第三章 坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题讲义-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题讲义 坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题讲义 考点目录 坐标系中的对称问题 坐标系中的动点问题 考点一 坐标系中的对称问题 【知识点解析】 核心本质 对称是全等变换，变换前后图形的形状、大小完全不变，仅位置改变。所有图形的对称都可以拆解为对应顶点的对称变换，只需掌握点的坐标规律，就能解决所有图形对称问题。 一、点的对称坐标规律 1. 关于原点成中心对称 点 关于原点 的对称点为： · 口诀：横、纵坐标都变号。 · 推导：原点是线段 的中点，由中点坐标公式 、 可得。 2. 关于坐标轴对称 · 关于 轴对称：点 的对称点为 口诀：横坐标不变，纵坐标变号。 · 关于 轴对称：点 的对称点为 口诀：纵坐标不变，横坐标变号。 3. 关于平行于坐标轴的直线对称（高频拓展） · 关于竖直直线 对称： 规律：纵坐标不变，两点到直线 的水平距离相等。 · 关于水平直线 对称： 规律：横坐标不变，两点到直线 的竖直距离相等。 4. 关于直线 、 对称（选考） · 关于直线 对称：，横、纵坐标互换； · 关于直线 对称：，横纵互换后同时变号。 二、图形的对称 多边形的对称变换，只需将每个顶点按上述规则变换坐标，再按原顺序顺次连接即可。 · 对称后的图形与原图形全等，周长、面积、对应边长、对应角都完全相等。 三、核心应用：最短路径（将军饮马模型） 这是对称性质最经典的应用，也是初中高频考点。 基础模型：两定一动，和最小 · 场景：直线 同侧有两个定点 、，在直线 上找一点 ，使 的长度最小。 · 标准解法： 0. 作其中一个点关于直线 的对称点，例如作 关于 的对称点 ； 0. 连接 ，与直线 的交点就是所求的点 ； 0. 最小值： 的最小值 = 线段 的长度。 · 原理：两点之间线段最短；对称保证 ，将折线段转化为直线段。 拓展：差最大 · 场景：直线 同侧有两个定点 、，在直线 上找一点 ，使 最大。 · 解法：直接延长线段 ，与直线 的交点即为所求点 ，最大值为线段 的长度。 【例题分析】 例1．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点均在小正方形的网格点上． (1)作，使和关于轴对称； (2)分别写出以下顶点的坐标： _________；_________；_________． (3)直接写出的面积：_________． (4)在x轴上画出点P，使+最小，并写出最小值为_________． 例2．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，如图所示建立平面直角坐标系，在中，点，， (1)点关于轴对称点的坐标是___________； (2)作出关于轴对称的图形；（点对应点为点，点对应点为点，点对应点为点）； (3)求的面积 例3．（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，．过点作轴的垂线． (1)画出关于轴的轴对称图形； (2)直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； (3)在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为（______，______）（结果用含，的式子表示）． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于x轴对称的； (2)请画出关于y轴对称的． 变式2．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知，点． (1)若点与关于轴对称，在直角坐标系中作出点，并写出点的坐标． (2)点为轴上一动点，求的最大值，并直接写出点的坐标． 变式3．（25-26九年级上·甘肃兰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，过点且垂直于轴的直线记为直线，过点且垂直于轴的直线记为直线．给出如下定义：将图形关于直线对称得到图形，再将图形关于直线得到图形，则称图形是图形关于点的双对称图形． (1)已知点的坐标为，点关于点的双对称图形点的坐标为___； (2)如图，的顶点坐标是，，． ①已知点的坐标是，写出点，，关于的双对称图形点的坐标___，___，___； ②已知点的坐标为，点，点，线段关于点的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），求的取值范围． 考点二 坐标系中的动点问题 【知识点解析】 核心思路 设动点的坐标为 ，或设运动时间为 ，用 表示出动点的坐标，将几何约束条件转化为方程求解。 解题步骤 1. 设出动点坐标； 1. 按几何条件分类讨论，每种情况对应一个方程； 1. 解方程，检验解是否符合题意（在运动范围内、三点不共线等）； 1. 汇总所有符合条件的解。 【例题分析】 例1．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位，其行走路线如图所示． (1)写出点，，，的坐标（是正整数）； (2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向． 例2．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，为轴正半轴上一点，连接，． (1)求点的坐标： (2)如图，为轴负半轴上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，用含的式子表示（不用写出的取值范围）； (3)如图，在（2）的条件下，为轴负半轴上左侧一点，连接，过作，连接，，，若，求的值． 例3．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“美好距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“美好距离”为； 若，则点与点的“美好距离”为． 用符号表示，两点的“美好距离”． (1)已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“美好距离”为2，满足条件的点的坐标是__________（写出1个即可）； ②点与点的“美好距离”的最小值是__________； (2)已知直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，如图1，点的坐标是，求出点与点的“美好距离”的最小值是多少？当与的“美好距离”取最小值时，求出点的横坐标的最小值是多少？ 【变式训练】 变式1．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为． ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 变式2．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点在x轴上，点在y轴上，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）． (1)分别求出A，C两点的坐标； (2)当点P移动了4秒时，求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当的面积是10时，求满足条件的点P的坐标及相应的点P移动的时间． 变式3．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B是第一象限的点，且轴，点B到x轴的距离是5，过点B作x轴的平行线a，与y轴交于点C．动点P从点B出发，以3个单位长度的速度沿直线a向左移动，动点Q从原点O同时出发，以1个单位长度的速度沿x轴向右移动，Q到达A点后，P、Q同时停止运动． (1)点B的坐标为___________； (2)当时，点P的坐标为___________，点Q的坐标为___________； (3)当点P，Q满足四边形的面积为30时，求点P的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题讲义 坐标系中的对称问题、坐标系中的动点问题讲义 考点目录 坐标系中的对称问题 坐标系中的动点问题 考点一 坐标系中的对称问题 【知识点解析】 核心本质 对称是全等变换，变换前后图形的形状、大小完全不变，仅位置改变。所有图形的对称都可以拆解为对应顶点的对称变换，只需掌握点的坐标规律，就能解决所有图形对称问题。 一、点的对称坐标规律 1. 关于原点成中心对称 点 关于原点 的对称点为： · 口诀：横、纵坐标都变号。 · 推导：原点是线段 的中点，由中点坐标公式 、 可得。 2. 关于坐标轴对称 · 关于 轴对称：点 的对称点为 口诀：横坐标不变，纵坐标变号。 · 关于 轴对称：点 的对称点为 口诀：纵坐标不变，横坐标变号。 3. 关于平行于坐标轴的直线对称（高频拓展） · 关于竖直直线 对称： 规律：纵坐标不变，两点到直线 的水平距离相等。 · 关于水平直线 对称： 规律：横坐标不变，两点到直线 的竖直距离相等。 4. 关于直线 、 对称（选考） · 关于直线 对称：，横、纵坐标互换； · 关于直线 对称：，横纵互换后同时变号。 二、图形的对称 多边形的对称变换，只需将每个顶点按上述规则变换坐标，再按原顺序顺次连接即可。 · 对称后的图形与原图形全等，周长、面积、对应边长、对应角都完全相等。 三、核心应用：最短路径（将军饮马模型） 这是对称性质最经典的应用，也是初中高频考点。 基础模型：两定一动，和最小 · 场景：直线 同侧有两个定点 、，在直线 上找一点 ，使 的长度最小。 · 标准解法： 0. 作其中一个点关于直线 的对称点，例如作 关于 的对称点 ； 0. 连接 ，与直线 的交点就是所求的点 ； 0. 最小值： 的最小值 = 线段 的长度。 · 原理：两点之间线段最短；对称保证 ，将折线段转化为直线段。 拓展：差最大 · 场景：直线 同侧有两个定点 、，在直线 上找一点 ，使 最大。 · 解法：直接延长线段 ，与直线 的交点即为所求点 ，最大值为线段 的长度。 【例题分析】 例1．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点均在小正方形的网格点上． (1)作，使和关于轴对称； (2)分别写出以下顶点的坐标： _________；_________；_________． (3)直接写出的面积：_________． (4)在x轴上画出点P，使+最小，并写出最小值为_________． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)；；． (3)9 (4) 【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形，即可； （2）根据轴对称得到的坐标，即可． （3）用长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可； （4）根据两点之间线段最短原理，点P在上，即与x轴的交点为点P，用两点间距离公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：把放在一个能完全包裹它的矩形中，用长方形面积减去周围3个直角三角形的面积： 包裹的矩形长为6、宽为4，面积； 三个多余的直角三角形面积：； ∴． （4）解：线段与x轴的交点就是所求的点P，此时，图略； ， 即的最小值为． 例2．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）在正方形网格中，每个小正方形的边长为，如图所示建立平面直角坐标系，在中，点，， (1)点关于轴对称点的坐标是___________； (2)作出关于轴对称的图形；（点对应点为点，点对应点为点，点对应点为点）； (3)求的面积 【答案】(1) (2)如图，为所求； (3) 【分析】（1）根据关于轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数即可求解； （2）分别作出三个顶点关于轴对称的对应点，顺次连接即可求解； （3）利用割补法，由三角形面积等于一个长方形面积减去三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）解：， ∴点关于轴对称的点坐标是． （2）略 （3）解： ． 例3．（26-27八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，．过点作轴的垂线． (1)画出关于轴的轴对称图形； (2)直接写出（______，______），（______，______），（______，______）； (3)在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为（______，______）（结果用含，的式子表示）． 【答案】(1)如图，为所画； (2)，，； (3)点关于直线的对称点的坐标为 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）写出，，的坐标即可； （3）根据轴对称的性质即可得点P关于直线l的对称点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：根据图形可得，，； （3）解：点的坐标为，即． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级上·陕西安康·阶段检测）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)请画出关于x轴对称的； (2)请画出关于y轴对称的． 【答案】(1)如图，即为所求； (2)如上图，即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 变式2．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角坐标系中，已知，点． (1)若点与关于轴对称，在直角坐标系中作出点，并写出点的坐标． (2)点为轴上一动点，求的最大值，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)的坐标为 (2)最大值，的坐标为 【分析】（1）依据关于轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标互为相反数）来确定点的坐标并作图；（2）利用轴对称性质将转化为，再结合三角形三边关系确定的最大值，进而求出对应点的坐标． 【详解】（1）解：如图， ∵，其关于轴对称的点的横坐标保持3不变，纵坐标为2的相反数， 因此的坐标为． 在直角坐标系中，找到横坐标为、纵坐标为的位置，标记该点即为． （2）解：由于点是关于轴的对称点，且点在轴上， ． ． 根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边， 即． 当且仅当点在直线的延长线与轴的交点时，等号成立， 此时， 即的最大值为的长度． ，， ， ， ， ， ， 的最大值为． 变式3．（25-26九年级上·甘肃兰州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点，过点且垂直于轴的直线记为直线，过点且垂直于轴的直线记为直线．给出如下定义：将图形关于直线对称得到图形，再将图形关于直线得到图形，则称图形是图形关于点的双对称图形． (1)已知点的坐标为，点关于点的双对称图形点的坐标为___； (2)如图，的顶点坐标是，，． ①已知点的坐标是，写出点，，关于的双对称图形点的坐标___，___，___； ②已知点的坐标为，点，点，线段关于点的双对称图形线段位于内部（不含三角形的边），求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；；；②． 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了坐标的对称、新定义等内容，正确理解题意和熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据双对称图形的定义求出关于直线的对称点为，再求出，关于直线对称的点为，即可得解； （2）①根据点的坐标是，得两条对称轴分别为直线和直线，然后根据对称性质即可解决问题； ②先算出和的双对称图形点和的坐标，然后纵坐标高于1，纵坐标低于3即满足题意，从而建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意可知，点关于直线的对称点是， 点关于直线对称的点是， 点关于点的双对称图形点的坐标是； 故答案为：； （2）解：①点的坐标是， 两条对称轴分别为直线和直线， 点，，关于直线的对称点分别为，，， 点，，关于直线的对称点分别为，，， 点，，关于的双对称图形点的坐标，，； 故答案为：，，； ②， 两条对称轴分别为直线和直线， 点，关于直线的对称点分别为，， 点，关于直线的对称点分别为，， 在直线上， 若位于内部，则需要满足以下条件， ， ． 考点二 坐标系中的动点问题 【知识点解析】 核心思路 设动点的坐标为 ，或设运动时间为 ，用 表示出动点的坐标，将几何约束条件转化为方程求解。 解题步骤 1. 设出动点坐标； 1. 按几何条件分类讨论，每种情况对应一个方程； 1. 解方程，检验解是否符合题意（在运动范围内、三点不共线等）； 1. 汇总所有符合条件的解。 【例题分析】 例1．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动个单位，其行走路线如图所示． (1)写出点，，，的坐标（是正整数）； (2)写出的坐标，并指出蚂蚁由点到点的移动方向． 【答案】(1)，，， (2)，向右 【分析】（1）观察图形可知，在y轴上，，，，都在x轴上，即可得出，，，的坐标； （2）确定每四个点一循环，用，由余数确定的位置，最后得出到的移动方向． 【详解】（1）解：由图可知，，，都在x轴上， ∵小蚂蚁每次移动1个单位， ∴，， ∴，，； ∴， ∴点的坐标； （2）解：， 观察知： 余数为1时，，，的坐标为； 余数为2时，的坐标为； 余数为3时，的坐标为； 整除时，的坐标为， ∵， ∴， 横坐标为，纵坐标为1， ∴， ∵是余数为1的点，坐标为， ∴到的移动方向是向右移动． 例2．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，为轴正半轴上一点，连接，． (1)求点的坐标： (2)如图，为轴负半轴上一点，连接，设点的横坐标为，的面积为，用含的式子表示（不用写出的取值范围）； (3)如图，在（2）的条件下，为轴负半轴上左侧一点，连接，过作，连接，，，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，再结合三角形面积公式计算得出，即可得出结果； （2）表示出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果； （3）在轴的负半轴上取一点，使得，连接，证明，得出，，再证明，得出，从而得解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为轴正半轴上一点， ∴； （2）解：∵为轴负半轴上一点，点的横坐标为， ∴，， ∵， ∴； （3）解：如图，在轴的负半轴上取一点，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴． 例3．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“美好距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“美好距离”为； 若，则点与点的“美好距离”为． 用符号表示，两点的“美好距离”． (1)已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“美好距离”为2，满足条件的点的坐标是__________（写出1个即可）； ②点与点的“美好距离”的最小值是__________； (2)已知直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，如图1，点的坐标是，求出点与点的“美好距离”的最小值是多少？当与的“美好距离”取最小值时，求出点的横坐标的最小值是多少？ 【答案】(1)①或（任写一个即可）；② (2)点与点的“美好距离”的最小值是2；点横坐标的最小值是 【分析】根据“美好距离”的定义即可求解． 【详解】（1）解：①设， ， ，， ，且， 由“美好距离”的定义得， 解得， 点的坐标可以是或； ②由①知， 由“美好距离”的定义可得， 当时，，此时， 当时，， 点与点的“美好距离”的最小值是； （2）解：设， ， ，， 由“美好距离”的定义可得， 当时，， 当时，， 点与点的“美好距离”的最小值是2， ，即， 点横坐标的最小值是． 【变式训练】 变式1．（26-27八年级上·四川绵阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：点到轴的距离中的最大值等于点到轴的距离中的最大值，则称两点为“等距点”．如点与两点即为等距点． (1)已知点的坐标为． ①点中，与点为“等距点”的是________； ②若点的坐标为，且两点为“等距点”，求出点的坐标； (2)若点与点两点为“等距点”，在轴上有异于原点的一点，连接．若的面积为，的面积，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2)4 【分析】（1）①根据“等距点”的定义作答即可；②根据“等距点”的定义列出方程及的取值范围，再计算即可； （2）根据“等距点”的定义求出，或，，根据面积法列方程计算即可． 【详解】（1）①解：点到x，y轴的距离中的最大值为4， 到x，y轴的距离中的最大值为，不是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 到x，y轴的距离中的最大值为，是点A的“等距点”； 综上，与点为“等距点”的是； ②解：∵A，M两点为“等距点” ∴或且， 解得：或或且 ∴或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点与点两点为“等距点”， ∴或， 解得：， ∴，或，（舍去）或，或，（舍去）， ∴，或，， 当，时，如图所示： ∴，即的值为； 当，时， 同理，得， 即的值为． 变式2．（26-27九年级上·四川达州·阶段检测）如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点在x轴上，点在y轴上，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动（即沿着长方形的边移动一周）． (1)分别求出A，C两点的坐标； (2)当点P移动了4秒时，求出点P的坐标； (3)在移动过程中，当的面积是10时，求满足条件的点P的坐标及相应的点P移动的时间． 【答案】(1)点，点 (2) (3)的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）；点的坐标为，运动时间为（秒）． 【分析】（1）由点A，点C分别在x轴上，y轴上，可求解； （2）通过计算可得此时点P在上，且，可求点P坐标； （3）分点P在，，，上，由三角形面积公式可求解． 【详解】（1）解：（1）点在轴上，点在轴上， ， ， 点，点； （2）由（1）可知：点，点， 当点移动了4秒时，移动的路程为：， 此时点在上，且， 点； （3）①如图1所示，当点在上时， 的面积是10， ，即， 解得：， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ②如图2所示，当点在上时， 的面积是10， ，即， 解得：， ， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ③如图3所示，当点在上时， 的面积为10， ，即， 解得：， ， 点的坐标为， 运动时间为（秒）； ④如图4所示，当点在上时， 的面积是10， ，即，解得， 点的坐标为， 运动时间为（秒）． 综上所述：①的坐标为，运动时间为（秒）；②点的坐标为，运动时间为（秒）；③点的坐标为，运动时间为（秒）；④点的坐标为，运动时间为（秒）． 变式3．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，点B是第一象限的点，且轴，点B到x轴的距离是5，过点B作x轴的平行线a，与y轴交于点C．动点P从点B出发，以3个单位长度的速度沿直线a向左移动，动点Q从原点O同时出发，以1个单位长度的速度沿x轴向右移动，Q到达A点后，P、Q同时停止运动． (1)点B的坐标为___________； (2)当时，点P的坐标为___________，点Q的坐标为___________； (3)当点P，Q满足四边形的面积为30时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为9，纵坐标为5，即可得解； （2）根据题意写出坐标即可； （3）设经过t秒，四边形的面积为30，此时，再结合梯形面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且轴， ∴点B的横坐标为9， ∵点B是第一象限的点，且点B到x轴的距离是5， ∴点B的纵坐标为5， ∴点B的坐标为；． （2）解：过点B作x轴的平行线a，动点P从点B出发，以3个单位长度的速度沿直线a向左移动， ∴当时，点P向左移动3个单位长度，且点P的纵坐标为5， ∴点P的坐标为，即； ∵动点Q从原点O同时出发，以1个单位长度的速度沿x轴向右移动， ∴当时，点Q的坐标为； （3）解：设经过t秒，四边形的面积为30， 此时，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得：，此时， ∴点P的坐标为，即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $