【分析】（1）直接根据点A、B、C的位置写出坐标即可，再根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数可得对应点的坐标； （2）根据轴对称性质得到对应点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，，，，； （2）略 例3．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出图中点的坐标，找到点的位置，并在图中画出． (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得到新的三角形的坐标分别是多少？画出新图形，并直接写出所得图形与原的位置有怎样的关系？ (3)若，且，直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，如图，点的位置，即为所求； (2)； ； 所得图形与原的位置关于x轴对称 (3)或 【分析】（1）求出点A的坐标，即可解答； （2）设点A，B，C的对应点分别为点，可得，即可求解； （3）过点A作，且，即可求解． 【详解】（1）解：∵点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． ∴点， （2）解：设点A，B，C的对应点分别为点， ∵，将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘， ∴新的三角形的坐标分别是， 画出新图形略； 所得图形与原的位置关于x轴对称； （3）解：如图，过点A作，且， ∴点D的坐标为或． 变式1．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (1)请画出关于y轴的对称图形； (2)若在内部有一个点，则点P在内部的对应点的坐标是 ； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) (3)4 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据关于轴对称的点的特征即可解答； （3）利用割补法即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：根据对称的性质可得点P在内部的对应点的坐标是； （3）解：的面积． 变式2．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知平面直角坐标系． (1)作出关于轴对称的，并写出，，的坐标； (2)在轴上画出点，使最小，并求出点的坐标． 【答案】(1) 点，， (2) 点的坐标是． 【分析】（1）分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、得到即为所求，根据图形得到点、、的坐标即可； （2）作出点关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求，的长度即为的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 变式3．（25-26八年级下·贵州遵义·阶段检测）【概念理解】如图，在平面直角坐标系中，任意两点，的位置关系有以下三种情形：①如果轴，则，；②如果轴，则，；③如果AB与x轴、y轴均不平行，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两平行线相交于点C，则点C的坐标为，则，，由勾股定理得：． 【概念应用】 (1)在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标、、．则：______，______，______； 【迁移应用】 (2)若点M的坐标为，点N的坐标为，点P是x轴上的动点，求的最小值． 【答案】(1)，， (2)5 【分析】（1）根据题干中给定的方法进行求解即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，进而得到，根据两点间的距离公式求出的长即可. 【详解】（1）解：∵、、， ∴；；； （2）解：作点关于轴的对称点，连接， ∵点M的坐标为，点P是x轴上的动点， ∴，， ∴， ∴当点在线段上时，求的值最小，为的长， ∵，点N的坐标为， ∴. 考点二 坐标系中的动点问题 例1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：对于平面直角坐标系中的点，若点N的坐标为（其中为大于0的常数），则称点N为点M的k伴随点，请完成下列各题． (1)点的2伴随点的坐标为_________，点的5伴随点的坐标为_________； (2)如图，若点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点，连接，，若，三角形的面积为9，求m的值； (3)在（2）的条件下，过点B作轴于点C，点D为x轴正半轴上的动点，直线与直线相交于点E，以O、A、E、C为顶点的四边形的面积记为，三角形的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)是定值，定值为 【分析】（1）根据定义计算即可得出结果； （2）由题意可得，点的坐标为，从而得出，，结合，得出，再由三角形面积公式计算即可得出结果； （3）分两种情况：当在上时，过作于，当在延长线上时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：点的2伴随点的坐标为，即， 点的5伴随点的坐标为，即； （2）解：∵点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点， ∴，点的坐标为，即， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵三角形的面积为9， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）可得，，， 当在上时，过作于， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； 当在延长线上时， 则 ∴ ， 综上所述，是定值，这个定值为． 例2．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，，且，满足关系式：． (1)填空： ， ； (2)求三角形的面积； (3)若点为轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据算术平方根和偶次方的非负性即可解答； （2）过点作轴于点，利用割补法即可解答； （3）设点，根据题意列方程即可解答． 【详解】（1）解：， ，， 解得，； （2）解：根据（1）可得，，， 如图，过点作轴于点， 则， ； （3）解：设点， 则， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 例3．（25-26七年级下·山西阳泉·期末）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周） (1)写出点B的坐标（__，___）； (2)当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为4个单位长度时，求点P移动的时间． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，描点如下： (3)2秒或5秒 【分析】（1）根据图形及坐标的定义直接求解即可得到答案； （2）根据时间得到路程即可得到点的坐标，再描点； （3）根据距离列式求解即可得到答案. 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，A点的坐标为，C点的坐标为， ∴， ∴； （2）解：当点P移动了4秒时，点P移动了个单位长度， ∵C点的坐标为， ∴， ∴， ∴此时，点P的位置在线段上，且， ∴点P的坐标为． 画图略 （3）解：当点P在上时，， 此时所用时间为； 当点P在上时，，， ∵A点的坐标为， ∴， ∵C点的坐标为， ∴，， 此时所用时间为：； 综上所述，当点P移动2秒或5秒时，点P到x轴的距离为4个单位长度． 变式1．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）综合运用：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)填空：__________，__________； (2)是x轴上的动点． ①用含m的代数式表示线段的长为__________； ②若三角形的面积等于三角形的面积的，求点M的坐标； (3)直线l是第一、三象限坐标轴的夹角平分线，如图2，点P在l上，三角形的面积等于三角形的面积，则点P的坐标为__________． 【答案】(1)， (2)①；②点M的坐标为或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用非负数的性质求得a，b的值即可； （2）①根据题意可直接进行求解； ②利用三角形的面积公式列式得，解方程即可求解； （3）由题意可设，由题意可分：当点P在第一象限时，当点P在第三象限时，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：①由（1）可知， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∵三角形的面积等于三角形的面积的， ∴， 解得：或； ∴点M的坐标为或； （3）解：∵直线l是第一、三象限坐标的轴夹角平分线， ∴点到两坐标轴的距离相等， 设，由题意可分：当点P在第一象限时，如图，过点P分别作轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵三角形的面积等于三角形的面积， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时，如图， 同理可得：，， ∵三角形的面积等于三角形的面积， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述：点P的坐标为或． 变式2．（25-26七年级下·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是4，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向右移动，设运动时间为（单位：秒）． (1)点的坐标为________； (2)当时，点的坐标为________，点的坐标为________； (3)当点，满足轴时，求的值； (4)当点移动到轴左侧，且四边形的面积为10时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)2 (4)点P的坐标为 【分析】（1）根据点到轴距离求出点纵坐标，根据点横坐标和轴，求出横坐标，即可求出点坐标． （2）观察图形判断点的纵坐标和点纵坐标一样，点纵坐标是0，利用点的运动时间和运动速度，求出对应线段和长度，从而知道坐标． （3）根据轴，确定，列关于的方程，解出方程即可求出答案． （4）设移动时间为秒，根据四边形的面积为10，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点到轴的距离是4，是第一象限的点 点的纵坐标是4， 过点作轴的平行线，点的坐标为， 点的横坐标是6， ． （2）解：由题意可知，， ， ，，则． ，点横坐标是3， 轴， 的纵坐标等于的纵坐标即4， ． （3）解：轴， 的横坐标相等，即， ， ． （4）解：点移动到轴左侧，且四边形的面积为10， ，， 到的距离等于到的距离，即， ， ， ， 在第二象限，即， ． 变式3．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动到点停止，连接．设点运动时间为秒． (1) ，_____ (2)当点在线段上时，______．（用含的式子表示） (3)当点在轴上，且的面积等于时，求的值． (4)设点到直线的距离为，点到直线的距离为． ①当时， ．（填“”，“”或“”） ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或或 (4)①；②或 【分析】（1）根据平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系求解即可； （2）当点在线段上时，根据路程速度时间求解即可； （3）分情况讨论，根据三角形的面积公式求解即可； （4）①当时，直接根据三角形面积公式判断即可；②当时，，分情况讨论不同情况下t的取值范围． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为， 点到轴的距离；点到轴的距离， （2）当点在线段上时， 动点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒， ； （3）当点P在线段上时（）， ， ，， ， 解得； 当点P在线段上时（）， 点P从A到O运动的时间为速度秒， ，， ， ， ； ， ，，， ， 解得； 当点在线段上时（）， 点P从A到O再到B运动的时间为速度秒， 点P在上的运动时间为， ， ，，， ， 解得； （4）①当时， 根据三角形面积公式（a为底，这里底都为）， ， ； 故答案为：． ②当时， ， 当时，． 当点P在线段上时（），，由，解得， ； 当点P在线段上时（），，由，，，，所以； 当点在线段上时()，，由，，，，所以． 综上，t的取值范围是或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题专项训练 暑假预习：坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题专项训练 考点目录 坐标系中的对称问题 坐标系中的动点问题 考点一 坐标系中的对称问题 例1．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在格点上，请你用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹． (1)求的面积； (2)画出关于直线的对称图形； (3)在上找到一点，使得最小，并直接写出这个最小值是_____． 例2．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）已知在直角坐标系中的位置如图所示． (1)写出，，各点的坐标，以及它们关于轴的对称点，，的坐标． (2)作关于轴对称的图形． 例3．（25-26八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3． (1)写出图中点的坐标，找到点的位置，并在图中画出． (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，得到新的三角形的坐标分别是多少？画出新图形，并直接写出所得图形与原的位置有怎样的关系？ (3)若，且，直接写出点的坐标． 变式1．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 (1)请画出关于y轴的对称图形； (2)若在内部有一个点，则点P在内部的对应点的坐标是 ； (3)求的面积． 变式2．（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知平面直角坐标系． (1)作出关于轴对称的，并写出，，的坐标； (2)在轴上画出点，使最小，并求出点的坐标． 变式3．（25-26八年级下·贵州遵义·阶段检测）【概念理解】如图，在平面直角坐标系中，任意两点，的位置关系有以下三种情形：①如果轴，则，；②如果轴，则，；③如果AB与x轴、y轴均不平行，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两平行线相交于点C，则点C的坐标为，则，，由勾股定理得：． 【概念应用】 (1)在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标、、．则：______，______，______； 【迁移应用】 (2)若点M的坐标为，点N的坐标为，点P是x轴上的动点，求的最小值． 考点二 坐标系中的动点问题 例1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）定义：对于平面直角坐标系中的点，若点N的坐标为（其中为大于0的常数），则称点N为点M的k伴随点，请完成下列各题． (1)点的2伴随点的坐标为_________，点的5伴随点的坐标为_________； (2)如图，若点在y轴的正半轴上，点B为点A的k伴随点，连接，，若，三角形的面积为9，求m的值； (3)在（2）的条件下，过点B作轴于点C，点D为x轴正半轴上的动点，直线与直线相交于点E，以O、A、E、C为顶点的四边形的面积记为，三角形的面积记为，是否为定值，如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 例2．（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，，且，满足关系式：． (1)填空： ， ； (2)求三角形的面积； (3)若点为轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 例3．（25-26七年级下·山西阳泉·期末）如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即：沿着长方形移动一周） (1)写出点B的坐标（__，___）； (2)当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当点P到x轴距离为4个单位长度时，求点P移动的时间． 变式1．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期末）综合运用：如图1，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)填空：__________，__________； (2)是x轴上的动点． ①用含m的代数式表示线段的长为__________； ②若三角形的面积等于三角形的面积的，求点M的坐标； (3)直线l是第一、三象限坐标轴的夹角平分线，如图2，点P在l上，三角形的面积等于三角形的面积，则点P的坐标为__________． 变式2．（25-26七年级下·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是第一象限的点，且轴，点到轴的距离是4，过点作轴的平行线，与轴交于点．动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿直线向左移动，动点从原点同时出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向右移动，设运动时间为（单位：秒）． (1)点的坐标为________； (2)当时，点的坐标为________，点的坐标为________； (3)当点，满足轴时，求的值； (4)当点移动到轴左侧，且四边形的面积为10时，求点的坐标． 变式3．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线运动到点停止，连接．设点运动时间为秒． (1) ，_____ (2)当点在线段上时，______．（用含的式子表示） (3)当点在轴上，且的面积等于时，求的值． (4)设点到直线的距离为，点到直线的距离为． ①当时， ．（填“”，“”或“”） ②当时，直接写出的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $