15.1 垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线相关的作图问题专项训练-2026-2027学年人教版八年级数学上册

垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线相关的作图问题专项训练 垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线相关的作图问题专项训练 考点目录 垂直平分线的性质 垂直平分线的判定 垂直平分线相关的作图问题 考点一 垂直平分线的性质 例1．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，求出，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长． 例2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质定理可知，可得，即可求得答案． 【详解】解：的垂直平分线交于点D， ， 的周长为． 例3．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____． 【答案】 【分析】连接，由垂直平分线的性质得，推出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度， ∵， ∴的最小值是． 变式1．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用线段垂直平分线的性质，将的长度转化为的周长来求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E， ∴ ∵的周长为. 变式2．（25-26八年级下·山东威海·阶段检测）如图，在中，，是的垂直平分线，连接，，则的度数（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，利用三角形内角和定理可得，再结合即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴. 变式3．（26-27八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 【答案】13 【分析】首先根据垂直平分线的定义和性质可得，，再由的周长为7，易得，然后计算的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为7，即， ∴， ∴的周长． 考点二 垂直平分线的判定 例1．（25-26八年级上·重庆巴南·期末）如图，是的角平分线，，交于点． (1)尺规作图：过点作线段的垂线交于点，连接；（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：垂直平分． 证明：是的角平分线，，， ． 点在线段的垂直平分线上． 在和中， ． ______③________ 点在线段的垂直平分线上． ． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2)，，，垂直平分 【分析】（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先根据角平分线的性质得到，所以点在线段EF的垂直平分线上；再证明，得到，所以点在线段EF的垂直平分线上，则证明是线段的垂直平分线． 【详解】（1）略 （2）证明：是的角平分线，，， ， 点在线段的垂直平分线上． 在和中， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上． 是线段的垂直平分线， 故答案为：，，，垂直平分． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂线，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 例2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为______； (2)判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； (3) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； 故答案为：； （2）解：略． （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 例3．（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，，是边上的一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴即 又∵ ∴ ∴，即平分； (2) 证明：∵ ∴ 由（1）可得 ∴垂直平分 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，垂直平分线的判定； （1）证明得出，即可得证； （2）根据（1）可得，，即可得证； 【详解】（1）略 （2）略 变式1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若的周长是，的长是，求的周长． (2)若，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2) 证明：是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴点E在线段的垂直平分线上． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是16，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为， ， ， ， 的周长为； （2）略 变式2．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，直线，分别是边，的垂直平分线，交于点，，且直线，交于点，连接，，，． (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)若，求的度数． 【答案】(1) 证明：连接． ∵直线，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∴． ∴点在的垂直平分线上． (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理的应用； （1）连接．根据垂直平分线的性质可得，，则，即可得证； （2）根据三角形内角和定理可得，根据垂直平分线的性质可得，，根据等边对等角可得，，则，进而求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∵直线，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴． ∴． 变式3．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 【答案】(1) 证明：， ， 即， 在和中， ， ， ； (2) 连接， 证明：，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又， ∴点在的垂直平分线上， 垂直平分． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理（如）以及垂直平分线的性质是解题的关键． （1）通过角的和差关系得到，再结合已知条件用ASA证明，从而证得． （2）利用和推出是的垂直平分线，结合全等三角形的性质得到，再结合，证明垂直平分． 【详解】（1）略 （2）略 考点三 垂直平分线相关的作图问题 例1．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) 如图，点，即为所求； (2)如图，点，即为所求． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的性质作出图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26八年级上·广西贺州·期末）如图，已知在中，， (1)尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，若的周长为，，则的周长是多少？ 【答案】(1) 如图，直线即为所求； (2)25 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用尺规作图作的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换得到的周长，再根据题意求得即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴的周长是25． 例3．（25-26八年级上·安徽池州·期末）尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）． 如图，已知和两条公路，、是两个村庄，在美好乡村建设中，为方便广大村民出行方便，拟建立一个公交车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到、两条公路的距离相等． 【答案】解：如图，点为所求． 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质，以及角平分线和线段垂直平分线的尺规作图．作的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为点． 【详解】略 变式1．（25-26八年级上·河南·阶段检测）如图，在中，． (1)（尺规作图）作的垂直平分线交于点N，交于点M（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接，若，的周长是，求的长． 【答案】(1) 如图，直线即为所求； (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线、垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线即可； （2）根据垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 又∵， ∴． 变式2．（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图点C在的边上． (1)利用直尺和圆规过点C作射线的平行线． (2)过点C作的垂线，垂足为点E． 【答案】(1)如图所示：射线即为所求作的平行线． (2)如图所示：垂线即为所求作的垂线． 【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点，交于点．以点为圆心，长为半径画弧，交于点．以点为圆心，长为半径画弧，交上一步所作的弧于点．过点，作射线．由作图得，因此，射线即为所求． （2）以点为圆心，大于点到的距离的长度为半径画弧，交于两个不同点，．分别以，为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点．过点，作直线，交于点．可得，即为所求作的垂线． 【详解】（1）作图：略； （2）作图：略； 变式3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知． (1)在图1中作出边的垂直平分线（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2，已知，垂直平分线段，连接，，．求证：． 【答案】(1) 如图1，直线即为所求； (2) 证明：如图2，连接、， 垂直平分线段，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，正确掌握线段垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定是解题关键． （1）直接利用线段垂直平分线的作法得出直线即可； （2）连接、，根据垂直平分线的性质得出，，根据推出，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线相关的作图问题专项训练 垂直平分线的性质、垂直平分线的判定、垂直平分线相关的作图问题专项训练 考点目录 垂直平分线的性质 垂直平分线的判定 垂直平分线相关的作图问题 考点一 垂直平分线的性质 例1．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，垂直平分，分别交、于点D、E，连接，的周长为，，则的周长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 例2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 例3．（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，，，，垂直平分边，是直线上一点，则的最小值为____． 变式1．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 变式2．（25-26八年级下·山东威海·阶段检测）如图，在中，，是的垂直平分线，连接，，则的度数（　　） A． B． C． D． 变式3．（26-27八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，F，若，的周长为7，则的周长为_________． 考点二 垂直平分线的判定 例1．（25-26八年级上·重庆巴南·期末）如图，是的角平分线，，交于点． (1)尺规作图：过点作线段的垂线交于点，连接；（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：垂直平分． 证明：是的角平分线，，， ． 点在线段的垂直平分线上． 在和中， ． ______③________ 点在线段的垂直平分线上． ． 例2．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，，． (1)若的周长为，线段的长为______； (2)判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 例3．（25-26八年级上·陕西商洛·阶段检测）如图，在中，，是边上的一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)连接，求证：垂直平分． 变式1．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若的周长是，的长是，求的周长． (2)若，求证：点在线段的垂直平分线上． 变式2．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，直线，分别是边，的垂直平分线，交于点，，且直线，交于点，连接，，，． (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)若，求的度数． 变式3．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：． (2)若，求证：直线垂直平分． 考点三 垂直平分线相关的作图问题 例1．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）尺规作图： (1)作边的垂直平分线交于点，连接； (2)作边的垂直平分线交于点，连接（要求：保留作图痕迹，不写作法） 例2．（25-26八年级上·广西贺州·期末）如图，已知在中，， (1)尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，若的周长为，，则的周长是多少？ 例3．（25-26八年级上·安徽池州·期末）尺规作图题（不写作法，保留作图痕迹）． 如图，已知和两条公路，、是两个村庄，在美好乡村建设中，为方便广大村民出行方便，拟建立一个公交车站，使车站到两个村庄距离相等即，且到、两条公路的距离相等． 变式1．（25-26八年级上·河南·阶段检测）如图，在中，． (1)（尺规作图）作的垂直平分线交于点N，交于点M（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连接，若，的周长是，求的长． 变式2．（26-27八年级上·新疆和田·阶段检测）如图点C在的边上． (1)利用直尺和圆规过点C作射线的平行线． (2)过点C作的垂线，垂足为点E． 变式3．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知． (1)在图1中作出边的垂直平分线（要求尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图2，已知，垂直平分线段，连接，，．求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $