暑期预习讲义（第6讲）平面直角坐标系与几何问题（知识梳理+题型精析+同步自测）2026--2027学年北师大版八年级数学上册

暑期预习讲义（第6讲）——平面直角坐标系与几何问题（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】相交线与平行线 1 【知识点二】全等三角形 2 【知识点三】轴对称 2 【知识点四】勾股定理与两点之间距离公式 2 【知识点五】平面直角坐标系中面积 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型1】 坐标基础变换：平移、对称求值 2 【题型2】平行、垂直直线坐标特征与角度计算 4 【题型3】勾股定理 + 两点间距离计算 5 三.题型精析（综合提升） 5 【题型4】割补法与坐标系内三角形、四边形面积（中档必考） 6 【题型5】将军饮马：轴对称最短路径问题（中档高频） 7 【题型6】一线三垂直全等求动点坐标（中档核心） 8 【题型7】坐标轴上等腰三角形存在性分类讨论（重难点） 10 四.同步自测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.教材知识梳理 【知识点一】相交线与平行线 1、垂直：坐标轴互相垂直，夹角；水平直线轴（纵坐标不变），铅直直线轴（横坐标不变）。 2、平移性质：图形平移全等，对应坐标变化：左减右加，上加下减 。 【知识点二】全等三角形 坐标系专属模型：一线三垂直，依靠坐标轴竖直线、水平线构造全等直角三角形，通过边长相等列等式求动点坐标。 【知识点三】轴对称 1、垂直平分线：线上点到线段两端距离相等；等腰三角形 “三线合一”。 2、经典应用：将军饮马最短路径，依托轴对称转化线段，再用勾股算长度。 【知识点四】勾股定理与两点之间距离公式 1、 平面两点距离公式：、，则 2、平行轴线段长：；平行轴线段长： 【知识点五】平面直角坐标系中面积 1、图形面积通用解法：割补法（外接矩形减周边直角三角形）。 2、核心思想：把几何条件（垂直、相等、对称、平行）转化为横、纵坐标的方程求解。 二.题型精析（基础夯实） 【题型1】 坐标基础变换：平移、对称求值 【例题1】（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如图所示的正方形网格中（每个小方格边长为1），的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题； （1）作出关于y轴对称的； （2）分别写出点，两点的坐标． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，和关于轴对称．若内点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点P在上的对应点的坐标是________． 【变式3】（25-26八年级下·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称． （1）直接写出B，C两点的坐标； （2）如图，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，求出D，E两点的坐标． 【题型2】平行、垂直直线坐标特征与角度计算 【例题2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，建立平面直角坐标系，已知的顶点都在格点上，直线经过且与轴平行． （1）请画出关于轴对称的的坐标为 ； （2）直线上有一动点，当的周长取最小值时，请在图中画出点（保留作图痕迹），的周长的最小值是 ． 【变式1】（2025七年级下·山西·专题练习）若点，平行x轴，且，则点H的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是________． 【变式3】（24-25七年级下·山西忻州·期末）已知点，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）点在第 象限，点的坐标为 ． （2）点的坐标为，请在平面直角坐标系中描出点． （3）点的坐标为，则点到轴的距离为 ．若点，，则 轴（填“平行”或“垂直”）． 【题型3】勾股定理 + 两点间距离计算 【例题3】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）定义：在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，则，两点的距离是． （1）点与点之间的距离是 ． （2）已知点，，，连接，试判断的形状，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，，那么P、Q两点间距离为______． 【变式2】（25-26八年级下·江西吉安·期中）已知直角平面坐标系内有两点，点与点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式3】（25-26八年级下·四川德阳·期中）已知在平面内两点，，其两点间的距离． （1）若，，试求两点间的距离； （2）若一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； （3）若，在轴上有一点，使是一个以为斜边的直角三角形，直接写出点的坐标． 三.题型精析（综合提升） 【题型4】割补法与坐标系内三角形、四边形面积（中档必考） 【例题4】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【变式1】（23-24八年级上·重庆·周测）如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【变式2】（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点也在坐标轴上（不与A，B，C重合），若三角形的面积与三角形的面积相等，则满足条件的点的坐标是_____．    【变式3】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的，并写出的各顶点坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使的面积是的2倍（点为点关于轴对称点），求出点的坐标． 【题型5】将军饮马：轴对称最短路径问题（中档高频） 【例题5】（2026·安徽合肥·一模）如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·上海普陀·期末）小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于________． 【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【变式3】（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为________． 【题型6】一线三垂直全等求动点坐标（中档核心） 【例题6】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； （2）问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； （3）拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是以点C为直角顶点的直角三角形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为______． 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，我们将这个模型称为“一线三直角”． （1）如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点坐标为，的坐标为，求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； （3）等腰，，，点在轴正半轴上运动，点在轴上运动，点坐标为，请直接写出，，之间的关系． 【变式3】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决： 如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究： 如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，现要求的长，我们可以先证明三角形全等，再求出的长为________． （3）拓展延伸： 如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，平面内存在一点P，使为等腰直角三角形，请写出点P的坐标． 【题型7】坐标轴上等腰三角形存在性分类讨论（重难点） 【例题7】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）求点C的坐标； （2）设P是y轴上的一个动点，当为等腰三角形时，请求出点P的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，已知点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标最多有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）定义：顶角顶点在坐标轴上的等腰三角形叫做“顶好△”，已知：平面直角坐标系中、，顶好的顶点C的坐标是________． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，，且，满足． （1）求点的坐标． （2）若点是的中点，点是轴上的任意一点（与、两点不重合），能否成为等腰三角形？若能，写出相应的点的坐标；若不能，请说明理由． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）已知轴，且点A的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A．3 B． C． D．9 3．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北随州·一模）平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值及此时点C的坐标分别为（   ） A．7， B．2， C．1， D．1， 5．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点Q在轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，其中，当线段的长度最短时，三角形的面积是（   ） A． B．16 C．20 D．40 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，，，点E在上，F，G分别是和的中点，连接，，，则的长是（    ） A． B． C．4 D．2 8．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则x的值为______． 12．（2026·河南南阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是坐标轴的正半轴上的一点，若射线、、构成轴对称图形，则线段的长为______． 13．（2026·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，如图所示，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是_____． 14．（25-26七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别是，，，，直线交边于点D，点E在边上．若，则的长为___________． 15．（2026·河南洛阳·三模）如图，平面直角坐标系中，，，点C为上的一个动点（不与点A、点B重合）．将沿翻折，点A的对应点为点，当为直角三角形时，点的坐标为________． 16．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 17．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，，，，，且，则点的坐标为__________ 18．（2026八年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，点D为，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为___． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知点，解答下列问题： （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的坐标为，直线轴，求线段PQ的长． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1． （1）写出A，B，C三点的坐标； （2）若与关于y轴对称，作出图形． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）画出关于x轴成轴对称的，并写出点的坐标为 ． （2）求的面积． （3）请在轴上标出点P的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知在平面内两点，，这两点间的距离；当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． （1）若点，则线段的长为________． （2）已知，，试求，两点间的距离； （3）已知一个三角形各顶点坐标为，，，你能判断此三角形的形状吗？说明理由． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·吉林松原·期中）问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： （1）已知点，，则线段的中点的坐标是_____． （2）若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． （3）已知三点，，，若第四个点与、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）构建数学基本模型是我们解决复杂问题的一种重要思想，优秀的同学总会积累很多基本模型，提高自己的综合能力．一线三直角就是一重要的模型． （1）如图1，中，，，过点任画一条直线，分别过、作此直线的垂线，垂足为、，请指出此图中全等形，并证明． （2）如图2，在直角坐标系数中，若点坐标为，以为直角边作直角三角形，且， ①若点的坐标为，求点坐标； ②如图3，若点在轴正半轴上运动，过点作线段，且，连接交轴于点，当点运动时，的长度是否发生变化，若变化说明理由，若不变，求出长度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第6讲）——平面直角坐标系与几何问题（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】相交线与平行线 1 【知识点二】全等三角形 2 【知识点三】轴对称 2 【知识点四】勾股定理与两点之间距离公式 2 【知识点五】平面直角坐标系中面积 2 二.题型精析（基础夯实） 2 【题型1】 坐标基础变换：平移、对称求值 2 【题型2】平行、垂直直线坐标特征与角度计算 5 【题型3】勾股定理 + 两点间距离计算 9 三.题型精析（综合提升） 11 【题型4】割补法与坐标系内三角形、四边形面积（中档必考） 12 【题型5】将军饮马：轴对称最短路径问题（中档高频） 16 【题型6】一线三垂直全等求动点坐标（中档核心） 21 【题型7】坐标轴上等腰三角形存在性分类讨论（重难点） 32 四.同步自测 37 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 37 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 44 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 52 一.教材知识梳理 【知识点一】相交线与平行线 1、垂直：坐标轴互相垂直，夹角；水平直线轴（纵坐标不变），铅直直线轴（横坐标不变）。 2、平移性质：图形平移全等，对应坐标变化：左减右加，上加下减 。 【知识点二】全等三角形 坐标系专属模型：一线三垂直，依靠坐标轴竖直线、水平线构造全等直角三角形，通过边长相等列等式求动点坐标。 【知识点三】轴对称 1、垂直平分线：线上点到线段两端距离相等；等腰三角形 “三线合一”。 2、经典应用：将军饮马最短路径，依托轴对称转化线段，再用勾股算长度。 【知识点四】勾股定理与两点之间距离公式 1、 平面两点距离公式：、，则 2、平行轴线段长：；平行轴线段长： 【知识点五】平面直角坐标系中面积 1、图形面积通用解法：割补法（外接矩形减周边直角三角形）。 2、核心思想：把几何条件（垂直、相等、对称、平行）转化为横、纵坐标的方程求解。 二.题型精析（基础夯实） 【题型1】 坐标基础变换：平移、对称求值 【例题1】（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如图所示的正方形网格中（每个小方格边长为1），的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题； （1）作出关于y轴对称的；（2）分别写出点，两点的坐标． 【答案】（1）见分析；（2）, 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的图形变换，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征，先找出A，B，C三点的对称点，再依次连接各点得到； （2）根据网格确定B，C的坐标，再利用对称特征写出的坐标． 解：（1）解:如图所示即为所求． （2）解：由网格可得，， 根据关于轴对称的点的坐标特征：的坐标为，的坐标为． 答：，． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，和关于轴对称．若内点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 解：∵和关于轴对称， 点与点Q关于x轴对称． 又点P的坐标是， 点Q的坐标是． 【变式2】（2026·湖南邵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与关于x轴对称，其中点A，B，C的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点P在上的对应点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 解：∵与关于轴对称， 点在的边上， ∴点在上的对应点的坐标是． 【变式3】（25-26八年级下·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，点，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称． （1）直接写出B，C两点的坐标； （2）如图，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，求出D，E两点的坐标． 【答案】（1）；；（2）， 【分析】（1）根据题意，得，，再利用轴对称性质求解即可； （2）过点D作轴，过点E作轴，证明，求解即可； 解：（1）解：， ，， ，， 解得，， ∴点，． ∵点A，C关于y轴对称， ∴点． （2）解：过点D作轴，过点E作轴，如图． 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，． ∵点，， ，， ， ∴点； 同理可得点． 【题型2】平行、垂直直线坐标特征与角度计算 【例题2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图所示，在边长为1的小正方形网格中，建立平面直角坐标系，已知的顶点都在格点上，直线经过且与轴平行． （1）请画出关于轴对称的的坐标为 ； （2）直线上有一动点，当的周长取最小值时，请在图中画出点（保留作图痕迹），的周长的最小值是 ． 【答案】（1）作图见分析；；（2）作图见分析， 【分析】本题考查了轴对称变换的作图、平面直角坐标系中对称点的坐标特征以及最短路径问题，核心知识点为轴对称的性质与勾股定理的应用． （1）根据关于轴对称的点“横坐标互为相反数，纵坐标不变”的特征，找到各顶点的对称点，连接得到，进而确定的坐标； （2）的周长为，其中为定值，因此只需最小化．利用轴对称的性质，作点关于直线的对称点，则，此时，当为与直线的交点时取等号，再通过勾股定理计算和的长度，相加得到周长的最小值． 解：（1）解：分别作出点、、关于轴的对称点、、，顺次连接、、，得到． 可知的坐标为； 故答案为：． （2）解：作点关于直线的对称点；②连接，与直线交于点，此点即为使周长最小的点． ，， 的周长的最小值． 故答案为：． 【变式1】（2025七年级下·山西·专题练习）若点，平行x轴，且，则点H的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】题目主要考查坐标与图形，理解题意，分情况分析是解题关键． 根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 解：由题知，因为点，平行x轴， 所以点的纵坐标为． 又因为， 所以，， 则点的坐标为或． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与轴对称，由题意可得，点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的纵坐标是2．设横坐标为，则，解得，即可求出答案． 解：点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的纵坐标是2， 设横坐标为，则， 解得， ∴点关于直线l（l过点且与x轴垂直）的对称点的坐标是， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山西忻州·期末）已知点，在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）点在第 象限，点的坐标为 ． （2）点的坐标为，请在平面直角坐标系中描出点． （3）点的坐标为，则点到轴的距离为 ．若点，，则 轴（填“平行”或“垂直”）． 【答案】（1）一；；（2）见分析；（3）1；平行 【分析】本题考查了各象限的点的坐标特征，点到坐标轴的距离等知识点，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． （1）根据象限的坐标特点求解即可； （2）根据坐标描点即可； （3）根据点到坐标轴的距离和即可得到点到轴的距离，由点和的纵坐标相等即可得到平行轴． 解：（1）由图可得，点在第一象限，点的坐标为； （2）如图所示， （3）∵点的坐标为， ∴点到轴的距离为； ∵点和的纵坐标相等 ∴平行轴． 【题型3】勾股定理 + 两点间距离计算 【例题3】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）定义：在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，则，两点的距离是． （1）点与点之间的距离是 ． （2）已知点，，，连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）是等腰直角三角形，见分析 【分析】（1）根据两点的距离公式代入数值计算，即可作答． （2）分别算出，再得出，即可作答． 解：（1）解：依题意，； （2）解： 是等腰直角三角形．理由如下： 由题意可知，， 则， 是等腰三角形， ， 是等腰直角三角形． 【变式1】（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，，那么P、Q两点间距离为______． 【答案】5 【分析】根据两点间距离公式代入坐标计算即可． 解： 和， ． 【变式2】（25-26八年级下·江西吉安·期中）已知直角平面坐标系内有两点，点与点，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用两点间距离公式得到的表达式，再利用完全平方数的非负性求出的最小值即可． 解： ， ， ， ， 即的最小值为． 【变式3】（25-26八年级下·四川德阳·期中）已知在平面内两点，，其两点间的距离． （1）若，，试求两点间的距离； （2）若一个三角形各顶点坐标为、、，请判定此三角形的形状并说明理由； （3）若，在轴上有一点，使是一个以为斜边的直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）等腰直角三角形；（3） 【分析】（1）由题中两点间的距离公式直接求解即可； （2）由题中两点间的距离公式分别求出三角形三边长判定即可； （3）由题中两点间的距离公式分别求出三角形三边长，再根据题意，由勾股定理列方程求解即可． 解：（1）解：由两点间的距离公式可得； （2）解：此三角形是等腰直角三角形， 理由如下： 由两点间的距离公式可得、、， ，， 此三角形是等腰直角三角形； （3）解：设， 由两点间的距离公式可得、、， 是一个以为斜边的直角三角形， 由勾股定理可得，则， 解得， 点的坐标为． 三.题型精析（综合提升） 【题型4】割补法与坐标系内三角形、四边形面积（中档必考） 【例题4】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形各个顶点的坐标分别为，． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形各个顶点的横坐标都乘，纵坐标都乘，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】（1）；（2）面积不发生变化，其面积是 【分析】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． （1）作轴于点轴于点，如图所示，数形结合得到，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 解：（1）解：作轴于点轴于点，如图所示： ； （2）解：由题意可知，所得的四边形和原四边形关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 【变式1】（23-24八年级上·重庆·周测）如图，已知坐标系中四点，则四边形的面积是（   ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点作轴于点，根据点的坐标求出相关线段的长度，然后根据三角形和梯形面积公式进行求解． 解：如图，过点作轴于点， 由得，， ∴， ， ， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，点也在坐标轴上（不与A，B，C重合），若三角形的面积与三角形的面积相等，则满足条件的点的坐标是_____．    【答案】或或 【分析】根据点A，点B，点C的坐标求出三角形的面积，则可得到三角形的面积，再分两种情况：点D在x轴上和点D在y轴上，根据三角形的面积公式讨论求解即可． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的面积与三角形的面积相等， ∴， 当点D在x轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为或（舍去）， ∴点D的坐标为； 当点D在y轴上时，则， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为或， ∴点D的坐标为或； 综上所述，点D的坐标为或或． 【变式3】（25-26八年级上·四川泸州·期末）如图，三个顶点都在格点上． （1）画出关于轴对称的，并写出的各顶点坐标； （2）求的面积； （3）在轴上找一点，使的面积是的2倍（点为点关于轴对称点），求出点的坐标． 【答案】（1）见分析；，，；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中点的坐标，轴对称中的面积问题（最短路线问题）等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据“关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同”求出、、对应点的坐标，再描出，，，然后顺次连接即可； （2）结合图形，用长为5，宽为3的长方形的面积减去多余的三角形的面积即可； （3）设，根据，解方程即可求解． 解：（1）解：如图，即为所求作： ∴，，； （2）解：如下图所示： 所求三角形的面积等于长方形的面积减去三个三角形的面积，得； （3）解：令，， ， 解得，， ∴或． 【题型5】将军饮马：轴对称最短路径问题（中档高频） 【例题5】（2026·安徽合肥·一模）如图,平面直角坐标系中,点，，，连接，并将线段绕点顺时针旋转，点旋转到点，连接．则周长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴于点,过点作轴于点,证明，得出，根据，，得出，说明点在直线上，根据为定值，得出当最小时，的周长最小，作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接,根据两点之间线段最短，当在点处时, 最小,且最小值为的长度,根据勾股定理求出结果即可． 解：过点作轴于点,过点作轴于点,如图所示： 则, 根据旋转可知, , ∴, , , , ∵,, ∴, , ∴点在直线上, 为定值, ∴当最小时,的周长最小, 如图,作点关于直线的对称点,连接交直线于点,连接, 根据轴对称可知：, ∴, ∵两点之间线段最短, ∴当在点处时,最小,且最小值为的长度, ∴最小值为：, 的周长最小值为. 【变式1】（23-24八年级上·上海普陀·期末）小明求代数式的最小值时，采用如下方法：如图，在同一直角坐标平面内，设为轴上的一个动点，选取点和，根据两点的距离公式得，，通过构造，将求代数式的最小值转化为求的最小值，由此小明求出的最小值等于________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，根据原式表示的几何意义是是点M到点的距离之和的最小值，利用轴对称作出图形求出的长即可，正确转化代数式为两点之间距离问题是解题关键． 解：如图所示，根据原式表示的几何意义是点M到点的距离之和的最小值，可作B点关于x轴的对称点，连接，此时的长即为所求代数式的最小值， ∵， ∴， ∵ ∴ ， ∴的最小值等于5 ， 故答案为：5． 【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质，关于x轴对称的点的坐标特点，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，得到，当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后得到由对称得，然后利用勾股定理求解即可． 解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴由对称得，， ∵ ∴ ∴的最小值为． 故选：D． 【变式3】（23-24八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查对称求最值，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作关于的对称点，连接交于，连接，则此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得出答案． 解：作关于的对称点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 则为等腰直角三角形， ∵关于的对称点为， ∴也为等腰直角三角形， ∴，， 点在轴上， 且， 连接交于，连接，则此时的值最小， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是． 故答案为：． 【题型6】一线三垂直全等求动点坐标（中档核心） 【例题6】（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； （2）问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； （3）拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 解：（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点拨】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 【变式1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是以点C为直角顶点的直角三角形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】过C作轴于点D，于点E，证，得，，结合点A的坐标为，点B的坐标为，四边形矩形，可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 解：如图，过C作轴于点D，于点E， 则， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴， 故点， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，我们将这个模型称为“一线三直角”． （1）如图，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点坐标为，的坐标为，求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标； （3）等腰，，，点在轴正半轴上运动，点在轴上运动，点坐标为，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作轴于点，证明，则有，，又点坐标为，的坐标为，所以，，则，故点的坐标； （）同（）理可求解； （）分为点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动两种情况分析求解即可． 解：（1）解：如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标； （2）解：如图，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴点的坐标； （3）解：如图，点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴； 如图，点在轴正半轴上运动，点在轴负半轴上运动，过作轴于点， 同理可得：， ∴，， ∵点坐标为，的坐标为， ∴，， ∴， ∴； 综上可得：，，之间的关系为或． 【变式3】（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决： 如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究： 如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，现要求的长，我们可以先证明三角形全等，再求出的长为________． （3）拓展延伸： 如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，平面内存在一点P，使为等腰直角三角形，请写出点P的坐标． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或或或或． 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 解：（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； 故答案为：； （3）解：存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点P的坐标为； 当点P在第三象限时， 利用中点坐标公式，可得点P的坐标为； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点P的坐标为； 当点P在第四象限时， 利用中点坐标公式，可得点P的坐标为； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴点P的坐标为； 当点P在第二象限时， 利用中点坐标公式，可得点P的坐标为； 综上，存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或或或或． 【点拨】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 【题型7】坐标轴上等腰三角形存在性分类讨论（重难点） 【例题7】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）求点C的坐标； （2）设P是y轴上的一个动点，当为等腰三角形时，请求出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为或或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）过C作于H，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，由勾股定理得到，于是得到结论； （2当时，求得点P的坐标为或；当时，点P在的垂直平分线上，求得，当时，，求得． 解：（1）解：如图，过C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵为等腰三角形， ∴当时，点P的坐标为或； 当时，点P在的垂直平分线上， 设点P的坐标为，则， 解得， ∴点P的坐标为， 当时，， ∴． ∴当为等腰三角形时，点P的坐标为或或或． 【变式1】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，已知点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标最多有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，坐标与图形性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． 根据等腰三角形的定义求解即可． 解：如图， 则在x轴上共有4个这样的P点． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级下·上海·期中）定义：顶角顶点在坐标轴上的等腰三角形叫做“顶好△”，已知：平面直角坐标系中、，顶好的顶点C的坐标是________． 【答案】或/或 【分析】根据题意分情况进行讨论：点C在x轴和点C在y轴上，利用勾股定理设未知数列出方程求解即可． 解：由题意知，顶点C在坐标轴上，此时分情况讨论： ①当点C在x轴上， 设顶点C的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴顶点C的坐标为； ②当点C在y轴上， 设顶点C的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴顶点C的坐标为， 综上所述，顶点C点的坐标是或． 【变式3】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，，且，满足． （1）求点的坐标． （2）若点是的中点，点是轴上的任意一点（与、两点不重合），能否成为等腰三角形？若能，写出相应的点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，然后根据勾股定理求出的值，再求出的值，即可求解； （2）先根据中点坐标公式求出点E的坐标，然后分三种情况讨论：；；，根据两点间距离公式构建关于m的方程求解即可． 解：（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设， ∵点是的中点， ∴，即 当时，如图，、符合题意， ∴， 解得， ∴，； 当时，如图，符合题意， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； 当时，如图，符合题意， ∴， 解得， ∴， 综上，点M的坐标为或或或． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）已知轴，且点A的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 解：∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等. ∵点的坐标为，点的纵坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 2．（25-26八年级下·甘肃金昌·期中）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】A 解：设原点为点， 由勾股定理可得，． 3．（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线轴且过，可得直线上点的纵坐标均为；根据垂线段最短，最短时，结合轴推出轴，可得点横坐标与横坐标相同，即可求解． 解：∵直线轴，且过点， ∴直线上所有点的纵坐标均为，设点， ∵当线段长度最短时，， 又轴， ∴轴， ∴点与点横坐标相同， ∵， ∴， ∴点坐标为． 4．（2026·湖北随州·一模）平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值及此时点C的坐标分别为（   ） A．7， B．2， C．1， D．1， 【答案】D 【分析】根据轴可得点的纵坐标，再利用“直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”的性质，判断最短时点的位置，进而计算的最小值和点的坐标. 解：∵轴， ，， ∴，即点在直线上运动， ∴当直线时，长度最小， 如图： 此时点的横坐标与点的横坐标相同， ∵， ∴此时点的坐标为，的最小值为． 5．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点Q在轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系，熟练掌握以上知识点，学会利用等腰三角形的腰相等进行分类讨论是解题的关键．根据题意，点Q在轴上，是等腰三角形，分3种情况讨论，利用勾股定理表示出和的长，再列方程求出所有满足条件的点Q坐标即可解答． 解：是等腰三角形，点Q在轴上， 分3种情况讨论： ①若，则； ②若， ， ， 则或， ③若，设，则，， ， 解得：， 则； 综上所述，满足条件的点Q有，，和，共4个． 故选：B． 6．（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，其中，当线段的长度最短时，三角形的面积是（   ） A． B．16 C．20 D．40 【答案】C 【分析】由点C的坐标可知点C在直线上，点B也在该直线上，根据垂线段最短可得最短时垂直直线，据此求出C点坐标，再计算三角形的面积即可． 解：∵点，其中， ∴点C在直线上， 又∵点， ∴点B也在直线上， ∵垂线段最短可知， ∴当直线时，线段长度最短， ∵直线平行于x轴，， ∴此时C点横坐标与A点横坐标相同，即C点坐标为， ∴，， ∵， ∴三角形的面积为：． 7．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，，，点E在上，F，G分别是和的中点，连接，，，则的长是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据全等三角形的性质得出，，从而得出，，，，根据中点坐标公式得出，，根据两点间距离公式求出答案即可． 解：以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴轴， ∴，，，， ∵F，G分别是和的中点， ∴点的坐标为，G点的坐标为， 即，， ∴． 8．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果. 解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴轴， ∵，且点在第四象限， ∴点和点关于直线对称， ∴. 9．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴负半轴上的一点，平分，则点关于轴的对称点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的对称，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．过点B作于上于点D， 则，证明，由全等三角形的性质进一步写出点B坐标，最后求出关于轴的对称点的坐标． 解：过点B作于上的点D， ∴， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴B点的纵坐标为3，即， ∴， ∴， ∴点关于轴的对称点是， 故选D． 10．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由折叠得，由勾股定理求出，再求出，进而可求出点的坐标． 解：由折叠可知，， ∵点，点， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴的坐标为． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在平面直角坐标系中，根据尺规作图的痕迹在第二象限内作出点，则x的值为______． 【答案】/ 【分析】由作图痕迹得点在第二象限的角平分线上，则点的横坐标与纵坐标互为相反数，得到，解方程即可得解． 解：由作图痕迹得射线平分， ∴点在第二象限的角平分线上， ∴点的横坐标与纵坐标互为相反数， ∴， 解得， 经检验，当时，，， 点在第二象限，符合题意． 12．（2026·河南南阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是坐标轴的正半轴上的一点，若射线、、构成轴对称图形，则线段的长为______． 【答案】1或2或 【分析】分射线，射线，射线为对称轴分类讨论即可解答． 解：∵点，， ∴轴，， 如图， ①若以射线为对称轴， ， ； ②若以射线为对称轴， ； ③若以射线为对称轴，作， ，， ， ， ， ， ． 13．（2026·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，如图所示，点，的坐标分别是，，若，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】过点作平行于轴的直线，交轴于，过作该直线的垂线，垂足为，根据已知得，，，进而，，，设，得方程组，求解即可得到答案． 解： 如图，过点作平行于轴的直线，交轴于，过作该直线的垂线，垂足为． ， 又，，， ， 又， ， ，， 设，由图可知在第四象限，因此， ，，，， 得到方程组：， 解方程组得：​， 点的坐标为． 14．（25-26七年级下·陕西安康·期中）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别是，，，，直线交边于点D，点E在边上．若，则的长为___________． 【答案】1 【分析】由长方形的性质以及点的坐标可得出，，求出长方形的面积，进而可得出，进而可求出的长，进而求出，再根据即可求出，进而可求出的长． 解：∵长方形的顶点坐标分别是，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·河南洛阳·三模）如图，平面直角坐标系中，，，点C为上的一个动点（不与点A、点B重合）．将沿翻折，点A的对应点为点，当为直角三角形时，点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据题意当时，分点在点的上方或点在点的下方两种情况，然后分别画出图形进行求解即可． 解：由题意可分：当时，且点在点的上方，如图所示： ∵，， ∴，， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； 当时，且点在点的下方，如图所示： 同理可得：， ∴； 综上所述：当为直角三角形时，点的坐标为或． 16．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意可得，，分两种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 解：∵三角形中，， ∴，， ∵动点C从点O出发，沿，三角形的面积等于三角形一半， ∴当点在上运动时，，， ∴， ∴，即此时点的坐标为； 当点在上运动时，设点到的距离为，则，， ∴， ∴，即点为的中点， ∴此时点的坐标为，即； 综上所述，点C的坐标为或． 17．（25-26七年级下·山东德州·期中）如图，，，，，且，则点的坐标为__________ 【答案】 【分析】由图形可得轴，，轴，得出，，结合图形即可求解． 解：∵， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴轴， ∴， ∵，， ∴. 18．（2026八年级下·黑龙江大庆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，点D为，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为___． 【答案】或或 【分析】根据题意分情况讨论：当时，当时，分别利用勾股定理求解即可． 解：∵矩形的顶点、的坐标分别为，，点为， ∴， 过作于， ①当时，如图1所示： ∴，， 由勾股定理得：， ； ②当时，如图2所示： ∴，， 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： ∴，， 由勾股定理得：， ， ； 综上，点的坐标为或或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知点，解答下列问题： （1）若点在轴上，求点的坐标； （2）若点的坐标为，直线轴，求线段PQ的长． 【答案】（1）；（2）6 【分析】（1）根据平面直角坐标系中，x轴上的点的纵坐标为0，进行求解即可； （2）在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线上的点纵坐标相等，进行求解即可． 解：（1）解：点在轴上， ，解得， ， 点的坐标为； （2）解：直线轴，点的坐标为，点的坐标为， 则有点的纵坐标与点的纵坐标相等， ，解得， ， 点的坐标为． 线段的长为． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1． （1）写出A，B，C三点的坐标； （2）若与关于y轴对称，作出图形． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）根据平面直角坐标系写出点坐标即可； （2）分别写出三点关于y轴对称的点，顺次连接即可． 解：（1）解：； （2）解：下图即为所求． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是． （1）画出关于x轴成轴对称的，并写出点的坐标为 ． （2）求的面积． （3）请在轴上标出点P的位置，使得周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见分析，；（2）；（3）见分析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，轴对称的性质，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得点的坐标，描出点点，并顺次连接点即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交x轴于点P，由轴对称的性质可得，则的周长，故当三点共线时，的周长有最小值． 解：（1）解：如图所示，即为所求，则点的坐标为； （2）解：由（1）得； （3）解：如图所示，点即为所求． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知在平面内两点，，这两点间的距离；当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． （1）若点，则线段的长为________． （2）已知，，试求，两点间的距离； （3）已知一个三角形各顶点坐标为，，，你能判断此三角形的形状吗？说明理由． 【答案】（1）7；（2）；（3）为等腰直角三角形，理由见分析 【分析】（1）根据两点间距离公式计算； （2）根据两点间距离公式计算； （3）根据两点间距离公式分别求出，，，根据勾股定理的逆定理解答． 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：为等腰直角三角形， 理由如下：，，， ∵， ∴为等腰直角三角形． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·吉林松原·期中）问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： （1）已知点，，则线段的中点的坐标是_____． （2）若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． （3）已知三点，，，若第四个点与、、中的任意一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【分析】（1）直接由线段中点坐标公式求解即可． （2）设点，根据中点坐标公式求解即可． （3）分三种情况讨论，求解即可． 解：（1）解：∵点，， 则线段的中点的坐标为，即． （2）解：设点， ∵点，且线段的中点坐标为， ∴，解得， ∴点． （3）解：当点与点的中点，点与点的中点重合时， 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 当点与点的中点，点与点的中点重合时， 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 线段的中点为，线段的中点为， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）构建数学基本模型是我们解决复杂问题的一种重要思想，优秀的同学总会积累很多基本模型，提高自己的综合能力．一线三直角就是一重要的模型． （1）如图1，中，，，过点任画一条直线，分别过、作此直线的垂线，垂足为、，请指出此图中全等形，并证明． （2）如图2，在直角坐标系数中，若点坐标为，以为直角边作直角三角形，且， ①若点的坐标为，求点坐标； ②如图3，若点在轴正半轴上运动，过点作线段，且，连接交轴于点，当点运动时，的长度是否发生变化，若变化说明理由，若不变，求出长度． 【答案】（1），证明见分析；（2）①；②不变，长度为． 【分析】本题考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，掌握一线三直角模型是解题关键． （1）根据同角的余角相等，得到，再根据证明全等即可； （2）①过点作轴于点，证明，得到，，即可得出点坐标； ②过点作轴于点，同①理可证，得到，，再证明，得到，即可得解． 解：（1）解：，证明如下： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：①如图2，过点作轴于点， 点坐标为，点的坐标为， ，， 直角三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点坐标为； ②如图3，过点作轴于点， 同①可得， ，， ，轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 当点运动时，的长度不发生变化，长度为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $