专题06位置与坐标知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题06位置与坐标知题通关讲义 知识点 01 有序实数对（平面定位基础） 1.定义：有先后顺序的两个数组成的数对，记作 (a,b)，叫做有序实数对。 2.核心性质：有序不可互换，(2,5) 与 (5,2) 是平面内两个不同点。 3.书写规范：括号包裹，中间用逗号分隔，格式(横坐标,纵坐标)。 4.生活两类定位模型 关键结论：平面内确定点必须两个数据，单一数字无法锁定唯一位置。 知识点 02 平面直角坐标系的构成 1.组成条件：同一平面内，互相垂直、拥有公共原点的两条数轴。 2.坐标轴定义 横轴（x 轴）：水平放置，向右为正方向； 纵轴（y 轴）：竖直放置，向上为正方向； 3.原点：x 轴与 y 轴交点，坐标(0,0)； 4.单位长度：同一坐标系内 x、y 轴单位长度统一（应用题特殊说明除外）； 5.象限划分：坐标轴将平面分成 4 个区域，称为第一、二、三、四象限； 6.重要边界：x 轴、y 轴上的点不属于任何一个象限。 知识点 03 平面内点的坐标定义 作图求坐标方法：过点分别向 x 轴、y 轴作垂线； 横坐标：点向 x 轴作垂线，垂足对应数字； 纵坐标：点向 y 轴作垂线，垂足对应数字； 完整记法：点P 坐标写作 P(x,y)，固定先横、后纵，顺序不能颠倒。 知识点04:四大象限坐标符号规律（必背） 知识点 05. 点的坐标表示 点的坐标： 如图所示，对于平面内任意一点 M，作 MM1 ⊥x 轴，MM2 ⊥ y轴，设垂足 M1，M2 在各自数轴上所表示的数分别为 x, y，则 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，有序实数对 (x,y) 叫做点 M 的坐标。 注意：写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，并用小括号括起来，简记：横前纵后逗隔开。 平面上的点与有序实数对的关系：建立了平面直角坐标系后，对于坐标平面内任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 结论：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系。 知识点05:点到坐标轴的距离： 点 P (x, y) 到x 轴的距离 = |y|。 点 P (x, y) 到y 轴的距离 = |x|。 到 原点 的距离：（勾股定理） 知识点06：点关于坐标轴、原点对称的坐标变换 知识点 07 点平移的坐标变化规则 设原始点：P(x,y) 补充备注 整体口诀总结：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，上加下减。 连续平移示例： 点P(-3,4)向右平移 5 个单位，再向下平移 2 个单位 新坐标：(-3+5,4-2)=(2,2) 图形平移规律：图形所有顶点按照相同规则同步平移，图形形状、大小不变。 1. 写点的坐标颠倒横、纵坐标顺序 提醒：坐标(x,y)中横坐标在前，纵坐标在后，有序实数对顺序不可互换。 2. 记错各象限内点的坐标符号 提醒：第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)，不可混淆符号。 3. 坐标轴上点的坐标特征判断错误 提醒：x轴上点纵坐标为0；y轴上点横坐标为0；坐标轴上的点不属于任何象限。 4. 求对称点坐标变换规律出错 提醒：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标取相反数。 5. 混淆点到两条坐标轴的距离 提醒：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值；点到y轴的距离是横坐标的绝对值，二者不可颠倒。 6. 两点水平、竖直距离计算错误 提醒：水平距离为横坐标之差的绝对值；竖直距离为纵坐标之差的绝对值，距离一定是非负数。 7. 点平移时坐标变化规律混淆 提醒：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，上加下减。 8. 忽略坐标是有序实数对 提醒：坐标是有序实数对，数字相同但顺序不同，代表平面内不同的点。 9. 自建坐标系缺少必要要素 提醒：建立平面直角坐标系，必须明确原点、坐标轴正方向与单位长度。 题型 考察方向 难度 题型一 用有序数对表示位置 ★ 题型二 用方向角和距离确定物体的位置 ★★ 题型三 根据方位描述确定物体的位置 ★★ 题型四 写出直角坐标系中点的坐标 ★ 题型五 求点到坐标轴的距离 ★ 题型六 判断点所在的象限 ★ 题型七 已知点所在的象限求参数 ★★ 题型八 坐标系中描点 ★ 题型九 已知两点坐标求两点距离 ★★ 题型十 实际问题中用坐标表示位置 ★★ 题型十一 点坐标规律探索 ★★★ 题型十二 中点坐标 ★★ 题型十三 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 ★★ 题型十四 由平移方式确定点的坐标 ★★ 题型十五 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 ★★ 题型十六 已知图形的平移，求点的坐标 ★★ 题型十七 已知平移后的坐标求原坐标 ★★ 题型十八 坐标系中的对称 ★★ 题型十九 坐标与图形变化 —— 轴对称 ★★★ 题型二十 坐标系中的动点问题 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 用有序数对表示位置 1．小李在教室里坐在第二排第五列，记作，则小王坐在第三排第四列记作_____． 【答案】 【详解】解：小李坐在第二排第五列记作， 有序数对中，第一个数表示排，第二个数表示列． 小王坐在第三排第四列， 记作． 2．根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．南偏西 B．某图书馆3层 C．城市中心广场 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】平面内确定一个位置需要两个独立的有序信息，据此对各选项判断即可． 【详解】解：A、南偏西，只有方向，没有距离，缺少信息，不能确定位置，故此选项不符合题意； B、某图书馆3层，只有楼层，没有具体房间编号，缺少信息，不能确定位置，故此选项不符合题意； C、城市中心广场，只有区域名称，没有具体位置信息，不能确定位置，故此选项不符合题意； D、东经，北纬，有两个确定位置的信息，可以确定具体位置，故此选项符合题意； 3．如图中，每个小正方体的体积都是．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为和．那么正方体丙的位置可以表示为( )． 【答案】 【分析】根据已知点甲、乙的坐标确定有序数对中三个数分别代表的几何意义，即列数、行数和层数，进而确定丙的坐标． 【详解】解：由正方体甲的位置可知，有序数对的第一个数表示列数，第二个数表示行数，第三个数表示层数， 由正方体乙的位置可知，乙位于第列，第行，第层，符合图形特征， 观察图形可知，正方体丙位于第列，第行，第层， 所以正方体丙的位置可以表示为． 题型二 用方向角和距离确定物体的位置 4．乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，如果用方位和距离描述，乐成镇在雁荡山的______． 【答案】南偏西的处 【分析】根据方位角的概念及位置的相对性，两地互为观测点时，方向相反，角度相等，距离相等，据此即可求解． 【详解】解：由图象可知，以乐成镇为观测点，雁荡山在乐成镇的北偏东方向，距离处． 根据位置的相对性，若以雁荡山为观测点，则乐成镇在雁荡山的相反方向，且距离不变． 北偏东的相反方向为南偏西． 所以乐成镇在雁荡山的南偏西的处． 5．月日下午，年“文化和自然遗产日”非遗展示展演主会场活动在郑州商都遗址博物院北广场启动，现场人数众多，位于处的佳佳准备前往相距的处与琪琪会合（如图）．请你用方向和距离描述佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是（     ） A．佳佳在琪琪的北偏东，处 B．佳佳在琪琪的南偏西，处 C．佳佳在琪琪的北偏东，处 D．佳佳在琪琪的南偏西，处 【答案】A 【分析】根据方向角的定义，结合两人相距，即可得出答案． 【详解】解：由图形可知，佳佳在琪琪的北偏东，处． 6．甲打电话给乙：“你在哪儿啊？”在下面乙的回话中，甲能确定乙位置的是（    ）． A．我和你相距500米 B．我在你北偏东的方向500米处 C．我在你北偏东的方向 D．你向北走433米，然后转再走250米 【答案】B 【分析】要确定乙位置，必须有方位角和距离两个条件才能确定，由此进行判断即可． 【详解】解：A、我和你相距500米，没有方位，不能确定乙位置，故此选项错误； B、我在你北偏东30°的方向500米处，能确定乙位置，故此选项正确； C、我在你北偏东30°的方向，没有距离，不能确定乙位置，故此选项错误； D、你向北走433米，然后转90°再走250米，没有说清顺时针还是逆时针转，不能确定乙位置，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了如何利用方位角和距离确定位置，关键是掌握确定位置的方法． 题型三 根据方位描述确定物体的位置 7．小明向大家介绍自己家的位置，下列表达最准确的是（   ） A．在学校的左边 B．在学校的西边 C．在学校西偏北处 D．在学校西偏北方向上，距学校 【答案】D 【分析】本题考查位置的确定，解题的关键是掌握判断一个物体的方位，应包含参照物、方向、距离．根据方位的定义依次判断即可． 【详解】解：A、缺少距离，不准确，不符合题意； B、缺少距离，不准确，不符合题意； C、缺少距离，不准确，不符合题意； D、条件齐全，符合题意． 故选：D． 8．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是根据方位角找出对应的图形，掌握方位角的定义是解决此题的关键． 根据方位角的定义判断即可． 【详解】解：A．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，故本选项符合题意； B．货轮A在岛屿O的南偏西方向上，故本选项不符合题意； C．货轮A在岛屿O的南偏东方向上，故本选项不符合题意； D．货轮A在岛屿O的北偏西方向上，故本选项不符合题意； 故选：A． 9．2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 【答案】C 【分析】根据题意作出示意图，再逐项判断即可． 【详解】解：如图，设与相交于点 则直线与直线垂直，故A正确，不符合题意； 直线与直线平行，故B正确，不符合题意； 点位于点的正西方向，故C错误，符合题意； 点与点之间的距离，故D正确，不符合题意． 题型四 写出直角坐标系中点的坐标 10．年月日，北京密云正式对外发布城市品牌“来密云看海”，品牌是一个“云”字．如图，将其放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，画出坐标系如图： 则点的坐标为， 故选：A． 11．A、B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且三角形的面积为6，则点P的坐标为____________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积公式，设点坐标为，则根据三角形面积公式得到 ，然后去绝对值求出的值，再写出点坐标，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设点坐标为， 根据题意得：， 解得或， ∴点坐标为或 ． 12．抚顺月牙岛生态公园，坐落于抚顺市顺城区浑河南岸，浑河与古城子河交汇处，因岛屿呈狭长弯月状得名，是抚顺核心城市滨水生态地标，是“城市绿肺”，是辽宁省运会开幕式举办地之一(图1)．若利用网格(图2)建立适当的平面直角坐标系，表示云松桥的点的坐标为，表示月亮湾广场的点的坐标为，那么表示脚踏船售票处的点的坐标应是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立直角坐标系，从而得解． 【详解】解：∵表示云松桥的点的坐标为，表示月亮湾广场的点的坐标为， ∴建立的平面直角坐标系如下图所示： ∴表示脚踏船售票处的点的坐标应是． 题型五 求点到坐标轴的距离 13．点到轴的距离为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离规律，解题关键是掌握点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值这一性质. 【详解】解：∵ 在平面直角坐标系中，任意点到轴的距离为该点纵坐标的绝对值， 已知点，其纵坐标为， ∴ 点到轴的距离为. 14．如果点在第四象限，且到x轴和y轴的距离相等，那么a和b的关系是______． 【答案】 或 【分析】根据点在第四象限得到、的符号，由点到两坐标轴距离相等得到，化简绝对值即可得到结果。 【详解】解：点在第四象限内， ，， 到轴和轴的距离相等， ， ， 即 15．点到x轴的距离是______________，到y轴的距离是______________，到原点的距离是______________． 【答案】 【分析】点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，再结合勾股定理计算点到原点的距离． 【详解】解：已知点， ∵点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值， ∴点到轴的距离为， ∵点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值， ∴点到轴的距离为， ∵点到原点的距离可构造直角三角形，如图所示： ∵两条直角边长分别为点到轴、轴的距离， ∴由勾股定理计算点到原点的距离为． 16．平面直角坐标系中，点，若轴．则线段的最小值及此时点的坐标分别为（     ） A．6， B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据轴确定点C的纵坐标范围，再利用垂线段最短的性质，得到取最小值的位置，进而计算得到结果． 【详解】解：∵ 轴，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等，点的纵坐标为， ∴ 点的纵坐标，即点在直线上移动， 根据垂线段最短的性质，当时，线段取得最小值， ∵ 轴， ∴ 轴，此时点的横坐标与点的横坐标相等，即， ∴ 此时点的坐标为， ，即线段的最小值为． 题型六 判断点所在的象限 17．（学年八上·安徽池州部分学校·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：因为，， 所以点所在的象限是第二象限. 18．在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为，，则“强”的坐标在第_______象限． 【答案】一 【分析】先根据“少”“年”的位置建立直角坐标系，从而确定“强”的坐标，再确定其所在的象限即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为，， ∴建立直角坐标系如下： ∴“强”的坐标为，即 “强”的坐标在第一象限． 19．若满足，则点M所在的象限是（    ） A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点的象限位置．通过一次函数图象的性质确定直线经过的象限，即可点M所在的象限． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴直线经过第一、二、三象限， ∴点可能出现在第一、第二或第三象限，不可能在第四象限， 故选：D． 题型七 已知点所在的象限求参数 20．点在第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点所在的象限，确定其横坐标、纵坐标的正负值以及大小，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点M在第二象限， ∴点M的横坐标为负，纵坐标为正， ∵点M距离x轴6个单位长度， ∴点M的纵坐标为6， ∵点M距离y轴2个单位长度， ∴点M的横坐标为， ∴点M的坐标为． 21．已知点在第四象限角平分线上，则a的值是______． 【答案】3 【分析】根据第四象限的角平分线上的点横、纵坐标互为相反数可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：点在第四象限角平分线上， ， 解得． 22．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心、适当的长度为半径画弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，再分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于第二象限内的点P．如果点P的坐标为，那么a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本作图，得射线平分，又点P在第二象限，点P的横坐标，纵坐标互为相反数，求解即可； 【详解】解：根据基本作图，得射线平分， 又点P在第二象限， 故满足横坐标为负，纵坐标为正，且绝对值相等，即横坐标，纵坐标互为相反数， 故即； 题型八 坐标系中描点 23．如图，已知点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标最多有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，坐标与图形性质，熟练掌握分类讨论的思想是解答本题的关键． 根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】解：如图， 则在x轴上共有4个这样的P点． 故选：C． 24．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，过点C作x轴的垂线，垂足为点D，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点C作x轴的垂线，垂足为点D， ∵ ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 25．图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 【答案】D 【分析】本题考查坐标确定位置，在平面直角坐标系中，一定要理解点与坐标的对应关系，是解决此类问题的关键．由图形及其坐标得出具体的位置画出图形即可. 【详解】解：如下图所示，得到一个“箭头”的图形， 故选：D 题型九 已知两点坐标求两点距离 26．在直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点之间的距离公式，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵原点坐标为，点坐标为， ∴点到原点的距离为 ． 27．已知，求的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将代数式转化为．当在的延长线上时取得最大值，即式子取得最大值，进而勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，和 设， ∴ ∵ ∴当在的延长线上时取得最大值，即式子取得最大值， 此时最大值为的长，即的最大值为， 故答案为：． 28．如图，在平面直角坐标系中，点A，C，B的坐标分别为，，，， 连接，．若， 则m的值为_________________． 【答案】4 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式与勾股定理的应用，解题的关键是根据坐标求出线段长度． 先根据点的坐标，用含m的式子表示出的长度，再在中利用勾股定理表示出的长度，然后根据列方程求解． 【详解】∵， ∴； ∵由， ∴，， 在中 ． ∵， ∴， 两边平方得， 解得． 故答案为：4． 题型十 实际问题中用坐标表示位置 29．大火是一颗红超巨星，是天蝎座中最亮的星，通常被称为“蝎子的心脏”，如图是天蝎座的星宿图，其中点，，分别代表房宿三，尾宿六与大火，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知点、的坐标确定平面直角坐标系的原点位置及单位长度，进而确定点的坐标． 【详解】解：点的坐标为，点 的坐标为， 结合图形可知，网格中小正方形的边长为个单位长度，且原点位于点左侧个单位、下方个单位处， 观察图形可知，点位于原点右侧 个单位、上方个单位处， 点的坐标为． 30．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，则表示棋子“馬”的点的坐标为__________ ． 【答案】 【分析】根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系，即可得出结果. 【详解】解：由题意，画出坐标系如下所示， 由图可知：表示棋子“馬”的点的坐标为. 31．信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点，的坐标确定原点并建立平面直角坐标系，再结合图形得出点的坐标即可． 【详解】解：∵机器人，的坐标分别为，， ∴原点在点的左边个单位，下边个单位处． 建立平面直角坐标系如图所示， 由图可知，点在轴正半轴个单位，轴负半轴个单位处， ∴机器人的坐标为． 题型十一 点坐标规律探索 32．如图，在平面直角坐标系中，一动点A从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动1个单位长度，依次得到点，那么点（n为正整数）的坐标为（   ）（用含n的式子表示）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】即是的倍数则的坐标即是在的坐标上乘以即可． 【详解】解：由题可得， 则． 33．如图，台球从点出发，沿图示方向运动，每当台球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当台球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直运动下去，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，    根据图形可以得到：每次反弹为一个循环组依次循环，经过次反弹后动点回到出发点， ， ∴点的坐标与点坐标相同，即为． 34．如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…按这样的运动规律，经过2026次运动后，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察点的坐标变化规律，发现每5次运动为一个循环，每个循环横坐标增加4，纵坐标依次为，即可确定点的位置． 【详解】解：，，，，， … ∴每5次运动为一个循环，每个循环横坐标增加4，纵坐标依次为， ， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标是． 题型十二 中点坐标 35．若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】先利用平行于轴的线段上所有点横坐标相等的性质，确定M点的横坐标，再结合中点坐标与线段长度计算M点的纵坐标，即可得到结果． 【详解】解：∵ 轴， ∴ 和的横坐标相等． ∵ 是线段的中点， ∴ 点的横坐标为． 设， ∵ ， ∴或， 解得或， 因此点坐标为或． 36．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是线段的中点，点在边上运动，点是边的中点，当为等腰三角形时，则点的坐标为__________． 【答案】或或 【分析】由点、坐标结合点是线段的中点求出点坐标，设点坐标为，根据两点距离公式求出、、，当为等腰三角形时，分、、三种情况分别列方程求解，即可得点的坐标． 【详解】解：∵，，点是线段的中点， ∴点坐标为， 点在边上运动，可设点坐标为， ∵点是边的中点，， ∴点坐标为， 又∵，， ∴，，， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， ，解得或（不合题意，舍去）， 此时，； ②当时， ，解得或（不合题意，舍去）， 此时，； ③当时， ，解得， 此时，； 综上，当为等腰三角形时，点的坐标为或或． 37．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中点坐标公式，若两点关于某点对称，则该对称中心是两点连线的中点，分步计算和的坐标即可. 【详解】解：设坐标为， ∵点关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，，即， 设坐标为， ∵关于的对称点为， ∴是线段的中点， ∴，， 解得，， ∴点的坐标为. 题型十三 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 38．点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． 39．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据飞机A确定出平移规律，再求出飞机B的横坐标与纵坐标即可得解． 本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 【详解】解：∵飞机到达时，横坐标加3，纵坐标减3， ∴飞机的横坐标为，纵坐标为， ∴飞机B的坐标为． 故答案为： 40．将点平移个单位，使其落在轴上，的最小值是_______． 【答案】 【分析】根据轴上点的纵坐标为，平移后点落在轴上，平移距离的最小值为点到轴的距离，计算点纵坐标的绝对值即可得到结果． 【详解】解：轴上点的纵坐标为， 点到轴的距离为， 平移后点落在轴上时，平移距离的最小值为． 41．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”的规律求解即可． 【详解】解：将点P（3，2）向右平移2个单位长度得到（5，2）， 再向下平移2个单位长度，所得到的点坐标为（5，0）． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——平移：向右平移a个单位，坐标P（x，y） （x+a，y）；向左平移a个单位，坐标P（x，y）（x-a，y）；向上平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y+b）；向下平移b个单位，坐标P（x，y）（x，y-b），熟记点的坐标的平移规则是解题的关键． 题型十四 由平移方式确定点的坐标 42．将向右平移3个单位后得到，若点A的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，平移的性质，结合将向右平移3个单位后得到，点A的坐标是，得，即点的坐标是． 【详解】解：∵将向右平移3个单位后得到，点A的坐标是， ∴， ∴点的坐标是， 故选：A． 43．若点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B的坐标为（     ） A．（2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（－2，0） 【答案】C 【分析】本题考查点的平移规律，解题关键是熟练掌握：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 将点的横坐标减2，纵坐标减4，即可得到平移后点B的坐标． 【详解】将点向左平移2个单位后坐标变为， 向下平移4个单位后坐标变为， 即B点坐标为． 故选：C． 44．如图，第一象限内有两点，，将线段平移使点P落在y轴上，点Q落在x轴上，则点P平移后的对应点的坐标是_______________． 【答案】 【分析】根据轴上的点横坐标为，轴上的点纵坐标为，平移后点P落在y轴上，点Q落在x轴上，进而可求坐标． 【详解】解：由轴上的点横坐标为，轴上的点纵坐标为， ∵平移后点P落在y轴上，点Q落在x轴上， ∴得横坐标平移量为， 平移后点Q纵坐标为0， 得纵坐标平移量为， 因此点P平移后的纵坐标为， ∴点P平移后的对应点的坐标是． 题型十五 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 45．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可． 【详解】解：∵点向右平移m个单位长度，向上平移n个单位长度得到点， ∴，， ∴，， ∴． 故选：C． 46．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点若点的坐标为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据点A和点C的坐标可判断出平移方式，再根据平移方式可得点D的坐标． 【详解】解：∵将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即． 47．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置，若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点平移后的对应点为，确定这是一个向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度的平移变换，根据平移求解即可． 【详解】解：由点平移后的对应点为，得这是一个向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度的平移变换， 故点平移后的对应点的坐标是，即． 题型十六 已知图形的平移，求点的坐标 48．已知线段经过平移得到线段（点A与点C对应），点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 【详解】解：因为点A坐标为，且平移后对应点C的坐标为， 则，， 又因为点B坐标为， 则，， 所以点B对应点D的坐标为． 49．在平面直角坐标系中，线段的两端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化−平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据点A及点的对应点的坐标，得出平移的方向和距离，据此可解决问题． 【详解】  解：∵，且平移后点A的对应点的坐标为， ∴线段向右平移了2个单位，向下平移了一个单位， ∴的对应点的坐标为，即． 故答案为：． 50．如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，平移的性质，解题的关键是先求出点A的坐标，根据将向右上方平移，使得点C与原点重合，得出应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，然后求出点A平移后的坐标即可． 【详解】解：如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵将平移，使点C与原点O重合， ∴应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位， ∴点A平移后的对应点为：，即． 故选：C． 题型十七 已知平移后的坐标求原坐标 51．在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移规律即可求出点M的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 点向左平移3个单位长度后得到点， 根据平移规律可得：， 解得：， 点的坐标为． 52．在平面直角坐标系中，线段A'B'是由线段AB经过平移得到的，已知点A(2，1)的对应点为A'(3，1)，点B的对应点为B'(4，0)，则点B的坐标为(　　) A．(9，2) B．(1，2) C．(1，3) D．(−1，2) 【答案】D 【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可． 【详解】横坐标从-2到3，说明是向右移动了3-（-2）=5，纵坐标从1到-1，说明是向下移动了1-（-1）=2， 求原来点的坐标，则为让新坐标的横坐标都减5，纵坐标都加2． 则点B的坐标为（-1，2）． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了图形的平移变换，注意左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．求原来点的坐标正好相反． 53．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，则对应点P′的坐标是_____． 【答案】（，） 【分析】依据对应点的坐标变化，即可得到三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′，进而得出点P′的坐标． 【详解】解：由图可得，C（2，0），C'（0，3）， ∴三角形ABC向左平移2个单位，向上平移3个单位后得到三角形A′B′C′， 又∵点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应， ∴对应点P′的坐标为（﹣2，﹣＋3），即P'（，）， 故答案为：（，）． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化，关键是注意观察组成图形的关键点平移后的位置．解题时注意：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 题型十八 坐标系中的对称 54．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 55．已知点和关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标，两点关于轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点和关于轴对称， ，， ， ． 故选：D． 56．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理．由长方形和折叠的性质可得：，，，证明，得出，再由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ，，四边形是长方形， ，， 在和中，， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为， 故答案为：． 题型十九 坐标与图形变化 —— 轴对称 57．剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质可知，剪纸的对称轴为y轴，然后根据关于轴对称的点的纵坐标不变，横坐标取相反数，即可解答． 【详解】解：根据题意得，剪纸的对称轴为y轴，则点关于对称轴对称的点的坐标为． 58．已知展开式中不含和项，则点关于y轴对称的点坐标为__________． 【答案】 【分析】先展开多项式合并同类项，根据展开式不含和项，得两项系数为，求解后，根据关于轴对称的点的坐标规律计算结果． 【详解】解： ∵ 展开式中不含和项， ∴ 项系数为，即 ，解得 ， 项系数为，即 ，将代入得 ，解得 ， ∴ 原坐标为， ∵ 点关于轴对称时，纵坐标不变，横坐标变为原横坐标的相反数， ∴ 所求点的坐标为． 59．新春佳节，班级文化长廊布置喜庆国风装饰，整齐悬挂着四个样式相同、寓意吉祥团圆的中国结，既装点教室又传承传统民俗文化．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点，，，的坐标分别是，，，．为让排布规整对称、尽显中式对称美学，下列平移中，能使四个“中国结”关于轴对称的是（     ） A．将向右平移个单位 B．将向右平移个单位 C．将向右平移个单位 D．将向右平移个单位 【答案】A 【分析】根据平移的性质求出平移后的坐标，根据关于轴对称点的坐标特点解答即可． 【详解】解：A．将向右平移个单位可得，能使四个“中国结”关于轴对称，符合题意， B．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， C．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， D．将向右平移个单位可得，不能使四个“中国结”关于轴对称，不符合题意， 题型二十 坐标系中的动点问题 60．如图，在平面直角坐标系中，，一动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿循环运动，则第100秒点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，数形结合是正确解答此题的关键． 根据点的坐标得到，，则四边形的周长为，再求出点P运动100秒所走的路程为200个单位长度，,则点P相当于运动了14圈后又运动4个单位长度，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴四边形的周长为， ∵点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环运动， ∴点P运动100秒所走的路程为个单位长度，， ∴点P相当于运动14圈后又运动4个单位长度，即第100秒点所在的位置是， 故选：A． 61．如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短的性质，计算出面积即可计算出的最小值． 【详解】解：点为直线上一动点，根据垂线段最短的性质，当时，线段的值最小． 已知，，，， 过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为 ， ∴，，， ，，， 观察图形可知， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 62．如图，在平面直角坐标系中，长为4的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，已知点，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】如图，将线段向左平移到的位置，作点A关于x轴的对称点，连接，，求出的最小值为，即可求得答案． 【详解】解：如图，将线段向左平移到的位置，作点A关于x轴的对称点，连接，． ∵点，， 则，，， ， ∴的最小值为． 解答题 1．如图，以学校为参照点，请用方位角和实际距离分别表示新华书店、少年宫和超市的位置． 【答案】 新华书店在学校北偏西方向，实际距离学校处； 少年宫在学校南偏西方向，实际距离学校处； 超市在学校北偏东方向，实际距离学校处． 【详解】解：新华书店在学校北偏西方向，实际距离学校处； 少年宫在学校南偏西方向，实际距离学校处； 超市在学校北偏东方向，实际距离学校处． 2．如图，国际象棋棋盘由纵横各8格、颜色深浅交错排列的64个小方格组成，棋子可以在这些方格中移动．列和行分别用字母和数字标记，按照先列后行的顺序，“白车”所在方格A的位置可用表示． (1)按照上述规定，“白后”和“黑车”所在方格的位置应该如何表示呢？ (2)如果从左到右的8列也分别用数字1到8标记，那么应该如何表示“白后”和“黑车”的位置呢？ (3)国际象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请按（2）题中的规定，用有序数对描述“白车”的行走路线：． 【答案】(1)“白后”的位置表示为，“黑车”的位置表示为 (2)“白后”的位置表示为，“黑车”的位置表示为 (3)用有序数对描述“白车”的行走路线为： 【分析】（1）根据方格A的位置可用表示方法，即可表示“白后”和“黑车”在方格中的位置． （2）如果从左到右的8列也分别用数字1到8标记，那么从左到右的8列字母分别对应数字，按照先列后行的顺序即可表示“白后”和“黑车”在方格中的位置． （3）根据（2）的方法，用有序数对表示出各方格位置，即可得“白车”的行走路线． 【详解】（1）解：根据方格A的位置可用表示可推出： “白后”的位置表示为，“黑车”的位置表示为． （2）解：如果从左到右的8列也分别用数字1到8标记，那么从左到右的8列字母分别对应数字，按照先列后行的顺序得：“白后”的位置表示为，“黑车”的位置表示为． （3）解：如果从左到右的8列也分别用数字1到8标记，那么从左到右的8列字母分别对应数字，按照先列后行的顺序得： 用有序数对描述“白车”的行走路线为：． 3．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，如：点的“3级关联点”为，即． (1)已知的“5级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”位于轴上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论． （2）先求出点的“级关联点”，再根据点的“级关联点” 位于轴上，即可求出的坐标． 【详解】（1）解：点的“5级关联点”是点， ． （2）解：点的“级关联点”是点， ， ． 位于轴上， ， 解得 ， ． 4．如图，平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上，，且，满足． (1)点，，坐标分别是__________，__________，__________； (2)如图，将点向右平移个单位长度得到点，为线段上一点，若直线恰好平分三角形的面积，求点的纵坐标； (3)如图，若点满足三角形的面积等于，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3)或 【分析】（1）根据算术平方根的非负性得到，求出，然后结合求解即可； （2）首先求出，设点的纵坐标为，然后根据直线恰好平分三角形的面积求解即可； （3）过作直线垂直于轴，延长交直线于点，过作交直线于点，连接，设点坐标为，根据求出，得到，然后根据三角形的面积等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即； ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵点向右平移个单位得到点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设点的纵坐标为， ∵直线恰好平分三角形的面积， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为； （3）解：如图，过作直线垂直于轴，延长交直线于点，过作交直线于点，连接， 设点坐标为， ∵，，， ∴点C到直线l的距离为，，，， ∴， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∵三角形的面积等于， ∴， 解得或． 5．如图，在平面直角坐标系中有三点，和． (1)求点和点之间的距离； (2)请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：为等腰直角三角形，理由如下： 过点C作轴，垂足为D，轴，垂足为E， ∵， ∴点，点 ∵点，点， ∴． ∵，点， ∴． 在中， ∵，， ∴． 同理，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形． 【分析】（1）根据点的坐标得到，，根据勾股定理计算即可； （2）过点C作轴，垂足为D，轴，垂足为E，根据点的坐标得到，，根据勾股定理求出，同理，根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴． ∵点，点， ∴． ∴在中，； （2）略． 6．如图：在正方形网格（每个小正方形的边长记为单位1）中有两个三角形，分别是和，按要求进行下列作图（只能借助于无刻度直尺和网格）． (1)以点B为原点，建立平面直角坐标系；分别写出点A，C的坐标：A（______，______），C（______，______）； (2)如图，若是由经过平移得到的，那么经过了怎样的平移？ (3)在（2）的条件下，若点是边上一点，则点P的对应点的坐标：（______，______）； (4)画一个锐角三角形（要求点M在格点上），使其面积等于的面积． 【答案】(1)，0，2，2； (2)是由经过向右平移6个单位，向上平移3个单位得到； (3)7，4 (4)即为所求： 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）根据题意作出平面直角坐标系，再根据点A，C的位置写出坐标； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）利用平移变换的规律解决问题； （4）点M在过点F平行的直线上（也可以在直线的下方），答案不唯一． 【详解】（1）平面直角坐标系如图所示，，． 故答案为：，0，2，2； （2）略 （3）是由经过向右平移6个单位，向上平移3个单位得到，点是边上一点， 点的坐标为，即， 故答案为：7，4； （4）略 7．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； (2)写出，，三点的坐标： ， ， ； (3)平面内一点关于y轴对称的点的坐标为 ，点关于x轴对称的点的坐标为 ； 【答案】(1)如图，即为所求； (2)；； (3)； 【分析】（1）先准确读出原三角形顶点的坐标，再利用y轴对称的点的坐标特点求出对应点坐标，将，，三点连接起来即可得到． （2）先准确读出A，B，C三点的坐标，再利用y轴对称的点的坐标特点求出对应点坐标． （3）根据关于轴，轴对称的点的特征进行求解即可． 【详解】（1）解：点A，B，C三点的坐标分别为，，； ∵关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴点，，三点的坐标分别为；；． 作图：在坐标系中描出点，，，并顺次连接，即可得到． （2）解：点，，三点的坐标分别为；； （3）解：∵关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数， ∴关于y轴对称的点的坐标为． ∵关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于x轴对称的点的坐标为． 8．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点从坐标原点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)①当时，______________； ②当时，______________． (2)①当点在点左侧时，______________；（用含的式子表示） ②当点在点右侧时，______________．（用含的式子表示） (3)当时，求出此时的值． (4)如图点的坐标为，连接，当四边形的面积等于面积的倍时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)①； ② (2)①； ② (3)的值为或 (4)的值为或 【分析】（1）①根据题意可得，，，即可求得，结合三角形面积公式求解即可． ②根据题意可得，，，即可求得，结合三角形面积公式求解即可． （2）①由题意可得，，当点在点左侧时，即可求得． ②由题意可得，，当点在点右侧时，即可求得． （3）根据题意可得，代入数据到中，求解即可． （4）根据题意可得，，分别代入数据到，，中，求得，四边形的面积为，结合四边形的面积等于面积的倍，列式求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴，， ∴， ∴． ②当时， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， ∴， ∴． （2）解：由题意可得， ①当点在点左侧时，； ②当点在点右侧时，． （3）解：∵，， ∴， ∴， 当时，即， 整理可得， 解得：，． （4）解：∵点的坐标为，点的坐标为 ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为， 当四边形的面积等于面积的倍时，即， 整理可得， 解得：，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06位置与坐标知题通关讲义 知识点 01 有序实数对（平面定位基础） 1.定义：有先后顺序的两个数组成的数对，记作 (a,b)，叫做有序实数对。 2.核心性质：有序不可互换，(2,5) 与 (5,2) 是平面内两个不同点。 3.书写规范：括号包裹，中间用逗号分隔，格式(横坐标,纵坐标)。 4.生活两类定位模型 关键结论：平面内确定点必须两个数据，单一数字无法锁定唯一位置。 知识点 02 平面直角坐标系的构成 1.组成条件：同一平面内，互相垂直、拥有公共原点的两条数轴。 2.坐标轴定义 横轴（x 轴）：水平放置，向右为正方向； 纵轴（y 轴）：竖直放置，向上为正方向； 3.原点：x 轴与 y 轴交点，坐标(0,0)； 4.单位长度：同一坐标系内 x、y 轴单位长度统一（应用题特殊说明除外）； 5.象限划分：坐标轴将平面分成 4 个区域，称为第一、二、三、四象限； 6.重要边界：x 轴、y 轴上的点不属于任何一个象限。 知识点 03 平面内点的坐标定义 作图求坐标方法：过点分别向 x 轴、y 轴作垂线； 横坐标：点向 x 轴作垂线，垂足对应数字； 纵坐标：点向 y 轴作垂线，垂足对应数字； 完整记法：点P 坐标写作 P(x,y)，固定先横、后纵，顺序不能颠倒。 知识点04:四大象限坐标符号规律（必背） 知识点 05. 点的坐标表示 点的坐标： 如图所示，对于平面内任意一点 M，作 MM1 ⊥x 轴，MM2 ⊥ y轴，设垂足 M1，M2 在各自数轴上所表示的数分别为 x, y，则 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，有序实数对 (x,y) 叫做点 M 的坐标。 注意：写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，并用小括号括起来，简记：横前纵后逗隔开。 平面上的点与有序实数对的关系：建立了平面直角坐标系后，对于坐标平面内任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。 结论：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系。 知识点05:点到坐标轴的距离： 点 P (x, y) 到x 轴的距离 = |y|。 点 P (x, y) 到y 轴的距离 = |x|。 到 原点 的距离：（勾股定理） 知识点06：点关于坐标轴、原点对称的坐标变换 知识点 07 点平移的坐标变化规则 设原始点：P(x,y) 补充备注 整体口诀总结：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，上加下减。 连续平移示例： 点P(-3,4)向右平移 5 个单位，再向下平移 2 个单位 新坐标：(-3+5,4-2)=(2,2) 图形平移规律：图形所有顶点按照相同规则同步平移，图形形状、大小不变。 1. 写点的坐标颠倒横、纵坐标顺序 提醒：坐标(x,y)中横坐标在前，纵坐标在后，有序实数对顺序不可互换。 2. 记错各象限内点的坐标符号 提醒：第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)，不可混淆符号。 3. 坐标轴上点的坐标特征判断错误 提醒：x轴上点纵坐标为0；y轴上点横坐标为0；坐标轴上的点不属于任何象限。 4. 求对称点坐标变换规律出错 提醒：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标取相反数。 5. 混淆点到两条坐标轴的距离 提醒：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值；点到y轴的距离是横坐标的绝对值，二者不可颠倒。 6. 两点水平、竖直距离计算错误 提醒：水平距离为横坐标之差的绝对值；竖直距离为纵坐标之差的绝对值，距离一定是非负数。 7. 点平移时坐标变化规律混淆 提醒：左右平移改变横坐标，左减右加；上下平移改变纵坐标，上加下减。 8. 忽略坐标是有序实数对 提醒：坐标是有序实数对，数字相同但顺序不同，代表平面内不同的点。 9. 自建坐标系缺少必要要素 提醒：建立平面直角坐标系，必须明确原点、坐标轴正方向与单位长度。 题型 考察方向 难度 题型一 用有序数对表示位置 ★ 题型二 用方向角和距离确定物体的位置 ★★ 题型三 根据方位描述确定物体的位置 ★★ 题型四 写出直角坐标系中点的坐标 ★ 题型五 求点到坐标轴的距离 ★ 题型六 判断点所在的象限 ★ 题型七 已知点所在的象限求参数 ★★ 题型八 坐标系中描点 ★ 题型九 已知两点坐标求两点距离 ★★ 题型十 实际问题中用坐标表示位置 ★★ 题型十一 点坐标规律探索 ★★★ 题型十二 中点坐标 ★★ 题型十三 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 ★★ 题型十四 由平移方式确定点的坐标 ★★ 题型十五 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 ★★ 题型十六 已知图形的平移，求点的坐标 ★★ 题型十七 已知平移后的坐标求原坐标 ★★ 题型十八 坐标系中的对称 ★★ 题型十九 坐标与图形变化 —— 轴对称 ★★★ 题型二十 坐标系中的动点问题 ★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 用有序数对表示位置 1．小李在教室里坐在第二排第五列，记作，则小王坐在第三排第四列记作_____． 2．根据下列表述，能确定位置的是（   ） A．南偏西 B．某图书馆3层 C．城市中心广场 D．东经，北纬 3．如图中，每个小正方体的体积都是．当正方体甲、乙如图摆放时，它们的位置可以分别表示为和．那么正方体丙的位置可以表示为( )． 题型二 用方向角和距离确定物体的位置 4．乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，如果用方位和距离描述，乐成镇在雁荡山的______． 5．月日下午，年“文化和自然遗产日”非遗展示展演主会场活动在郑州商都遗址博物院北广场启动，现场人数众多，位于处的佳佳准备前往相距的处与琪琪会合（如图）．请你用方向和距离描述佳佳相对于琪琪的位置，其中描述正确的是（     ） A．佳佳在琪琪的北偏东，处 B．佳佳在琪琪的南偏西，处 C．佳佳在琪琪的北偏东，处 D．佳佳在琪琪的南偏西，处 6．甲打电话给乙：“你在哪儿啊？”在下面乙的回话中，甲能确定乙位置的是（    ）． A．我和你相距500米 B．我在你北偏东的方向500米处 C．我在你北偏东的方向 D．你向北走433米，然后转再走250米 题型三 根据方位描述确定物体的位置 7．小明向大家介绍自己家的位置，下列表达最准确的是（   ） A．在学校的左边 B．在学校的西边 C．在学校西偏北处 D．在学校西偏北方向上，距学校 8．货轮A在岛屿O的北偏东方向上，下列符合条件的示意图是（    ） A． B． C． D． 9．2026年2月，北京大学董豪教授团队研发的“空间大脑”技术，让机器人能像人类一样理解空间关系、距离和方位．搭载“空间大脑”技术的机器人从起始位置点出发，按以下指令移动：指令1：向北移动4米到点；指令2：右转，向东移动3米到点；指令3：右转，向南移动2米到点；指令4：右转，向西移动5米到点．判断下列结论中不正确的是（     ） A．直线与直线垂直 B．直线与直线平行 C．点位于点的北偏东方向 D．点与点之间的距离大于3米 题型四 写出直角坐标系中点的坐标 10．年月日，北京密云正式对外发布城市品牌“来密云看海”，品牌是一个“云”字．如图，将其放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 11．A、B两点的坐标分别为，，点P是x轴上一点，且三角形的面积为6，则点P的坐标为____________． 12．抚顺月牙岛生态公园，坐落于抚顺市顺城区浑河南岸，浑河与古城子河交汇处，因岛屿呈狭长弯月状得名，是抚顺核心城市滨水生态地标，是“城市绿肺”，是辽宁省运会开幕式举办地之一(图1)．若利用网格(图2)建立适当的平面直角坐标系，表示云松桥的点的坐标为，表示月亮湾广场的点的坐标为，那么表示脚踏船售票处的点的坐标应是(     ) A． B． C． D． 题型五 求点到坐标轴的距离 13．点到轴的距离为（     ） A．3 B． C．2 D． 14．如果点在第四象限，且到x轴和y轴的距离相等，那么a和b的关系是______． 15．点到x轴的距离是______________，到y轴的距离是______________，到原点的距离是______________． 16．平面直角坐标系中，点，若轴．则线段的最小值及此时点的坐标分别为（     ） A．6， B． C． D． 题型六 判断点所在的象限 17．（学年八上·安徽池州部分学校·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为，，则“强”的坐标在第_______象限． 19．若满足，则点M所在的象限是（    ） A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第二或第四象限 D．不能确定 题型七 已知点所在的象限求参数 20．点在第二象限，距离轴6个单位长度，距离轴2个单位长度，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 21．已知点在第四象限角平分线上，则a的值是______． 22．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心、适当的长度为半径画弧，交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，再分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于第二象限内的点P．如果点P的坐标为，那么a与b的数量关系为（    ） A． B． C． D． 题型八 坐标系中描点 23．如图，已知点与坐标系原点重合，若点P在x轴上，且是等腰三角形，则点P的坐标最多有（   ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 24．在平面直角坐标系中，已知点，若点在第一象限，且的面积为10，则的值为___________． 25．图中标明了李同学家附近的一些地方．某日早晨，李同学从家里出发，沿，的路线转了一下，又回到家里，如图，依次连接他经过的地方，你得到的图形是（　　） A．心形 B．鱼 C．帆船 D．箭头 题型九 已知两点坐标求两点距离 26．在直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A． B． C． D． 27．已知，求的最大值为___________． 28．如图，在平面直角坐标系中，点A，C，B的坐标分别为，，，， 连接，．若， 则m的值为_________________． 题型十 实际问题中用坐标表示位置 29．大火是一颗红超巨星，是天蝎座中最亮的星，通常被称为“蝎子的心脏”，如图是天蝎座的星宿图，其中点，，分别代表房宿三，尾宿六与大火，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 30．象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“炮”和“車”的点的坐标分别为，则表示棋子“馬”的点的坐标为__________ ． 31．信息小组通过编程设计个机器人的队形，某一时刻各机器人的位置如图所示．在图中建立平面直角坐标系，若机器人，的坐标分别为，，则机器人的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型十一 点坐标规律探索 32．如图，在平面直角坐标系中，一动点A从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动1个单位长度，依次得到点，那么点（n为正整数）的坐标为（   ）（用含n的式子表示）． A． B． C． D． 33．如图，台球从点出发，沿图示方向运动，每当台球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当台球第1次碰到长方形的边时，记为点，第2次碰到长方形的边时，记为点，…，第次碰到长方形的边时，记为点，假设台球一直运动下去，则点的坐标是________． 34．如图，在平面直角坐标系中，点M从原点O出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，第5次接着运动到点，第6次接着运动到点…按这样的运动规律，经过2026次运动后，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型十二 中点坐标 35．若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 36．如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是线段的中点，点在边上运动，点是边的中点，当为等腰三角形时，则点的坐标为__________． 37．已知点，，且是的中点，则，，也可以理解为点关于点的对称点为．在平面直角坐标系中，有点，，点关于的对称点为，关于的对称点为，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型十三 求点沿 x 轴、y 轴平移后的坐标 38．点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 39．编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____． 40．将点平移个单位，使其落在轴上，的最小值是_______． 41．在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得到的点坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十四 由平移方式确定点的坐标 42．将向右平移3个单位后得到，若点A的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 43．若点向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点B的坐标为（     ） A．（2，－1） B．（－1，0） C．（－1，－1） D．（－2，0） 44．如图，第一象限内有两点，，将线段平移使点P落在y轴上，点Q落在x轴上，则点P平移后的对应点的坐标是_______________． 题型十五 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 45．在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到对应点，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 46．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移至线段的位置，其中点的对应点为点，点的对应点为点若点的坐标为，则点的坐标为________． 47．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置，若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 题型十六 已知图形的平移，求点的坐标 48．已知线段经过平移得到线段（点A与点C对应），点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 49．在平面直角坐标系中，线段的两端点坐标分别为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐标为______． 50．如图，在中，，，，，将向右上方平移，使得点C与原点重合，则点A平移后的坐标为（    ）． A． B． C． D． 题型十七 已知平移后的坐标求原坐标 51．在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 52．在平面直角坐标系中，线段A'B'是由线段AB经过平移得到的，已知点A(2，1)的对应点为A'(3，1)，点B的对应点为B'(4，0)，则点B的坐标为(　　) A．(9，2) B．(1，2) C．(1，3) D．(−1，2) 53．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移后得到三角形A′B′C′，且平移前后三角形的顶点坐标都是整数．若点P（，﹣）为三角形ABC内部一点，且与三角形A′B′C′内部的点P′对应，则对应点P′的坐标是_____． 题型十八 坐标系中的对称 54．点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 55．已知点和关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 56．如图，在长方形中，在轴上，在轴上，且，，把沿着对折得到，交轴于点，则点的坐标为_________． 题型十九 坐标与图形变化 —— 轴对称 57．剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点关于对称轴对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 58．已知展开式中不含和项，则点关于y轴对称的点坐标为__________． 59．新春佳节，班级文化长廊布置喜庆国风装饰，整齐悬挂着四个样式相同、寓意吉祥团圆的中国结，既装点教室又传承传统民俗文化．四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点，，，的坐标分别是，，，．为让排布规整对称、尽显中式对称美学，下列平移中，能使四个“中国结”关于轴对称的是（     ） A．将向右平移个单位 B．将向右平移个单位 C．将向右平移个单位 D．将向右平移个单位 题型二十 坐标系中的动点问题 60．如图，在平面直角坐标系中，，一动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿循环运动，则第100秒点的坐标为（　　） A． B． C． D． 61．如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 62．如图，在平面直角坐标系中，长为4的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，已知点，连接，则的最小值为_________． 解答题 1．如图，以学校为参照点，请用方位角和实际距离分别表示新华书店、少年宫和超市的位置． 2．如图，国际象棋棋盘由纵横各8格、颜色深浅交错排列的64个小方格组成，棋子可以在这些方格中移动．列和行分别用字母和数字标记，按照先列后行的顺序，“白车”所在方格A的位置可用表示． (1)按照上述规定，“白后”和“黑车”所在方格的位置应该如何表示呢？ (2)如果从左到右的8列也分别用数字1到8标记，那么应该如何表示“白后”和“黑车”的位置呢？ (3)国际象棋规则规定：“车”只能沿直线行走，一次可以走任意格．请按（2）题中的规定，用有序数对描述“白车”的行走路线：． 3．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”，如：点的“3级关联点”为，即． (1)已知的“5级关联点”是点，求点的坐标； (2)已知点的“级关联点”位于轴上，求点的坐标． 4．如图，平面直角坐标系中，点，点，点在轴正半轴上，，且，满足． (1)点，，坐标分别是__________，__________，__________； (2)如图，将点向右平移个单位长度得到点，为线段上一点，若直线恰好平分三角形的面积，求点的纵坐标； (3)如图，若点满足三角形的面积等于，求的值． 5．如图，在平面直角坐标系中有三点，和． (1)求点和点之间的距离； (2)请判断的形状，并说明理由． 6．如图：在正方形网格（每个小正方形的边长记为单位1）中有两个三角形，分别是和，按要求进行下列作图（只能借助于无刻度直尺和网格）． (1)以点B为原点，建立平面直角坐标系；分别写出点A，C的坐标：A（______，______），C（______，______）； (2)如图，若是由经过平移得到的，那么经过了怎样的平移？ (3)在（2）的条件下，若点是边上一点，则点P的对应点的坐标：（______，______）； (4)画一个锐角三角形（要求点M在格点上），使其面积等于的面积． 7．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于y轴对称的（其中，，分别是A，B，C的对应点）； (2)写出，，三点的坐标： ， ， ； (3)平面内一点关于y轴对称的点的坐标为 ，点关于x轴对称的点的坐标为 ； 8．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，动点从坐标原点出发以每秒1个单位长度的速度沿轴向右运动，连接，设点运动的时间为秒，的面积为． (1)①当时，______________； ②当时，______________． (2)①当点在点左侧时，______________；（用含的式子表示） ②当点在点右侧时，______________．（用含的式子表示） (3)当时，求出此时的值． (4)如图点的坐标为，连接，当四边形的面积等于面积的倍时，请直接写出此时的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $